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1.9
有理数的乘法
计算下列各题：
(1) (－2)＋(－2)＝________；
(2) (－2)＋(－2)＋(－2)＝________；
(2) (－2)＋(－2)＋(－2)＋(－2)＝_______.
－4
－6
－8
根据上面的值，猜猜下面的值：
(1) (－2) × 2 ＝________；
(2) (－2) × 3 ＝________；
(2) (－2) × 4 ＝________.
－4
－6
－8
1.有理数的乘法法则
问题1 一只小虫沿一条东西向的路线，以 3 m/min 的速度向东爬行 2 min，那么它现在位于原来位置的哪个方向 相距多少米
我们知道，这个问题可以用乘法来解答：
3×2＝6.
即小虫位于原来位置的东边 6m 处.
能用数轴表示这一事实吗 动手画一画。
注意：这里我们规定向东为正，向西为负.
能用数轴表示这一事实吗 动手画一画。
能. 规定向东为正，向西为负，原来的位置为原点，画出数轴如图所示.
如果上述问题变为：
问题2 小虫向西以 3m/min 的速度爬行 2 min，那么结果有何变化
这时小虫位于原来位置的西边 6 m 处，写成算式是：
(－3)×2 ＝－6.
比较问题1、问题2中的两个算式：左边的乘数有什么不同，所得的积又有什么改变 你有什么发现
当我们把“3×2＝6”中的一个乘数“3”换成它的相反数“－3”时，所得的积是原来的积“6”的相反数“－6”.
一般地，我们有：
两数相乘，若把一个乘数换成它的相反数，则所得的积是原来的积的相反数.
试一试：3×(－2)＝
与 3×2＝6 相比较，这里把一个乘数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积应是原来的积“6”的相反数“－6”，即 3×(－2)＝－6.
再试一试：(－3)×(－2)＝
把它与 (－3)×2＝－6 对比，这里把一个乘数“2”换成了它的相反数“－2”，所得的积应是原来的积“－6”的相反数“6”，即
(－3)×(－2)＝6.
把它与 3× (－2)＝－6对比，结果怎样
把它与 3× (－2)＝－6对比，结果怎样
把 3×(－2)＝－6 与 (－3)×(－2)＝6 对比，结果的绝对值相同，符号相反.
此外，两数相乘时，如果有一个乘数是 0，那么所得的积也是 0.
例如：
(－3)×0＝0，0×(－2)＝0.
概括
综合以上各种情况，有如下有理数的乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘：任何数与 0 相乘，都得 0.
例如：
(－5)×(－3)， 同号两数相乘
(－5)×(－3)＝＋( )， 得正
5×3＝15. 把绝对值相乘
所以
(－5) ×(－3)＝15.
再如：
(－ 6)×4， 异号两数相乘
(－6)×4＝－( )， 得负
6×4＝24. 把绝对值相乘
所以
(－6)×4＝－24.
例1
计算：
(1) (－5)×(－6)；
(2) (－)×.
解：(1) (－5)×(－6)＝30；
(2) (－)×＝－.
1. 确定下列各乘积的正负号：
(1) 5×(－3)； (2) (－3)×3；
(3) (－2)×(－7)； (4) ×.
－
－
＋
＋
2. 计算：
(1) 3×(－4)； (2) 2×(－6)；
(3) (－6)×2； (4) 6×(－2)；
(5) (－6)×0； (6) 0×(－6)；
(7) (－4)×0.25； (8) (－0.5)×(－8)；
(8) ×(－)； (10) (－2)×(－).
－12
－12
－12
－12
0
0
－1
4
－
1
3. 计算：
(1) 3×(－1)； (2) (－5)×(－1)；
(3) ×(－1)； (4) 0×(－1)；
(5) (－6)×1； (6) 2×1；
(7) 0×1； (8) 1×(－1).
－
－3
5
0
－6
2
0
－1
4. 做完第 3 题，你能发现什么规律 一个数与 －1 相乘，积是什么 一个数与 1 相乘呢
解：一个数与－1相乘，积是这个数的相反数；
一个数与 1 相乘，积是这个数本身.
