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专题2.1 图形的轴对称
1、了解轴对称图形的概念，了解两个图形成轴对称的概念；
2、理解轴对称图形的性质；对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段；
3、会判断一个图形是不是轴对称图形，并找出它的对称轴；
4、能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1 轴对称图形的识别 2
考点2、轴对称、轴对称图形的性质（概念） 4
考点3 根据成轴对称图形的性质求解 4
考点4 轴对称的实际应用 6
考点5 画轴对称图形 9
考点6 设计轴对称图案 12
考点7 镜面对称 14
考点8 折叠问题 15
考点9 最值问题（将军饮马） 17
模块3：培优训练 23
1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。
2.轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。
3.图形的轴对称：折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫作图形的轴对称，这条直线也叫作对称轴。
4.图形的轴对称的性质：成轴对称的两个图形是全等图形。
5.图形的轴对称和轴对称图形的区别和联系：
区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系； ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。
联系：①都沿某条直线对折，图形重合；②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。
考点1 轴对称图形的识别
例1．（2024·湖北·模拟预测）北是中国重要的旅游胜地之一，拥有丰富的自然风光和悠久的历史文化遗产．下面图片展示的是部分湖北著名景点，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级下·云南丽江·期末）道路交通标志是用文字和图形符号向车辆或行人传递指示、指路、警告、禁止性指令等交通管理信息．下列交通标志图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．禁止向左向右转弯 B．单行路 C．室内停车场 D．右侧变窄
变式3．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）以下图标是“慈溪文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点2、轴对称、轴对称图形的性质（概念）
例1．（24-25·江苏·八年级校考期中）下列说法错误的是（　　）
A．轴对称的两个图形一定是全等图形 B．轴对称图形的两部分一定能完全重合
C．两个全等三角形一定关于某直线成轴对称 D．轴对称图形的对称轴至少有一条
变式1．（24-25·广东·八年级统考开学考试）下列说法中，错误的是（ ）
A．轴对称图形必有对称轴 B．两个能完全重合的图形必是轴对称图形
C．轴对称图形可能有无数条对称轴 D．关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合
变式2．（24-25·山东·八年级校考期中）下列命题：①全等三角形的面积相等；②面积相等的两个三角形全等；③成轴对称的两个图形全等；④两个全等三角形是轴对称图形．其中真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点3 根据成轴对称图形的性质求解
例1．（24-25八年级上·浙江·单元测试）如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（ ）
A．直线被线段垂直平分 B．线段被直线垂直平分
C．直线经过线段中点，但不垂直 D．直线与线段垂直，但不经过线段中点
变式1．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）如图，与关于直线对称，则的度数（ ）
A． B． C． D．
变式2．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，六边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）如图，和关于直线对称，下列结论中，正确的有（ ）
①；②；③直线垂直平分；④直线平分．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
考点4 轴对称的实际应用
例1．（2025·广东江门·三模）无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
变式1．（24-25·广东八年级期中）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（ ）
A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋
变式2．（24-25·江苏徐州·八年级统考阶段练习）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个．
变式3．（24-25·广东八年级期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____
考点5 画轴对称图形
例1．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，．(1)画出关于y轴的对称图形；(2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标________ ．
变式1．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上．按下述要求画图并解答问题：
(1)已知，直线，画出关于直线对称的图形；分别标出三点的对称点．
(2)若，，求的度数．
变式2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）用坐标表示轴对称
(1)将向下平移3个单位长度，得到，请在图中画出．
(2)画出关于y轴对称的，并写出的坐标．
变式3．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，位于第二象限．
(1)画出关于轴对称的图形；(2)在y轴上找一点P，使的周长最小．
考点6 设计轴对称图案
例1．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）如图是由一些完全相同的小三角形组成的，其中4个小三角形涂上了颜色，请再将4个小三角形涂上颜色，使得直线成为这个图形的对称轴．
