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专题3.2 勾股定理的逆定理
基础知识夯实
知识点01 勾股定理的逆定理
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且 ___ ，那么这个三角形是 ___ 。
知识点02 勾股数
1.勾股数概念：如果三个 ___ a，b，c满足关系： ___ ，则称a，b，c为勾股数。
注意：a，b，c要成为勾股数必须同时满足两个条件：（1）满足a2+b2=c2；（2）a，b，c必须是正整数；这里最易被忽略的是条件（2），千万要注意！
2.若a，b，c为勾股数，且k为正整数，则ka，kb，kc也为勾股数。
3.常用勾股数：如；；；等。
4. 用含字母的代数式表示组勾股数：
1）（为正整数）；2）（为正整数）；
3）（，为正整数）。
典型案例探究
知识点01 勾股定理的逆定理
例1．（24-25八年级下·云南德宏·期末）木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，下列各组数据能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，7，8 D．5，12，14
【变式1】（24-25八年级上·广东·期末）将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　）
A．B．
C．D．
【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　）
A．5 B．4 C． D．8
【变式3】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）定义：如图，点M，N把线段分割成，，三段，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
(1)若，，，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边．若，，求的长．
【变式4】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点，，都在格点上，只用无刻度直尺在给定网格中按要求画图．
(1)在图中，将图中阴影部分绕点顺时针旋转后得到的新图形涂上阴影．
(2)在图中，找到一个格点，连接，使．(3)在图中，找到一个格点，连接，使．
【变式5】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，是的中点，，交于点，且，，．求证：．

知识点02 勾股数
例1．（24-25八年级下·广东潮州·阶段练习）下列不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．2，3，4 D．7，24，25
【变式1】（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（ ）．
A． B． C． D．
【变式2】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知．
(1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为_______；
(2)小安猜想：当n取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由．
课后作业
A
一、单选题
1．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．4，5，6
2．已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
3．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．下列说法中正确的是（ ）
A．已知，，是三角形的三边，则
B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C．，，是一组勾股数
D．在中，，所以
二、填空题
5．一个三角形三边满足，则这个三角形是 三角形．
6．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ．
7．已知一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为 ．
8．如图，大小正方形的边长均为整数，它们的面积之和等于74．则阴影部分的面积为 ．
三、解答题
9．观察下列勾股数：3 ，4 ，5 ；5 ，12 ，13；7 ，24 ，25；9 ，40 ，41； … ，a ，b ，c 根据你发现的规律，请写出
(1)当时，则 ， ；
(2)当时，求的值；（ 用字母 n 表示）
(3)用（2）的结论判断 19 ，188 ，189 是否为一组勾股数，并说明理由．
10．如图，，，，，．求：四边形的面积．
11．如图，在四边形中，．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的长．
12．如图，在中，，，所对的边分别为，，，若，试说明：是直角三角形．
B
一、单选题
1．三角形的三边长为，则这个三角形是（ ）．
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形．
2．如图，在中，，，那么的长为（ ）
A．5 B． C． D．
3．如图，在长方形中，，，点，分别是，边上一点，且，．则图中的直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．已知为正整数，且，下列各项为三角形的三条边长：①，②，③，④，其中必定构成直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
5．若的三边a，b，c满足，则的面积为 ．
6．已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为 ．
7．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形．
8．如图，在四边形中，，则的度数为 ，四边形的面积为 ．
三、解答题
9．如图，在四边形中，，且．
(1)求证：；
(2)求四边形的面积．
10．为了让学生更多的参与到劳动实践中，育才中学开辟了一片劳动基地，然后中间用栅栏将这块劳动基地划分成两部分，分别种植花卉和蔬菜（如图），其中，已知，，，．
(1)求花卉区的面积；
(2)若学校在蔬菜基地周围修两条步道（宽度忽略不计）和，这两条步道的长度相差多少米？
11．如图，点，，在同一条直线上，，，，，，连接，求点到的距离．
12．在中，，点，分别是，上的点，连接．
(1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”）
(2)如图，连接，若平分，，，，则 ．
(3)如图，若，，求证：点在的平分线上．
(4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，求线段的长．
C
