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考点3：等腰直角三角形构造三垂直模型
1．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AD与BE为△ABC的高，交点为F，CD=4，则线DF=___________．
2．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B． C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、 E，若BD=4，CE=2，则DE=___．
3．如图，直线经过正方形的顶点，已知于点，于点．若，，则线段的长为______．
4．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为__________．
5．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，AC＝CD，BC＝4cm，则 的面积为_____cm2．
二、解答题
6．在中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线，MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）当直线MN绕点C旋转到如图1的位置时，求证：DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到如图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到如图3的位置时，线段DE、AD、BE之间又有什么样的数量关系？请你直接写出这个数量关系，不要证明．
7．如图所示，在和中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE．
（1）求证：BC=BD；
（2）若BD=10厘米，求AC的长．
8．已知：在中，∠BAC=90°，AB＝CA，直线m经过点A，BD⊥直线m于点D，CE⊥直线m于点E．求证：；
9．如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N．
（1）求证：MN＝AM＋BN；
（2）如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N（AM＞BN），（1）中的结论是否仍然成立？说明理由．
10．在ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）如图1所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由；
（2）如图2所示位置时判断ADC与CEB是否全等，并说明理由．
参考答案
1．4
解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠ADB=∠BEA=90°，
∴∠CAD+∠AFE=90°，∠BFD+∠DBF=90°，
∵∠AFE=∠DFB，
∴∠CAD=∠FBD，
∵∠ADB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴AD=BD，
在△BDF和△ADC中
，
∴△BDF≌△ADC（ASA），
∴DF=DC=4，
故答案为：4．
2．6
解：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵BD⊥DE，
∴∠BDA=90°，
∴∠BAD+∠DBA=90°，
∴∠DBA=∠CAE，
∵CE⊥DE，
∴∠AEC=90°，
在△BDA和△AEC中，
，
∴△BDA≌△AEC（AAS），
∴AD=CE=2，AE=BD=4，
∴DE=AD+AE=2+4=6；
故答案为：6．
3．11
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAB=90°，
∵，，
∴∠DFA=∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠ADF=90°，
又∵∠FAD+∠BAE=90°，
∴∠ADF=∠BAE，
∴△AEB≌△DFA，
∵，，
∴BE=AF=3，DF=AE=8，
∴EF=AF+AE=3+8=11；
故答案为11．
4．5
解：如图，过点作于点；
，
，
；
由题意得：；
在与中，
，
，
，；
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
故答案为5．
5．8．
解：过点D作DH⊥BC，交BC的延长线于点H，
∵∠ABC＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠HCD+∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠HCD，
在△ABC和△CHD中，
，
∴（AAS），
∴DH＝BC＝4，
∴的面积＝（cm2），
故答案为：8．
6．【详解】
（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ADC和△CEB，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE；
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）解：DE＝BE﹣AD，理由如下：
∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∴DE＝BE﹣AD．
7．解：（1）∵DE⊥AB，可得∠BFE=90°，
∴∠ABC+∠DEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=∠DEB，
在△ABC和△EDB中，
，
∴△ABC≌△EDB（AAS），
∴BD=BC；
（2）∵△ABC≌△EDB，
∴AC=BE，
∵E是BC的中点，BD=10厘米，
∴BE=BC＝BD＝5厘米．
8．【详解】
，
，
，
，
，
，
在和中，，
．
9．解：(1)∵AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACM+∠NCB=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△ACM和△CBN中，
\
∴ACM≌△CBN，
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=MC+CN=AM+BN．
(2)题(1)中的结论不成立，
同题(1)证明可知：ACM≌△CBN，
∴AM=CN，CM=BN，
∴MN=CN-CM=AM-BN，
10．
【详解】
（1）全等，
理由：∵∠ACB＝90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠DAC+∠DCA＝∠BCE+∠DCA，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△DAC与△ECB中，
∵，
∴△DAC≌△ECB（AAS）；
全等，
理由：
∵∠ACB＝90°，AD⊥MN，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ACD+∠BCE，
∴∠DAC＝∠BCE，
在△ACD与△CBE中，
∵，
∴△ACD≌△CBE（AAS）．

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