2.有理数的乘法法则
在小学里我们知道，数的乘法满足交换律，例如
3×5＝5×3；
还满足结合律，例如
(3×5)×2＝3×(5×2).
引进了负数以后，这些运算律是否还成立呢 也就是说，上面两个等式中将 3、5、2 换成任意的有理数，是否仍然成立
探索
(1) 任意选择两个有理数 (至少有一个是负数)，分别填入下列□和〇内，并比较两个运算结果：
× 和 × ；
(2) 任意选择三个有理数 (至少有一个是负数)，分别填入下列□、○和◇内，并比较两个运算结果：
( × ) × 和 ×( × ) ；
你能发现什么
概括
有理数的乘法仍满足交换律和结合律.
乘法交换律：两个数相乘，交换乘数的位置，积不变.
ab＝ba.
乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘积不变.
概括
(ab) c＝a(bc).
根据乘法交换律和乘法结合律，三个或三个以上的有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.
ab＝ba.
(ab) c＝a(bc).
计算(－2)×5×(－3)，有哪些不同的算法 哪种算法比较简便
计算(－2)×5×(－3)，有哪些不同的算法 哪种算法比较简便
(－2)×5×(－3) 有以下 3 种不同的算法：
① [(－2)×5]×(－3)；
② [(－2)×(－3)]×5
③ (－2)×[5×(－3)].
其中算法 ① 比较简便.
例2
计算：(－10)××0.1×6.
解：(－10)××0.1×6
＝[(－10)×0.1]×(×6)
＝(－1)×2
＝－2.
从例2的解答过程中，你能得到什么启发 试直接写出下列各式的结果：
(－10)×(－)×0.1×6＝_______；
(－10)×(－)×(－0.1)×6＝_________；
(－10)×(－)×(－0.1)×(－6)＝_________.
2
－2
2
观察以上各式，你能发现几个不等于 0 的有理数相乘时，积的正负号与各乘数的正负号之间的关系吗
一般地，我们有：
几个不等于 0 的数相乘，积的正负号由负乘数的个数决定，当负乘数的个数为奇数时，积为负；当负乘数的个数为偶数时，积为正.
几个不等于 0 的数相乘，首先确定积的正负号，然后把绝对值相乘.
直接写出下列各式的结果：
(1) (－5)×(－)×3×(－2)×2＝_________；
(2) (－5)×(－8.1)×3.14×0＝__________.
几个数相乘，有一个乘数为 0，积就为 0.
－30
0
例3
计算：
(1) 8＋(－)×(－8)×. (2) (－3)××(－)×(－)；
(3) (－)×5×0×.
解：原式＝ 8＋×8×
＝8＋3
＝11.
解：原式＝－3×××
＝－；
解：原式＝0.
思考
三个数相乘，如果积为负，其中可能有几个乘数为负数 四个数相乘，如果积为正，其中可能有几个乘数为负数
三个数相乘，如果积为负，其中可能有一个乘数或三个乘数为负数. 四个数相乘，如果积为正，其中可能有两个乘数或四个乘数为负数，也可能一个负乘数也没有.
1. 计算：
(1) (－4)×(－7)×(－25)；
(2) (－)×8×(－)；
(3) (－0.5)×(－1)××(－8).
解：原式＝－4×7×25＝－700.
解：原式＝×8×＝.
解：原式＝0.5×1××8＝－3.
2. 计算：
(1) (－5)－(－5)××(－4)；
(2) (－1)×(－7)＋6×(－ 1)×；
解：原式＝－5－5××4＝－9.
解：原式＝7－3＝4.
(3) (－3)×(－7)－3×(－6)；
(4) 1－(－1)×(－1)－(－1)×0×(－1).
解：原式＝21＋18＝39.
解：原式＝1－1－0＝0.
小学里我们还学过乘法对加法的分配律，例如
6×(＋)＝6×＋6×.
引进了负数以后，分配律是否还成立呢
探索
任意选取三个有理数 (至少有一个是负数)，分别填入下列 □、〇和◇内，并比较两个运算结果：
× (＋ ＋ ) 和 × ＋ × ) ；
你能发现什么
你能发现什么
发现：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.
概况
有理数的运算仍满足分配律.