变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）在的方格中有五个同样大小的正方形如图所示摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，请画出至少三种图形．
变式2．（25-26八年级上·浙江·课后作业）已知网格中每个小正方形的边长都是1，图①中的阴影图案是由四个小正方形组成的大正方形的一条对角线和以其中一个小正方形顶点为圆心、2为半径所画的圆弧围成的弓形．请你在图②中以图①为基本图案，借助轴对称和平移设计一个图案，使该图案为轴对称图形．
变式3．（25-26八年级上·重庆·课后作业）在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称．
考点7 镜面对称
例1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（ ）
A．70625 B．70952 C．70925 D．52607
变式1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　）
A． B． C． D．
变式3．（24-25七年级下·江苏·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（ ）
A． B． C． D．
考点8 折叠问题
例1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，直线分别交边、于点、，将沿翻折，使点恰好与点重合．若，，则的周长是 ．
变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将四边形纸片沿折叠，点A落在处，若，则的度数是 ．
变式2．（24-25·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，，，E为AD上一点，将沿翻折得到点F在上，且，，则的度数为（ ）
A．56° B．34° C．48° D．62°
变式3．（24-25·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，将一张长方形纸条沿折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
变式4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点A，B分别是锐角（）的边，上的点，先将沿着折叠，折叠后点P的对应点为Q，
(1)如图1，若折叠后点Q落到的内部，且，与相等吗？若相等说明理由？
(2)如图2，若折叠后，试说明；
(3)在（2）的条件下，过点Q作交于点C，当时，求度数？
考点9 最值问题（将军饮马）
例1．（24-25八年级上·广东·课后作业）笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场．
(1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由．
(2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由．
变式1．（25-26八年级上·重庆·课后作业）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】（1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的．
小慧：你能详细解释原因吗？
小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程．
【解决问题】（2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）；
（3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？
变式2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在所给的网格图中，完成下列各题
(1)画出格点关于直线的对称的；
(2)在上画出点P，使最小；(3)在上画出点Q，使最大．
变式3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践
【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程：
如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，．
点B与点关于直线l对称，直线l是的垂直平分线．
________，________， = ．
在中，，，即最小．
“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是____．
请你完成上面填空．
【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________．
【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025·天津·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．半圆形 D．等边三角形
4．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（ ）
A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326
5．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图，已知 中，，是的对称轴，交于D，E为上一定点，F为线段上一动点，当（ ）时，的值最小．

A．F是的中点 B．点E、F、B在同一直线上 C． D．．
6．（24-25八年级上·天津东丽·期末）如图，点是外一点，点、分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在线段的延长线上，若，，，则线段的长为(　　)
A． B． C． D．
7．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，点A关于边的对称点为，点B关于边的对称点为，点C关于边的对称点为，则与的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（ ）
A． B． C． D．
9．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2025·福建厦门·模拟预测）把一张有一组对边平行的纸条，按如图所示的方式折叠．若，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，与关于直线对称，则 ．
12．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ．
13．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示）
