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第2章 特殊三角形 章末检测
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级·湖南·期中）下列图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A.不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意；
B.不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意；
C.不符合轴对称图形定义，故此项不符合题意；
D.符合轴对称图形定义，故此项符合题意；故选：D．
2．（24-25上海市松江区七年级期末）在中，有下列四个命题：
①如果，那么； ②如果，那么；
③如果，那么； ④如果，那么．
其中，真命题的个数有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【详解】解：命题①：若，则为等腰三角形，∴底角，故正确．
命题②：若，由等角对等边可知，故正确．
命题③：若，根据大边对大角定理，对的角大于对的角，故正确．
命题④：若，根据大角对大边定理，对的边大于对的边，故正确．
综上，四个命题均为真；故选：A．
3．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是( )
A．有两个内角分别是的三角形 B．有一个角为的直角三角形
C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形D．有两个内角分别是的三角形
【答案】D
【详解】解：A：两内角是，第三角为，存在两个的角，故为等腰三角形，不符合题意；
B：直角三角形中一个角为，则另一锐角为，两角相等，故为等腰直角三角形，不符合题意；
C：外角对应内角为，与它不相邻的内角为，根据三角形外角的性质，另一不相邻内角为，此时三角形内角为，存在两角相等，故为等腰三角形，不符合题意；
D：两内角为，第三角为，三角均不相等，无法构成等腰三角形，符合题意；
故选：D．
4．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图所示，在中，，点为边的中点，顶点B,C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由图可知，∵点为边的中点，，∴，
故选：B．
5．（2025八年级上·广东·专题练习）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O，
∴，，．∴，故A，B，D正确，
不一定成立，故选：C．
6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，过点P作交于点F，是等边三角形，，
，，，是等边三角形，，，，，
在和中， )，，
设，则有，，，，
，，，，
解得：，即，故选：A．
7．（24-25·山东·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3）
A．30 B．28 C．25 D．22
【答案】C
【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF，
∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆，
∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm，∴CF=2BC=15cm，
在Rt△CDF中，DF=cm，故他滑行的最短距离约为cm．故选C．
8．（24-25八年级上·浙江温州·期中）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图：以AB为直径作半圆，点C从点A出发，沿着圆弧向点B方向运动（与点A、B不重合），连接AC、BC，以AC、BC为直径分别向外作半圆，将围成两个月牙形（阴影部分），面积分别为和，在点C的运动过程中，与之和的变化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减少 C．一直不变 D．先增大后减小
【答案】D
【详解】如图：设的半径分别为，总面积为：，
是直角三角形，，，
=总面积 – 大半圆面积=
（h为三角形AB边上的高）
在C运动过程中有：h先增大后减小，故与之和的变化情况是先增大后减小，故选：D
9．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图等边中，点D，E为线段上动点且，连接交于点F，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵是等边三角形，∴，
∵∴，故①正确，∴，
∴，∴，故②正确，
∵，∴点D、E为的中点，
∵是等边三角形，∴是的垂直平分线，∴，故③正确，
过点A作于G，∵，∴，
在和中，，∴，∴
∵，∴是和边上的高，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∴，故④错误，综上所述：正确的结论有①②③，共3个，故选：C．
10．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴，
∵，，∴，∴，故①正确；
过点作于，于，
∵，∴，，∴，∴，
∵，， ∴平分，故③正确；
∵，， ∴，
∴，故②错误；在线段上截取，连接，
∵，∴，∵，，∴，
∴，由②得， ∴，
∵平分，∴，∵， ∴为等边三角形，∴，
∵，，∴，故④正确；综上，正确的结论有个， 故选：．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：①当或时，∵，∴，即是等边三角形；
②当或或时，∵，∴是等边三角形；
故答案为：（答案不唯一）
12．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）小明把一个边长为的正方形按如图1的方式裁成个形状、大小完全相同的直角三角形，然后拼成如图的图形，得到正方形、正方形，小明把正方形的边放在数轴上，其中点与数轴上表示1的点重合，且点在原点右侧，则点表示的数是 ．
