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专题2.9 几何最值模型-将军饮马
三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 6
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 8
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 10
模块3：培优训练 13
将军饮马模型 图形
原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系
特征 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值
转化 作其中一个定点关于定直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线l的对称点
要求：点位定点，在直线，上分别找点，，使周长（即）最小
操作：分别作点关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，，
求长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°），连结，，，由对称性可求也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），，可得特殊等腰，利用三边关系求出
要求：点，为定点，直线，上分别找，，使周长（即）小
操作：分别作点，关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，，
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
例1．（2024·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____．
【答案】15°##15度
【详解】如图，作点B关于MN的对称点D，连接AD交MN于P，连接BP，CD，
∵点B与点D是关于MN的对称点，∠BCN＝30°，∴BC=CD，∠BCD＝60°，∴△BCD是等边三角形，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴AC=CD，∠ACD＝∠ACB +∠BCD＝150°，∴∠CDP＝15°，
∵点B与点D是关于MN的对称点，，且△BCD是等边三角形，
∴由等边三角形的轴对称性可知：∠CBP=∠CDP=15°，故答案为：15°．
例2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：连接，过点作，
，，，，，，，
当、、三点共线且时，的最小值为，
，，即的最小值为，故答案为：．
例3．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是（ ）
A．9 B．15 C．24 D．27
【答案】B
【详解】如图，连接，垂直平分线段，，
当P和E重合时，的值最小，最小值为，
，的最小值为9，
的周长的最小值为，故选：B
例4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，，是∠ABC的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：在中，，由勾股定理得：，
过点作于点，交于点P，过点P作于Q，如图，
平分，于点，于Q，，∴的最小值，
，，解得：．故答案为：．
例5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形刚好是中点，P、Q分别是线段上的动点，则的最小值为（　　）
A．12 B．15 C．16 D．18
【答案】D
【详解】作点关于的对称点，连接、，则，
∵，∴，∴，∴是等边三角形，
连接、、，则，∴，
∴当、、在同一直线上，且时，则最小值为的长，
此时，为中点，故与重合，∵，∴，
在中，，
∴最小值为．故答案为：．故选：D．
例6．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，等腰直角中，，，为中点，，为上一个动点，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，，
则，，，，是的中点，，，
，当，，在同一直线上时，的最小值等于的长，此时，最小，，为的中点，，
又，，
，的最小值为．故答案为：．
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
例1．（24-25·河北衡水·八年级期末）如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知，，，画出关于轴对称的图形△，并写出的坐标；（2）在轴上画出点，使最小；（3）在（1）的条件下，在轴上画出点，使最大．
【答案】（1）见解析；B1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析
【详解】解：（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点A1、B1、C1，顺次连结，则△为所求，
点，关于y轴对称，横坐标符号改变B1（2，0），如图；B1（2，0）；
（2）连结AC1，交y轴于点P，两用两点之交线段最短知AC1最短，
则PA+PC=PA+PC1=AC1，则点P为所求，如图；
（3）延长C1B1交y轴于M，利用两边之差小于第三边，最大=C1B1，如图．
例2．（24-25江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______.
