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16.3.2 完全平方公式
课时1 完全平方公式
刷基础
1[2024 重庆渝中区质检]下列运算：9x +y ;②(a-2b) =a -4b ;( 其中，运算错误的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2将形状大小完全相同的四个小正方形，按照如图所示的两种方式放置于两个边长不相等的大正方形中，根据两个图形中阴影部分的面积关系，得到的等式是 ( )
3[2025上海徐汇区期中]已知 则
4计算：
知识点2完全平方公式的应用
5若 则A,B 的数量关系为 ( )
A. A=B B. A=-B
C. AB=1 D.无法确定
6[2024福建泉州期中]若x+y=2a,x-y=2b,则xy 的值为 ( )
A. ab
7[2025 湖北黄冈校级质检]若 则 的值是 ( )
A.4 B.2024 C.2 D.4
8[2025 四川成都期中]如图是长与宽分别为a，b的长方形，若它的周长为20，面积为32，则 b 的值为 .
9[2025河南南阳期中]已知(2023-x)(2025-x)= 2024,则(
10[2024山西晋城期中]如图，某校园内有一块长为(4a-b)米,宽为(2a+b)米的长方形空地，学校计划在中间留一块边长为(a+b)米的正方形空地修建一个乒乓球场地，然后将剩余阴影部分进行绿化.
(1)用含a，b的代数式表示绿化部分的面积(结果需化简)；
(2)当a=5,b=4时,求绿化部分的面积.
刷提升
1[中]若等式( 成立，则 ( )
A. m=-30,n=5
B. m=-30,n=-5或5
C. m=-450,n=25或-25
D. m=450,n=25或-25
2[2025 重庆万州区期中，中]已知M是含字母x的单项式，要使多项式 是某个多项式的平方，则M 为 .
3[2025 江西抚州期中，中]为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动实践基地，如图是从实践基地中抽象出来的几何模型，两块边长分别为 m，n(m>n)的正方形的重叠部分B 为池塘，S ，S 分别表示八年级和九年级的实践基地(阴影部分)的面积. 若m+n=8, mn=15,则.
4 新考法[2025 浙江杭州期中,中]如图(1),A、B、C三种正方形的边长分别为m，n，p，且m+p(1)用两个 A 种正方形组合成图(2)的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积为 .(用含 m的代数式表示)
(2)将一个 A 种和一个 B 种正方形组合成图
(3)的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为 或 ，从而可以得到一个乘法公式: .
(3)将一个 A 种、一个 B 种和一个 C 种正方形组合成图(4)的图形，外边框可以围成一个大正方形，类比(2)的思路进行思考，直接写出所得到的等式： .
(4)用A、B、C三种正方形画出恰当的图形，说明
刷素养
5 核心素养运算能力[较难](1)从图(1)~(3)中任意选择一个，通过计算图中阴影部分的面积，可得到关于a，b的等量关系是 .
(2)尝试解决：
①已知 则 mn= .
②已知2a+b=3,ab=1,求 的值.
③已知((4-x)(5-x)=6,求 的值.
(3)填数游戏：如图(4)，把数字1~9填入构成三角形形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于21，将每边四个数字的平方和分别记为A,B,C,已知A+B+C=411.如果将位于这个三角形顶点处的三个圆圈填入的数字分别表示为x,y,x+y,求 xy的值.
微专题2完全平方公式变形(知2求2)
1[2025 湖南衡阳期中,中]已知( 求 与 ab的值.
2[2025广东河源校级期中，中]已知：x-y=5, xy=2,求 及 的值.
3[2025江西吉安质检，中]已知两个不相等的实数m，n满足
(1)求 mn的值;
(2)求m-n的值.
微专题3已知 的值求代数式的值
1[2025 四川成都期末,中]若 则 的值为 .
