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考点6：双等腰模型
1．如图，已知CA＝CB，CF＝CE，∠ACB＝∠FCE＝90°，且A、F、E三点共线，AE与CB交于点D．
（1）求证：AF2+AE2＝AB2
（2）若AC＝，BE＝3，则CE＝　 　．
2．如图1，已知和都是等边三角形，且点E在线段AB上．
（1）过点E作交AC于点G，试判断的形状并说明理由；
（2）求证：；
（3）如图2，若点D在射线CA上，且，求证：．
3．如图，已知AM＝CN，B在MN的垂直平分线上，∠AMB＝∠CNB，∠MBN＝90°．证明：△ABC为等腰直角三角形．
4．如图，是等腰直角三角形，分别以为直角边向外作等腰直角和等腰直角为的中点，连接与交于点．
（1）证明：四边形是平行四边形；
（2）线段和线段有什么数量关系，请说明理由；
（3）已知求的长度(结果用含根号的式子表示)．
5．（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，保留作图痕迹），并猜想BE与CD的关系；
（2）如图2，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？并说明理由；
6．如图1，在等腰直角三角形中，动点D在直线AB（点A与点B重合除外）上时，以CD为一腰在CD上方作等腰直角三角形，且，连接AE．
（1）判断AE与BD的数量关系和位置关系；并说明理由．
（2）如图2，若，P，Q两点在直线AB上且，试求PQ的长．
（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AB的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值．分别画出图形，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．
7．如图，已知Rt△ABC中，AB=AC=2，点D为直线BC上的动点（不与B、C重合），以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE（点A，D，E按逆时针顺序排列），连结CE．
（1）当点D在线段BC上运动时，
①求证：BD=CE；
②请探讨四边形ADCE的面积是否有变化；
（2）当点D在直线BC上运动时，直接写出CD，CB与CE之间的数量关系．
8．在直线上次取A，B，C三点，分别以AB，BC为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为D，E．
（1）如图①，连结CD，AE，求证：；
（2）如图②，若，，求DE的长；
（3）如图③，将图②中的正三角形BEC绕B点作适当的旋转，连结AE，若有，试求∠的度数．
9．如图，中，，，在AB的同侧作正、正和正，求四边形PCDE面积的最大值．
10．如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D,
（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
参考答案
1．【详解】
（1）证明：如图中，
∵∠ACB＝∠FCE＝90°，
∴∠ACF＝∠BCE，
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴AF＝BE，
∴∠CAF＝∠CBE，
∵∠CAE+∠EAB+∠ABC＝90°，
∴∠EAB+∠ABC+∠CBE＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△AEB中，BE2+AE2＝AB2
∴AF2+AE2＝AB2，
（2）∵△ACF≌△BCE，
∴∠AFC＝∠CEB，
∵∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFC＝∠CEB＝135°，
∴∠AEB＝90°，
∵AC＝BC＝，
∴AB＝AC＝，
在Rt△AEB中，AE＝，
∵AF＝BE＝3，
∴EF＝2，
∴CE＝EF＝．
故答案为：．
2．【详解】
（1）是等边三角形，理由如下：
如图，过点E作交AC于点G，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形；
（2）和是等边三角形，
，
，即，
在和中，，
，
，
，
；
（3）由（2）知，，，
，，
，
，
由（2）已证：，
，
和是等边三角形，
，
在中，，
在中，，
，
在和中，，
，
，
．
3．【详解】
证明：∵点B在MN的垂直平分线上，
∴BM＝BN，
在△ABM和△CBN中，，
∴△ABM≌△CBN（SAS），
∴AB＝CB，∠ABM＝∠CBN，
∴∠CBN+∠ABN＝∠ABM+∠ABN＝∠MBN＝90°，
即∠ABC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
4．【详解】
解：（1）∵△ABC和△ABD都是等腰直角三角形
∴∠CAB=∠ABD= 45°，BD=AB=BC=2BC=2AC
∴AC∥BD
又∵G为BD的中点，
∴BD=2DG，
∴AC=DG，AC∥DG
∴四边形ACGD为平行四边形；
（2）BE=CD，理由如下
∵△AEC和△ABD都是等腰直角三角形AE=AC，AB=AD
∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，
∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，
∴∠EAB=∠CAD，
在△DAC与△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE，
∴BE=CD；
（3） ∵△DAC≌△BAE
∴∠AEB=∠ACD
又∵∠EAC=90°
∴∠EFC=∠DFB=90°
∴ △DBF是直角三角形
∵BC=，
∴BD=2，
根据勾股定理得CD=，
∴
∴BF=2
∴BF=
∴EF=BE-BF=CD-BF= = ．
5．【详解】