【详解】解：∵MN垂直平分AC，∴MA＝MC，
又∵C△BMC＝BM+MC+BC＝20cm，BM+MA＝AB＝12cm，∴BC＝20﹣12＝8（cm），
在MN上取点P，∵MN垂直平分AC连接PA、PB、PC
∴PA＝PC ∴PA﹣PB＝PC﹣PB 在△PBC中PC﹣PB＜BC
当P、B、C共线时，即P运动到与P'重合时，（PC﹣PB）有最大值，此时PC﹣PB＝BC＝8cm．
例3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：作点关于的对称点，连接，
∴，∴，
∴当三点共线时，的最大值为的长，
∵，∴，∴，
∴，∴为等边三角形，∴，
∴的最大值为；故答案为：．
例4．（24-25重庆·八年级专题练习）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为___．
【答案】10
【详解】解：如图，过点F作 FH⊥EC 于H．∵△CFE的面积为8，即EC FH=8，CE=8，∴FH=2，
过点F作直线l//EC，作点C关于直线l的对称点C'，连接AC'交直线l于F'，此时|F'A F'C'|的值最大，即|FA FC|的值最大，最大值为线段AC'的长，过点C'作C'K⊥AB于K．∵∠C'KB=∠KEC=∠ECC'=90° ，
∴四边形CEKC'是矩形，∴CC'=EK=4，EC=KC'=8，∵AE=10，∴AK=AE EK=10 4=6，
∴AC'=，∴|FA FC|的最大值为10．故答案为10．
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
例1．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，，点P是内的定点且，若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：作点P关于的对称点F，关于的对称点E，连接交，于点M，N，连接，，则的周长，
∵，∴由对称性可知：，，
∴，即周长的最小值是，故答案为：．
例2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是4，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：分别作点关于的对称点，连接，分别交于点，此时的值最小，连接，如图所示：
∵点关于的对称点为，关于的对称点为∴
∵点关于的对称点为∴∴
∵周长的最小值是4∴∴即
∴，即是等边三角形∴∴．故选：B．
例3．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在凸四边形中，若，分别为边，上的动点，，，，，则的周长的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，连接，∵，∴由勾股定理得，，
作关于的对称点为，作关于的对称点为，连接，交与，交于，连接，，则，，，，，
，∴，
过作，，，，
，，的周长为，
当、、、四点共线时，的周长最小，为，即为，故答案为：．
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
例1．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【答案】D
【详解】解：如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B，则，∴为最小值，
∵点P与点关于对称，点Q与点关于对称，
∴
∵，∴，
∴，
∴，即的最小值为10，故选：D．
例2．（24-25八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：如图，作点关于的对称点，则，
作点关于的对称点，则，∴
当四点共线时，最小，连接，
∵则,
∴∵,
过作垂直的延长线交于点，∴
在中，，根据角所对的直角边是斜边的一半可知，
则，∴
即的最小值为．故答案为：．
例3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：作M关于的对称点，作N关于的对称点，如图所示：
连接，其长度即为的最小值．
根据轴对称的定义可知：，
∴，∴．故答案为：．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点是线段上一定点，点分别为直线和轴上的两个动点，当周长的最小值为6时，点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作关于轴的对称点，作关于直线的对称点，连接，连接交于，交轴于，如图：

，，，此时周长最小为，
由得，，，是等腰直角三角形，
、关于对称，，，
设，则
在中，即
解得：（负值舍去）即故选：B．
2．（2024·湖南湘西·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：
①分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；②作射线．
若C为上的一点，点A，D位于上，且，，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】解：作点D关于的对称点，连接交于点C，
∵点D和点关于对称，∴，∴，
当A、C、三点共线，且时，最短，
∵，，∴，∴最小值为2，故选：B．
3．（2024·安徽九年级一模）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（ ）
A．6 B．6 C．3 D．3
【答案】D
【详解】解：如图，在BC上取E，使BE＝BQ，连接PE，过A作AH⊥BC于H，
∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，
∵BP＝BP，BE＝BQ，∴△BPQ≌△BPE（SAS），∴PE＝PQ，
∴AP＋PQ的最小即是AP＋PE最小，当AP＋PE＝AH时最小，
在Rt△ABH中，AB＝6，∠ABC＝60°，∴AH＝＝，∴AP＋PQ的最小为，故选：D．
4．（24-25·河南七年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，作N关于BD的对称点，连结N，与BD交于点O，过C作CE⊥AB于E，则 ∵BD平分 ∠ABC ，∴在AB上，且MN=M，∴CM+MN=，
∴根据两点之间线段最短可得CM+MN 的最小值为，即C点到线段AB某点的连线，
∴根据垂线段最短，CM+MN 的最小值为C点到AB的垂线段CE的长度，
∵△ABC 的面积为 10 ，∴，∴CE=5，故选B．
5．（2024·甘肃白银·七年级期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．12 D．8
【答案】A
【详解】解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，即A、P、C三点共线时，AP+BP的值最小，
∵EF垂直平分BC，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC=4，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC=3+4=7，故A正确．故选：A．
6．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在直角坐标系中，，，，且点的纵坐标为5，为线段上一动点，连接；则的最小值为（ ）

A． B． C．16 D．
【答案】D
【详解】如图所示，作点B关于的对称点，连接交于点E，过点作轴于点D，过点C作轴于点F，∴

∴当A，P，三点共线时，有最小值，即的长度，
