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1.11
有理数的乘方
1.如图，边长为a厘米的正方形的面积为_________平方厘米.
a×a
a
2. 如图，一正方体的棱长为a厘米, 则它的体积为__________立方厘米.
a×a×a
a
在小学已经知道：
a·a＝________；
读作：a 的平方 (或 a 的 2 次方).
a·a·a＝_______；
读作：a 的立方 (或 a 的 3 次方).
a2
a3
你能利用正方形的面积和正方体的体积来解释平方、立方的意义吗
你能利用正方形的面积和正方体的体积来解释平方、立方的意义吗
能.
正方形的面积＝边长×边长＝边长2，若正方形的边长为 a，则 S正方形＝a2.
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长＝棱长3，若正方体的棱长为 a，则 V正方体＝ a3.
一般地，几个相同的乘数 a 相乘：
a·a· ··· ·a
n个
记作 an .
这种求几个相同乘数的积的运算，叫做乘方(involution)，乘方的结果叫做幂(power). 在 an 中，a 叫做底数( base number)，n叫做指数(exponent)，an 读作 a 的 n 次方，当把 an 看作是 a 的 n 次方的结果时，也可读作 a 的 n 次幂.
例如 2×2×2＝23，
(－2)(－2)(－2)(－2)＝(－2)4.
an
幂
底数
指数
例如，在 23 中，底数是 2，指数是 3. 23 读作 2 的 3 次方，或2 的 3 次幂.
一个数可以看作这个数本身的 1 次方，a1 就是 a，指数 1 通常省略不写.
例1
计算：
(1) (－2)3；
(2) (－2)4；
(3) (－2)5.
解：(－2)3＝(－2)(－2)(－2)＝－8.
解：(－2)4＝(－2)(－2)(－2)(－2)＝16.
解：(－2)5＝(－2)(－2)(－2)(－2)(－2)＝－32.
(－2)4 与 －24 的意义是否相同
(－2)4 与 －24 的意义是否相同
(－2)4 与 －24 的意义和结果都不相同；
(－2)4 表示 (－2) ×(－2)×(－2)×(－2)，结果是16；
而－24 表示 －(2×2×2×2)，结果是 －16.
根据有理数的乘法法则，我们有：
正数的任何次幂都是正数；
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
1. (－4)5 读作什么 其中底数是什么 指数是什么 (－4)5是正数还是负数
解：(－4)读作负 4 的 5 次方，其中底数是－4，指数是 5，(－4) 是负数.
2. 计算：
(1) 103； (2) 105； (3) (－1)3；
(4) (－1)10； (5) (－0.1)3； (6) (－)4；
(7) (－2)3×(－2)2； (8) (－)3×(－)5.
1 000
100 000
－1
1
－0.001
－32
3. 3 的平方是什么 －3 的平方是什么 平方得 9 的数有几个 有没有平方得 －9 的有理数
解：32＝9，(－3)2＝9，平方得 9 的数有两个，没有平方得 －9 的有理数.
利用 10 的幂，有时可以方便地表示遇到的一些较大的数，如：光的速度大约是 300 000 000 m/s；
截至 2022 年底，全世界人口数大约是 8 000 000 000.
这样的大数，读、写都不方便，考虑到10的幂有如下特点：
102＝100，103＝1000，104＝10000，···，
即一般地，10 的 n 次幂，在 1 的后面有 n 个 0.
利用这个事实，我们可以用 10 的幂表示一些绝对值较大的数，如：
8000000000＝8×1000000000＝8×109，
－700000000＝－7×100000000＝－7×108.
一个绝对值大于 10 的数可以记成 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 是正整数，像这样的记数法叫做科学记数法.
例2
用科学记数法表示下列各数：
(1) 696 000；
(2) 1000000；
(3) －58000.
解：(1) 696 000＝6.96×105.
(2) 1 000 000＝1×106.
(3) －58000＝－5.8×104.
思考
用科学记数法表示一个数时，10 的指数与原数的整数位数有什么关系
用科学记数法表示一个数时，10 的指数比原数的整数位数少 1.
1. 用科学记数法表示下列各数：
(1) 80 000；
(2) 100 000；
(3) －12 300 000.
