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考点4：等腰旋转模型
1．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．
①求证：AD＝BE；
②求∠AEB的度数．
（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．
2．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，点D为直线BC上的一动点，以AD为边作△ADE（顶点A D E按逆时针方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，连接CE．
（1）如图1，若点D在BC边上（点D与B C不重合），
①求证：△ABD≌△ACE；
②求证：
（2）如图2，若点D在CB的延长线上，若DB=5，BC=7，则△ADE的面积为____．
（3）如图3，若点D在BC的延长线上，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°，连结BE，若BE=10，BC=6，则AE的长为______．
3．在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接.
（1）如图，当 在线段上时，求证：.
（2）如图，若点在线段的延长线上，，.则、之间有怎样的数量关系？写出你的理由.
（3）如图，当点在线段上，，，求最大值.
4．如图①，在 ABCD中，AD=BD=2，BD⊥AD，点E为对角线AC上一动点，连接DE，将DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，连接BF．
（1）求证：BF=AE；
（2）若BF所在的直线交AC于点M，求OM的长度；
（3）如图②，当点F落在△OBC的外部，构成四边形DEMF时，求四边形DEMF的面积．
5．将一大、一小两个等腰直角三角形拼在一起，，连接．
（1）如图1,若三点在同一条直线上，则与的关系是 ；
（2）如图2，若三点不在同一条直线上,与相交于点，连接,猜想之间的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，在(2)的条件下作的中点,连接，直接写出与之间的关系．
6．（2017观成周考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β．
（1）如图，当点D在线段BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）当点D在直线BC上移动，则α和β之间有怎样的数量关系？请说明理由．
7．和都是等腰直角三角形，与相交于点交于点交于点.试确定线段的关系.并说明理由.
8．观察推理：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，点A、B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D、E．
（1）求证：△AEC≌△CDB；
（2）类比探究：如图2，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积；
（3）拓展提升：如图3，∠E=60°，EC=EB=4cm，点O在BC上，且OC=3cm，动点P从点E沿射线EC以2cm/s速度运动，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．要使点F恰好落在射线EB上，求点P运动的时间．
9．如图所示，等腰直角中，，点在上，且，，．将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形，并求的长．
10．在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，△CDE为等边三角形，CD＝2，连接AD，M为AD中点．
（1）如图1，当B，C，E三点共线时，请画出△EDM关于点M的中心对称图形，并证明BM⊥ME；
（2）如图2，当A，C，E三点共线时，求BM的长；
（3）如图3，取BE中点N，连MN，将△CDE绕点C旋转，直接写出旋转过程中线段MN的取值范围是_____．
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参考答案
1．
答案第1页，总2页
【详解】
（1）①证明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，
∴∠ACB＝∠DCE＝180°﹣2×50°＝80°，
∵∠ACB＝∠ACD+∠DCB，∠DCE＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵△ACB，△DCE都是等腰三角形，
∴AC＝BC，DC＝EC，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
②解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC＝∠BEC，
∵点A、D、E在同一直线上，且∠CDE＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝130°，
∴∠BEC＝130°，
∵∠BEC＝∠CED+∠AEB，∠CED＝50°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝80°．
（2）结论：AE＝2CF+BE．
理由：∵△ACB，△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝45°，
∵CF⊥DE，
∴∠CFD＝90°，DF＝EF＝CF，
∵AD＝BE，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CF．
2．
【详解】
（1）①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE，
