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1.2 数轴
我们在小学学习数学时，发现能用直线上依次排列的点来表示自然数，它帮助我们认识了自然数的大小关系。
能不能用直线上的点表示有理数 从气温计上能否得到一点启发呢
能用直线上的点表示正数、0和负数，但这条直线不是任意的直线，当把这条直线规定了原点、正方向、单位长度之后，就可以用这条直线上的点来表示有理数了.
能不能用直线上的点表示有理数
我们可以从气温计上得到一点启发，上面有表示气温的刻度，还有一个气温的分界点，而人们规定零刻度线以上为零上气温的度数，零刻度线以下为零下气温的度数. 因此，气温计给了我们数轴的形象.
从气温计上能否得到一点启发呢
1.数轴
如图 1.2.1，通过气温计上的刻度，我们可以方便地读出气温的度数，并目可以区分出是零上还是零下.
图1.2.2
与气温计相仿，我们可以用直线上的点表示有理数，具体做法如下：
画一条直线 (通常画成水平位置)，在这条直线上任取一点作为原点(origin)，用这点表示数0.
0
图1.2.2
规定直线上从原点向右的方向为正方向，画上箭头，则相反方向为负方向.
0
图1.2.2
再选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上 1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上－1，－2，－3，···. 如图1.2.2所示.
0
1
2
3
4
5
6
-1
-2
-3
-4
-5
-6
概括
像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(number axis).
在数轴上，除了原点用数0表示外，要表示任何一个不为0的有理数，可以先根据这个数的正负号确定它在数轴上原点的哪一边 (正数在原点的右边，负数在原点的左边)，再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度，然后画上相应的点.
例如，在数轴上表示－4.5，即在原点的左边 4.5 个单位长度处画上相应的点.
－4.5
例1
画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：
4，2，－4.5，1，0.
解 如图 1.2.3 所示.
1. 下列各图表示的数轴是否正确 为什么
解：正确. 因为符合数轴的三要素.
解：不正确. 因为单位长度不统一.
解：不正确. 因为负整数的位置标注错误.
2. 在数轴上表示下列各数的点分别位于原点的哪边 与原点距离多少个单位长度
－3，4.2，－1，.
解：－3位于原点的左边，与原点距离3个单位长度；
4.2位于原点的右边，与原点距离4.2个单位长度；
－1位于原点的左边，与原点距离1个单位长度；
位于原点的右边，与原点距离 个单位长度.
3. 如图，指出数轴上的点 A、B、C、D 所表示的数.
解：点 A 表示－5；点 B 表示 －1.5；
点 C 表示 2.5；点 D 表示 6.
4. 先画出数轴，再在数轴上画出表示下列各数的点，最后按数轴上从左到右的顺序，将这些数重新排列：
－1.8，0， －3.5，，6.
解：如图所示.
将这些数重新排列：－3.5，－1.8，0，，6.
2.在数轴上比较数的大小
在小学里，我们已经学会比较两个正数的大小，那么，引进负数后，怎样比较两个有理数的大小呢 例如，1 与－ 2 哪个大 －1 与 0 哪个大 －3 与 －4 哪个大
探索
(1) 任意写出两个正数，在数轴上画出表示它们的点，较大的数与较小的数的对应点的位置有什么关系
较大的数对应的点在较小的数对应的点的右侧.
(2) 1℃ 与－2℃ 哪个温度高 －1℃ 与 0℃ 哪个温度高 －3℃与 －4℃ 哪个温度高 这些关系在气温计上表现为怎样的情形
1℃温度高；0℃温度高；－3℃温度高. 在气温计上，气温计的上方对应的气温的度数高于下方对应的气温的度数.
把气温计横过来放，就像一条数轴。从这个操作中，能得到怎样的启发
概括
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
由此容易得到如下数的大小比较法则：
正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数.
解：容易知道 1＜3，再由数的大小比较法则，得
－4＜0＜ 1＜3.
例2
将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“＜”号连接起来：
3，0，1，－4 .
例2
将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“＜”号连接起来：
3，0，1，－4 .
在数轴上画出表示这些数的点，再比较大小，结果怎样
在数轴上画出表示这些数的点如图所示，就可以利用“右边的数总比左边的数大”这一法则来确定它们的大小，即－4＜0＜1＜1＜3.
例3
比较下列各数的大小：
－1.3，0.3，－3，－5 .
解：将这些数分别在数轴上表示出来，如图1.2.4所示.
可以看出 －5＜－3 ＜－1.3＜0.3.
1. 判断下列有理数的大小比较是否正确，并说明理由：
(1) 2.9＞－3.1；
(2) 0＜－14；
解：正确. 理由如下：因为正数大于负数.
解：不正确. 理由如下：因为 0 大于负数.
(3) －10＞－9；
(4) －5.4 ＜－4.5.
解：不正确.
理由如下：因为在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，而表示－10的点在表示－9的点的左边.
解：正确.
理由如下：因为在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，而表示－5.4的点在表示－4.5的点的左边.
2. 用“＜”号或“＞”号填空：
(1) 3.6_____2.5； (2) －3_______0；
(3) －16_____－1.6； (4) ＋1_______－10；
(5) －2.1_____＋2.1； (6) －9_______－7.
＞
＜
＜
＞
＜
＜
习题 1.2
1. 如图，指出数轴上的点 A、B、C、D 所表示的数.
解：点 A 表示 －3；点 B 表示 2.5；
点 C 表示 5；点 D 表示 －6.
2. 画出数轴，并在数轴上画出表示下列各组数的点：
(1) －2.1，－3，0.5，4；
(2) －50，250，0，－400.
3. 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是－2.
已知 A、B 是数轴上的点，请参照题图，完成下列填空：
(1)如果点 A 表示数－3，将点 A 向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是________；
(2)如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是________；
4
1
(3) 如果将点 B 向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，终点表示的数是0，那么点 B 表示的数是__________.
2
4. 在数轴上分别画出表示下列每对数的点，并比较它们的大小：
(1)－8，－6； (2) －5，0.1； (3) －，0；
(4)－4.2，－5.1； (5) ，； (6) ＋，0.
解：图略.
(1)－8 ＜ －6. (2) －5＜0.1. (3) －＜0.
(4)－4.2＞－5.1. (5) ＜. (6) ＋＞0
5. 把下列各组数分别在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序排列，用“＜”号连接起来：
(1) 1，－2，3，－4；
解：把 1，－2，3，－4 在数轴上表示如图所示，可以看出－4＜－2＜1＜3.
(2) －，0，－3，0.2.
解：把－，0，－3，0.2 在数轴上表示如图所示，可以看出－3＜－＜0＜0.2.
6. 下表是某年 1 月份我国几个城市的平均气温，请将各城市的平均气温按从高到低的顺序排列.
解：因为 16.6℃＞2.3℃＞－3.2℃＞－5.6℃＞－16.8℃，
所以各城市按平均气温从高到低的顺序排列为广州、上海、济南、北京、沈阳.
7. 写出满足下列要求的数：
(1)在数轴上与原点的距离等于4.2个单位长度的点所表示的数；
(2)在数轴上与表示－3的点的距离等于4个单位长度的点所表示的数.
－4.2 和 4.2.
1 和 －7.
8.下列各数是否存在 如果存在，把它们找出来：
(1)最小的正整数；
(2)最小的负整数；
(3)最大的负整数；
(4)最小的整数
解：存在最小的正整数，是1.
解：不存在最小的负整数.
解：存在最大的负整数，是－1.
解：存在最小的整数.

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