∵点的纵坐标为5∴，
∴，即解得
∵点B关于的对称点∴，∴∴设，则
∵∴∴解得
∴∴∴
∴．∴的最小值为．故选：D．
7.（2024绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
【答案】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝70°，∴∠DAB＝110°，∴∠HAA′＝70°，∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，
∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，故选：B．
8．（2024·江西宜春·八年级期末）如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，交于点，点是直线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【详解】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴PC+PB=PA+PB，
∵P运动的过程中，P与E重合时有最小值，∴PB+PC的最小值=AB=5．故选：A
9．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知等腰直角三角形，点E是边上的一点，，，P为斜边上一动点，则的最小值为（ ）．
A． B．5 C． D．6
【答案】B
【详解】解：作点关于的对称点，连接，
等腰直角三角形，，
∵，∴，，
∴，即的最小值为的长，
在中，由勾股定理，得，故选：B．
10．（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示，
∵是M关于的对称点，，，
∴，，，
∵，∴，，
∴．∴，故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）．
【答案】50
【详解】作M关于OB的对称点，N关于OA的对称点，连接，交OB于点P，交OA于点Q，连接MP，QN，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时最小，即，∴，
∵，∴，
∵，，∴ ，
∴ ．故答案为：50．
12．（2024·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．
【答案】2
【解析】作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″,
由轴对称确定最短路线问题,P′P″分别与OA,OB的交点即为Q,R,
△PQR周长的最小值=P′P″,由轴对称的性质,∠POA=∠P′OA,∠POB=∠P″OB,OP′=OP″=OP=2,
所以,∠P′OP″=2∠AOB=2×30°=60°,所以,△OP′P″是等边三角形,所以,PP′=OP′=2．故答案为:2.
13．（2024·江苏泰州·九年级专题练习）若点A（3，2），点B（－2，－1），在x轴上找一点P，使|PA－PB|最小，则点P坐标为________
【答案】
【详解】解：根据题意可得，当PA=PB时，最小，
∵点P在x轴上，设点P(a,0)，，，
当PA=PB时，解得：a=，∴点P（，0），故答案为：（，0）．
14．（2024·广东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．
【答案】5
【详解】解：如图，
作点关于射线的对称点，连接、，B'P．
则，，，．
∵ ，∴，∴ 是等边三角形，∴，
在中，，当、、在同一直线上时，取最大值，即为5．
∴的最大值是5．故答案为：5．
15．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点P是射线上一点，点是点P分别关于的对称点．若则线段长的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：连接，由对称性可知，
∵，∴，∴是等边三角形．∴，
又∵，∴．则当取得最小值时，有最小值．
过点A作的垂线，垂足为M，∵，∴，
∴．∴故答案为：
16．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，是第二象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为2，且，在y轴上取一点D，连接、、、，使得四边形的周长最小，则周长的最小值为 ．

【答案】
【详解】解：由题意可知，轴，，
，，，，，
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
，，，
当点在位置时，有最小值，最小值为的长，
在中，，
四边形的周长最小值为，故答案为：．

三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级下·北京西城·开学考试）（1）如图1，A、B是直线同旁的两个定点． 请你在直线上确定一点，使的值最小．
（2）如图2，，是内一点，． 请你在上找一点，在上找一点，使得的周长最小． 要求：画出图形，并计算这个最小值是 ．

【答案】（1）见解析；（2）作图见解析；10
【详解】解：（1）过点A作，并在上截取，连接交于点，连接，点即为所求，如图：∵垂直平分，∴，∴，

∵两点之间线段最短，∴此时最小，即最小．
（2）作出点关于、的对称点、，连接、，连接交于点Q、R，此时的周长最小，如图：根据对称性可得出：，，，，，∴，
∵两点之间线段最短，∴此时的周长最小，∵，∴，
∵，∴为等边三角形，
∴，∴的周长最小值为．故答案为：．
18．（2024·福建泉州·七年级期末）如图，在网格中，最小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上．(1)画出关于直线l对称的图形；(2)点P在直线l上，直接写出的最大值．
【答案】(1)见解析(2)2
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：（当、、共线时，取等号），
的最大值为的长，即的最大值为2．
19．（2024·湖北·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）4．
【详解】证明：（1）在中，，，
点是斜边的中点，，是等边三角形；
（2）如图，连接，
和都是等边三角形，，，
，垂直平分，，
同理可得：垂直平分，，，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，
故的最小值为4．
20．（2024·山东青岛市·八年级期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
【答案】（1）CD与BE始终相等；（2）5；（3）7
【详解】解：（1）由已知可得AD=t，EC=t，∴AD=CE，
∵△ABC是等边三角形∴∠A=∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ADC≌△CEB（SAS），∴BE=CD，∴CD与BE始终相等；
（2）∵DE∥BC，∴AD=AE，∵AB=AC=10，∴t=10-t，∴t=5；
（3）∵BM⊥AC，∴BM平分∠ABC，
作D点关于BM的对称点D'交BC于点D'，连接D'E，交BM于点P，
∵DP=D'P，∴DP+PE=D'P+PE=D'E，∵t=7，∴AE=BD=BD′=3，AD=CE=7，∴CD′=7，又∠C=60°，
∴△CD′E为等边三角形，∴D'E=CD′=7，∴PD+PE的最小值为7．
21．（2024·重庆八中八年级期中）阅读理解.
