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专题2.4 等腰三角形的判定定理
1、经历等腰三角形判定定理的探索过程；
2、掌握等腰三角形判定定理:在同一个三角形中，等角对等边；
3、会利用等腰三角形的判定定理进行简单的推理、判断、计算和作图；
4、探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1. 网格图中的等腰三角形 2
考点2.根据等角对等边证明等腰三角形 4
考点3.根据等角对等边证明边相等 7
考点4.根据等角对等边求边的长度 9
考点5.等腰三角形的尺规作图 11
考点6.等边三角形的判定（概念） 13
考点7.等边三角形的判定（证明） 15
考点8.等腰三角形的性质与判定综合 17
考点9.等边三角形的性质与判定综合 21
模块3：培优训练 25
1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边。
2.等边三角形的判定定理：
判定1：三个角相等的三角形是等边三角形；判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
注意：要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系；
考点1. 网格图中的等腰三角形
例1．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
变式1．（25-26八年级上·浙江课后作业）在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式2．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式3．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
考点2.根据等角对等边证明等腰三角形
例1．（24-25八年级下·山西运城·期中）下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务．
等腰三角形的深入思考作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形．如图1，在中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形．如图2，在中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形．
任务：(1)在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______．
(2)在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形．
变式1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的长．
变式2．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形．
变式3．（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由．
考点3.根据等角对等边证明边相等
例1．（24-25八年级下·山东·假期作业）如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接．求证：．
变式1．（24-25·江苏盐城·八年级统考期中）如图，是的角平分线，，交于点．(1)求证：；(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
变式2．（24-25·江苏·八年级假期作业）如图，在四边形中，相交于点O，．求证．
变式3．（24-25·广东清远·八年级统考期中）请将下列证明过程补充完整．
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，是的外角，平分，，求证：．
证明：∵，∴（ ），（ ），
∵AD平分，∴（角平分线的定义），
∴（ ），∴（ ）．
变式4．（2023·山西大同·大同一中校联考模拟预测）如图，平分，点是上一点．

(1)尺规作图：过点作交于点；(2)在作出符合（1）的图形中，求证：．
考点4.根据等角对等边求边的长度
例1．（2025八年级下·山东·专题练习）如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆一般与桥面呈三角形结构，如图是桥面上两条绳索与桥面的示意图，已知，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
变式2．（24-25上海七年级期末　）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，．求的周长．
解：BM平分，_______．
，（_______）．
_______．（_______）．同理可得_______．
周长_______．
考点5.等腰三角形的尺规作图
例1．（2024·湖南长沙·三模）已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题．(1)填空：由作图可知，射线是的______；(2)以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由．
变式1．（2025·山东临沂·一模）观察下列尺规作图的痕迹，能判断是等腰三角形的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图）
变式3．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，木工师傅在板材边角处作业时，使用“三弧法”截下了一块板材，其操作如下：①在板材边沿作线段，分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点；②以点为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点；③连接，．
(1)在木工师傅操作过程中，得到的形状是 三角形；
(2)试猜测木工师傅截下的板材中的度数，并说明理由；
(3)过点作，交于点．求证：垂直平分线段．
变式4．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，在中，，，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得和均为等腰三角形．
(1)一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以的长为半径画弧与交于点D，请根据这种作法说明和均为等腰三角形；
(2)尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）．
考点6.等边三角形的判定（概念）
例1．（24-25浙江八年级期中）下列判断正确的是（ ）
（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（4）三边都相等的三角形是等边三角形
（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．
A．（1）（2）（3）（4）（5）B．（2）（3）（4）（5） C．（2）（3）（4） D．（2）（3）
变式1．（24-25八年级下·四川达州·期中）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
变式2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列条件不能判断是等边三角形的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25八年级下·山西太原·期中）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 使等腰成为等边三角形．
考点7.等边三角形的判定（证明）
例1．（24-25八年级上·山东·期末）如图，在中，，，于点，点在的垂直平分线上．(1)求证：是等边三角形．(2)若，求的长．
变式1．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形．
变式2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接．(1)证明：；(2)若，证明：是等边三角形．
变式3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接．(1)求证：；(2)连接，试判断的形状，并说明理由．
变式4．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上作出D，E两点，使得为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
考点8.等腰三角形的性质与判定综合
例1．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接.
