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专题2.2 等腰三角形+专题2.3 等腰三角形的性质定理
1、了解等腰（等边）三角形的概念；掌握等腰（等边）三角形的轴对称性；
2、掌握等腰三角形性质定理；
3、会利用等腰三角形的性质定理进行简单的推理判断、计算和作图；
4、探索等边三角形的性质:等边三角形的各个内角都等于60。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1 等腰三角形及相关概念 2
考点2 根据等边对等角（计算） 3
考点3 根据等边对等角（证明） 5
考点4 三线合一的相关概念与计算 7
考点5 三线合一的相关证明 9
考点6 等边三角形的性质 11
考点7 等腰（等边）三角形中的新定义问题 13
模块3：培优训练 14
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴。
2.等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形。
结论：等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴。
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
3.等腰（等边）三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的各个内角都等于60°。
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
4.等腰三角形的性质的作用：证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．
考点1 等腰三角形及相关概念
例1．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为 ；
【答案】 或
【详解】解：∵等腰三角形的一个内角的度数为，
当等腰三角形的底角为时，则顶角为；
当等腰三角形的顶角为时，则顶角为；∴它的顶角度数为：或；
等腰三角形的两边长为和，当腰长为，则等腰三角形三边长为，
∵，不能构成三角形，故舍去；
当腰长为，则等腰三角形三边长为，
∵，能构成三角形，∴该等腰三角形的周长为；
故答案为：或；；
变式1．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：当为顶角时：和相等，由内角和定理得：；
当为底角时：另一底角也为，
当为顶角：；当也为底角：；
综上，的度数不可能是，故选：C．
变式2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）等腰三角形的两边长分别为，则该三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
【答案】B
【详解】解：等腰三角形两边长分别为和，可能有两种情况：
情况一：腰长为，底边为．则三边为、、．
此时，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故该情况不成立．
情况二：腰长为，底边为．则三边为、、．
此时，，均满足三角形三边关系，故该情况成立．则周长为．故选：B
变式3．（2025·湖北荆州·三模）已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：等腰三角形的顶角为，这个等腰三角形的底角为：，故选：B．
变式4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列叙述正确的语句是（ ）（多选题）
A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．等腰三角形的对称轴是底边上的高线 D．全等三角形的对应角平分线相等
【答案】A
【详解】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，是真命题，符合题意；
B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，原说法错误，不符合题意；
C、等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，原说法错误，不符合题意；
D、全等三角形的对应角平分线相等，说法正确，符合题意；故选：AD．
考点2 根据等边对等角（计算）
例1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点（点不与点和点重合），将沿所在直线折叠得到，若是等腰三角形，则的度数为 ．
【答案】或
【详解】解： ，，，
由折叠的性质可知，，，，
①如图，当时，则，
，；
②如图，当时，则，
，；
③当时，则，点不与点和点重合，此种情况不存在，
综上可知，的度数为或，故答案为：或．
变式1．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）如图，在中，点M为上一点，，，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，∴，，
∵，∴，故答案为：．
变式2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，为边上两点，且满足，，连结，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：设，，，，，，
在中，由三角形内角和定理可得，即①，
，，则②，
由②①得，故选：B．
变式3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在中，是的外角的平分线，交的延长线于点，．若，则的长度为 ．
【答案】
【详解】解：∵是的外角的平分线，∴，
∵，∴，，∴，
∵，∴．故答案为：
考点3 根据等边对等角（证明）
例1．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，．
(1)求证：．(2)求证：．
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【详解】（1）证明：，． ．
在与中，．
（2）解：，．，．
，．
变式1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，．
(1)求证：；(2)若，求的度数．
【答案】(1)见详解(2)
【详解】（1）证明：，，为的中点，，
，，，
在和中，，，；
（2）解：由（1）得，，，
，，
，，
在中，，，，
在中，，．
变式2．（24-25八年级下·山东·假期作业）如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点F．
(1)求证：；(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵，是边上的中线，∴，，
，，，∴，∴．
（2）证明：由（1）知，，那么，
在和中，，∴，∴，
是边上的中线，∴．
变式3．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，．(1)求证：；(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：，，，．
又是上一点，．
在与中，；
（2）证明：，．
又中，，，；
