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1.6
有理数的加法
问题 小明在一条东西向的跑道上，先走了 20 m，又走了 30 m，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，与原来位置相距多少米
1.有理数的加法法则
我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答，可是上述问题不能得到确定的答案，因为小明最后所在的位置与行走方向有关.
概括
我们必须把这一问题说得明确些，不妨规定向东为正，向西为负.
(1) 若两次都是向东走，很明显，一共向东走了 50 m. 写成算式是
(＋20)＋(＋30)＝＋50.
即小明位于原来位置的东边 50 m 处.
(＋20)＋(＋30)＝＋50.
这一运算过程在数轴上可表示为图1.6.1.
(2)若两次都是向西走，则小明现在位于原来位置的西边 50m 处. 写成算式是
(－20)＋(－30) ＝－50.
(3) 若第一次向东走 20 m，第二次向西走 30 m，在数轴上 (图1.6.2)，我们可以看到，小明位于原来位置的西边 10 m 处.
写成算式是 (＋20)＋(－30)＝－10.
(4) 若第一次向西走 20 m，第二次向东走 30 m，则小明位于原来位置的 ( ) 边 ( ) m 处，写成算式是
(－20)＋(＋30)＝( ).
试一试，画出数轴，在括号内填上答案.
东
10
10
后两种情形中两个加数的正负号不同 (通常可称为异号)，让我们再试几次 (下列算式中，各个加数的正负号和绝对值仍分别表示运动的方向和路程)：
(＋4)＋(－3)＝( )，
(＋3)＋(－10)＝( )，
(－5)＋(＋7)＝( )，
(－6)＋2＝( ).
1
－7
2
－4
还有两种特殊情形：
第一次向西走了 30 m，第二次向东走了 30 m. 写成算式是
(－30)＋(＋30)＝( )；
第一次向西走了30 m，第二次没走，写成算式是
(－30)＋0＝( ).
从上述情形所写出的算式中，你能总结出一些规律吗
0
－30
综合以上情形，有如下有理数的加法法则：
1. 同号两数相加，取与加数相同的正负号，并把绝对值相加；
2. 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的正负号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
3. 互为相反数的两个数相加得 0；
4. 一个数与 0 相加，仍得这个数.
概括
这里从运算角度反映了相反数的一个特性.
注意
一个有理数由正负号和绝对值两部分组成，进行加法运算时，应注意先确定和的正负号，再确定绝对值.
例1
计算：
(1) (＋2)＋(－11)；
(2) (－12)＋(＋12)；
(3) (－)＋(－)；
(4) (－3.4)＋4.3.
解：(1) (＋2)＋(－11)＝－(11－2) ＝－9；
(2) (－12)＋(＋12)＝0；
(3) (－)＋(－)＝－(＋)＝－1；
(4) (－3.4)＋4.3＝＋(4.3－3.4)＝0.9.
试说出每道小题计算的依据。
有理数的加法法则，还可以帮助我们进一步理解相反数的意义，它告诉我们：两个数互为相反数的特征是这两个数的和为0.
这是什么意思呢
一方面，由法则 3，如果两个数 a、b 互为相反数，那么 a＋b＝0；
另一方面，如果 a＋b＝0，那么 a、b 互为相反数.
这是因为，如果 a、b 不互为相反数，那么无论它们是同号、异号 (这时绝对值不相等) 还是只有一个数为 0，由法则 1、2、4 知，它们的和都不可能为 0.
1. 填表：
＋
18＋8
26
＋
16－9
7
－
9＋5
－14
2.计算：
(1) 10＋(－4)；
(2) (＋9)＋7；
解：10＋(－4)＝＋(10－4)＝6.
解：(＋9)＋7＝＋(9＋7)＝16.
(3) (－15)＋(－32)；
(4)(－9)＋0；
(5) 100＋(－100)；
解：(－15)＋(－32)＝－(15＋32)＝－47.
解：(－9)＋0＝－9.
解：100＋(－100)＝0.
(6)(－0.5)＋4.4；
(7) (－1.5)＋(1.25)；
(8) (－)＋(－).
解：(－0.5)＋4.4＝＋(4.4－0.5)＝3.9.
解：(－1.5)＋(1.25)＝－(1.5－1.25)＝－0.25.