(1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________；
(2)求证：；(3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：；
(4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________.
变式1．（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，点为中点，点在边上，连接．(1)如图1，若于点，求证：；
(2)如图2，已知．若点在边上，，求的长．
变式2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形”
【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”．
【概念理解】（1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）．（2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线．
【应用拓展】（3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________．
变式3.（24-25八年级下·广东深圳·期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E．(1)求证：加固后的是等腰三角形；(2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度．
考点9.等边三角形的性质与判定综合
例1.（24-25八年级下·广东深圳·期中）已知为等边三角形．
(1)如图1，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：；
(2)如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：；(3)如图3，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值．
变式1.（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图等边中，点D，E为线段上动点且，连接交于点F，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2.（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式3.（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在等边三角形中，点D，E分别在，上，连接，相交于点F，且．
(1)求证：；(2)如备用图1，点G在射线上，连接，，且．
①求证：平分；②如备用图2，连接，若，求的值．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·河南安阳·期中）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形；③腰上的高也是中线的等腰三角形；
④三个外角都相等的三角形；⑤有一个角为的等腰三角形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等 B．三角形按边分类可分为等边三角形和不等边三角形
C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D．有一个角等于的三角形是等边三角形
3．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是( )
A．有两个内角分别是的三角形
B．有一个角为的直角三角形
C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形
D．有两个内角分别是的三角形
4．（2025·湖南郴州·二模）如图，，，，则的周长是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．28
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，于点D，E是的中点．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
6．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（2024·河北石家庄·二模）如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）

A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确
8．（2025·浙江杭州·一模）如图，是的中线，下列说法错误的是（ ）
A．和全等 B．若平分，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形 D．若点到和的距离相等，则
9．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）在中，，，点D，E分别在边，上，将沿直线翻折，使点A落在点F处．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：如图，当点F落在边上，且时，；
结论Ⅱ：若是以为腰的等腰三角形，则或．
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11.（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，中，、分别平分、，，，，则的周长 ．
12．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是 ．
13．（2022浙江中考数学真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．
14．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，D为内一点，平分，则 （用a，b的代数式表示）．
15．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ．
16．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，平分，，，，则 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形．
18．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点．(1)求证：；(2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由．
19.（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知：，，．求度数．