1．如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地为田间的一条小路，且，已知，，，．
(1)求四边形田地的面积；
(2)为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度．
2．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，通过比较代数式和的大小，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边长分别为6，8，9时，为________角形；当三边长分别为6，8，11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；
(3)当时，探究的形状，并求出对应的的取值范围．
3．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段．
(1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）；
(2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长；
(3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________．
4．探究一：如图，均为正方形．
问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________；
（）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形．
探究二：图形变化：
（）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由；
（）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
专题3.2 勾股定理的逆定理
基础知识夯实
知识点01 勾股定理的逆定理
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是 直角三角形 。
知识点02 勾股数
1.勾股数概念：如果三个 正整数 a，b，c满足关系： a2+b2=c2 ，则称a，b，c为勾股数。
注意：a，b，c要成为勾股数必须同时满足两个条件：（1）满足a2+b2=c2；（2）a，b，c必须是正整数；这里最易被忽略的是条件（2），千万要注意！
2.若a，b，c为勾股数，且k为正整数，则ka，kb，kc也为勾股数。
3.常用勾股数：如；；；等。
4. 用含字母的代数式表示组勾股数：
1）（为正整数）；2）（为正整数）；
3）（，为正整数）。
典型案例探究
知识点01 勾股定理的逆定理
例1．（24-25八年级下·云南德宏·期末）木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，下列各组数据能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，7，8 D．5，12，14
【答案】A
【详解】解：A、，能构成直角三角形，符合题意；
B、，不能构成直角三角形，不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，不符合题意；故选A．
【变式1】（24-25八年级上·广东·期末）将长度分别为6，8，10，15，17的木棒，摆成两个直角三角形，其中正确的是（　　）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：A、，，故选项A不符合题意；
B、，，故选项B不符合题意；
C、，，故选项C符合题意；
D、，，故选项D不符合题意；故选：C．
【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是（　　）
A．5 B．4 C． D．8
【答案】B
【详解】解：连接，如图：
∵，，，∴，
又∵，∴，
∴，∴，故选：B．
【变式3】（24-25八年级下·贵州黔东南·阶段练习）定义：如图，点M，N把线段分割成，，三段，若以，，为边的三角形是直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．
(1)若，，，则点M，N是线段的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边．若，，求的长．
【答案】(1)是．理由见解析(2)的长为或
【详解】（1）解：是，理由如下：∵，，，
∴，，∴，
∴以，，为边的三角形是直角三角形，∴点M，N是线段的勾股分割点；
（2）解：设，∵，，∴，
①当为斜边时，依题意，得，即，解得；
②当为斜边时，依题意，得，即，解得；
综上所述，的长为或．
【变式4】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点，，都在格点上，只用无刻度直尺在给定网格中按要求画图．
(1)在图中，将图中阴影部分绕点顺时针旋转后得到的新图形涂上阴影．
(2)在图中，找到一个格点，连接，使．(3)在图中，找到一个格点，连接，使．
【答案】(1)画图见解析；(2)画图见解析；(3)画图见解析．
【详解】（1）解：如图，阴影部分绕点顺时针旋转，
（2）解：如图，即为所求，
理由：连接，∴，，
∴，∴，∴，∴即为所求；
（3）解：如图，即为所求．
【变式5】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，是的中点，，交于点，且，，．求证：．

【答案】见详解
【详解】证明：连接，是的中点，，垂直平分，，

∵，，．，
，是直角三角形，∴．即．
知识点02 勾股数
例1．（24-25八年级下·广东潮州·阶段练习）下列不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．2，3，4 D．7，24，25
【答案】C
【详解】解：A、，则3，4，5是勾股数，不符合题意；
B、，则5，12，13是勾股数，不符合题意；
C、，则2，3，4不是勾股数，符合题意；
D、，则7，24，25是勾股数，不符合题意；故选：C．
【变式1】（2025·湖南·模拟预测）三个勾股数互质时称之为本原勾股数，按规律排列：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41…，则第n组勾股数的第二个数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，…，
以此类推，可知，第n组本原勾股数的第一个数为，且第三个数比第二个数大1，且第二个数和第三个数的和等于第一个数的平方，设第n组本原勾股数的第二个数为，则第三个数为，
∴，∴，∴，故选：C．
【变式2】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段练习）已知．
(1)当时，则以的值为三边长的三角形面积为_______；
(2)小安猜想：当n取大于1的整数时，为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明理由．
【答案】(1)120(2)小安的猜想正确，理由见解析