14．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为 ．(用含a，b的代数式表示)
15．（2025湖南中考模拟预测）如图，把沿平行于的直线折叠，使点落在边上的点处，若，则的度数为______．

16．（25-26八年级上·成都·课后作业）如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得和能够重合，和重合，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有 （填序号）．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，平面直角坐标系中有两点，．
(1)在y轴上画出一点M，使得的值最小；
(2)在x轴上画出一点N，使得的值最大．
18．（25-26八年级上·广东·课后作业）如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若．
(1)求的长度；(2)求的度数．
19．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图1、图2、图3上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形．
20．（25-26七年级上·河南·开学考试）将图中等腰三角形（）的边（）沿虚线折叠一下，使边刚好和边重合．在图中找到折叠后与点重合的点，连接可得到三角形，求三角形的面积与三角形的面积之比．
(1)在图中画出点，并连出三角形；
(2)三角形的面积与三角形的面积之比是多少？
21．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知是的顶点关于某条直线的对称点．
(1)请利用无刻度的直尺和圆规作出直线（保留作图痕迹）；
(2)请利用刻度尺和三角板画出关于直线对称的；
(3)若，则________________．
22．（25-26七年级上·山东·课后作业）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动．
【生活案例】（1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______．
【变式思考】（2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数．
【拓展运用】（3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数．
备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．）
23．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）在如图所示的三角形纸片中，，，按如下步骤可以把这个直角三角形纸片分成三个全等的小直角三角形（图中虚线表示折痕）：折叠三角形纸片，使直角边落在斜边上，点落在斜边点处；将折叠后的纸片再沿折叠．(1)由步骤可以得到哪些等量关系？(2)请证明；
(3)按照这种方法能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形？直接写出你的结论．
24．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）（1）如图，在边长均为1的小正方形组成的方格图中，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上．
①作，使它与关于直线l对称；
②在直线l上找一点P，使的和最短．（不需要计算，在图上直接标记点P的位置）．
（2）观察下图①~③中涂色部分构成的图案．（每个小三角形面积均为1）
①写出这三个图案都具有的两个共同特征：
__________________，____________________
②借助图④⑤中的网格，请你设计另外两个新的图案，使新的图案同时具有你在解答（1）时所写出的两个共同特征．
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专题2.1 图形的轴对称
1、了解轴对称图形的概念，了解两个图形成轴对称的概念；
2、理解轴对称图形的性质；对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段；
3、会判断一个图形是不是轴对称图形，并找出它的对称轴；
4、能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 2
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1 轴对称图形的识别 2
考点2、轴对称、轴对称图形的性质（概念） 4
考点3 根据成轴对称图形的性质求解 4
考点4 轴对称的实际应用 6
考点5 画轴对称图形 9
考点6 设计轴对称图案 12
考点7 镜面对称 14
考点8 折叠问题 15
考点9 最值问题（将军饮马） 17
模块3：培优训练 23
1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。
2.轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。
3.图形的轴对称：折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫作图形的轴对称，这条直线也叫作对称轴。
4.图形的轴对称的性质：成轴对称的两个图形是全等图形。
5.图形的轴对称和轴对称图形的区别和联系：
区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系； ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。
联系：①都沿某条直线对折，图形重合；②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。
考点1 轴对称图形的识别
例1．（2024·湖北·模拟预测）北是中国重要的旅游胜地之一，拥有丰富的自然风光和悠久的历史文化遗产．下面图片展示的是部分湖北著名景点，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选C．
变式1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．
变式2．（24-25八年级下·云南丽江·期末）道路交通标志是用文字和图形符号向车辆或行人传递指示、指路、警告、禁止性指令等交通管理信息．下列交通标志图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．禁止向左向右转弯 B．单行路 C．室内停车场 D．右侧变窄
【答案】B