20．（24-25七年级下·重庆·期中）在学习了等腰三角形的相关知识后，数学学习小组进行了更深入的研究，他们发现一个三角形两边中线相等，则这个三角形是等腰三角形，可利用证明三角形全等得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在中，点是边上的中点，用尺规过点作边的垂线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知：在中，点、点分别是、边上的中点，连接、，过点作于点，过点作于点，满足，求证：是等腰三角形．
证明：点、点分别是、边上的中点，
，，
又，，，
在和中，，，，
在和中，，，，
，是等腰三角形．
21（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点．(1)求证：；(2)求证：是等边三角形．
22．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．
23．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，等角对等边．数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等，其中大边对大角．思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法．
问题具化：如图1，在中，，求证：；
问题解决：如图2，在上找一点，使，过点作的平分线，交于点，连接．请你补全余下的证明过程；
问题拓展：如图3，在中，是的平分线，，则___________度．
24．（23-24八年级上·广西河池·期中）在中，，点D是直线上一点 （不与B、C重合），以的右侧作，使，，连接．
(1)如图①，若，，点在线段上，①和之间是有怎样的数量关系？（不必说明理由）；②当四边形的周长取最小值时，直接写出的长；(2)若，当点在射线上移动，如图②，则和之间有怎样的数量关系？并说明理由．
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专题2.4 等腰三角形的判定定理
1、经历等腰三角形判定定理的探索过程；
2、掌握等腰三角形判定定理:在同一个三角形中，等角对等边；
3、会利用等腰三角形的判定定理进行简单的推理、判断、计算和作图；
4、探索等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1. 网格图中的等腰三角形 2
考点2.根据等角对等边证明等腰三角形 4
考点3.根据等角对等边证明边相等 7
考点4.根据等角对等边求边的长度 9
考点5.等腰三角形的尺规作图 11
考点6.等边三角形的判定（概念） 13
考点7.等边三角形的判定（证明） 15
考点8.等腰三角形的性质与判定综合 17
考点9.等边三角形的性质与判定综合 21
模块3：培优训练 25
1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边。
2.等边三角形的判定定理：
判定1：三个角相等的三角形是等边三角形；判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
注意：要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边边和角角关系；
考点1. 网格图中的等腰三角形
例1．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在方格中，以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【详解】解：如图所示，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，则圆弧经过的格点、、、、、、即为第三个顶点的位置，故以为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出个．故选：C．
变式1．（25-26八年级上·浙江课后作业）在如图所示的正方形网格中，网格的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果点C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则符合条件的点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】解：如图所示，以为顶点；
如图所示，以为顶点；如图所示，以为顶点；
综上可知：等腰三角形一共8个，故选：C．
变式2．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，点A，B为方格纸中的两个格点，若以为边在方格中画点（点C为格点），使得为等腰三角形，则点C的个数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】解：当为腰时，如图，
当为底边时，点无格点，
综上可知：为等腰三角形，则点的个数有个，故选：C．
变式3．（24-25七年级下·上海杨浦·期末）如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个方格纸中，找出格点P使为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【详解】解：如图，由图得满足条件的格点P有5个，故选：C．
考点2.根据等角对等边证明等腰三角形
例1．（24-25八年级下·山西运城·期中）下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务．
等腰三角形的深入思考作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形．如图1，在中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形．如图2，在中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形．
任务：(1)在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______．
(2)在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形．
【答案】(1) (2)见解析
【详解】（1）解：∵，∴，
∵，∴，∴，∴为等腰三角形，
∵，∴，∴，
∴是等腰三角形；故答案为：；
（2）解：过点作于点，如图 ，．
，．
．，∴是等腰三角形 ；
变式1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：是等腰三角形的底边上的高，．
，，，，是等腰三角形；
（2）解：是等腰三角形，，，．
，，．
由（1）知，．．
变式2．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形．
【答案】见解析
【详解】证明：过点作于点，∴，
在和中，，∴，∴
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形．