【详解】（1）解：当时，，，，、
，∴，以的值为三边长的三角形是直角三角形，
以的值为三边长的三角形面积为，故答案为：120；
（2）解：小安的猜想正确，
理由：，，，
∵是大于1的整数，所以都是正整数，
当n取大于1的整数时，为勾股数，小安的猜想正确．
课后作业
A
一、单选题
1．下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（ ）
A．1，1， B．3，4，5 C．5，12，13 D．4，5，6
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，
∴1，1，可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意；
B、∵，
∴3，4，5可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴5，12，13可以作为直角三角形的三边长度，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴4，5，6不可以作为直角三角形的三边长度，故此选项符合题意；
故选：D．
2．已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（ ）
A．底与边不相等的等腰三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查非负数的性质以及勾股定理的逆定理，解题关键是根据几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0．求出三角形三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
【详解】解：，
，，，
，，
，，
，，
，即
三角形的形状是直角三角形，
故选：D．
3．下列各组数中，不是勾股数的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：、∵，
∴不能组成直角三角形，不是勾股数，故此选项符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意；
、∵，
∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意；
故选：．
4．下列说法中正确的是（ ）
A．已知，，是三角形的三边，则
B．在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方
C．，，是一组勾股数
D．在中，，所以
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、勾股数，根据勾股定理和勾股数的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、当，是直角三角形的两直角边，是直角三角形的斜边时，，故A选项说法错误；
B、在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，故B选项说法错误；
C、勾股数指满足的三个正整数，，，，且，故C说法错误；
D、在中，，所以，故D选项说法正确．
故选：D．
二、填空题
5．一个三角形三边满足，则这个三角形是 三角形．
【答案】直角
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式．
先根据完全平方公式将原式化为，进而根据勾股定理的逆定理作答即可．
【详解】∵
∴，
即，
∴这个三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
6．有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ．
【答案】13
【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数；
当第三个数是斜边时，第三个数；
∵三个数是一组勾股数，
∴当第三个数为时，不合题意，舍去，
∴第三个数是13，
故答案为：13．
7．已知一个三角形的三边长分别为、、，则这个三角形的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据三角形面积公式即可求解．
【详解】解：∵，
∴这个三角形是直角三角形，其中直角边为和，
∴这个三角形的面积为，
故答案为：．
8．如图，大小正方形的边长均为整数，它们的面积之和等于74．则阴影部分的面积为 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了勾股数，求阴影部分的面积．
先根据题意得，结合整数解可求出a，b值，再根据面积公式可得答案．
【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，得，
∵a，b为整数，
∴，
∴.
故答案为：7．
三、解答题
9．观察下列勾股数：3 ，4 ，5 ；5 ，12 ，13；7 ，24 ，25；9 ，40 ，41； … ，a ，b ，c 根据你发现的规律，请写出
(1)当时，则 ， ；
(2)当时，求的值；（ 用字母 n 表示）
(3)用（2）的结论判断 19 ，188 ，189 是否为一组勾股数，并说明理由．
【答案】(1)60,61
(2)，
(3)不是一组勾股数，理由见详解
【分析】本题考查了勾股数，数字规律，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）观察题干的数据，发现，结合勾股数的定义进行列式化简，即可作答．
（2）同理得，再结合以及勾股数的定义得， 得，，即可作答．
（3）由（2）得，，，令，则，
，，即可作答．
【详解】（1）解：观察题干的数据，发现，
∵a ，b ，c是勾股数，
即，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：60,61．
（2）解：观察题干的数据，发现，
∵a ，b ，c是勾股数，
即，
∵，，
∴，
∴，
故，
（3）解：不是一组勾股数，理由如下：
由（2）得，，，
依题意，令，则，
，
，
∴19，188，189不是一组勾股数．
10．如图，，，，，．求：四边形的面积．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴三角形是直角三角形，
∴．
11．如图，在四边形中，．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)求的长．
【答案】(1)是直角三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．
（1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形；
（2）先求得，再由勾股定理求出的长．
【详解】（1）是直角三角形．
理由如下：
在中，
是直角三角形；
（2）在四边形中，
由（1）得，
∴在中，
12．如图，在中，，，所对的边分别为，，，若，试说明：是直角三角形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．
