资源简介

北京版2024·八年级上册
三、分式方程
10.5 分式方程
第二课时 分式方程的应用
第十章 分式
学 习 目 标
1
2
3
掌握列分式方程解应用题的"审-设-列-解-验-答"六步法.
能解决工程、行程、经济三类实际问题.
感受分式方程在实际生活中的应用价值.
知识回顾
问题1: 解分式方程
2?????3=1????+1
?
1.去分母：2(x+1) = 1(x-3)
2.解整式方程：2x+2 = x-3 → x = -5
3.检验：当 x=-5 时，(x-3)(x+1)≠0
问题2: 为什么分式方程需要检验？
去分母时两边同乘的最简公分母可能为零，会产生增根
新知探究
可化为一元一次方程的分式方程的应用——经济问题
1.某科技公司生产了A型、B型两种芯片，它们的数量相同，但单价和总价不同·已知A型芯片总价为168万元；B型芯片总价为114方元，且单价比A型芯片便宜了4500元.问A型、B型两种芯片的单价各是多少万元.
等量关系
知识储备：数量=总价单价
?
新知探究
可化为一元一次方程的分式方程的应用——经济问题
分析：如果设A型芯片的单价为x万元，那么B型芯片的单价为(x-0.45)万元，数量=总价÷单价.请把表中的空白处填写完整.
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}类型
单价（万）
总价（万）
数量（个）
A型芯片
B型芯片
x
x-0.45
168
114
168????
?
114?????0.45
?
根据等量关系可列出方程：
????????????????=?????????????????????.????????
?
1.某科技公司生产了A型、B型两种芯片，它们的数量相同，但单价和总价不同·已知A型芯片总价为168万元；B型芯片总价为114方元，且单价比A型芯片便宜了4500元.问A型、B型两种芯片的单价各是多少万元.
新知探究
可化为一元一次方程的分式方程的应用——经济问题
168????=114?????0.45
?
解方程步骤：
1.去分母：168(x-0.45) = 114x
2.解整式方程：
168x - 75.6 = 114x
54x = 75.6
x = 1.4
3.双检验：
数学：分母 x=1.4≠0，x-0.45=0.95≠0?
实际：单价为正数，符合要求
1.某科技公司生产了A型、B型两种芯片，它们的数量相同，但单价和总价不同·已知A型芯片总价为168万元；B型芯片总价为114方元，且单价比A型芯片便宜了4500元.问A型、B型两种芯片的单价各是多少万元.
新知探究
可化为一元一次方程的分式方程的应用——经济问题
解：设A型芯片的单价为x万元，则B型芯片的单价为(x-0.45)万元，根据题意，得
168????=114?????0.45
?
解这个方程，得 x=1.4
经检验，x=1.4是所列方程的解，并且符合实际问题的意义.
当x=1.4时，有 x-0.45=0.95
答：A型芯片的单价为1万元，自型恶片的单价为0.95万元.
完整解答步骤：
1.某科技公司生产了A型、B型两种芯片，它们的数量相同，但单价和总价不同·已知A型芯片总价为168万元；B型芯片总价为114方元，且单价比A型芯片便宜了4500元.问A型、B型两种芯片的单价各是多少万元.
新知探究
可化为一元一次方程的分式方程的应用——工程问题
2.为了缓解交通拥绪压力，某市决定修一条轻轨铁路.为使工程提前2个月完成，在保证质量的前提下，必须把工作效率提高10%、问原计划完成这项工程需要用多少个月.
分析：
1.审题找等量：实际效率 = 原效率 × (1+10%)
2.设未知量：原计划时间 x月 → 原效率 1?????
实际时间 (x-2)月 → 实际效率?1?????2
?
新知探究
可化为一元一次方程的分式方程的应用——工程问题
解：设原计划完成这项工程需要用x个月，那么原工作效率为1?????,实际
上要用(x-2)个月完成，则实际工作效率为?1?????2，根据题意，得
?
1?????2= 1???? × (1+10%)
?
解这个方程，得 x=22
经检验，x=22是所列方程的解，并且符合实际问题的意义.答：原计划完成这项工程需要用22个月.
2.为了缓解交通拥绪压力，某市决定修一条轻轨铁路.为使工程提前2个月完成，在保证质量的前提下，必须把工作效率提高10%、问原计划完成这项工程需要用多少个月.
新知探究
可化为一元一次方程的分式方程的应用——行程问题
3.学校组织同学们到距离学校15 km的中国人民抗日战争纪念馆进行爱国主义教育.一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学出发40 min后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的同学与乘汽车的同学同时到达目的地.已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度.
