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考点01：截长补短法
1．如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）
2．如图，∠A=2∠C，平分，，，则_____．
3．如图，△ABC中，AB=AC，D、E分别在CA、BA的延长线上，连接BD、CE，且∠D+∠E=180°，若BD=6，则CE的长为__．
4．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．
5．如图，E、F分别是正方形ABCD的边 CD、BC上的点，且cm，，△EFC的周长为80cm，则_________cm．
6．如图，中，平分，，，则DB的度数为_______．
7．如图，在中，是边中点，，，则的长是_____________．
二、解答题
8．已知：如图所示，在中，平分，求证：．
9．已知：如图所示，在中，为中线，交分别于，如果，求证： ．
10．思维探索：
在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°．
（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是　 　；
（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；
拓展提升：
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD，在BC的延长线上取一点E，使∠EDA＝30°，连接AE，当BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段CE的长度．
11．如图，在中，平分交于点D，若，求的度数．
12．如图，在正方形中，点是的中点，点是边上的一点，且平分，求证：．
参考答案
答案第2页，总2页
1．180°-2x
【方法】
在CD上截取CE=CB，证明△ABC≌△AEC得AE=AB，∠B=∠AEC,可进一步证明∠D+∠B=180°,再根据四边形内角和定理可得
【详解】
解：在CD上截取CE=CB，如图所示，
在△ABC和△AEC中，
∴△ABC≌△AEC(SAS)
∴AE=AB，∠B=∠AEC,
∵AB=AD，
∴AD=AE，
∴∠D=∠AED，
∵∠AED+∠AEC=180°，
∴∠D+∠B=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°
∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，
∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x
∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x
故答案为：180°-2x
2．4
【方法】
在BC上截取BE＝AB，利用“边角边”证明△ABD≌△EBD，根据全等三角形对应边相等可得DE＝AD，由全等三角形对应角相等可得∠BED＝∠A，然后求出∠C＝∠CDE，根据等角对等边可得CE＝DE，等量代换得到EC＝AD，则BC＝BE+EC＝AB+AD即可【详解】
解：（1）在BC上截取BE＝BA，如图，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠EBD，
在△ABD和△BED中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴DE＝AD，∠BED＝∠A，
又∵∠A＝2∠C，
∴∠BED＝∠C+∠EDC＝2∠C，
∴∠EDC＝∠C，
∴ED＝EC，
∴EC＝AD，
∴BC＝BE+EC＝AB+AD，
∵BC＝10，AB＝6，
∴AD＝10﹣6＝4；
故答案为：4．
3．6
【方法】
在AD上截取AF=AE，连接BF，易得△ABF≌△ACE，根据全等三角形的性质可得∠BFA=∠E，CE=BF，则有∠D=∠DFB，然后根据等腰三角形的性质可求解．
【详解】
解：
在AD上截取AF=AE，连接BF，如图所示：
AB=AC，∠FAB=∠EAC，
，
BF=EC，∠BFA=∠E，
∠D+∠E=180°，∠BFA+∠DFB=180°，
∠DFB=∠D，
BF=BD，
BD=6，CE=6．
故答案为6．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．
4．20°
【方法】
通过作辅助线构造直角三角形，利用等边三角形的性质，得到角相等，边相等，根据三角形全等，得到角相等，利用外角的性质列方程求解；
【详解】
解：如图，延长至点E使，连接．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴设，则．在与中，
∵∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
5．34
【方法】
延长CB到H，使BH=DE，连接AH，可证△ADE≌△ABH，可得AE=AH，由∠EAF=45 可证得∠HAF=45 ，进而可证得△HAF≌△EAF，可得EF=HF，由△EFC的周长可求得正方形的边长，
【详解】
如图延长CB到H，使BH=DE=10cm，连接AH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABH=∠DAB=90 ，AB=AD=BC=CD，
∴△ADE≌△ABH（SAS)，
∴AE=AH,∠DAE=∠BAH，
∵∠EAF=45 ，