根据得出，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形．
【详解】证明：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
是直角三角形，且．
B
一、单选题
1．三角形的三边长为，则这个三角形是（ ）．
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，完全平方公式，由， 得， 所以， 最后通过勾股定理逆定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
由勾股定理的逆定理可知，这个三角形是直角三角形，
故选：．
2．如图，在中，，，那么的长为（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理，利用三角形面积公式是解题的关键．先利用勾股定理求解直角三角形的斜边长度，再利用三角形面积公式求解高的长度．
【详解】解：在中，，
．
，
，即．
．
故选：D．
3．如图，在长方形中，，，点，分别是，边上一点，且，．则图中的直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理．
根据已知可得，，根据勾股定理可得，，，根据勾股定理的逆定理，可判断的形状，从而可得直角三角形的个数．
【详解】解：∵在长方形中，，，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，，
∴图中的直角三角形有、、、，共个．
故选：D．
4．已知为正整数，且，下列各项为三角形的三条边长：①，②，③，④，其中必定构成直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式与平方差公式等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据可得①必定构成直角三角形；根据可得②必定构成直角三角形；根据可得③必定构成直角三角形；根据可得④必定构成直角三角形；由此即可得．
【详解】解：①，则必定构成直角三角形；
②
，
，
则，必定构成直角三角形；
③
，
则，必定构成直角三角形；
④，
，
，
则，必定构成直角三角形；
综上，必定构成直角三角形的有4个，
故选：D．
二、填空题
5．若的三边a，b，c满足，则的面积为 ．
【答案】54
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理及绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性求得，，，然后根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可．
【详解】解：，
，，，
，
，
的面积为．
故答案为：54．
6．已知三边长分别为a，b，c，且满足，则的形状为 ．
【答案】等腰直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，算术平方根的非负性质，偶次方的非负性质是解题的关键．
根据已知，，可得且，进而得出，，即，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的定义即可得出答案．
【详解】解：，
且，
，，即，
，是直角三角形，
是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
7．如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形．
【答案】或或
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案．
【详解】解：作于，如图：
则四边形为长方形，
∴，，
∴，
由勾股定理得，，，
，
当时，，
即，
，
解得，；
当时，如图：作于，
由勾股定理得，，，
，
在中，，
即，
，
解得：；
当时，在中，
则，
解得：，
综上：的长为：或或．
故答案为：或或．
8．如图，在四边形中，，则的度数为 ，四边形的面积为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键．利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论；再由三角形的面积公式即可得出四边形的面积．
【详解】解：连接，
∵，
∴，，
在中，，
，，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，
∴的度数为；
四边形的面积的面积的面积
，
∴四边形的面积为．
故答案为：，
三、解答题
9．如图，在四边形中，，且．
(1)求证：；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键．
（1）根据勾股定理、勾股定理逆定理求证即可；
（2）结合三角形面积公式，根据四边形的面积求解即可．
【详解】（1）证明：∵，且，
∴
∵，
∴
∴是直角三角形，且，
∴；
（2）解：∵，四边形的面积，
∴四边形的面积．
10．为了让学生更多的参与到劳动实践中，育才中学开辟了一片劳动基地，然后中间用栅栏将这块劳动基地划分成两部分，分别种植花卉和蔬菜（如图），其中，已知，，，．
(1)求花卉区的面积；
(2)若学校在蔬菜基地周围修两条步道（宽度忽略不计）和，这两条步道的长度相差多少米？
【答案】(1)花卉区的面积为；
(2)这两条步道的长度相差6米．
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，平行线的性质．
（1）由勾股定理的逆定理可得，根据三角形的面积公式计算即可；
（2）由平行线的性质可得，根据勾股定理可得，根据线段之间的和差计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴花卉区的面积为．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴这两条步道的长度相差6米．
11．如图，点，，在同一条直线上，，，，，，连接，求点到的距离．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可证，得到，设点到的距离为，由等积法即可求解．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
∴，
设点到的距离为，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点到的距离为．
12．在中，，点，分别是，上的点，连接．
(1)【基础设问】若点为的中点，，，，则是 三角形．（填“等腰”“等边”或“直角”）
(2)如图，连接，若平分，，，，则 ．
(3)如图，若，，求证：点在的平分线上．
(4)【能力设问】 如图，点在上运动，始终保持与相等，是的垂直平分线，交于点．
①判断与的位置关系，并说明理由；
②若，，，求线段的长．
【答案】(1)直角
(2)5
(3)见解析
(4)①，理由见解析；②
【分析】（1）先根据中点的定义得，再利用勾股定理逆定理求解即可；