材料一：平面内任意两点 ，间的距离公式为：，特别地，当两个点同时在轴或轴上，或者两点所在直线平行于轴或轴时，两点间的距离公式可化简为或；
材料二：如图1，点，在直线的两侧，在直线上找一点，使得的值最大．解题思路：如图2，作点关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点，则点，之间的距离即为的最大值．
　　
请根据以上材料解决下列问题：
（1）已知点，在平行于轴的直线上，点在一三象限的角平分线上，，求点的坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，点，点，请在直线上找一点，使得最大，求出的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）或；（2），
【详解】解：（1） 点在一三象限的角平分线上，
如图，当在的上方时，轴，
当在的下方时，轴， 综上：或
（2）如图，记 由直线是的对称轴，
关于对称，连接 交直线于 连接 则
此时取最大值，
点，
即的最大值为： 设的解析式为：
解得： 的解析式为：
，解得：
22．（24-25八年级上·广东深圳·期末）我们学移、旋转、轴对称等图形变换，这些图形变换不仅可以应用到精美的图案设计上，还可以解决生活实际问题．
如图1，在平面直角坐标系中，，，．
(1)【图案设计】作出关于轴的对称图形，并标注出点，，；
(2)【拓展应用】如图1，点是轴上一动点，并且满足的值最小，请在图中找出点的位置（保留作图痕迹），并直接写出的最小值为____________．
(3)【实际应用】如图2，某地有一块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），请问的周长最少约多少米？（保留整数）（，）
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点G，连接交x轴于P，点P即为所求，
由轴对称的性质可得，则，
∴当三点共线时，最小，即此时最小，最小值为，
∵，∴，又∵，∴，∴的最小值为；
（3）解：如图所示，作点关于、的对称点、，连接，
由轴对称的性质可得，，，，，，∴的周长，
∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长，
，，
最小周长为．
23．（23-24八年级上·陕西西安·期末）【问题发现】
（1）数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边1饮马，再去河岸同侧的军营B开会，应该怎么走才能使得路程最短？小明略加思索就给出了解决方法：如图2，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于C，点C就是所求位置．
∵直线l是点B，的对称轴，∴∴ 根据“ ”可得的最小值是．
【问题探究】（2）如图3，在等边中，，，E是边上的一点，且，F是上的一个动点，求周长的最小值；
【问题解决】（3）如图4，在四边形中，，，，，点E是线段上的任一点，连接，以为直角边在下方作等腰直角三角形，为斜边．边上存在一个点G，且点G到的距离等于20，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）两点之间，线段最短；（2）的周长最小值是；（3）存在；的周长最小值为
【详解】解：（1）∵直线l是点B，的对称轴，∴∴
根据“两点之间，线段最短”可得的最小值是．
（2）如图，过作于，连接，
∵等边，，， ，
∴，，，，，
∴是的垂直平分线，∴，∴，
当三点共线时，，
此时的周长最短，而，∴的周长最小值是；
（3）如图，过作于，过作于，∴，
∵，，∴，，
∵，，∴，，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
过作于，交于，∵，∴，
∵，，∴，∴，在直线上运动，
∴， ∴是的垂直平分线，∴，
当三点共线时，，此时线段和最小，∴的周长最小，
而此时，，
，∴，
∴的周长最小值为：．
24．（24-25·江苏·八年级期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+　 　=　 　．
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
1.简单应用（1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值
借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段　 　的长度，则EM+MC的最小值是　 　；（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=　 　°．
2.拓展应用：如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．
【答案】C′B；AB′；简单应用：（1）BE；3；（2）100；拓展应用：作图见解析，货船行驶的水路最短路程为千米
【详解】解：AC+CB=AC+C′B=AB′，故答案为：C′B；AB′；
1.简单应用（1）由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，
EM+MC的最小值就是线段BE的长度，
BE=，则EM+MC的最小值是，故答案为：BE；；
（2）如图5，作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值，∵∠DAB=130°，∴∠A′+∠A″=50°，
∵∠A′=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠A′+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠A′+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°，故答案为：100；
2.拓展应用：如图6，分别作点A关于OB的对称点A′，点B关于OA的对称点B′，连接A′B′，交OB于C，交OA于D，则C、D为两岸的装货地点，A′B′是货船行驶的水路最短路程，
由轴对称的性质可知，OA′=OA=1，OB′=OB=2，∠BOA′=∠AOB=30°，∠AOB′=∠AOB=30°，
∴∠A′OB′=90°，∴A′B′=，答：货船行驶的水路最短路程为千米．
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专题2.9 几何最值模型-将军饮马
三角形中的最值（将军饮马模型）问题在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
模块1：知识梳理 1
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 2
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 6
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 8
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 10
模块3：培优训练 13
将军饮马模型 图形