8×104
1×105
－1.23×107
2.下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数
(1) 2×105；
(2) 5.18×103；
(3) 7.04×106.
200 000
5 180
7 040 000
264 有多大
我们知道，642＝4096，它并不是一个很大的数，我们将底数和指数交换得到 264，你能想象它有多大吗
传说古印度人西塔发明了国际象棋，国王因此非常高兴，决定要重赏西塔西塔说：“陛下，本人不要您的重赏，只需您在本人的棋盘上赏一些麦子就行了.
在棋盘的第 1 个格子里放 1 粒，在第 2 个格子里放 2 粒，在第 3个格子里放 4 粒，在第 4 个格子里放 8 粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的 2 倍，直到放满64 个格子就行了.”区区小数，几粒麦子，这有何难：“来人!”国王令人如数付给西塔. 计数麦粒的工作开始了，第个格子里放 1 粒，第 2 个格子里放 2 粒，第 3 个格子里放 4 粒······还没有放到第 20个格子，一袋麦子就空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来.
但是，麦粒数一格接一格飞快地增长着，国王很快就看出，即使拿出全国的粮食，也兑现不了他对西塔的诺言“”原来，所需麦粒总数为
1＋2＋22＋23＋···＋263＝264－1 (到高中后你自己就能推导出来)
＝18 446 744 073 709 551 615.
这些麦子究竟有多少 若以每立方米仓库可存放约 1500 万粒麦子计算，这些麦子的体积大约是 12 000 亿立方米.
假如造一个高 4 米、宽 10 米的仓库存放这些麦子，那么仓库的长度大约是 0.3 亿千米，大致是地球到太阳的距离的 (地球到太阳的平均距离约为 1.496 亿千米)，或相当于绕地球赤道转 750 圈的长度 (地球赤道的周长约为 40 076 千米)，而要生产这么多麦子，全世界需要一千多年，虽然国家十分富有，但要这么多的麦子，国王是怎么也拿不出来的.
可见，264＝18 446 744 073 709 551 616 是一个很大的数.
2018年，有人在一个名为“因特网梅森质数大搜索”的国际合作项目中发现 282 589 933－1 是一个质数，它有 24 862 048 位，而 264 才 20 位呢!
习题 1.11
1.把下列各式写成乘方的形式：
(1) 6×6×6；
(2) 2.1×2.1；
(3) (－3)×(－3)×(－3)×(－3)；
(4) ××××.
63
2.12
(－3)4
()5
2. 把下列各式写成乘法的形式：
(1) 34；
(2) 43；
(3) (－1)2；
(4) 1.13.
3×3×3×3
4×4×4
(－1)×(－1)
1.1×1.1× 1.1
3. 用科学记数法表示下列各数：
(1) 3210；
(2) －50600；
(3) 18 000 000 .
3.21×103
－5.06×104
1.8×107
4.下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数
(1) 2×106；
(2) 6.03×105；
(3) －5.002×104.
2 000 000
603 000
－50 020
5. 填空：
(1) 地球离太阳约有1亿5千万千米，1亿5千万用科学记数法表示为_________________；
(2) 地球上煤的储量估计为15万亿吨，15万亿用科学记数法表示为__________________.
1.5×108
1.5×1013
6. 计算：
(1) (－1)2； (2) (－0.2)3；
(3) －(－3)4； (4) －(－3)5.
－
－81
243
7. 2020年12月，我国科学家成功构建了76个光子的量子计算原型机“九章”，当求解5000万个样本的高斯玻色取样问题时，“九章”只需200s，而截至2020年世界最快的超级计算机则需要6亿年，“九章”平均每秒可处理多少个样本 (用科学记数法表示
解：50 000 000÷200＝250 000＝2.5×105 (个).
答：“九章”平均每秒可处理 2.5×105 个样本.
8. 地球绕太阳每小时转动经过的路程约为 1.1×105 km，声音在空气中每小时约传播 1.2×103 km. 地球绕太阳转动的速度与声音传播的速度哪个快
解：1.1×105＞1.2×103.
答：地球绕太阳转动的速度快。

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