【答案】/
【详解】解：如图：由题意得：，，，
在中，．
∵点与数轴上表示1的点重合，故点表示的数为．故答案为：．
13．（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，在中，，的平分线相交于点O，过点，且，分别交于点M、N．则的周长为 ．
【答案】19
【详解】解：∵，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
同理，，∴，∵，
∴的周长为，故答案为：19．
14．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有 款扫地机可以购买．
【答案】3
【详解】解：如图过点A、B分别作墙的垂线，交于点C，
则，，
在中，，即，∴
∵扫地机能从角落自由进出，∴扫地机的直径不大于长，
∴小洪可以购买扫地机的尺寸直径可以为，，，共3款，故答案为：3．
15．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，∵为等边三角形，，，
∴，，，，
∵为等边三角形， ∴，， ∴，∴，
在和中，，∴，∴，，
∴当时，线段的值最小，此时，，∴，故答案为：．
16．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，其中正确结论的序号为 ．
【答案】①②③④
【详解】解：∵，均为等边三角形，
∴，，
∴，即，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，∴，
又∵，∴为等边三角形，∴，∴，故结论②正确；
∵，∴，∴，
∴，故结论①正确；
如图，过作，垂足分别为，
∵，，∴，即，∴，
∴平分，故结论③正确；如图，在上取点，使得，
∵，∴为等边三角形，∴，，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，故结论④正确．综上所述，结论正确的有①②③④．故答案为：①②③④．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25·浙江·八年级专题练习）（1）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
②在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；③求△ABC的面积．
（2）如图是5×5的正方形网格，请以DE为一边作两个位置不同的格点三角形(三角形的顶点在网格的交点上)，使所作的三角形(△DEB1、△EDB2)与△ABC全等．
【答案】（1）①画图见解析，②画图见解析，③；（2）画图见解析
【详解】解：（1）①：如图，△A'B'C'即为所求；
②如图，点P即为所求；
③△ABC的面积=．
（2）如图，是所作的三角形，
18．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）已知：如图，为的外角平分线上的一点，，，求证：(1)是等腰三角形；(2)．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵，，，
为的外角平分线上的一点，，
，，是等腰三角形；
（2）证明：在和中，，∴，∴．
19．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）已知，如图，为等边三角形，，、相交于点(1)求证：；(2)求的度数；(3)若于，，，求的长.
【答案】(1)见解析；(2)(3)
【详解】（1）证明：是等边三角形，，，
又，．
（2）解：，，
是的外角，，，
是等边三角形，，．
（3）解：，，，
在中，，，，，
，，由（1）知，．
20．（24-25七年级下·山西太原·期末）阅读与思考：
下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质．研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理研究内容：一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图1，四边形中，，则四边形为“筝形”特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下：定义：如图2，筝形中，，，若，则称四边形为直角筝形．性质：根据定义，探索图2中直角筝形的性质，得到如下结论：关于内角：直角筝形中，与互补．理由如下：连接对角线．中，，，……关于对角线：……
任务：(1)补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程；
(2)小颖在图2的基础上连接对角线，交于点O，得到图3，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由；
(3)在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点E在射线上．若，则的度数为_________
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)40或90
【详解】（1）解：理由如下：连接对角线．
中，，，
∵在中，，∴，
∴，
∴，即与互补；
（2）解：在和中，，∴，
∴，∴平分与；
在和中，，∴，
∴，∵，
∴，∴，∴垂直平分；
（3）解：如图所示，当点E在延长线上时，连接交于T，
∵四边形是直角筝形，∴，
同理可证明，，∴，
∴．
如图所示，当点E在上时，则；
综上所述，或。
21．（25-26八年级上·江苏·单元测试）新考法定义：过直角三角形一直角边上的中点，向斜边引垂线，则称此垂线为直角三角形这一直角边上的直中斜垂线，直中斜垂线将斜边分为长度不相等的两条线段，其中较短的称为斜勾，较长的称为斜股．
性质：在直角三角形中，斜股与斜勾的平方差等于另一直角边的平方．
(1)如图①，在中，是的中点，于点，则即为中直角边上的直中斜垂线，为斜勾，为斜股，求证：；
(2)如图（2），在中，分别是中直角边的直中斜垂线，垂足分别为点，若，，求线段的长度．