2[2025 浙江宁波调研，中]已知 则 ____________
课时2 添括号法则
刷基础
知识点1 添括号法则
1下列添括号，正确的是 ( )
A. b+c=-(b+c)
B.-2x+4y=-2(x-4y)
C. a-b=+(a-b)
D.2x-y-1=2x-(y-1)
2[2024黑龙江哈尔滨期中]计算:(a+b-c)(a-b-c)，下列步骤出现错误的是 ( )
解:原式=(a-c+b)(a-c-b)①
=[(a-c)+b][(a-c)-b]②
A.① B.② C.③ D.④
3[2025福建南平期中]已知a-b=2,c+d=5,.则(b+c)-(a-d)= .
4[2025 广东惠州期末]把多项式 按下列要求进行变形：将二次项放在前面带有“+”号的括号里，将四次项放在前面带有“-”号的括号里.
知识点2 添括号法则在乘法公式中的应用
5已知( 则(x-2016) 的值是 ( )
A.4 B.8 C.12 D.16
6计算：
(1)(3m+n-p)(3m-n+p);
(2)(a-2b+c) ;
(3)(a+b-3)(a+b+3);
(4)(x-2y-3z) .
7[2024 山东威海期中]乘法公式的探究及应用：
(1)如图(1)，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，如图(2)，通过比较图(1)、图(2)阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式: .
(2)运用你所得到的乘法公式，计算或化简下列各式：
①102×98;②(2m+n-3)(2m-n-3).
刷易错
易错点添括号后个别项的符号出错
8在括号内填入适当的式子：
(a-b+c)(a+b-c)
=[a-( )][a+( )]
）
莉莉往里填的答案依次为b+c，b-c，b-c.请问莉莉的答案正确吗 如果不正确，请写出正确答案.
数学活动
刷活动
活动1 月历中的奥秘(续)
1[2025 吉林长春质检]如图(1)是2024 年9 月份的月历，用“Z”字型框架任意框住月历中的5个数(如图(1)中的阴影部分)，如图(2)，将“Z”字型框架中位于B、D处的数相乘，位于 A、E处的数相乘，得到的两个值再相减，不难发现,结果都等于15,例如:在图(1)中,9×23-8×24=15,6×20-5×21=15.设位于 C处的数为x.
(1)用含x 的代数式表示位于 A、B、D、E 处的数:A: ,D: ,B: ,E: .
(2)用含x的式子表示发现的规律： .
(3)利用整式的运算对(2)中的规律加以证明.
活动2 和为定值的两数积的规律
2[2025广东肇庆期末](1)22×48=(35-13)× 按上面的方法计算下列两个数的积(每组中两个数的和等于70)，你发现结果有什么规律
33×37,31×39,34×36.
(2)和等于70时，哪两个数的乘积最大
3[2025 湖北襄阳质检]用10 m长的绳子围成长方形，试改变长方形一边的长，观察长方形的面积怎样变化.设长方形一边的长为 xm，面积为Sm .
(1)补全下表.
一边的长x(m) 4 3 2.5 2 x
相邻的 一边长(m)
面积S(m )
(2)试用含x 的式子表示 S，并写出x 的取值范围.
(3)x取 时,S最大,为 .
(4)由上可得长方形的周长一定时，怎样围长方形才能使它的面积最大
16.3.2 完全平方公式
课时1 完全平方公式
刷基础
1. C 【解析】( 故①运算错误；( 故②运算错误； 故③运算正确； 故④运算错误.所以运算错误的有①②④，共3个.故选 C.
2. D【解析】题图(1)中“大正方形”的边长为m-n,-n，因此面积为 题图(2)中阴影部分的面积为 所以有 故选D.
3.21 【解析】:
21.故答案为21.
4.【解】(1)原式
5. A 【解析】 故选 A.
6. C【解析】·
②∴ ①-②得 故选C.
7. C【解析】· 又 . x,y中有一个数为0.不妨设.x=0,则 故选C.
8.36 【解析】∵ 长方形的周长为20,. 10.∵长方形的面积为32,. 100-64=36..故答案为36.
9.4052 【解析】· : 故答案为4 052.