变式3．（2025·河南·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，为边上的高线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出边上的高线，与交于点O．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)作图见解析(2)等腰三角形，理由见解析
【详解】（1）解：下图即为所求作．
（2）解：为等腰三角形．
理由：在中，，∴．
∵分别为边上的高线，∴．
∴．∴．∴为等腰三角形．
考点3.根据等角对等边证明边相等
例1．（24-25八年级下·山东·假期作业）如图，是等边的中线，以D为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于E，连接．求证：．
【答案】见解析
【详解】证明：∵是等边的中线，∴，，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴．
变式1．（24-25·江苏盐城·八年级统考期中）如图，是的角平分线，，交于点．(1)求证：；(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【详解】（1）证明：是的角平分线，，
，，，；
（2）解：，理由：，，
，，
，，，由（1）知：，．
变式2．（24-25·江苏·八年级假期作业）如图，在四边形中，相交于点O，．求证．
【答案】见解析
【详解】证明：在和中，，
∴，∴，∴．
变式3．（24-25·广东清远·八年级统考期中）请将下列证明过程补充完整．
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．
已知：如图，是的外角，平分，，求证：．
证明：∵，
∴（ ），
（ ），
∵AD平分，
∴（角平分线的定义），
∴（ ），
∴（ ）．
【答案】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；同一个三角形中，等角对等边
【详解】证明：∵，∴（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，内错角相等），
∵AD平分，∴（角平分线的定义），
∴（等量代换），
∴（同一个三角形中，等角对等边）
故答案为：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换；同一个三角形中，等角对等边．
变式4．（2023·山西大同·大同一中校联考模拟预测）如图，平分，点是上一点．

(1)尺规作图：过点作交于点；(2)在作出符合（1）的图形中，求证：．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：以点O为圆心，任意长为半径画弧，交、于M、N，再在上，任取一点C为圆心，半径不变，画弧交于E，以点E为圆心，为半径画弧，交前弧于F，然后过C、F作交于D，如图所示，则就是所要求作的．
由作图可知：，∴．
（2）证明：∵平分，∴
由作图可知：，∴，∴ ∴．
考点4.根据等角对等边求边的长度
例1．（2025八年级下·山东·专题练习）如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：平分交于， ，
， ， ， ，
， ．故选：C．
变式1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆一般与桥面呈三角形结构，如图是桥面上两条绳索与桥面的示意图，已知，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在中，，（等角对等边），
又，．故选：C．
变式2．（24-25上海七年级期末　）已知：如图，在中，已知分别平分和，经过点M的直线平行于，交分别于点D、E，，．求的周长．
解：BM平分，_______．
，（_______）．
_______．（_______）．同理可得_______．
周长_______．
【答案】；两直线平行，内错角相等；；等角对等边；；
【详解】解：平分，．
，（两直线平行，内错角相等）．
．（等角对等边）．同理可得．
周长．
考点5.等腰三角形的尺规作图
例1．（2024·湖南长沙·三模）已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题．(1)填空：由作图可知，射线是的______；(2)以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由．
【答案】(1)角平分线(2)，理由见解析
【详解】（1）解：由作图可知，射线是的角平分线；故答案为：角平分线；
（2），理由如下：由作图可知：，∴，
∵是的角平分线，∴，∴，∴．
变式1．（2025·山东临沂·一模）观察下列尺规作图的痕迹，能判断是等腰三角形的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：第一个图：根据一个角等于已知角的作法可知，是等腰三角形；
第二个图：根据垂直平分线的作法可知，是等腰三角形；
第三个图：根据过直线外一点作平行线的作法可知，根据角平分线的作法可知，则，是等腰三角形；
第四个图：不能判断是等腰三角形；故选：C．
变式2．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图）
【答案】见解析
【详解】解：如图，即为所求作的等腰三角形．
变式3．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，木工师傅在板材边角处作业时，使用“三弧法”截下了一块板材，其操作如下：①在板材边沿作线段，分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点；②以点为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点；③连接，．
(1)在木工师傅操作过程中，得到的形状是 三角形；
(2)试猜测木工师傅截下的板材中的度数，并说明理由；
(3)过点作，交于点．求证：垂直平分线段．
【答案】(1)等边(2)，理由见解析(3)证明见解析
【详解】（1）解：由作法得：，∴是等边三角形，故答案为：等边；
（2）．理由如下：由（1）知：是等边三角形，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
（3）证明：∵，∴，即，
∵，∴线段为边上的中线，∴垂直平分线段．
变式4．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，在中，，，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得和均为等腰三角形．
(1)一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以的长为半径画弧与交于点D，请根据这种作法说明和均为等腰三角形；
(2)尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：连接，如图
，，．由作图得：，
，，
，，和均为等腰三角形；
（2）如图2，点D即为所求．
考点6.等边三角形的判定（概念）
例1．（24-25浙江八年级期中）下列判断正确的是（ ）
（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形