【答案】(1)见解析；(2)线段的长度为5．
【详解】（1）证明：连接，D是的中点，，
在中，根据勾股定理有．
同理可得，，
，．
（2）解：在中，，．
根据直角三角形直中斜垂线性质有．设，则，
，解得，．
同理可得：，∴，解得：，
，线段的长度为5．
22.（24-25八年级上·福建漳州·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度．
先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：(1)直接写出代数式的最小值；(2)若，均为正数，且，求的最小值；
(3)若，求的值．
【答案】(1)5(2)10(3)
【详解】（1）解：如图，过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，∴，，∴，
∴，所以代数式的最小值为5．
（2）解：由题意，构造如下图形：（其中，点在线段上），
则，，∴可将问题转化为求线段的最小值，
∴的最小值为线段的长度，过点作，交延长线于点，
则四边形是矩形，∴，，∴，
∴，所以代数式的最小值为10．
（3）解：由题意，构造如下图形：其中，，，，于点，
∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，所以的值为．
23．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）在等腰中，，．
(1)如图1，D，E是等腰斜边BC上两动点，且，在等腰外侧作，连接．问：①________．
②判断线段之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图2，点D是等腰斜边所在射线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰（点在点的顺时针方向上），当，时，请直接写出的长．
【答案】(1)①90；②，理由见解析 (2)5或
【详解】（1）解：①由得（全等三角形对应角相等）．
等腰中，，故，即．
因此，又，故．
②结论：
证明：由得．
因，，故，即，即．
在和中，故得．
由①知，在中，代入、得．
（2）解：过A作于F，等腰中（斜边上的高等于斜边一半）．
分两种情况：①当D在上（B、C之间）：，则．
在中，
等腰中，．
②当D在延长线上（B外侧）：．
在中，，故．
∴的长为5或．
24．（24-25八年级下·山西晋中·期中）综合与实践
【问题提出】（1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点、于点，且．则猜想并证明，，之间的数量失系．（2）如图②，已知等边三角形及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由；
【问题解决】（3）如图③，在中，，点为外一点，且，，直接写出的度数．
【答案】（1）（2），证明见解析（3）
【详解】解：（1）∵，，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴；
（2）结论：，证明：在上截取，连接，
在等边中，，，
∵，∴为等边三角形，∴，，∴，
∴， ∴，∵，∴；
（3）证明：延长至，使，再在上取点，使，连接，，
∵， ∴，∴，
∵，∴，又，∴，
∵，∴，∴，∴，
又，∴，∴，
∵，，∴为等边三角形，∴，，
又，∴，∴
∵，，，
∴，∴，∴．
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第2章 特殊三角形 章末检测
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级·湖南·期中）下列图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25上海市松江区七年级期末）在中，有下列四个命题：
①如果，那么； ②如果，那么；
③如果，那么； ④如果，那么．
其中，真命题的个数有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是( )
A．有两个内角分别是的三角形 B．有一个角为的直角三角形
C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形D．有两个内角分别是的三角形
4．（24-25八年级下·广西河池·期中）如图所示，在中，，点为边的中点，顶点B,C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025八年级上·广东·专题练习）如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
7．（24-25·山东·八年级阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3）
A．30 B．28 C．25 D．22
8．（24-25八年级上·浙江温州·期中）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图：以AB为直径作半圆，点C从点A出发，沿着圆弧向点B方向运动（与点A、B不重合），连接AC、BC，以AC、BC为直径分别向外作半圆，将围成两个月牙形（阴影部分），面积分别为和，在点C的运动过程中，与之和的变化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减少 C．一直不变 D．先增大后减小
9．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图等边中，点D，E为线段上动点且，连接交于点F，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在等腰与等腰中，，，，连接和相交于点，交于点，交于点．下列结论：①；②；③平分；④若，则．其中一定正确的结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是 ．
12．（24-25七年级下·湖南长沙·阶段练习）小明把一个边长为的正方形按如图1的方式裁成个形状、大小完全相同的直角三角形，然后拼成如图的图形，得到正方形、正方形，小明把正方形的边放在数轴上，其中点与数轴上表示1的点重合，且点在原点右侧，则点表示的数是 ．