考点4 三线合一的相关概念与计算
例1．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ．
【答案】110
【详解】解：在中，，D为的中点，，即，
，，，
；故答案为：．
变式1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为延长线上一点，于．若，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．以上结论都不对
【答案】B
【详解】解：过点作于，∵，∴，
∵，，∴，
∴，∴，故选：B．
变式2．（24-25八年级下·广东佛山·期中）在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：在中，，，，，，
故选项A.B.C正确，不符合题意；不能证明，故选项D不正确，符合题意；故：D．
变式3．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）加图，在中，是的中线，于点，若，则的度数为 ．
【答案】
【详解】于点，，，，
是的中线，是的角平分线，．故答案为：．
考点5 三线合一的相关证明
例1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）．
(1)以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在中，，作平分，交于点．求证：，且．证明：
【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题：
(2)如图，在中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，．若，则下列结论错误的是_____．
①，②，③，④
【答案】(1)见解析 (2)③
【详解】（1）证明：∵平分，∴，
∵，，∴，∴，，
∵，∴，∴；
（2）解：∵，，，∴平分，∴，
∵，∴是底边上的中线，底边上的高线，∴，，
无法证明，故①②④正确，③错误．故答案为：③．
变式1．（2025·河南周口·一模）如图，在等腰中，已知，是的中点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作腰上的高，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）如图所示，即为所求作上的高；
（2）如图所示，连接交于点，由（1）得，
∵，是的中点∴∴
∵∴
∵，∴∴．
变式2.（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，中，，，，试说明.
【答案】见解析
【详解】解：如图所示，作于E，
，，，．
，，．
在和中，，，，
，，．
考点6 等边三角形的性质
例1.（24-25八年级上·浙江·假期作业）如图，在等边中，，，垂足为M，E是延长线上的一点，．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：如图所示，连接．
是等边三角形，，，，
，，，，
，， 又，．
变式1.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵是等边三角形，且是边上的中线，∴．
∵，∴，∴．
故选：D．
变式2.（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【详解】解：如图，过点P作交于点F，
是等边三角形，，，
，，是等边三角形，
，，，，
在和中， )，
，设，则有，
，，，，，
，，解得：，即，故选：A．
变式3.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，过点D作于．试说明：．
【答案】见解析
【详解】证明：为等边三角形，是中线，，
又，，，∵，，
，为等边三角形，，
∴，，，
变式4.（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上．(1)求证：；(2)求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴，
∴∴∴；
（2）∵是直角三角形，为直角边，∴
∵是等边三角形，则，∴，
由（1）可得∴
∵是等边三角形，∴∴
∴∴∴垂直平分∴．
考点7 等腰（等边）三角形中的新定义问题
例1．（24-25·浙江七年级期中）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
【答案】6
【详解】解：设BE与AC、AD交于M、N，
ABCDE是正五边形，内角和为，每一个内角为，
∴∠ABC＝∠BAE＝∠AED＝∠BCD＝∠CDE＝108°，
∵AB＝BC＝AE＝ED，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，∠EAD＝∠ADE＝36°，
∴∠CAD＝36°，∠ACD＝∠ADC＝72°，∴AC＝AD，∴△ACD是黄金三角形，
同理可求：∠BAN＝∠ANB＝∠AME＝∠EAM＝72°，∠CBM＝∠BMC＝∠DNE＝∠DEN＝72°，
∴△AMN、△DEN、△EAM、△CMB，△ABN也是黄金三角形．
则图中黄金三角形的个数有6个．故答案为：6．
变式1．（24-25江苏中考数学模拟）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
【答案】6
【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=3∴AB=AC
当AB=AC=2BC时，△ABC是“倍长三角形”；
当BC=2AB=2AC时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意；
所以当等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为6．故答案为6．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·浙江·期中）下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；③等腰三角形一定是锐角三角形；④等腰三角形两个底角相等；⑤等腰三角形是轴对称图形．其中真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【详解】解：①等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高线三线重合，故该项错误；
②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等，故该项正确；
③等腰三角形不一定是锐角三角形，故该项错误；④等腰三角形两个底角相等，故该项正确；
⑤等腰三角形是轴对称图形，故该项正确．综上可得：②、④、⑤正确故选：B
2．（24-25八年级下·山西运城·期中）在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵，∴，∵，∴；故选C．
3．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在等腰中，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵在等腰中，，∴．故选D．
