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考点02 角平分线辅助线方法
一、填空题
1．如图所示，的外角的平分线CP与的平分线相交于点P，若，则_______．
2．如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则__________，②若，，则___________.
二、解答题
3．如图，ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．
4．如图，在中，，，是的平分线，延长至点，，试求的度数．
5．如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA＝28°，求∠ABE的大小．
6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由．
7．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．
8．如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．
9．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，
求证：∠ADC+∠B=180
10．如图所示，中，为的中点交的平分线于于，求证：．
参考答案
1．
【方法】
如图（见解析），设，从而可得，先根据三角形的外角性质可求出，再根据角平分线的性质可得，从而可得，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得，最后根据平角的定义即可得．
【详解】
如图，过点P分别作于点M，于点N，于点E，
设，则，
，
，
是的平分线，
，
，
是的平分线，，，
，
同理可得：，
，
在和中，，
，
，即，
又，
，
解得，
故答案为：．
2．110° 70°
【方法】
①先根据三角形内角和求出∠BAC+∠BCA=140°，再根据角平分线的定义求出∠IAC+∠ICA的值，然后利用三角形内角和即可求解；
②在BC上取CD=AC，连接BI、DI，利用SAS证明△ACI与△DCI全等，可得AI=DI，∠CAI=∠CDI，再根据BC=AI+AC求出AI=BD，从而可得BD=DI，由三角形外角的性质可得∠CDI=2∠DBI，再根据角平分线的定义即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解；
【详解】
①∵，
∴∠BAC+∠BCA=140°，
∵AI、CI分别是、的角平分线，
∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠BCA)=70°，
∴∠AIC=180°-70°=110°；
②如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI，
∵CI平分∠ACB，
∴∠ACI=∠BCI，
在△ACI与△DCI中，
，
∴△ACI≌△DCI（SAS），
∴AI=DI，∠CAI=∠CDI，
∵BC=AI+AC，
∴BD=AI，
∴BD=DI，
∴∠IBD=∠BID，
∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD，
又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，
∴BI是∠ABC的平分线，
∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI，
∴∠CDI=∠ABC，
∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC，
∵∠ABC=35°，
∴∠BAC=35°×2=70°．
3．【方法】
（1）连接、，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 ，然后利用“”证明和Rt全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据、的长度表示出、，然后解方程即可．
【详解】
（1）证明：连接、，
点在的垂直平分线上，
，
是的平分线，
在和Rt中，
；
（2）解：在和中，
，
，，
，
即，
解得．
4．40°
【方法】
在上截取，连接，通过证明，可得，再通过证明，即可求得
【详解】
解：如图，在上截取，连接，
是的平分线，
，
在和中，
，
，，
∴DE=DF，
，
又，，
，
，
在和中，
，
故．
5．28°
【方法】
过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．
【详解】
如图，过点E作EF⊥AB于F，
∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，
∴DE=EF，
∵E是DC的中点，
∴DE=CE，
∴CE=EF，
又∵∠C=90°，
∴点E在∠ABC的平分线上，
∴BE平分∠ABC，
又∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∴∠AEB=90°，
∴∠BEC=90°-∠AED=62°，
∴Rt△BCE中，∠CBE=28°，
∴∠ABE=28°．
6．【方法】
在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题．
【详解】
证明：在AB上找到F使得AF＝AD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠EAD＝∠EAF，
∵在△AEF和△AED中，
，
∴△AEF≌△AED，（SAS）
∴AF＝AD，∠AFE＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠D＋∠C＝180°，
∵∠AFE＋∠BFE＝180°
∴∠C＝∠BFE，
∵BE平分∠BAD，
∴∠FBE＝∠C，
∵在△BEC和△BEF中，
，
∴△BEC≌△BEF，（AAS）
∴BF＝BC，
∵AB＝AF＋BF，
∴AB＝AD＋BC，
即AD＝AB﹣BC．
7．【方法】
在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．则只需证明CD＝CE即可．结合角度证明∠CDE＝∠CED．
【详解】
证明：在线段BC上截取BE＝BA，连接DE．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD∠ABC．
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD．（SAS）
∴∠BED＝∠A＝108°，∠ADB＝∠EDB．
又∵AB＝AC，∠A＝108°，∠ACB＝∠ABC（180°﹣108°）＝36°，
∴∠ABD＝∠EBD＝18°．
∴∠ADB＝∠EDB＝180°﹣18°﹣108°＝54°．
∴∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDB
＝180°﹣54°﹣54°
＝72°．
∴∠DEC＝180°﹣∠DEB
＝180°﹣108°
＝72°．
∴∠CDE＝∠DEC．
∴CD＝CE．
∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD．
8．【方法】
作BF的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AE＝BE＝EF，由BD平分∠ABC就可以得出∠ABE＝∠DBC＝22.5°，从而可以得出∠BAE＝∠BAE＝∠ACD＝22.5°，∠AEF＝45°，由∠BAC＝90°，∠BDC＝90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出AD＝DC，证△ADC≌△AEB推出BE＝CD，从而得到结论．
【详解】
解：取BF的中点E，连接AE，AD，
∵∠BAC＝90°，
∴AE＝BE＝EF，
∴∠ABD＝∠BAE，
∵CD⊥BD，
∴A，B，C，D四点共圆，
∴∠DAC＝∠DBC，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴∠EAD＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，
∴∠AED＝45°，
∴AE＝AD，
在△ABE与△ADC中，
，
∴△ABE≌△ADC，
∴BE＝CD，
∴BF＝2CD．
9．【方法】
延长AD过C作CF垂直AD于F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件AD＋AB＝2AE可证BE＝DF，所以△CDF≌△CEB，由全等的性质可得∠B＝∠FDC
【详解】
证明：延长AD过C作CF垂直AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC＝∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，AC=AC，
∴△AFC≌△AEC(AAS)，
∴AF＝AE，CF＝CE，
∵AD+AB=2AE，
又∵AD＝AF DF，AB＝AE＋BE，AF＝AE，
∴2AE＝AE＋BE＋AE DF，
∴BE＝DF，
在△CDF和△CBE中，，
∴△CDF≌△CBE（SAS），
∴∠B＝∠FDC，
∵∠ADC＋∠FDC＝180°，
∴∠ADC+∠B=180 ．
10．【方法】
连接EB、EC，过点E作交AB延长线于G，根据线段垂直平分线求出BE=CE，根据角平分线性质求出EF=EG，证出Rt△BGE≌Rt△CFE即可得BG=CF，求出△AFE≌△AGE，推出AF=AG，即可得出答案．
【详解】
证明：连接EB、EC，过点E作交AB延长线于G，
∵为的中点
∴DE是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EF⊥AC，
∴∠BGE=∠EFC=90°，EF=EG，
在Rt△BGE和Rt△CFE中
∴Rt△BGE≌Rt△CFE（HL），
∴BG=CF，
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EF⊥AC，
∴∠AFE=∠AGE=90°，∠FAE=∠GAE，
在△AFE和△AGE中
∴△AFE≌△AGE，
∴AF=AG，
∵BG=CF，
∴（AB+AC）=（AG-BG+AF+CF）
=（AF+AF）
=AF，
即AF=（AB+AC）．

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