（2）先根据角平分线的性质得，设，则，利用勾股定理列方程求解即可；
（3）连接，证明得，即可得出结论；
（4）①由得，，由线段垂直平分线的性质得，，进而可推出，进一步可得结论；
②连接，设，则，根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点为的中点，，
∴，
∵，，且，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）解：平分，，，
，
设，则，
在中，，
，
，
即，
故答案为：5；
（3）证明：如图，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
∴点在的平分线上；
（4）解：，理由如下：
由题意知，，
，
是的垂直平分线，
，，
，
，
，
；
②如图，连接，设，则，
，，
，，
由勾股定理，得，，
即，
，
线段的长为．
【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，角平分线的判定及性质，全等三角形的判定及应用，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是能够灵活应用相关知识点．
C
1．如图是张伯伯承包的一块待开垦的四边形田地为田间的一条小路，且，已知，，，．
(1)求四边形田地的面积；
(2)为了方便灌溉，张伯伯打算从靠近河岸的边上引一条水渠到点处，请你帮他计算这条水渠的最短长度．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）在中，由勾股定理，求得，再由勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，则四边形田地的面积为，代入计算即可．
（2）过点作于点．由“垂线段最短”，可得线段的长即为所引水渠的最短长度．根据，即可求解．
【详解】（1）解：，
．
在中，由勾股定理，得，
（负值已舍去）．
，
，
是直角三角形，且，
四边形田地的面积为
；
（2）解：如图，过点作于点．
由“垂线段最短”，可得线段的长即为所引水渠的最短长度．
，
，
，
解得，
这条水渠的最短长度为．
2．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，通过比较代数式和的大小，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边长分别为6，8，9时，为________角形；当三边长分别为6，8，11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；
(3)当时，探究的形状，并求出对应的的取值范围．
【答案】(1)锐角，钝角
(2)，
(3)是锐角三角形，此时；时，是直角三角形；是钝角三角形，此时
【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形的性质，熟练掌握“大边对大角，大角对大边”、“三角形任意两边之和大于第三边”是解题的关键．
【详解】（1）解：当三边长分别为6，8，10时，是一个直角边长分别为6、8的直角三角形，斜边长为10，，所以当三边长分别为6，8，9时，边长为9的边所对的角小于直角，则为锐角三角形；
，所以当三边长分别为6，8，11时，边长为11的边所对的角大于直角，则为钝角三角形；
故答案为：锐角，钝角．
（2）解：由（1），猜想当时，为锐角三角形；当时，为钝角三角形；
故答案为：，．
（3）解：为最长边，
，
时，是直角三角形；
时，是锐角三角形，此时，即；
时，是钝角三角形，此时，即；
综上，时，是锐角三角形；时，是直角三角形；时，是钝角三角形．
3．定义：若过三角形一个顶点的线段，将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．例如：如图1，在中，于，且是等直三角形，是的一条等直分割线段．
(1)定义理解：直角三角形一定___________等直三角形（填“是”或“不是”）；
(2)定义应用：如图2，在中，是的等直分割线段，，，求的长；
(3)应用提升：在中，是的等直分割线段，则AC的长可以为___________．
【答案】(1)是
(2)5
(3)2或1或
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，以及等直三角形的定义，解题关键是读懂题目中给的等直三角形定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质．
（1）根据等直分割线的定义判断即可；
（2）根据等直三角形可得：，，，，结合等腰三角形的判定和性质即可解答；
（3）根据等直三角形的定义，分是直角三角形和等腰三角形时，画出图形，分别求解即可.
【详解】（1）解：直角三角形一定是等直三角形
证明：如图：是的垂直平分线，
，则是等腰三角形，
是直角三角形
是的一条等直分割线段；
∴直角三角形一定是等直三角形，
故答案为：是；
（2）是的等直分割线段
是等腰三角形
设：，则
在中，根据勾股定理得
解得
；
（3）在中，，，是的等直分割线段，
①若，时，如图1，
∴，
∴，
∴，
②若，时，如图2，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
③若，时，如图3，
∴
④若，时，如图4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的长可以为或或.
故答案为：或或.
4．探究一：如图，均为正方形．
问题：（）若图中的为直角三角形，的面积为，的面积为，则的面积为________；
（）若的面积为，的面积为，同时的面积为，则为________三角形．
探究二：图形变化：
（）如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，判断这三个半圆的面积之间有什么关系，并说说你的理由；
（）如图，如果直角三角形两直角边长分别为和，以直角三角形的三边为直径作半圆，你能利用上面的结论求出阴影部分的面积吗？如果能，请写出你的计算过程；如果不能，请说明理由．
【答案】（）；（）直角；（）；（）
【分析】（）根据正方形的面积公式结合勾股定理可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和；
（）根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积和，可以得到其中两条边平方的和等于第三条边的平方，进而由勾股定理的逆定理即可判断求解；
（）设直角三角形的三边分别为，根据半圆的面积公式以及勾股定理可发现，两个小半圆的面积和等于大半圆的面积；
（）根据（）可得阴影部分的面积直角三角形的面积，据此解答即可求解；
本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：（）由题意得，，
∴，
故答案为：；
（）∵的面积为，的面积为，同时的面积为，
∴，，，
∵，
∴是直角三角形，
故答案为：直角；
（），理由如下：
设直角三角形的三边分别为，
则，，，
∵，
∴；
（）由图②可得，．

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