【详解】解：A、该标志不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、该标志是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、该标志不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、该标志不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：B．
变式3．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）以下图标是“慈溪文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：C．
考点2、轴对称、轴对称图形的性质（概念）
例1．（24-25·江苏·八年级校考期中）下列说法错误的是（　　）
A．轴对称的两个图形一定是全等图形 B．轴对称图形的两部分一定能完全重合
C．两个全等三角形一定关于某直线成轴对称 D．轴对称图形的对称轴至少有一条
【答案】C
【详解】解：A、轴对称的两个图形一定是全等图形，这句话正确，故该选项不符合题意；
B、轴对称图形的两部分一定能完全重合，这句话正确，故该选项不符合题意；
C、两个全等三角形一定关于某直线成轴对称，这句话错误，故该选项符合题意；
D、轴对称图形的对称轴至少有一条，这句话正确，故该选项不符合题意；故选：C．
变式1．（24-25·广东·八年级统考开学考试）下列说法中，错误的是（ ）
A．轴对称图形必有对称轴 B．两个能完全重合的图形必是轴对称图形
C．轴对称图形可能有无数条对称轴 D．关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合
【答案】B
【详解】解：A．轴对称图形必有对称轴，说法正确，故本选项不符合题意；
B．两个能完全重合的图形不一定是轴对称图形，故本选项符合题意；
C．轴对称图形可能有无数条对称轴，如圆有无数条对称轴，故本选项不符合题意；
D．关于某直线成轴对称的两个图形必能互相重合，故本选项不符合题意．故选：B．
变式2．（24-25·山东·八年级校考期中）下列命题：①全等三角形的面积相等；②面积相等的两个三角形全等；③成轴对称的两个图形全等；④两个全等三角形是轴对称图形．其中真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：全等三角形的面积相等，故①是真命题；
面积相等的两个三角形不一定全等，故②是假命题；
成轴对称的两个图形是全等图形，故③是真命题；
两个全等三角形不一定是轴对称图形，故④是假命题；∴真命题有①③共2个，故选：B．
考点3 根据成轴对称图形的性质求解
例1．（24-25八年级上·浙江·单元测试）如图所示，与关于直线成轴对称，则线段与直线的关系正确的是（ ）
A．直线被线段垂直平分 B．线段被直线垂直平分
C．直线经过线段中点，但不垂直 D．直线与线段垂直，但不经过线段中点
【答案】B
【详解】解：与关于直线成轴对称，
是对称轴，点和点是对应点，是线段的垂直平分线，故A选项错误，不符合题意；
是线段的垂直平分线，线段被直线垂直平分，故B选项正确，符合题意；
是线段的垂直平分线，直线经过线段的中点，且垂直于线段，
故C选项错误，不符合题意；
是线段的垂直平分线，直线与线段垂直，且经过线段的中点，
故D选项错误，不符合题意；故选：B．
变式1．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）如图，与关于直线对称，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解∶∵与关于直线对称，∴，∴，
又，∴，故选∶D．
变式2．（25-26八年级上·广东广州·阶段练习）如图，六边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：作出对称轴直线，根据题意，得，
，
，，故选：B．
变式3．（2025八年级上·内蒙古·专题练习）如图，和关于直线对称，下列结论中，正确的有（ ）
①；②；③直线垂直平分；④直线平分．
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【详解】解：∵和关于直线对称，
∴，，直线垂直平分，，
∴直线平分，综上，正确的有①②③；故选：A．
考点4 轴对称的实际应用
例1．25．（2025·广东江门·三模）无线网络的稳定运行依托光纤传输系统．如图，光信号在光纤中的传输过程，可看作光信号经过两个平行放置的平面镜进行反射，若，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：如图：由光的反射定律可知，
，，
两平面镜平行，两直线平行，内错角相等，
由光的反射定律可知，故选：C．
变式1．（24-25·广东八年级期中）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（ ）
A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋
【答案】C
【详解】解：如图所示：球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的C号袋中，故选：C．
变式2．（24-25·江苏徐州·八年级统考阶段练习）如图，桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面的任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示8个点中，可以瞄准的点有____个．
【答案】2
【详解】解：如图，将B球射向桌面的点1和点6，可使一次反弹后击中A球，故可以瞄准的点有2个，故答案为：2．
变式3．（24-25·广东八年级期中）如图，在8×4的长方形ABCD网格中，每个网格的顶点叫格点．一发光电子位于AB边上格点P处，将发光电子沿PR方向发射（其中∠PRB=45°），碰撞到长方形的BC边时发生反弹，设定此时为发光电子第1次与长方形的边碰撞（点R为第1次碰撞点）．发光电子碰撞到长方形的边时均发生反弹，若发光电子与长方形的边共碰撞了2021次，则它与AB边碰撞次数是____
【答案】673
【详解】解：如图，
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，
经过6次反弹后动点回到出发点，且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2021÷6=336…5， 当点P第2021次碰到长方形的边时为第336个循环组后的第5次反弹，
∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+1=673次， 故答案为：673．
考点5 画轴对称图形
例1．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，．
(1)画出关于y轴的对称图形；(2)直接写出点关于x轴对称的点的坐标________ ．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：如图，即为所求.