新知探究
可化为一元一次方程的分式方程的应用——行程问题
分析：
1.审题找等量：
自行车时间 - 汽车时间 = ????????????????=????????小时
?
2.设未知量：
自行车速 xkm/h → 时间?????????????h
汽车速 3xkm/h → 时间????????????????h
?
3.学校组织同学们到距离学校15 km的中国人民抗日战争纪念馆进行爱国主义教育.一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学出发40 min后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的同学与乘汽车的同学同时到达目的地.已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度.
新知探究
可化为一元一次方程的分式方程的应用——行程问题
解：设自行车的速度是xkm/h,则汽车的速度是3x km/h.根据题意，得
15????=153????
?
解得：x=15
经检验，x=15是所列方程的解，并且符合实际问题的意义.
当x=15时，3x=3×15=45
答：自行车的速度为15km/h,汽车的速度为45 km/h.
3.学校组织同学们到距离学校15 km的中国人民抗日战争纪念馆进行爱国主义教育.一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学出发40 min后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的同学与乘汽车的同学同时到达目的地.已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度.
新知探究
归纳小结
工程问题：效率×时间=总量（常设总量为1）
行程问题：时间差 =路程慢速-路程快速
?
经济问题：数量=总价单价（抓住数量相等）
?
新知探究
归纳小结
列分式方程解实际问题的一般步骤：
(1)审：审清题意，弄清已知量和未知量，找到相等关系；
(2)设：设未知数(可以直接设，也可以间接设)；
(3)列：列出分式方程；
(4)解：把分式方程转化为整式方程，并解这个整式方程；
(5)验：看整式方程的解是否满足分式方程(验根)(注意：千万不要漏掉“检验”这个步骤)；
(6)答：写出实际问题的答案．
课堂练习
1．施工队要铺设一段全长2 000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原来计划多50米，才能按时完成任务，原计划每天施工多少米？设原计划每天施工x米，则根据题意所列方程正确的是( )
A．2?000????－2?000????＋50＝2　 B．2?000????＋50－2?000????＝2
C．2?000????－2?000????－50＝2 D．2?000????－50－2?000????＝2
?
A
课堂练习
2．中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4 800元购买《水浒传》连环画的套数是用3 600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格．
课堂练习
解：设每套《水浒传》连环画的价格为x元，
由题意，得?????????????????????＝2×?????????????????????＋????????，解得x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．
答：每套《水浒传》连环画的价格为120元．
?
课堂练习
小结：时间=路程÷速度，注意时间单位要统一.
3．为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校八年级师生在清明节期间前往距离学校15 km的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了30 min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为x km/h，根据题意，下列方程正确的是( )
A．15????＋12＝152???? B．15????＝152????＋12
C．15????＋30＝152???? D．15????＝152????＋30
?
B
课堂练习
4．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长450千米的普通公路，一条是全长330千米的高速公路．某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快35千米/时，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半．如果设该客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为x小时，那么x满足的分式方程是( )
A．450????＝330????＋35×2 B．450????＝3302????－35
C．450????－3302????＝35 D．330????－4502????＝35
?
D
课堂练习
5.轮船顺水航行80 km所需要的时间与逆水航行60 km所需要的时间相同，已知水流的速度是3 km/h，求轮船在静水中的速度．
解：设轮船在静水中的速度为x km/h，由题意得
????????????＋????＝????????????－????，解得x＝21．
经检验，x＝21是原方程的解．
答：轮船在静水中的速度为21 km/h．
?
小结：轮船顺(逆)水航行速度=轮船在静水中的速度+(-)水流的速度.
课堂练习
6.某学校因工作需要计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯的个数是用160元购买手电筒个数的一半，购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元？
解：设购买该品牌一个手电筒需要x元，
则购买一个台灯需要(x＋20)元，
由题意得????????????????＋????????＝????????×????????????????，解得x＝5．
经检验，x＝5是原方程的解，∴x＋20＝25．
答：购买该品牌一个手电筒需要5元，购买一个台灯需要25元．
?
课堂总结
分式方程的应用
工程问题
效率=1/时间
行程问题
时间=路程/速度
经济问题
数量=总价/单价
课堂总结
解题口诀：
一读二找三等量，
表格辅助关系明，
分式方程规范列，
双重检验不能忘！
易错警示：
单位不统一（如分钟/小时混用）
未检验实际意义（如时间、速度为负）
漏乘分子（去分母时多项式忘加括号）
感谢聆听!

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