解：(－)＋(－)＝－(－)＝－.
3. 填空：
(1) ( )＋(－3)＝ － 8；
(2) ( )＋(－3)＝8；
(3) (－3)＋( )＝－1；
(4) (－3)＋( )＝0.
－5
11
2
3
4. 回答下列问题：
(1) 两个正数相加，和是否一定大于每个加数
(2) 两个有理数相加，和是否一定大于每个加数
解：一定.
解：不一定.
如 (－3)＋(－5)＝－8，而 －8＜－3，－8＜－5.
2.有理数加法的运算律
在小学里我们知道，数的加法满足交换律，例如
5＋3.5 ＝ 3.5＋5；
还满足结合律，例如
(5＋3.5)＋2.5＝5＋(3.5＋2.5).
引进了负数以后，这些运算律是否还成立呢 也就是说，上面两个等式中将 5、3.5 和 2.5 换成任意的有理数，是否仍然成立呢
探索
(1) 任意选择两个有理数(至少有一个是负数)，分别填入下列□和○内，并比较两个运算结果：
＋ 和 ＋
(2) 任意选择三个有理数 (至少有一个是负数)，分别填入下列□、○ 和 ◇ 内，并比较两个运算结果：
( ＋ ) ＋ 和 ＋( ＋ )
你能发现什么
概括
有理数的加法仍满足交换律和结合律.
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变.
a＋b＝b＋a
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加，使计算简化.
例2
计算：
(1) (＋26)＋(－18)＋5＋(－16)；
解：原式＝(26＋5)＋[(－18)＋(－16)]
＝31＋(－34)
＝－(34－31)
＝－3.
(2) (－1.75)＋1.5＋(＋7.3)＋(－2.25)＋(－8.5).
解：原式＝[(－1.75)＋(－2.25)]＋[1.5＋(－8.5)]＋7.3
＝(－4)＋(－7)＋7.3
＝(－4)＋[(－7)＋7.3]
＝(－4)＋0.3
＝－3.7.
例3
10 筐苹果，以每筐 30 kg 为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：
2，－4，25，3，－05，1.5，3，－1、0，－2.5.
问：这 10 筐苹果总共重多少
解：2＋(－4)＋2.5＋3＋(－0.5)＋1.5＋3＋(－1)＋0＋(－2.5)
＝ (2＋3＋3)＋(－4)＋[2.5＋(－2.5)]＋[(－0.5)＋(－1)＋1.5]
＝ 8＋(－4)
＝ 4.
30×10＋4＝304 (kg).
答：这 10 筐苹果总共重 304 kg.
回顾例 2、例 3的解答，思考：将怎样的加数结合在一起，可使运算简便
回顾例 2、例 3的解答，思考：将怎样的加数结合在一起，可使运算简便
可以将互为相反数的两个加数相加，能凑成整数的加数相加，符号相同的加数相加，小数与小数相加，可使运算简便.
1. 计算：
(1) (－7)＋(＋10)＋(－11)＋(－2)；
解：原式＝[(－7)＋(－11)＋(－2)]＋(＋10)
＝(－20)＋(＋10)
＝－10.
(2) 2＋(－3)＋(＋4)+(－5)＋6；
解：原式＝[2＋(＋4)＋6]＋[(－3)＋(－5)]
＝(＋20)＋(－8)
＝4.
(3) (－9.6)＋1.5＋(－0.4)＋(－0.3)＋8.5.
解：原式＝[(－9.6)＋(－0.4)＋(－0.3)]＋(1.5＋8.5)
＝(－10.3)＋10
＝－0.3.
2. 某天早晨的气温是 －3℃，到中午升高了 5 ℃，到晚上又降低了 3 ℃，到午夜又降低了 4 ℃. 求午夜时的气温. (提示：降低了 3 ℃ 就是升高了 －3℃ )
解：－3＋(＋5)＋(－3)＋(－4)＝－5 (℃).
答：午夜时的气温是 －5 ℃.
习题 1.6
1. 计算：
(1) (－12)＋(＋3)；
(2) (＋15)＋(－4)；
解：(－12)＋(＋3)＝－(12－3)＝－9.
解：(＋15)＋(－4)＝＋(15－4)＝11.