原理 两点之间线段最短 两点之间线段最短 三角形三边关系
特征 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值
转化 作其中一个定点关于定直线l的对称点 先平移AM或BN使M，N重合，然后作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线l的对称点
要求：点位定点，在直线，上分别找点，，使周长（即）最小
操作：分别作点关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，，
求长度通法：如上图，一般会给一个特殊角（15°，30°，45°，60°，75°），连结，，，由对称性可求也为特殊角（30°，60°，90°，120°，150°），，可得特殊等腰，利用三边关系求出
要求：点，为定点，直线，上分别找，，使周长（即）小
操作：分别作点，关于直线，的对称点和，连结与直线，的交点为，，
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
例1．（2024·福建·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝30°，点P为MN上一动点，连结AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 _____．
例2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，于点，，，点为边上的动点，点为边上的动点，则的最小值是 ．
例3．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是（ ）
A．9 B．15 C．24 D．27
例4．（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，在中，，，，是∠ABC的平分线，若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
例5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形刚好是中点，P、Q分别是线段上的动点，则的最小值为（　　）
A．12 B．15 C．16 D．18
例6．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，等腰直角中，，，为中点，，为上一个动点，则的最小值为 ．
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
例1．（24-25·河北衡水·八年级期末）如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知，，，画出关于轴对称的图形△，并写出的坐标；（2）在轴上画出点，使最小；（3）在（1）的条件下，在轴上画出点，使最大．
例2．（24-25江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______.
例3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ．
例4．（24-25重庆·八年级专题练习）如图，四边形中，，，点为直线左侧平面上一点，的面积为则的最大值为___．
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
例1．（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，，点P是内的定点且，若点M、N分别是射线、上异于点O的动点，则周长的最小值是 ．
例2．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是4，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
例3．（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在凸四边形中，若，分别为边，上的动点，，，，，则的周长的最小值为 ．
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
例1．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
例2．（24-25八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ．
例3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，，点M、N分别在边上，且，点P、Q分别在边上，则的最小值是 ．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点是线段上一定点，点分别为直线和轴上的两个动点，当周长的最小值为6时，点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
2．（2024·湖南湘西·一模）如图，在中，，按以下步骤作图：
①分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；②作射线．
若C为上的一点，点A，D位于上，且，，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
3．（2024·安徽九年级一模）如图，在锐角△ABC中，AB＝6，∠ABC＝60°，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，Q分别是BD，AB上的动点，则AP＋PQ的最小值为（ ）
A．6 B．6 C．3 D．3
4．（24-25·河南七年级期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·甘肃白银·七年级期末）如图，在中，，，，，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则周长的最小值是（ ）
A．7 B．6 C．12 D．8
6．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在直角坐标系中，，，，且点的纵坐标为5，为线段上一动点，连接；则的最小值为（ ）

A． B． C．16 D．
7.（2024绵阳八年级期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝70°，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．70°
8．（2024·江西宜春·八年级期末）如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，交于点，点是直线上的一个动点，若，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，已知等腰直角三角形，点E是边上的一点，，，P为斜边上一动点，则的最小值为（ ）．
A． B．5 C． D．6
