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1.7
有理数的减法
问题 珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的海拔高度分别是 8848.86 m 和 －154.31 m，你知道珠穆朗玛峰比吐鲁番岔地高多少吗
这一问题通常可列出算式
8848.86－(－154.31).
那么，怎样进行有理数的减法呢
我们不妨先看一个简单的计算问题计算：
(－8)－(－3).
根据减法的意义，这就是要求一个数“ ”，使
( )＋(－3) ＝－8.
根据有理数的加法运算，有：
(－5)＋(－3) ＝－8.
所以
(－8)－(－3) ＝－5. ①
这样做减法太繁了，能不能总结出一个法则直接进行计算
填空：(－8)＋( ) ＝－5.
容易得到
(－8)＋(＋3)＝－5. ②
(－8)－(－3)＝－5. ①
(－8)＋(＋3)＝－5 . ②
比较 ①② 两式，我们发现：－8“减去－3”与“加上＋3”的结果是相同的，即
(－8)－(－3)＝(－8)＋(＋3).
一般地，对于任意的有理数 a、b，由减法的意义，a－b 就是要求一个数“？”，使
( )＋b＝a.
因为
[a＋(－b)]＋b
＝ a＋[(－b)＋b] (加法结合律)
＝ a＋0 (加法法则3)
＝ a (加法法则4)，
所以 a－b＝a＋(－b).
这就得到有理数的减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
你能利用本节开头的问题，来解释这个法则吗
例
计算：
(1) (－32)－(＋5)；
(2) 7.3－(－6.8)；
解：(－32)－(＋5)＝(－32)＋(－5)＝－37.
减号变加号
减数变相反数
解：7.3－(－6.8)＝7.3＋6.8＝14.1.
减号变加号
减数变相反数
(3) (－2)－(－25)；
(4) 12－21.
解：(－2)－(－25)＝(－2)＋25＝23.
解：12－21＝12＋(－21)＝－9.
1. 在下列括号内填上适当的数：
(1) (－2)－(－3)＝(－2)＋( )；
(2) 0－(－4)＝0＋( )；
(3) (－6)－3＝(－6)＋( )；
(4) 1－(＋39)＝1＋( ).
＋3
＋4
－3
－39
2.计算：
(1) (＋3)－(－2)；
(2) (－1)－(＋2)；
(3) 0－(－3)；
解：(＋3)－(－2)＝(＋3)＋(＋2)＝5.
解：(－1)－(＋2)＝(－1)＋(－2)＝－3.
解：0－(－3)＝0＋(＋3)＝3.
(4) 1－5；
(5) (－23.6)－(－12.4)；
(6) －(－).
解：1－5＝1＋(－5)＝－4.
解：(－23.6)－(－12.4)＝(－23.6)＋(＋12.4)＝－11.2.
解：－(－)＝＋(＋)＝1 .
3. 填空：
(1) 温度 3℃ 比－8℃ 高________℃；
(2) 温度 －9℃ 比 －1℃ 低________℃；
(3) 海拔 －20m 比 －30m 高 _________ m；
(4) 从海拔 22m 到 －10m，下降了________m.
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习题 1.7
1. 计算：
(1) (－14)－(＋15)；
(2) (－14)－(－16)；
解：(－14)－(＋15)＝(－14)＋(－15)＝－29.
解：(－14)－(－16)＝(－14)＋(＋16)＝2.
(3) (＋12)－(－9)；
(4) 12－(＋17)；
(5) 0－(＋52)；
(6) 108－(－11).
解：(＋12)－(－9)＝(＋12)＋(＋9)＝21.
解：12－(＋17)＝12＋(－17)＝－5.
解：0－(＋52)＝0＋(－52)＝－52.
解：108－(－11)＝108＋(＋11)＝119.
2.计算：
(1) 4.8－(＋2.3)；
(2) (－1.24)－(＋4.76)；
解：4.8－(＋2.3)＝4.8＋(－2.3)＝2.5.
解：(－1.24)－(＋4.76)＝(－1.24)＋(－4.76)＝－6.
(3) (－3.28)－1；
(4) 2－(－3).
解：(－3.28)－1＝(－3.28)＋(－1)＝－4.28.
解： 2－(－3)＝2＋(＋3)＝5 .
3.计算：
(1) [(－4)－(＋7)]－(－5)； (2) 3－[(－3)－12]；
解：原式＝(－4)＋(－7)＋(＋5)
＝(－11)＋5
＝－6.
解：原式＝ 3－[(－3)＋(－12)]
＝ 3－(－15)
＝3＋(＋15)
＝ 18.
(3) 8－(9－10)； (4) (3－5)－(6－10).
解：原式＝[3＋(－5)－[6＋(－10)]
＝(－2)－(－4)
＝(－2)＋(＋4)
＝2.
解：原式＝ 8－[9＋(－10)]
＝ 8－(－1)
＝ 8＋(＋1)
＝ 9.
4. 下表是某地连续 5 天内每天的最高气温和最低气温记录，在这 5 天中，哪天的温差 (最高气温与最低气温的差) 最大 哪天的温差最小
解：第1天：(－1)－(－7)＝(－1)＋7＝6 (℃)；
第2天：5－(－3)＝5＋3＝8 (℃)；
第3天：6－(－4)＝6＋4＝10 (℃)；
第4天：8－(－1)＝8＋1＝9 (℃)；
第5天：11－2＝9 (℃).
因为 6＜8＜9＜10，所以第3天的温差最大，第1天的温差最小.
5. 如图为某一矿井的示意图：以地面为基准面，A 处的高度是 ＋4.2m，B、C 处的高度分别是 －15.6m 和 －30.5m. A 处比B 处高多少米 比 C 处呢
解：(＋4.2)－(－15.6)＝(＋4.2)＋(＋15.6)＝19.8 (m).
(＋4.2)－(－30.5)＝(＋4.2)＋(＋30.5)＝34.7(m).
答：点A处比点B处高19.8m，点A处比点C处高 34.7 m.
6. 求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：
你能发现所得的距离与这两个数的差有什么关系吗
(1) 3与－2.2； (2) 4.75 与 2.25；
(3) －4与－4.5； (4) －3 与 2.
解：(1) |3－(－2.2)|＝|3＋2.2|＝5.2.
(2) |4.75－2.25|＝2.5.
(3) |－4－(－4.5)|＝|－4＋4.5|＝0.5.
(4) |－3－2|＝|－6|＝6.
关系：数轴上两点之间的距离等于对应两数差的绝对值.
(1) 3与－2.2； (2) 4.75 与 2.25；
(3) －4与－4.5； (4) －3 与 2.

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