（2）解：由图可知，点的坐标为，
∴点关于x轴对称的点的坐标为，答案：．
变式1．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，在边长为1个单位长度的正方形方格图中，的顶点都在格点上．按下述要求画图并解答问题：
(1)已知，直线，画出关于直线对称的图形；分别标出三点的对称点．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：在中，，，
∴，
∵与关于直线对称，∴．
变式2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）用坐标表示轴对称
(1)将向下平移3个单位长度，得到，请在图中画出．
(2)画出关于y轴对称的，并写出的坐标．
【答案】(1)图见解析(2)图见解析，的坐标为
【详解】（1）解：所作如图所示：
（2）解：所作如图所示：由图知，的坐标为．
变式3．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，位于第二象限．
(1)画出关于轴对称的图形；(2)在y轴上找一点P，使的周长最小．
【答案】(1)见解析；(2)见解析．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：如图，点即为所求，
考点6 设计轴对称图案
例1．（24-25七年级上·河南焦作·开学考试）如图是由一些完全相同的小三角形组成的，其中4个小三角形涂上了颜色，请再将4个小三角形涂上颜色，使得直线成为这个图形的对称轴．
【答案】见解析
【详解】解：如下图，4个涂阴影的小三角形组成的图形是轴对称图形，（答案不唯一）
变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）在的方格中有五个同样大小的正方形如图所示摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，请画出至少三种图形．
【答案】见解析
【详解】解：如图（只需画出其中的3个即可），
变式2．（25-26八年级上·浙江·课后作业）已知网格中每个小正方形的边长都是1，图①中的阴影图案是由四个小正方形组成的大正方形的一条对角线和以其中一个小正方形顶点为圆心、2为半径所画的圆弧围成的弓形．请你在图②中以图①为基本图案，借助轴对称和平移设计一个图案，使该图案为轴对称图形．
【答案】见解析（答案不唯一）
【详解】解：如图，借助轴对称和平移可以得到下图，该图案为轴对称图形．
（答案不唯一）
变式3．（25-26八年级上·重庆·课后作业）在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称．
【答案】见解析
【详解】如图所示，
考点7 镜面对称
例1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）小林同学在照镜子的时候发现自己的学号牌在镜子中的数字显示为如下图案，请问他的学号应该是（ ）
A．70625 B．70952 C．70925 D．52607
【答案】A
【详解】解：根据镜面对称性质，数字在镜中左右相反且部分数字会对称转换，故他的学号为70625．
故选：A．
变式1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称．
∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）．
对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整；
对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整；
对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整；
对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整．故选：D．
变式2．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）从镜子中看到的电子钟如图所示，则实际时间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：平面镜成像遵循“像与物体关于镜面对称”的规律，这意味着镜子中呈现的像和实际物体在左右方向上是相反的， 对镜子中的像进行左右翻转观察镜子中电子钟的像，得到的数字组合即为实际时间，由此可知实际时间为：．故答案为：．
变式3．（24-25七年级下·江苏·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵为镜像显示的时间，∴对称轴为竖直方向的直线，
∵1、0的对称数字为1、0；2的对称数字是5；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是，故选：A
考点8 折叠问题
例1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）如图，直线分别交边、于点、，将沿翻折，使点恰好与点重合．若，，则的周长是 ．
【答案】
【详解】解：将沿翻折，使点恰好与点重合，，
，，故答案为：．
变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，将四边形纸片沿折叠，点A落在处，若，则的度数是 ．
【答案】/50度
【详解】解：，，，
，由折叠得，，
，
，故答案为：．
变式2．（24-25·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，，，E为AD上一点，将沿翻折得到点F在上，且，，则的度数为（ ）
A．56° B．34° C．48° D．62°
【答案】C
【详解】解：∵，∴，
∵，∴，∴，
由折叠的性质得：，，
∵，，∴
∴，∴故选：C．
变式3．（24-25·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，将一张长方形纸条沿折叠，点A，B分别折叠至点，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：由折叠得：，
四边形是长方形，，，
，，，
．故选：C．
变式4．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点A，B分别是锐角（）的边，上的点，先将沿着折叠，折叠后点P的对应点为Q，
(1)如图1，若折叠后点Q落到的内部，且，与相等吗？若相等说明理由？
(2)如图2，若折叠后，试说明；
(3)在（2）的条件下，过点Q作交于点C，当时，求度数？
【答案】(1)；理由见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）解：；理由如下：
∵，∴，根据折叠可知：，∴；
（2）解：∵，∴，∴，
∵，∴，根据折叠可知：，
∴；
（3）解：∵，∴，
∵，∴，即，
根据解析（2）可知：，∴，
∴，∴，根据折叠可知：，
∵，∴，∴．
考点9 最值问题（将军饮马）
例1．（24-25八年级上·广东·课后作业）笔直的河岸l旁有A，B两个货场，现要把A货场的货物运往B货场，按计划要先到河岸M处再接一批货物，然后一起运到B货场．
(1)如图①，当A，B货场在河岸l两侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图①中作图，并说明理由．
(2)如图②，当A，B货场在河岸l同侧时，要使运输总路程最短，点M应选在河岸l的什么位置？请在图②中作图，并说明理由．
【答案】(1)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析
(2)当点选在线段与河岸的交点时，作图见解析
【详解】（1）解：如图，连接交河岸于点，点即为所求；
理由：两点之间线段最短，所以点为所选的位置。
答：当点选在线段与河岸的交点时，此时运输总路程最短。
（2）如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点,点即为所求。
理由：点与点关于直线对称，..