4．（2025·浙江温州·三模）如图，点，分别在等边三角形的边，上，，若，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵是等边三角形， ∴，
又∵，∴，∴，
∴，故选：B．
5．（24-25·浙江·八年级期中）已知等腰三角形中一边长为4，周长为18，则腰长为（ ）
A．4或10 B．7 C．4或7 D．10
【答案】B
【详解】解：分情况考虑：当4是腰时，则底边长是18-8=10，此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；当4是底边时，腰长是（18-4）× =7，4，7，7能够组成三角形．此时腰长是7．故选：B．
6．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，李大伯用篱笆搭建了一块四边形土地用来种花，，为四边形土地的一条小路（点E在边上），且恰好平分．若篱笆的长度为5米，篱笆的长度为米，则篱笆的长度是（ ）
A．米 B．米 C．6米 D．米
【答案】A
【详解】解：∵，∴，
∵恰好平分，∴，∴，∴，
米，米，米，∴米，故选：A．
7.（2025·安徽淮北·三模）如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，，，
是正五边形，，且，
，，，
在等腰中，，则，
，故选：B．
8．（24-25·河北承德·九年级校联考阶段练习）老师在黑板上出了这样的一道练习题：如图，中，，是的角平分线，过点D作交于点E，交的平行线于点F，求证：．
嘉琪的解答如下：
证明：∵中，，是角平分线（已知），∴，∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）又∵（对顶角相等），∴（▲），∴（全等三角形对应边相等）．∴（等量代换）．
下列选项错误的是（ ）
A．★表示 B．直接依据●表示等腰三角形“三线合一” C．※表示 D．直接依据▲表示
【答案】D
【详解】证明：∵中，，是角平分线（已知），
∴（等腰三角形的“三线合一”），故A，B选项正确，不符合题意；
∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）故C选项正确，不符合题意；
又∵（对顶角相等），∴（），故D选项错误，符合题意；
∴（全等三角形对应边相等）．∴（等量代换）；故选D．
9．（24-25八年级上·河南·期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CGD＋∠CDG，∴∠CGD＋∠CDG＝60°，∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°，
∵∠CDG＝∠DFE＋∠E，∴∠DFE＋∠E＝30°，∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°，故选：A．
10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，∴，
∴，∴，∴，①正确；，
∵，∴∴，
∵，∴，∴，②正确；
，③正确：∴是等边三角形，④正确．故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，点A为外部一点，连接，点A、D、C在一条直线上，，若，则的长为 ．
【答案】3
【详解】解：∵，∴，∴；
∵，∴，∴，
∴，∴；故答案为：3．
12．（2025·江西新余·三模）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，的长为 ．
【答案】8
【详解】解：由题意可得，
，点为的中点，，故答案为：8．
13.（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，点是边的中点，则的度数为 度．
【答案】
【详解】解：∵在等腰三角形中，点是边的中点，∴，则，
∵，∴故答案为：．
14．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ．
【答案】
【详解】解：∵，是的中线，∴，
∵，∴，∴，故答案为：．
15．（2025·江苏泰州·一模）如图，在等边三角形中，是延长线上一点，是上一点，连接，．若，，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：如图，过作于点，
，，设，则，
∵是等边三角形，，，，
即，，，故答案为：．
16．（上海市松江区2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷）已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ．
【答案】或
【详解】解：如图①，当为锐角三角形时，；
如图②，当钝角三角形时，，所以．
综上，的度数为或．故答案为：或．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在中，点在边上，．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：作于点，，，
∵∴∴ ∴即．
18．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接．若，，求的长．
【答案】3
【详解】解：∵是等边三角形，
∴．
∴．∴．
∴．∴．∴．
19．（24-25八年级下·山东·期中）如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，求的度数．
【答案】
【详解】解：∵为等边三角形，∴，，
在和中，，∴，∴，
∴，∴的度数是．
20．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：．
针对这道题目，三位同学进行了如下讨论：
小明：“可以通过证明得到．”
小华：“可以通过证明得到．”
小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
【答案】证明见解析
【详解】小明的方法证明：∵，∴，
∵，∴，∴，∴，∴；
小华的方法证明：∵，∴，
∵，∴，即，∴，∴；
小聪的方法证明：如图，过点作于，
∵，，∴，，∴，即．
21．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，在中，点D是上一点，过点D的直线交于点E，交延长线于点F，点G是上一点，连接并延长交延长线于点H，，．(1)若，求的度数；(2)若，，求证：．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：∵，，∴，
∵，，∴，
∵，∴，，
∴，∴；
（2）证明：∵，∴，∵，，∴，
在和中，∵，，，∴，
∴，，∴，即．
22．（24-25八年级上·福建厦门·期中） 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且．
(1)若，求的度数；(2)若的周长为，，求的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，∴，∴，
∵垂直平分，∴，∴，
∵，∴，∴的度数为；
（2）解：∵，∴，∵，∴，
∵的周长为，，
∴，解得，，∴的长为．
23.（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点．
(1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由．