（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形；（4）三边都相等的三角形是等边三角形
（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．
A．（1）（2）（3）（4）（5）B．（2）（3）（4）（5） C．（2）（3）（4） D．（2）（3）
【答案】A
【解析】解：三角形有两个角是60度，则第三个内角也为60度，
三个内角相等，故为等边三角形，（1）正确；
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，故（2）正确；
三个内角都相等的三角形是等边三角形，故（3）正确；
三边都相等的三角形是等边三角形，故（4）正确；
等腰三角形的腰和底边相等，则三条边相等，故（5）正确；故选：A．
变式1．（24-25八年级下·四川达州·期中）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定
【答案】C
【详解】解：三角形是轴对称图形，这个三角形一定是等腰三角形，
又这个三角形有一个内角为，这个三角形一定是等边三角形．故选：C．
变式2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列条件不能判断是等边三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意；
B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意；
C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意；
D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意；故选：B．
变式3．（24-25八年级下·山西太原·期中）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 使等腰成为等边三角形．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵为等腰三角形，，
∴为等边三角形；故答案为：（答案不唯一）
考点7.等边三角形的判定（证明）
例1．（24-25八年级上·山东·期末）如图，在中，，，于点，点在的垂直平分线上．(1)求证：是等边三角形．(2)若，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：∵点在的垂直平分线上，，
，，
于点，∴，，
，是等边三角形；
（2）解：，，，，，
∵，，．
变式1．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【详解】证明：∵是等边三角形，∴，，
∵，，∴，，∴，
∵，∴是等边三角形．
变式2．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，在四边形中，，平分，于点M，于点N，连接．(1)证明：；(2)若，证明：是等边三角形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：∵，∴．
∵平分，∴，∴，∴；
（2）证明：∵，∴，
∵于点M，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴是等边三角形．
变式3．（24-25八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接．(1)求证：；(2)连接，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)等边三角形，理由见解析
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
是的垂直平分线，，，
，，，，
∴在中，，；
（2）解：是等边三角形，理由如下：连接，如图所示：
是的垂直平分线，∴，∴，由（1）得，，
∵，∴，，
，是等边三角形．
变式4．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在中，，．请用尺规作图法，在边上作出D，E两点，使得为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【详解】解：作，的垂直平分线，交于、，
∵，，∴，
∵、分别在，的垂直平分线上，∴，，
∴，，
∴，同理：，
∴为等边三角形，
如图所示，即为所求．
考点8.等腰三角形的性质与判定综合
例1．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接.
(1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________；
(2)求证：；(3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：；
(4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________.
【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析(4)或或
【详解】（1）解：．∵点D是的中点，∴.根据折叠的性质得，
∴，∴是等腰三角形．故答案为：；
（2）证明：根据折叠的性质得，∵，∴．
∵，∴，∴；
（3）证明：∵，∴．
∵，∴，即，
∴．根据折叠的性质得，∴，∴；
（4）解：由，根据等腰三角形的对称性可知是的高线，∴．∵，∴．
∵，∴．
当时，，∴，解得；
当时，，∴，∴；
当时，，∴．
所以的度数为或或．故答案为：或或．
变式1．（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，点为中点，点在边上，连接．(1)如图1，若于点，求证：；
(2)如图2，已知．若点在边上，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)1或
【详解】（1）证明：∵，∴，
∵，∴，∵点O为中点，∴，
在和中，，∴，∴；
（2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H，
则，∵，点O为中点，
∴，平分，
∴，∴，
∵，∴，分两种情况：
①点F在线段上时，在和中，，
∴，∴，∴；
②点F在线段上时，同理可证：，
∴，∴；综上所述，的长为1或3．
变式2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形”
【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”．
【概念理解】（1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）．（2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线．
【应用拓展】（3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________．
【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或．
【详解】解：∵，∴，
∴，
∴，，∴和是均等三角形.