(3) (－16)＋(－8)；
(4) (＋23)＋(＋24)；
(5) (－102)＋(＋102)；
解：(－16)＋(－8)＝－(16＋8)＝－24.
解：(＋23)＋(＋24)＝＋(23＋24)＝47.
解：(－102)＋(＋102)＝0.
(6) (－32)＋(－11)；
(7) (－35)＋0；
(8) 78＋(－85).
解：(－32)＋(－11)＝－(32＋11)＝－43.
解：(－35)＋0＝－35.
解：78＋(－85)＝－(85－78)＝－7.
2. 计算：
(1) (－0.9)＋(＋1.5)；
(2) (＋6.5)＋3.7；
(3) 1.5＋(－8.5)；
解：(－0.9)＋(＋1.5)＝＋(1.5－0.9)＝0.6.
解：(＋6.5)＋3.7＝＋(6.5＋3.7)＝10.2.
解：1.5＋(－8.5)＝－(8.5－1.5)＝－7.
(4) (－4.1)＋(－1.9)；
(5) (－)＋(－)；
(6) (－4.2)＋4.25.
解：(－4.1)＋(－1.9)＝－(4.1＋1.9)＝－6.
解： (－)＋(－)＝－(＋)＝－.
解：(－4.2)＋4.25＝＋(4.25－4.2)＝0.05.
3. 计算：
(1) (＋14)＋(－4)＋(－2)＋(＋26)＋(－3)；
解：原式＝[(＋14)＋(＋26)＋[(－4)＋(－2)＋(－3)]
＝ 40＋ (－9)
＝ 31.
(2) (－83)＋(＋26)＋(－41)＋(＋15)；
(3) (－1.8)＋(＋0.7)＋(－0.9)＋1.3＋(－0.2)；
解：原式＝[(－83)＋(－41)＋[(＋26)＋(＋15)]
＝－124＋(＋41)
＝－83.
解：原式＝[(－1.8)＋(－0.9)＋(－0.2)＋[(＋0.7)＋1.3]
＝(－2.9)＋2
＝－0.9.
(4) ＋(－3)＋(＋4)＋(－6).
解：原式＝[＋(＋4)]＋[(－3)＋(－6)]
＝5＋(－10)
＝－5.
4. 列式并计算：
(1) ＋1.2 与 －3.1 的绝对值的和；
(2) 4 与 － 的和的相反数.
解：|＋1.2|＋|－3.1|＝1.2＋3.1＝4.3.
解：－[4＋(－)]＝－4 .
5. 应用有理数的加法解下列各题：
(1) 仓库内原存有某种原料 3500kg，一周内存入和领出情况如下(存入为正，单位：kg)：
1500，－300，－650，600，－1800，－250，－200.
问：第 7 天末仓库内还存有这种原料多少千克
解：3 500＋1 500＋(－300)＋(－650)＋600＋(－1800)＋(－250) ＋(－200)
＝(3 500＋1 500＋600)＋[(－300)＋(－650)＋(－1800)＋(－250)＋(－200)
＝5 600＋(－3 200)
＝2 400(kg)
答：第 7 天末仓库内还存有这种原料 2400 kg.
(2) 某公路养护小组乘车沿一条南北向公路巡视维护，某天早晨从 A 地出发，晚上最后到达 B 地，约定向北为正，当天的行驶记录如下(单位：km)：
＋18，－9，＋7，－14，－6，＋13，－6，－8.
问：B 地在 A 地的哪个方向 它们相距多少千米 如果汽车行驶每千米路程耗油 a L，那么该天共耗油多少升
解：(＋18)＋(－9)＋(＋7)＋(－14)＋(－6)＋(＋13)＋(－6)＋(－8)
＝[(＋18)＋(＋7)＋(＋13)]＋[(－9)＋(－14)＋(－6)＋(－6)＋(－8)]
＝(＋38)＋(－43)
＝－5 (km).
a×(|＋18|＋|－9|＋|＋7|＋|－14|＋|－6|＋|＋13|＋|－6|＋|－8|)
＝a×(18＋9＋7＋14＋6＋13＋6＋8)
＝ 81a (L).
答：B 地在 A 地的正南方向，与 A 地相距 5 km. 该天共耗油 81a L.

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