(2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用）
【答案】(1)，(2)见解析
【详解】（1）∵是等边三角形，，
在和中，，，，
，故答案为：，；
（2）证明：由（1）可知，，，
，∴是等边三角形，，
∵是等边三角形，，，
，即，，
，，
，平分．
24．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接．
(1)当点C在线段上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明：；
(2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系．
【答案】(1)①补全图形见解析，；②见解析 (2)
【详解】（1）①解：补全图形如图1所示，
∵，，∴是等边三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，故答案为：；
②证明：如图2，在上截取，连接，
∵，，，∴是等边三角形，，
∴，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴；
（2）解：当点A在点E右边时，如图3，在上截取，连接，
由（1）知，，，
∵，∴；
当点A在点E左边时，如图4，在上截取，连接，
由（1）知，，，∵，∴．
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专题2.2 等腰三角形+专题2.3 等腰三角形的性质定理
1、了解等腰（等边）三角形的概念；掌握等腰（等边）三角形的轴对称性；
2、掌握等腰三角形性质定理；
3、会利用等腰三角形的性质定理进行简单的推理判断、计算和作图；
4、探索等边三角形的性质:等边三角形的各个内角都等于60。
TOC \o "1-4" \h \z \u 模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1 等腰三角形及相关概念 2
考点2 根据等边对等角（计算） 3
考点3 根据等边对等角（证明） 5
考点4 三线合一的相关概念与计算 7
考点5 三线合一的相关证明 9
考点6 等边三角形的性质 11
考点7 等腰（等边）三角形中的新定义问题 13
模块3：培优训练 14
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴。
2.等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形。
结论：等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴。
注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形.
3.等腰（等边）三角形的性质：
性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．
推论：等边三角形的各个内角都等于60°。
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．
4.等腰三角形的性质的作用：证明两条线段或两个角相等的一个重要依据．
考点1 等腰三角形及相关概念
例1．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为 ；
变式1．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）等腰三角形的两边长分别为，则该三角形的周长为（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
变式3．（2025·湖北荆州·三模）已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列叙述正确的语句是（ ）（多选题）
A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
C．等腰三角形的对称轴是底边上的高线 D．全等三角形的对应角平分线相等
考点2 根据等边对等角（计算）
例1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点（点不与点和点重合），将沿所在直线折叠得到，若是等腰三角形，则的度数为 ．
变式1．（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）如图，在中，点M为上一点，，，则的度数为 ．
变式2．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，为边上两点，且满足，，连结，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知在中，是的外角的平分线，交的延长线于点，．若，则的长度为 ．
考点3 根据等边对等角（证明）
例1．（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，．
(1)求证：．(2)求证：．
变式1．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，为的中点，，分别为，上的点，且，．(1)求证：；(2)若，求的度数．
变式2．（24-25八年级下·山东·假期作业）如图，在中，，是边上的中线，于点，与相交于点F．(1)求证：；(2)若，求证：．
变式3．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，．(1)求证：；(2)求证：．
考点4 三线合一的相关概念与计算
例1．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ．
变式1．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为延长线上一点，于．若，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．以上结论都不对
变式2．（24-25八年级下·广东佛山·期中）在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）加图，在中，是的中线，于点，若，则的度数为 ．
考点5 三线合一的相关证明
例1．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）．
(1)以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在中，，作平分，交于点．求证：，且．证明：
【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题：
(2)如图，在中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，．若，则下列结论错误的是_____．
①，②，③，④
变式1．（2025·河南周口·一模）如图，在等腰中，已知，是的中点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作腰上的高，交于点．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：．
变式2.（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，中，，，，试说明.