（2）在中，，则，
∵为角平分线，∴，∴，
∴，，，∴与为均等三角形，
∵，∴，∴为等腰三角形，∴为的“均等分割线”．
（3）①∵是等腰三角形，，
当时，，∵是的均等分割线，
∴，此时，，满足条件；
②当时，，∴，
∵是的等角分割线，∴，则，
③当时，，则
那么（舍去），故的度数为或．
变式3.（24-25八年级下·广东深圳·期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E．(1)求证：加固后的是等腰三角形；(2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度．
【答案】(1)见解析(2)原始支撑段的长度是8米
【详解】（1）证明：，，
又平分，，
又在和中，
，，为等腰三角形；
（2）解：连接，

，平分，垂直平分，，，
，，又，，
又中，，，
，．．
考点9.等边三角形的性质与判定综合
例1.（24-25八年级下·广东深圳·期中）已知为等边三角形．
(1)如图1，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：；
(2)如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：；(3)如图3，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）解：证明：∵为等边三角形，∴，
∴，∴，∴；
（2）证明：∵为等腰直角三角形，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵为的中点，∴平分，∴，∴，
在上取一点，使，连接，则是等边三角形，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴；
（3）解：把绕点逆时针旋转得到，则，
∵，∴，
∴，∴三点共线，
又∵由旋转可得，，∴为等边三角形，
∴，∴点的轨迹是射线，
作点关于直线的对称点，连接，则，∴，
∵，∴，∴的最小值为．
变式1.（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图等边中，点D，E为线段上动点且，连接交于点F，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：∵是等边三角形，∴，
∵∴，故①正确，∴，
∴，∴，故②正确，
∵，∴点D、E为的中点，
∵是等边三角形，∴是的垂直平分线，∴，故③正确，
过点A作于G，∵，∴，
在和中，，∴，∴
∵，∴是和边上的高，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，故④错误，综上所述：正确的结论有①②③，共3个，故选：C．
变式2.（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【详解】解：∵和都是等边三角形，∴，
∴，∴，
∴，∴，①正确；，
∵，∴∴，
∵，∴，∴，②正确；
，③正确：∴是等边三角形，④正确．故选：D．
变式3.（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在等边三角形中，点D，E分别在，上，连接，相交于点F，且．
(1)求证：；(2)如备用图1，点G在射线上，连接，，且．
①求证：平分；②如备用图2，连接，若，求的值．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②
【详解】（1）证明：如图1中，是等边三角形，，，
，，
，，；
（2）①证明：如图2中，过点B作于点M，交的延长线于点N．
，，，，
，，，，
，，，，平分；
②解：如图3中，，平分，，
，是等边三角形，，，
，，，，
，，，，
，，，，．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25八年级上·河南安阳·期中）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（ ）
①有两个角是的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形；③腰上的高也是中线的等腰三角形；
④三个外角都相等的三角形；⑤有一个角为的等腰三角形．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【详解】解：一个三角形有两个角是，根据三角形内角和定理可知，另一个角也为，即有两个角是的三角形是等边三角形，故正确；一个等腰三角形有两个底角相等，则底角的外角相等，不能判定该三角形为等边三角形，即有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故错误；
有一腰上的中线也是这个腰上的高的等腰三角形，则说明该等腰三角形的腰与底一样长，即该三角形为等边三角形，故正确；一个三角形的三个外角都相等，则这个三角形的三个内角都相等，即三个外角都相等的三角形是等边三角形，故正确；
有一个角是的等腰三角形，根据三角形内角和定理即可得到该三角形的三个角均为，即该三角形为等边三角形，故正确．综上，正确的有，共个．故选：C．
2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．等腰三角形两腰上的高相等
B．三角形按边分类可分为等边三角形和不等边三角形
C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合
D．有一个角等于的三角形是等边三角形
【答案】A
【详解】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，是真命题，符合题意；
B、三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形，故B是假命题，不符合题意；