②∵△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
∴∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠DCE=90°，
；
（2）过点A作AF⊥DE于点F．
∵AD＝AE，
∴点F是DE的中点，
∵∠DAE＝90°，
∴AF＝DE，
同理可证△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，DB＝EC，
∵DB＝5，BC＝7，
∴EC＝5，DC＝12，
∵∠DAE＝90°，
∴∠ADE＋∠AED＝90°，
∴∠ADC＋∠CDE＋∠AED＝90°，
∴∠AEC＋∠AED＋∠CDE＝90°，即∠CED＋∠CDE＝90°，
∴∠ECD＝90°，
∴DE2＝CE2＋CD2＝25＋144＝169，
∵DE＞0，
∴DE＝13，
∴AF＝，
∴△ADE的面积为＝DE AF＝×13×＝；
（3）由（1）可知：△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∴∠BCE=∠ACB+∠∠ACE=∠ACB+∠ABD=90°，
∴Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，
∴CE＝＝8，
∴BD＝CE＝8，
∴CD＝8 6＝2，
∴Rt△DCE中，DE＝=，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝＝=．
3．
【详解】
解：（1）∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）同（1）的方法得，
∴∠ACE=∠ABD，∠BCE=α，
∴∠ACE=∠ ACB+∠BCE=∠ACB+α，
在中，
∵AB= AC，∠BAC=β，
∴∠ACB=∠ABC =(180°-β)= 90°-β，
∴∠ABD= 180°-∠ABC= 90°+β，
∴∠ACE=∠ACB +α= 90°-β+α，
∵∠ACE=∠ABD = 90°+β，
∴90°-β+α= 90°+β，
∴α = β；
（3）如图，过A做于点H，
∵，，
∴，，
同（1）的方法得，，
,，
即，
∴，
当最小时，最大，
当时最小，，
．
4．
【详解】
解：（1）∵ DE绕点D逆时针旋转90°得到DF，
∴ DE=DF，∠EDF=90°．
∵ BD⊥AD，∴∠ADB=90°，
∴ ∠ADE=∠BDF．
∵ AD=BD，
∴ △ADE≌△BDF，
∴ BF=AE．
（2）∵ △ADE≌△BDF，
∴ ∠DAE=∠DBF．
∵ ∠ADB=90°，∠AOD=∠BOC，
∴ ∠DAE＋∠AOD=∠DBF＋∠BOC=90°，
∴ ∠BMO=90°，
过D作DN⊥AO于N，由中心对称可得：
∴ △DON≌△BOM，∴ OM=ON．
∵ AD=2，DO=1，∠ADB=90°，
∵S△ADO=AD×DO=AO×DN，
∴DN=
∴NO=，
∴ OM=ON=，
（3）将△DEN绕点D逆时针旋转90°得到△DFG，
∴DG=DN，∠DNE=∠DGF=90°，∠DEN=∠DFG，
∵∠EDF=∠FME=90°，
∴∠DEM+∠DFM=180°，
∴∠DFG+∠DFM=180°，
∴点G，点F，点M三点共线，
∵∠DGF=∠DNM=∠FMN=90°，
∴四边形DNMG是矩形，
又∵DN=DG，
∴四边形DNMG为正方形，
∴ S四边形DEMF=S四边形DNNG=()2=
5.【详解】
∴，
延长AC交BD于点C’，如下图：
∵，
即，综上且，
故答案为：且；
证明:在上截取,连接
在和中
在和中
即
；
且，理由如下：
过点B作BM∥OC，交OF的延长线于点M，延长FO交AD于点N，
∵BM∥OC，∴∠M=∠FOC，
∵∠BFM=∠CFO，BF=CF,∴ BFM CFO（AAS），
∴OF=MF，BM=CO，
∵DO=CO，∴DO=BM，
∵BM∥OC，∴∠OBM+∠BOC=180°，
∵∠BOC+∠AOD=360°-90°-90°=180°，
∴∠OBM=∠AOD，
又∵AO=BO，∴ AOD OBM（SAS），
∴AD=OM=2OF ，∠BOM=∠OAD，
∵∠BOM+∠AON=180°-90°=90°，
∴∠OAD+∠AON=90°，即OF⊥AD．
∴且．
6．
解：（1）α＋β=180°，理由如下
∵∠DAE=∠BAC
∴∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC
∴∠EAC=∠DAB
在△DAB和△EAC中
∴△DAB≌△EAC
∴∠B=∠ACE
∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°
∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°
∴α＋∠BCE=180°∴α＋β=180°
①当点D在线段BC上移动时，
由（1）知α＋β=180°；
②当点D在BC延长线上移动时，如下图
∵∠DAE=∠BAC
∴∠DAE＋∠DAC=∠BAC＋∠DAC
∴∠EAC=∠DAB
在△DAB和△EAC中
∴△DAB≌△EAC
∴∠B=∠ACE
∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°
∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°
∴α＋∠BCE=180°∴α＋β=180°
③当点D在CB延长线上移动时，
如下图所示，连接BE
∵∠DAE=∠BAC
∴∠DAE－∠BAE=∠BAC－∠BAE
∴∠DAB=∠EAC
在△DAB和△EAC中
∴△DAB≌△EAC
∴∠ABD=∠ACE∵∠ABD=∠BAC＋∠BCA，∠ACE=∠BCA＋∠BCE
∴∠BAC＋∠BCA=∠BCA＋∠BCE
∴∠BAC=∠BCE∴α=β．
综上：当点D在线段BC上移动或点D
在BC延长线上移动时，α＋β=180°；
当点D在CB延长线上移动时，α=β．
7．且
解： 和是直角三角形
则
即
在与中
在中
又
则中，即，，
综上所述，且.