∴∠DAE+∠BAF=45 ，
∴∠BAH+∠BAF=45 即∠HAF=45 ，
∴∠HAF=∠EAF又AH=AE,AF=AF，
∴△HAF≌△EAF(SAS)，
∴HF=EF，
∵△EFC的周长为80cm，
∴CE+CF+EF=CE+CF+HF=CE+DE+CF+BF=BC+CD=2BC=80,∴BC=40cm,
设EF=x，则CF=40+10-x=50-x，
在Rt△ECF中，CE=40-10=30cm，
由勾股定理得：，
解得：x=34，即EF=34cm，
故答案为：34．
6．
【方法】
如图（见解析），在线段AC上取点E，使得，先根据角平分线的定义得出，再根据三角形全等的判定定理与性质得出，，然后根据线段的和差、等量代换得出
【详解】
如图，在线段AC上取点E，使得
平分
在和中，
，
又
故答案为：．
7．
【方法】
延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，结合D是中点证得△ADC≌△EDB，进而利用勾股定理逆定理可证得∠E＝90°，再利用勾股定理求得BD长进而转化为BC长即可．
【详解】
解：如图，延长AD至点E，使得DE＝AD＝4，连接BE，
∵是边中点，
∴BD＝CD，
又∵DE＝AD，∠ADC＝∠EDB，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝6，
又∵AB＝10，
∴AE2＋BE2＝AB2，
∴∠E＝90°，
∴在Rt△BED中，，
∴BC＝2BD＝，
故答案为：．
8．
【方法】
在AB上截，连结DE，则可证得，可得∠AED=∠C=2∠B，ED=CD，可证得△BDE为等腰三角形，所以有BE=DE=CD，可得结论．
【详解】
证明：在AB上截，连结DE，
在△ADE和△ACD中，
，
， ，
∵
∴，
又，
，
，
9．
【方法】
根据点D是BC的中点，延长AD到点G，得到，利用全等三角形的对应角相等，对应边相等进行等量代换，得到△AEF中的两个角相等，然后用等角对等边证明AE等于EF．
【详解】
证明：延长ED至G，使，连结GC，
∵在中，为中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△GDB中，
∴，
，，
，
，
．
又，
∴，
∴.
10【方法】
思维探索：
（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠BAE+∠DAF＝45°，
∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，
在△AGE和△AFE中
∴△AGE≌△AFE（SAS），
∴GE＝EF，
∵GE＝GB+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF，
∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，
故答案为：8；
（2）如，2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，
同（1）可证得△AEF≌△AGF，
∴EF＝GF，且DG＝BE，
∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，
∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；
拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，
∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，
∴四边形ACBG是矩形，
∵AC＝BC，
∴矩形ACBG是正方形，
∴AC＝AG，∠CAG＝90°，
在BG上截取GF＝CE，
∴△AEC≌△AGF（SAS），
∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，
∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，
∴∠DAF＝∠DAE＝45°，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADF（SAS），
∴∠ADF＝∠ADE＝30°，
∴∠BDE＝60°，
∵∠DBE＝90°，BD＝2，
∴DE＝DF＝4，BE＝2，
设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝2﹣x，
∴DG＝2+2﹣x，
∴DG﹣FG＝DF，
即2+2﹣x﹣x＝4，
∴x＝﹣1，
∴CE＝﹣1．
11．
【方法】
在上截取，连接，证明，再证明，设，再得到，证明 然后利用内角和定理求解即可．
【详解】
解：如图，在上截取，连接．
∵平分，
．
∵，
，
∴
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
设，
则．
∵在中，，
解得，
∴．
12．【方法】
过F作FH⊥AE于H，得出FH=FD，然后证明△FHE≌△FCE，再通过等价转换可证得AE=EC+CD．
【详解】
证明：过F作FH⊥AE于H，如图，
∵AF平分∠DAE，∠D=90°，FH⊥AE，
∴∠DAF=∠EAF，FH=FD，
又∵DF=FC=FH，FE为公共边，
∴△FHE≌△FCE（HL）．
∴HE=CE．
∵AE=AH+HE，AH=AD=CD，HE=CE，
∴AE=EC+CD．

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