C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C是假命题，不符合题意；
D、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故D是假命题，不符合题意．故选：A．
3．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是( )
A．有两个内角分别是的三角形
B．有一个角为的直角三角形
C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形
D．有两个内角分别是的三角形
【答案】D
【详解】解：A：两内角是，第三角为，存在两个的角，故为等腰三角形，不符合题意；
B：直角三角形中一个角为，则另一锐角为，两角相等，故为等腰直角三角形，不符合题意；
C：外角对应内角为，与它不相邻的内角为，根据三角形外角的性质，另一不相邻内角为，此时三角形内角为，存在两角相等，故为等腰三角形，不符合题意；
D：两内角为，第三角为，三角均不相等，无法构成等腰三角形，符合题意；
故选：D．
4．（2025·湖南郴州·二模）如图，，，，则的周长是（ ）
A．18 B．20 C．26 D．28
【答案】A
【详解】解：∵，∴，∵，∴，
∴的周长是，故选：A ．
5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，于点D，E是的中点．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【详解】解：∵在中，E是的中点， ，∴，
∴，∴，∴是等边三角形，
∵，∴，故选：B
6．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：如下图，过点D作，交于F，

是等边三角形，，，
，是等边三角形，，
点P为中点，，
在和中，，，，，
，，，
设，则，
，解得：，，故选：B．
7．（2024·河北石家庄·二模）如图（1），锐角中，，要用尺规作图的方法在边上找一点D，使为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（ ）

A．甲、乙、丙都正确 B．甲、丙正确，乙错误 C．甲、乙正确，丙错误 D．只有甲正确
【答案】A
【详解】解：甲图：以点A为圆心，为半径作弧，交于点D，
∴，∴为等腰三角形，
乙图：作的垂直平分线，交于点D，∴，∴为等腰三角形，
丙图：∵所作的，∴，
∴是等腰三角形，∴甲、乙、丙都正确，故选A．
8．（2025·浙江杭州·一模）如图，是的中线，下列说法错误的是（ ）
A．和全等 B．若平分，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形 D．若点到和的距离相等，则
【答案】A
【详解】解：是的中线，，此时，但不一定等于，
无法证明和全等，选项说法错误，符合题意，选项正确；
平分，，延长至点，使，连接，
在和中，，，
，，，，
，即是等腰三角形，选项说法正确，不符合题意，选项错误；
，，
在和中，，，
，即是等腰三角形，选项说法正确，不符合题意，选项错误；
若点到和的距离相等，点在的角平分线上，平分，
则根据选项可得是等腰三角形，结合三线合一定理即可证，
选项说法正确，不符合题意，选项错误．故选：．
9．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知中，，，，若过的顶点的一条直线将分割成两个三角形，使其中有一个边长为6的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【答案】C
【详解】解：如图所示，当，时，都能得到符合题意的等腰三角形．

综上，这样的直线最多可画4条．故选：C．
10．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）在中，，，点D，E分别在边，上，将沿直线翻折，使点A落在点F处．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（　　）
结论Ⅰ：如图，当点F落在边上，且时，；
结论Ⅱ：若是以为腰的等腰三角形，则或．
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
【答案】B
【详解】解：∵，，将沿直线翻折，点A落在点F处，
∴，，，
∵点F落在边上，且，∴，∴，
∴，故结论Ⅰ错误；
若是以为腰的等腰三角形，且，则，
∴，∴；
若是以为腰的等腰三角形，且，则，
∴，
∴，
∴或，故结论Ⅱ正确，故B符合题意，而A、C、D都不符合题意，故选：B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11.（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，中，、分别平分、，，，，则的周长 ．
【答案】
【详解】解：∵平分，∴，
又∵，∴，∴，∴， 同理，
∵，则的周长．故答案为：．
12．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：①当或时，
∵，∴，即是等边三角形；
②当或或时，
∵，∴是等边三角形；故答案为：（答案不唯一）
13．（2022浙江中考数学真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．
【答案】10°或100°
【详解】解：如图，点即为所求；
在中，，，，
由作图可知：，，
；由作图可知：，，
，，．
综上所述：的度数是或．故答案为：或．
14．（2023八年级上·浙江宁波·竞赛）如图，D为内一点，平分，则 （用a，b的代数式表示）．
【答案】
【详解】解：延长交于点，∵平分，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，，∵，∴，
∴，故答案为：．