8．【详解】
(1)∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠DCB=90°，
∵BD⊥l，AE⊥l，
∴∠AEC=∠BDC=90°，
∴∠EAC＋∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠DCB，
又∵AC=BC，
∴△AEC≌△CDB(AAS)；
(2)如图2，作B'D⊥AC于D，
∵斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'，
∴AB’=AB，∠B’AB=90°，
即∠B′AC＋∠BAC=90°，
而∠B＋∠CAB=90°，
∴∠B=∠B'AC，
∴△B’AD≌△A BD(AAS)，
∴B′D=AC=6，
∴△A B′C的面积=6×6÷2=18；
(3)如图3，由旋转知，OP=OF，
∵△BCE是等边三角形，
∴∠CBE=∠BCE=60°
∴∠OCP=∠FBO=120°，
∠CPO＋∠COP=60°，
∵∠POF=120°，
∴∠COP＋∠BOF=60°，
∴∠CPO=∠BOF，在△BOF和△PCO中
∠OBF=∠PCO=120°,∠BOF=∠CPO，OF=OP
∴△BOF≌△PCO，
∴CP=OB，
∵EC=BC=4cm，OC=3cm，
∴OB=BC-OC=1，
∴CP=1，
∴EP=CE＋CP=5，
∴点P运动的时间t=5÷2=2.5秒．
9．
解：如图，由旋转性质知，
∴，即，
∴，
在中，，
∵，∠ECB=∠E′CA，
∴∠ECB+∠DCA=∠E′CA+ ∠DCA=∠E′CD=45°=∠DCE，
又∵E′C=CE，CD=CD
∴△E′CD≌△DCE，
∴DE= DE′=.
10．解：（1）证明：如图1，
延长BA，EM交于点F，即：△FAM即为所求，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD＝CE＝DE，∠CED＝60°，
∵∠ABC＝120°，
∴∠ABC+∠CED＝180°，
∵B，C，E三点共线，
∴AB∥DE，
∴∠FAM＝∠MDE，∠MED＝∠F，
∵点M是AD中点，
∴AM＝DM，
∴△AMF≌△DME，
∴AF＝DE＝CE，FM＝ME，
∵AB＝BC，
∴BF＝BE，
∴BM⊥ME；
（2）证明：如图2，延长EM到点F，使MF＝ME，连接BF，AF，BE，
∵AM＝DM，∠FMA＝∠DME，
∴△AMF≌△DMF，
∴AF＝DE＝CE，∠FAD＝∠ADE，
在四边形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA＝360°，
∵∠ABC＝120°，∠CED＝60°，
∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE＝180°，
∵∠CBE+∠CEB+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠BAD+∠ADE，
∴∠BCE＝∠BAF，
∵AB＝AC，
∴△AFB≌△CEB，
∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠ABC＝120°，∠BEF＝30°，
∴∠BME＝90°，BE＝2BM．
在△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝120°，∴∠BAC＝30°，
过点B作BG⊥AC于G，
∴BG＝，CG＝AG＝3，
∴EG＝CG+CE＝3+2＝5
在Rt△BCE中，根据勾股定理得，BE＝2，
∴BM＝；
（3）如图3，延长EM到点F，使MF＝ME，连接BF，AF，BM，
∵AM＝DM，∠FMA＝∠DME，
∴△AMF≌△DME，
∴AF＝DE＝CE，∠FAD＝∠ADE，
在四边形BADE中，∵∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA＝360°，
∵∠ABC＝120°，∠CED＝60°，
∴∠CBE+∠CEB+∠BAD+∠ADE＝180°，
∵∠CBE+∠CEB+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠BAD+∠ADE，
∴∠BCE＝∠BAF，
∵AB＝CB，
∴△AFB≌△CEB，
∴BF＝BE，∠ABF＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠ABC＝120°，∠BEF＝30°，
∴∠BME＝90°，
∵点N是BE的中点，
∴MN＝BE，
即：BE＝2MN，
在△BCE中，BC＝2，CE＝CD＝2，
∴2﹣2＜BE＜2+2，
∴2﹣2＜2MN＜2+2，
即：﹣1≤MN≤+1，
故答案为：﹣1≤MN≤+1．

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