解：（1）完成图形，如图所示：
BE=CD，证明如下：
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD．
（2）BE=CD，
理由如下，
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形，
∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠CAD=∠EAB，
在△CAD和△EAB中，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴BE=CD；
6．【详解】
解：（1）AE=BD，AE⊥BD，
理由如下：∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD，∠EAC=∠DBC=45°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴AE⊥BD；
（2）∵PE=EQ，AE⊥BD，
∴PA=AQ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=，
∴PQ=2AQ=6；
（3）如图3，若点D在AB的延长线上，
∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD，∠CBD=∠CAE=135°，且∠CAB=45°，
∴∠EAB=90°，
∵PE=EQ，AE⊥BD，
∴PA=AQ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=，
∴PQ=2AQ=6；
如图4，若点D在BA的延长线上，
∵△ABC，△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=90°，∠ABC=∠CAB=45°，
∴∠ACE=∠DCB，且AC=BC，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）
∴AE=BD，∠CBD=∠CAE=45°，且∠CAB=45°，
∴∠EAB=90°，
∵PE=EQ，AE⊥BD，
∴PA=AQ，
∵EP=EQ=5，AE=BD=4，
∴AQ=，
∴PQ=2AQ=6.
7．解：（1）①∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD＋∠DAC=90°，∠CAE＋∠DAC=90°
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE；
②∵已知Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴S△ABC=AB·AC=2
∵△BAD≌△CAE
∴S△BAD=S△CAE
∴S四边形ADCE=S△CAE＋S△ADC=S△BAD＋S△ADC= S△ABC=2
∴四边形ADCE的面积不变；
（2）当点D在线段BC上时，如下图所示
由（1）①的结论知BD=CE
∴CB=BD＋CD= CE＋CD；
当点D在点C右侧时，如下图所示
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD－∠DAC=90°，∠CAE－∠DAC=90°
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
∴CB=BD－CD= CE－CD；
当点D在点B左侧时，如下图所示
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAD=∠DAC－90°，∠CAE=∠DAC－ 90°
∴∠BAD=∠CAE
在△BAD和△CAE中
∴△BAD≌△CAE
∴BD=CE
∴CB= CD－BD = CD－CE．
综上所述：当点D在线段BC上时，CB=CE＋CD；当点D在点C右侧时，CB = CE－CD；当点D在点B左侧时，CB= CD－CE．
8．【详解】
解：（1）∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD，BC＝BE＝EC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴CD＝AE；
（2）如图②，取BE中点F，连接DF，
∵BD＝AB＝1，BE＝BC＝2，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴BF＝EF＝1＝BD，∠DBF＝60°，
∴△DBF是等边三角形，
∴DF＝BF＝EF，∠DFB＝60°，
∵∠BFD＝∠FED＋∠FDE，
∴∠FDE＝∠FED＝30°
∴∠EDB＝180° ∠DBE ∠DEB＝90°，
∴DE＝；
（3）如图③，连接DC，
∵△ABD和△ECB都是等边三角形，
∴AD＝AB＝BD，BC＝BE＝EC，∠ABD＝∠EBC＝60°，
∴∠ABE＝∠DBC，
在△ABE和△DBC中，，
∴△ABE≌△DBC（SAS），
∴AE＝DC，
∵DE2＋BE2＝AE2，BE＝CE，
∴DE2＋CE2＝CD2，
∴∠DEC＝90°，
∵∠BEC＝60°，
∴∠DEB＝∠DEC ∠BEC＝30°．
9．【详解】
延长EP交BC于点F，
，，
，
，
平分，
又，
，
设中，，，则
，，
和都是等边三角形，
，，，
，
≌，
，
同理可得：≌，
，
四边形CDEP是平行四边形，
四边形CDEP的面积，
又，
，
，
即四边形PCDE面积的最大值为1．
10．【详解】
（1）∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，
即∠EAB=∠FAC，
在△ACF和△ABE中，
△ACF≌△ABE
BE=CF.
（2）∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=，
∴BD=BE﹣DE=．

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