15．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在中，点是边上的中点，在上，交于点，且，若，，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】解：延长到点，使，连接，
∵点是边上的中点，∴，
在和中，，∴，∴，，
∵，，∴，∴，
∴，∴，故答案为：．
16．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在中，平分，，，，则 ．
【答案】8
【详解】解：如图，在上取点E，使，连接，
∵平分，∴；
在与中，，∴，∴；
∵，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴．故答案为：8．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【详解】证明：∵是的中点，∴，
∵，，∴和都是直角三角形，
在和中，，∴，
∴，∴，∴是等腰三角形，
∵，∴，∵，∴，∴是等边三角形．
18．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点．
(1)求证：；(2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)等边三角形，理由见解析
【详解】（1）证明：，且，，
在和中，，，，
，∴垂直平分线段，；
（2）解：是等边三角形，理由如下：，点为中点，，
，是等边三角形．
19.（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知：，，．求度数．
【答案】
【详解】解：延长到点E，使得，
在和中，，，，
，，，即点C为的中点，
，，是等腰三角形，
是底边上的中线，，．
20．（24-25七年级下·重庆·期中）在学习了等腰三角形的相关知识后，数学学习小组进行了更深入的研究，他们发现一个三角形两边中线相等，则这个三角形是等腰三角形，可利用证明三角形全等得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空：
(1)如图，在中，点是边上的中点，用尺规过点作边的垂线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)已知：在中，点、点分别是、边上的中点，连接、，过点作于点，过点作于点，满足，求证：是等腰三角形．
证明：点、点分别是、边上的中点，
，，
又，，，
在和中，，，，
在和中，，，，
，是等腰三角形．
【答案】(1)见解析(2)；；；；
【详解】（1）解：如图所示：
；
（2）证明：点、点分别是、边上的中点，，，
又，，，
在和中，，，，
在和中，，，，
，是等腰三角形．
故答案为：；；；；．
21（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点．
(1)求证：；(2)求证：是等边三角形．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：，垂足为D，，垂足为，
在和中，（）.；
（2）证明：由（1）可知，，
，点是的中点，，
，
又，是等边三角形．
22．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接．
(1)求证：是等边三角形；(2)当时，试判断的形状，并说明理由；
(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形．
【答案】(1)证明见解析(2)是直角三角形，理由见解析
(3)当或或时，是等腰三角形
【详解】（1）解：∵，∴，又∵，∴是等边三角形；
（2）解：是直角三角形．理由如下：
∵是等边三角形，∴，
∵，，∴，
∴，∴是直角三角形；
（3）解：∵是等边三角形，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴．
①当时，则，即，∴；
②当时，则，即，∴；
③当时，则，即，∴．
综上所述：当或或时，是等腰三角形．
23．（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）问题提出：学习了等腰三角形，我们知道：等边对等角；反过来，等角对等边．数学兴趣小组在活动时发现，在一个三角形中，如果两条边不相等，它们所对的角也不相等，其中大边对大角．思路分析：解决不等边关系问题时，往往采用在长边上截取短边或者延长短边，构造全等三角形解决问题，这种方法称为截长补短法．
问题具化：如图1，在中，，求证：；
问题解决：如图2，在上找一点，使，过点作的平分线，交于点，连接．请你补全余下的证明过程；
问题拓展：
如图3，在中，是的平分线，，则___________度．
【答案】问题解决：见解析；问题拓展：
【详解】解：问题解决：在上找一点，使，过点作的平分线，交于点，连接，则，
∵，，∴，∴，∵，∴；
问题拓展：在上取点E，使，连接，如图所示：
∵是的平分线，∴，∵，，∴，
∴，，，∴，
∴，∴，∴．
24．（23-24八年级上·广西河池·期中）在中，，点D是直线上一点 （不与B、C重合），以的右侧作，使，，连接．
(1)如图①，若，，点在线段上，①和之间是有怎样的数量关系？（不必说明理由）；②当四边形的周长取最小值时，直接写出的长；(2)若，当点在射线上移动，如图②，则和之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【答案】(1)①；②(2)；理由见解析
【详解】（1）解：①结论：．
理由：如图①中，，，，
，都是等边三角形，，
，，
在和中，，，
，，；
②由①知 ，，
四边形的周长，
当最短时，四边形的周长最小，即时，周长最小；
，；
（2）解：；理由：如图②中，设与交于点，
，∴，即，
，，，，
，，
，，．
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