13．（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，在中，，的平分线相交于点O，过点，且，分别交于点M、N．则的周长为 ．
14．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）为了体验人工智能生活，小洪想购入一款圆形扫地机放置在如图所示的衣帽间的角落（鞋柜、衣柜与地面均无缝隙），在没有障碍物阻挡的前提下，扫地机能从底座脱离后打扫全屋地面．已知该圆形扫地机有如下5款尺寸（直径）：，，，，，则其中有 款扫地机可以购买．
15．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为 ．
16．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，点为线段上一动点（不与、重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，以下四个结论①；②；③平分；④，其中正确结论的序号为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25·浙江·八年级专题练习）（1）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均在小正方形的顶点上．①在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A'B'C′；
②在直线l上找一点P，使得△APC的周长最小；③求△ABC的面积．
（2）如图是5×5的正方形网格，请以DE为一边作两个位置不同的格点三角形(三角形的顶点在网格的交点上)，使所作的三角形(△DEB1、△EDB2)与△ABC全等．
18．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）已知：如图，为的外角平分线上的一点，，，求证：(1)是等腰三角形；(2)．
19．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）已知，如图，为等边三角形，，、相交于点(1)求证：；(2)求的度数；(3)若于，，，求的长.
20．（24-25七年级下·山西太原·期末）阅读与思考：
下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务．
关于“筝形”的研究报告研究对象：筝形研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质．研究方法：观察（测量、操作）——猜想——推理研究内容：一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图1，四边形中，，则四边形为“筝形”特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下：定义：如图2，筝形中，，，若，则称四边形为直角筝形．性质：根据定义，探索图2中直角筝形的性质，得到如下结论：关于内角：直角筝形中，与互补．理由如下：连接对角线．中，，，……关于对角线：……
任务：(1)补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程；
(2)小颖在图2的基础上连接对角线，交于点O，得到图3，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由；
(3)在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点E在射线上．若，则的度数为_________
21．（25-26八年级上·江苏·单元测试）新考法定义：过直角三角形一直角边上的中点，向斜边引垂线，则称此垂线为直角三角形这一直角边上的直中斜垂线，直中斜垂线将斜边分为长度不相等的两条线段，其中较短的称为斜勾，较长的称为斜股．
性质：在直角三角形中，斜股与斜勾的平方差等于另一直角边的平方．
(1)如图①，在中，是的中点，于点，则即为中直角边上的直中斜垂线，为斜勾，为斜股，求证：；
(2)如图（2），在中，分别是中直角边的直中斜垂线，垂足分别为点，若，，求线段的长度．
22.（24-25八年级上·福建漳州·期中）“数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．学习二次根式时，老师给同学们布置一道思考题：求代数式的最小值．小华同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和2的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的最小值（其中，点在线段上），进而得的最小值为线段的长度．
先仔细阅读上面材料，然后用“数形结合”思想解答下面问题：(1)直接写出代数式的最小值；(2)若，均为正数，且，求的最小值；
(3)若，求的值．
23．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）在等腰中，，．
(1)如图1，D，E是等腰斜边BC上两动点，且，在等腰外侧作，连接．问：①________．
②判断线段之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图2，点D是等腰斜边所在射线上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰（点在点的顺时针方向上），当，时，请直接写出的长．
24．（24-25八年级下·山西晋中·期中）综合与实践
【问题提出】（1）如图①，在中，，点为外一点，点为延长线上一点，点为线段上一点，于点、于点，且．则猜想并证明，，之间的数量失系．（2）如图②，已知等边三角形及外一点，连接，，．若，试判断，，之间满足的数量关系，并说明理由；
【问题解决】（3）如图③，在中，，点为外一点，且，，直接写出的度数．
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