资源简介

北京版2024·八年级上册
三、分式方程
10.5 分式方程
第三课时 公式的变形
第十章 分式
学 习 目 标
1
2
3
理解公式变形的意义，掌握公式变形的基本方法。.
能够根据实际需求对公式进行变形，并解决相关问题.
通过公式变形的学习，体会数学在物理、化学等学科中的应用.
知识回顾
1.什么是公式？举例说明你在哪些学科中见过公式。
公式是用数学符号表示某种规律或关系的等式
2.如何解方程2x+3=7?
①移项：2x=7-3
②合并同类项：2x=4
③系数化为1：x=2
公式变形可以看作解方程的过程，目标是将某个变量表示为其他变量的函数。
路程=速度×时间
圆柱的体积=底面积×高
长方形的面积=长×宽
情景导入
一箱苹果售价p元，总质量是mkg，箱子的质量为nkg，则苹果的单价是 元/kg；
售价、单价
经济问题
经济问题公式：
单价=售价÷数量
售价p元
数量
苹果的单价=用苹果的售价÷苹果的质量；
苹果的单价=p÷(m-n)=?????????????
?
?????????????
?
新知探究
公式变形的定义：
通过代数运算将公式中的某个变量表示为其他变量的函数。
苹果的单价=p ÷(m-n)=?????????????
?
经济问题公式：
÷
=
售价
单价
数量
单价是售价P，和数量m,n的函数
新知探究
以路程=速度×时间（s=vt）为例：
工作时间=工作总量÷工作效率
?
变形为t=????????：表示时间=路程÷速度
?
变形下列公式：
以工作总量=工作效率×工作之间为例为例：
变形为????=????????：表示速度=路程÷时间
?
工作效率=工作总量÷工作时间
?
移项
×
÷
变号
公式的变形可以看作是解方程的过程:
1.移项
2.变号
移项
×
÷
变号
典例解析
例1 在海洋馆中漫步海底世界欣赏各种海洋生物的同时，你是否注意到水中气泡大小的变化?这可以粗略地用公式????1????1=????2????2来解释，其中p?,p?表示气泡内气体的压强，V1V?表示气泡内气体的体积，P?,P?,V?,V?均不等于零.试用P?,V?,V?表示P?.
?
解析：题目用p?、v1、v2表示p2，已知????1????1=????2????2，目标解关于p2的方程，对方程进行变形，得到p2=p?v1÷v2
?
关于它们的公式
典例解析
例1 在海洋馆中漫步海底世界欣赏各种海洋生物的同时，你是否注意到水中气泡大小的变化?这可以粗略地用公式????1????1=????2????2来解释，其中p?,p?表示气泡内气体的压强，V1V?表示气泡内气体的体积，P?,P?,V?,V?均不等于零.试用P?,V?,V?表示P?.
?
解：????1????1=????2????2，
?
去分母得：????1????1=????2????2
?
又因为????2≠0
?
所以????2=????1????1????2
?
公式变形时，将目标变量单独放在等式一侧，其余变量移到另一侧
典例解析
思考与交流
把公式????1????1=????2????2变形为????2=????1????2????1，是否可以看作解方程的过程？如果可以它与普通解方程有什么区别？
?
可以看作解方程的过程，因为都是通过代数运算求解某个变量。
区别：公式变形的结果是通用的表达式（如????2=????1????2????1），而解方程通常是求具体数值（如 x=2）
?
????1????1=????2????2
?
????2=????1????2????1
?
移项，变号
典例解析
例2 在家庭电路中，避免过多家用电器同时工作是保证用电安全的措施，1????=1????1+1????2是电学中的一个公式，表示并联电路中，有两个支路时电路的总电阻与各支路电阻的关系，其中R表示并联电路的总电阻，R?,R?表示并联电路中各支路的电阻.
?
解：(1)因为R,R,R?均不等于零，
去分母，得
R?R?=RR?+RR1
R(R?+R?)=R?R?.
又因为R?+R?≠0，
所以????=????1????2????1+????2
?
(1)用R?,R?表示R;
(2)当R?=1.36,R?=2.47时，求R的值(结果精确到0.01).
1.分式公式变形时，先去分母，再化简。
2.代入数值时注意单位和小数点精度。
典例解析
例2 在家庭电路中，避免过多家用电器同时工作是保证用电安全的措施，1????=1????1+1????2是电学中的一个公式，表示并联电路中，有两个支路时电路的总电阻与各支路电阻的关系，其中R表示并联电路的总电阻，R?,R?表示并联电路中各支路的电阻.
?
(1)用R?,R?表示R;
(2)当R?=1.36,R?=2.47时，求R的值(结果精确到0.01).
（2）当R?=1.36,R?=2.47时，
所以????=1.36×2.471.36+2.47
≈0.88
?
方法技巧
课堂练习
1．一个工人生产某种零件，计划在30天内完成，若每天多生产5个，则26天完成且多生产10个，问原计划每天生产多少个零件？设原计划每天生产零件x个，依题意列方程得( ???)
B
A.30?10????+5=26
?
B.30????+10????+5=26
?
C.30????????+5=26+10
?
D.30????+10????+5=26-10
?
2.甲做180个机器零件比乙做240个机器零件所用的时间少23?,已知两人每小时做70个零件，求甲、乙每小时做多少个零件？若设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（ ）
?
A
A.180????+23=24070?????
?
B.180????=24070?????+23
?
C.18070?????+23=24070?????
?
D.18070?????=24070?????+23
?
课堂练习
3．某自行车厂准备生产共享单车4000辆，在生产完1600辆后，采用了新技术，使得工作效率比原来提高了20%，结果共用了18天完成任务，若设原来每天生产自行车x辆，则根据题意可列方程为(???)
B
A.1600????+4000(1+20%)????=18
?
B.1600????+4000?1600(1+20%)????=18
?
C.1600????+4000?160020%????=18
?
D.4000????+4000?1600(1+20%)????=18
?
4．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与做60个所用的时间相等．设甲每小时做x个零件，下面所列方程正确的是（ ）
A
????.90????=60?????6
?
????.90????=60????+6
?
????.90?????6=60????
?
????.90????+60=60????
?
课堂练习
5．一辆载货汽车，先以一定的速度行160千米，后来把速度加快5千米，又行了180千米，结果行驶这两段路程所用的时间相同.设汽车加速前速度为千米/时，则可列方程为 .
????????????????=????????????????+????
?
课堂练习
（1）用含x的代数式表示：开工后实际每天 米，完成任务原计划用 天，实际用 天；
（2）根据题意，列出方程 ．
某农场开挖一条长960米的渠道，开工后每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，原计划每天挖多少米？
x+20
90????
?
90????+20
?
90?????90????+20=4
?
6．注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答，也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答．
课堂练习
7．小李家离某书店6千米，他从家中出发步行到该书店，返回时由于步行速度比去时每小时慢了1千米，结果返回时多用了半小时．如果设小李去书店时的速度为每小时x千米，那么列出的方程是??????????．
6?????1?6????=12
?
8．一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于14,求这个分数.
?
【分析】设分子为x，则分母为（x+6），根据题意列出分式方程求解即可.
解：设分子为x，则分母为（x+6），
根据题意得，????+1????+7=14
方程两边都乘4（x+7），得4x+4=x+7，
解得x=1，经检验x=1为原方程的解，
则这个分数为17.
?
课堂小结
公式变形
核心
应用
常用方法
通过代数运算求解特定变量
去分母、移项、合并同类项等.
公式变形广泛用于物理、化学、工程等领域，是解决实际问题的关键工具
感谢聆听!

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