分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加.
a(b＋c)＝ab＋ac.
例4
计算：
(1) 30×(－＋)； (2) 4.98×(－5).
解：原式＝ 30×－30×＋30×
＝15－20＋12
＝7.
解：原式＝(5－0.02)×(－5)
＝－25＋0.1
＝－24.9 .
例5
计算：
(1) ×(8－－)；
解：原式＝ ×8－×－×
＝6－1－
＝4.
解：原式＝(－8)×＋(－8)×－4×
＝(－8)×(＋)－
＝－8－
＝－8.
(2) 8×(－)－(－4)×(－)＋(－8)×.
(2) 8×(－)－(－4)×(－)＋(－8)×.
你还有其他的解法吗
有. 原式＝8×(－)＋8×(－)－4×
＝8×(－－)－
＝8×(－1)－
＝－8.
由上面的例子可以看出，适当运用运算律，可使运算简便，有时需要先把算式变形，再运用分配律，如例4(2)；有时可以反向运用分配律，如例5(2).
1. 计算：
(1) (－6)×(－＋)；
解：原式＝(－6)×(－)＋(－6)×
＝3－2
＝1.
(2) (－＋)×12
解：原式＝×12－×12＋×12
＝3－6＋2
＝－1
(3) (－1002)×17.
解：原式＝ (－1000－2)×17
＝ －1000×17－2×17
＝ －17000－34
＝ －17034.
2. 计算：
(1) (－＋)×36； (2) 9×6.
解：原式＝×36－×36＋×36
＝28－30＋27
＝25.
解：原式＝(9＋)×6
＝9×6＋×6
＝54＋5
＝59.
队列操练中的数学趣题
在一次队列操练活动中，某班45名学生面向老师站成一行横队：老师每次让其中任意6名学生向后转 (不论原来方向如何)，能否经过若干次后，全体学生都背向老师站立 如果能的话，请你设计一种方案；如果不能，请说明理由.
这个问题似乎与数学无关，却又难以入手，注意到学生站立有两个方向，与具有相反意义的量有关，向后转又可想象为进行一次运算，或者说改变一次正负号，我们能否设法联系有理数的知识进行讨论
让我们再发挥一下想象力：假设每名学生胸前有一块号码布，上面写“＋1”，背后有一块号码布，上面写“－1”，那么一开始全体学生面向老师，胸前45 个＋1的“乘积”是＋1. 如果最后学生全部背向老师，那么45 个－1的“乘积”是－1.
再来观察每次6名学生向后转进行的是什么“运算”，我们也设想老师不叫“向后转”，而称这6名学生面向老师的数字都“乘以 －1”.
这样问题就解决了：每次“运算”乘以6个－1，即乘以 ＋1，故 45个数的乘积不变 (数学上称不变量)，始终是＋1. 所以要乘积变为－1 是不可能的.
一道难题，应用有理数的简单运算后被别出心裁地解决了.
习题 1.9
1. 计算：
(1) (－6)×(－7)； (2) (－5)×12；
(3) 0.5×(－0.4)； (4) －4.5×(－0.32).
42
－60
－0.2
1.44
2. 计算：
(1) ×(－)； (2) (－)×(－)；
(3) －×5； (4) (－0.3)×(－).
－
－
3. 计算：
(1) －2×(－3)×(－4)；
(2) 6×(－7)×(－5);
(3) 100×(－1)×(－0.1)；
解：原式＝－(2×3×4)＝－24.
解：原式＝6×7×5＝210.
解：原式＝100×1×0.1＝10.
(4) (－8)××(－1)×；
(5) 21×(－71)×0×43；
(6) －9×(＋11)－12×(－8).
解：原式＝8××1×＝.
解：原式＝0.
解：原式＝－99＋96＝－3.
4. 计算：
(1) (－)××(－8)；
(2) ×(－2)×.
解：原式＝××8＝.
解：原式＝－××＝－.
5. 计算：
(1) (－－)×105；
解：原式＝ ×105－×105－×105
＝35－5×15－2×21
＝35－75－4
＝－82.
(2) －×5.5－0.75×(－).
解：原式＝－×－×(－)
＝－×[＋(－)]
＝－×2
＝－.

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