10.【解】（1）平方米.
(2)当a=5,b=4时， 143(平方米).
答：绿化部分面积为143平方米.
刷提升
D 【解析】因为 即 所以 所以 即m=450,n=±25,故选 D.
2.±8x或64x 【解析】 (
故答案为±8x或
3.16 【解析】由题意得 1 故答案为16.
4.【解】(1)由题意得大正方形的边长为2m，则这个大正方形的面积为 故答案为
(2)方法一：这个大正方形的边长为m+n,则这个大正方形的面积为
方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和，所以这个大正方形的面积为 从而可以得到一个乘法公式： 故答案为 (前两个空的答案可以互换)，
(3)方法一：这个大正方形的边长为m+n+p,则这个大正方形的面积为
方法二：因为这个大正方形的面积等于3 个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和，所以这个大正方形的面积为 2mn+2mp+2np,，则所得到的等式为(m+n+ 故答案为
(4)如图(图形不唯一)，图形丁是边长为n-m-pp 的正方形，则图形丁的面积为((n-m- 因为图形甲的面积为 所以(n-
刷素养
5.【解】(1)题图(1): 题图 题图(3):4ab=(a+ (选一个等式填空即可)
故答案为
2(4-x)(5-x)=1+12=13.
(3)数字1~9的和为1+2+3+4+5+6+7+8+ 各边上的四个数字的和都等于21， 即x+y=9.
∵每边四个数字的平方和分别记为A，B，C，A+B+C=411,且
微专题
1.【解】
②
得 即 ②得4ab=-16,即ab=-4.
2.【解】 4×2-6=25+8-6=27.
3.【解】
(2)由(1)得 或m-n=-8.
微专题
1.27 【解析】 27,故 的值为27.
2.2 【解析】 即 即 故答案为2.
课时2 添括号法则
刷基础
1. C 【解析】A 选项,b+c=-(-b-c),因此A不正确，故A 不符合题意；B选项，-2x+4y=-2(x-2y),因此B不正确，故B 不符合题意；C选项，a-b=+(a-b),因此C正确，故C 符合题意；D选项，2x-y-1=2x-(y+1),因此 D不正确，故D 不符合题意.故选 C.
2. D【解析】. b)(a-c-b)=[(a-c)+b](a-c)-b]=(a ∴.步骤①②③正确,④错误，故选 D.
3.3 【解析】((b+c)-(a-d)=b+c-a+d=-(ab)+(c+d)=-2+5=3,故答案为3.
4.【解】
5. D 【解析】
6.【解】(1)原式==[3m+(n-p)][3m-(n-p)]=
(2)原式
(3)原式
(4)原式
7.【解】(1)大正方形边长为 a，面积为( 小正方形边长为b，面积为 题图(1)阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积，∴题图(1)阴影部分面积为 题图(2)阴影部分面积为(a+b)(a-b).
∵题图(1)阴影部分与题图(2)阴影部分的面积相等，. 故答案为(a+
10000-4=9996.
刷易错
8.【解】莉莉的答案不正确.((a-b+c)(a+b-c)= 故正确答案为b-c,b-c,b-c.
数学活动
刷活动
1.(1)【解】依题意得位于 A 处的数为x-8,位于B处的数为x-7,位于 D 处的数为x+7,位于E处的数为.x+8.故答案为x-8,x-7,x+7,x+8.
(2)【解】由题意得((x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=15.故答案为((x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=15.
(3)【证明】(x-7)(x+7)-(x-8)(x+8)=
2.【解】
规律：和为70 的两个数a，b的积等于
(2)35和35.
3.【解】(1)补全表格如下:
一边的长x(m) 4 3 2.5 2 x
相邻的一边长(m) 1 2 2.5 3
面积 4 6 6.25 6
(3)由上表可以看出，x=2.5时，面积最大，为
6.25.故答案为2.5,6.25.
(4)长方形的周长一定时，围成正方形才能使它的面积最大.

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