考点6 等边三角形的性质
例1.（24-25八年级上·浙江·假期作业）如图，在等边中，，，垂足为M，E是延长线上的一点，．求证：．
变式1.（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2.（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．
变式3.（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，过点D作于．试说明：．
变式4.（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上．(1)求证：；(2)求证：．
考点7 等腰（等边）三角形中的新定义问题
例1．（24-25·浙江七年级期中）顶角是的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是正五边形的3条对角线，图中黄金三角形的个数是_________．
变式1．（24-25江苏中考数学模拟）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·浙江·期中）下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高三线重合；②等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；③等腰三角形一定是锐角三角形；④等腰三角形两个底角相等；⑤等腰三角形是轴对称图形．其中真命题的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（24-25八年级下·山西运城·期中）在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在等腰中，的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江温州·三模）如图，点，分别在等边三角形的边，上，，若，则为（　　）
A． B． C． D．
5．（24-25·浙江·八年级期中）已知等腰三角形中一边长为4，周长为18，则腰长为（ ）
A．4或10 B．7 C．4或7 D．10
6．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，李大伯用篱笆搭建了一块四边形土地用来种花，，为四边形土地的一条小路（点E在边上），且恰好平分．若篱笆的长度为5米，篱笆的长度为米，则篱笆的长度是（ ）
A．米 B．米 C．6米 D．米
7.（2025·安徽淮北·三模）如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25·河北承德·九年级校联考阶段练习）老师在黑板上出了这样的一道练习题：如图，中，，是的角平分线，过点D作交于点E，交的平行线于点F，求证：．
嘉琪的解答如下：
证明：∵中，，是角平分线（已知），∴，∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等）又∵（对顶角相等），∴（▲），∴（全等三角形对应边相等）．∴（等量代换）．
下列选项错误的是（ ）
A．★表示 B．直接依据●表示等腰三角形“三线合一” C．※表示 D．直接依据▲表示
9．（24-25八年级上·河南·期中）如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（　　）
A．15° B．20° C．25° D．30°
10．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，点A为外部一点，连接，点A、D、C在一条直线上，，若，则的长为 ．
12．（2025·江西新余·三模）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，的长为 ．
13.（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，点是边的中点，则的度数为 度．
14．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ．
15．（2025·江苏泰州·一模）如图，在等边三角形中，是延长线上一点，是上一点，连接，．若，，，则的长为 ．
16．（上海市松江区2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷）已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在中，点在边上，．求证：．
18．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，，都是等边三角形，点A，D，E在同一条直线上，连接．若，，求的长．
19．（24-25八年级下·山东·期中）如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，求的度数．
20．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：．
针对这道题目，三位同学进行了如下讨论：
小明：“可以通过证明得到．”
小华：“可以通过证明得到．”
小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．”
请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明．
21．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，在中，点D是上一点，过点D的直线交于点E，交延长线于点F，点G是上一点，连接并延长交延长线于点H，，．(1)若，求的度数；(2)若，，求证：．
22．（24-25八年级上·福建厦门·期中） 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且．
(1)若，求的度数；(2)若的周长为，，求的长．
23.（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点．
(1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由．
(2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用）
24．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接．
(1)当点C在线段上时，
①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____；
②如图2，若点C不与点D重合，请证明：；
(2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系．
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