10．（24-25八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25·和平区·八年级期末）如图，，点M，N分别是边，上的定点，点P，Q分别是边，上的动点，记，，当的值最小时，的大小=___（度）．
12．（2024·湖南雨花·初二期末）如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．
13．（2024·江苏泰州·九年级专题练习）若点A（3，2），点B（－2，－1），在x轴上找一点P，使|PA－PB|最小，则点P坐标为________
14．（2024·广东·八年级专题练习）如图，，，AD是∠BAC内的一条射线，且，P为AD上一动点，则的最大值是______．
15．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点P是射线上一点，点是点P分别关于的对称点．若则线段长的最小值为 ．
16．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，是第二象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为2，且，在y轴上取一点D，连接、、、，使得四边形的周长最小，则周长的最小值为 ．

三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级下·北京西城·开学考试）（1）如图1，A、B是直线同旁的两个定点． 请你在直线上确定一点，使的值最小．
（2）如图2，，是内一点，． 请你在上找一点，在上找一点，使得的周长最小． 要求：画出图形，并计算这个最小值是 ．

18．（2024·福建泉州·七年级期末）如图，在网格中，最小正方形的边长为1，点A、B、C都在格点上．(1)画出关于直线l对称的图形；(2)点P在直线l上，直接写出的最大值．
19．（2024·湖北·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．
（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．
20．（2024·山东青岛市·八年级期末）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点和动点同时出发，分别以每秒的速度由向和由向运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为，，和交于点．
（1）在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；（2）连接，求为何值时，；
（3）若于点，点为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．
21．（2024·重庆八中八年级期中）阅读理解.
材料一：平面内任意两点 ，间的距离公式为：，特别地，当两个点同时在轴或轴上，或者两点所在直线平行于轴或轴时，两点间的距离公式可化简为或；
材料二：如图1，点，在直线的两侧，在直线上找一点，使得的值最大．解题思路：如图2，作点关于直线的对称点，连接并延长，交直线于点，则点，之间的距离即为的最大值．
　　
请根据以上材料解决下列问题：
（1）已知点，在平行于轴的直线上，点在一三象限的角平分线上，，求点的坐标；（2）如图3，在平面直角坐标系中，点，点，请在直线上找一点，使得最大，求出的最大值及此时点的坐标．
22．（24-25八年级上·广东深圳·期末）我们学移、旋转、轴对称等图形变换，这些图形变换不仅可以应用到精美的图案设计上，还可以解决生活实际问题．
如图1，在平面直角坐标系中，，，．
(1)【图案设计】作出关于轴的对称图形，并标注出点，，；
(2)【拓展应用】如图1，点是轴上一动点，并且满足的值最小，请在图中找出点的位置（保留作图痕迹），并直接写出的最小值为____________．
(3)【实际应用】如图2，某地有一块三角形空地，已知，是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点，分别是，边上的任意一点（不与各边顶点重合），请问的周长最少约多少米？（保留整数）（，）
23．（23-24八年级上·陕西西安·期末）【问题发现】
（1）数学课堂上，李老师提出了一个问题：如图1所示，将军每天从军营A出发，先到河边1饮马，再去河岸同侧的军营B开会，应该怎么走才能使得路程最短？小明略加思索就给出了解决方法：如图2，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于C，点C就是所求位置．
∵直线l是点B，的对称轴，∴∴ 根据“ ”可得的最小值是．
【问题探究】（2）如图3，在等边中，，，E是边上的一点，且，F是上的一个动点，求周长的最小值；
【问题解决】（3）如图4，在四边形中，，，，，点E是线段上的任一点，连接，以为直角边在下方作等腰直角三角形，为斜边．边上存在一个点G，且点G到的距离等于20，连接，的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长最小值；若不存在，请说明理由．
24．（24-25·江苏·八年级期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．
如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连结AC′，BC′，B′C′，
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在l上，
∴CB=CB′，C′B=C′B′，∴AC+CB=AC+　 　=　 　．
在△AC′B′中，∵AB′＜AC′+C′B′∴AC+CB＜AC′+C′B′即AC+CB最小．
本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在AB′与l的交点上，即A、C、B′三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型．
1.简单应用（1）如图4，在等边△ABC中，AB=6，AD⊥BC，E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的最小值
借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，B与C关于直线AD对称，连结BM，EM+MC的最小值就是线段　 　的长度，则EM+MC的最小值是　 　；（2）如图5，在四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M、N当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM=　 　°．
2.拓展应用：如图6，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，∠AOB=30°，OA=1千米，OB=2千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠OB岸C处装货，再停靠OA岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．
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