即：.由两点之间线段最短，点M为所选择的位置。
答：选在线段与河岸的交点时，运输总路程最短。
变式1．（25-26八年级上·重庆·课后作业）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】（1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的．
小慧：你能详细解释原因吗？
小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程．
【解决问题】（2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）；
（3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【详解】（1）解：∵点关于l对称，，
，
，，∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的．
（2）任务一：如答图①所示，路线即为所求．
（3）任务二：如答图②所示，路线即为所求．
变式2．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在所给的网格图中，完成下列各题
(1)画出格点关于直线的对称的；
(2)在上画出点P，使最小；(3)在上画出点Q，使最大．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：如图所示，点P即为所求；
（3）解：如图所示，点Q即为所求．
变式3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践
【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”．
【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程：
如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，．
点B与点关于直线l对称，直线l是的垂直平分线．
________，________， = ．
在中，，，即最小．
“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是____．
请你完成上面填空．
【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________．
【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度．
【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边
模型应用：9 模型拓展：100
【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，．
点B与点关于直线l对称，直线l是的垂直平分线．，，
．在中，，
，即最小．
“将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决．故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边；
模型应用：解：如图，直线m与交于点D，
∵直线m垂直平分，∴B、C关于直线m对称，
∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长，
∵，，∴周长的最小值是．故答案为：9；
模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于．
由轴对称性质可得，，，，
∴，∴，
又∵，，∴．故答案为100．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025·天津·模拟预测）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选：C．
2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．
3．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下列图形中对称轴最多的是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．半圆形 D．等边三角形
【答案】B
【详解】解：A、等腰梯形有一条对称轴；B、正方形有4条对称轴；
C、半圆形有1条对称轴；D、等边三角形有3条对称轴．
所以对称轴最多的是正方形有4条对称轴．故选：B．
4．（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）一个车牌号在平面镜中的图象是，则实际车牌号为（ ）
A．JM—G9329 B．JM—G6356 C．JM—C6326 D．JM—G6326
【答案】D
【详解】解：根据镜面对称性质得出实际车牌号为JM—G6326，故选：D．
5．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）如图，已知 中，，是的对称轴，交于D，E为上一定点，F为线段上一动点，当（ ）时，的值最小．

A．F是的中点 B．点E、F、B在同一直线上 C． D．．
【答案】B
【详解】解：连接，，

∵是的对称轴，∴，∴，
∴点E、F、B在同一直线上时，的值最小为的长，故选B．
6．（24-25八年级上·天津东丽·期末）如图，点是外一点，点、分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在线段的延长线上，若，，，则线段的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，，，
，，，，，
即，则线段的长为：．故选：B．
7．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在中，，点A关于边的对称点为，点B关于边的对称点为，点C关于边的对称点为，则与的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接并延长交于，记与交于，连接，，
∵点A关于边的对称点为，点B关于边的对称点为，点C关于边的对称点为，
∴，，，，
， ∴，，，
∴，∴,∴，
∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得
∴， ∴， ∴，
∴与的面积之比为， 故选：B．
8．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第次碰到长方形的边时，落脚点为；第次碰到长方形的边时落脚点为；第次落脚点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了台球桌面上的轴对称问题，根据题意画出图形，可得弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，据此解答即可求解，找出弹性小球的反弹规律是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
可知弹性小球经过次碰到长方形的边后回到出发点，
∵，
∴弹性小球第次落脚点为图中的点，
故选：．
9．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【详解】解：A、 ∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，
∴，正确，故此选项不符合题意；
B、∵，∴，∴，
∵，∴，正确，故此选项不符合题意；
C、 ∵，∴，∵，∴，
∵，∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意；
D、∵，∴，
∵，，，
∴，正确，故此选项不符合题意；故选：C．
10．（2025·福建厦门·模拟预测）把一张有一组对边平行的纸条，按如图所示的方式折叠．若，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A．∵，∴，（两直线平行，内错角相等），∵纸条按如图所示的方式折叠，∴，故A选项不符合题意；
B．∵，故B选项不符合题意；
C．∵（两直线平行，内错角相等），（两直线平行，内错角相等），故C选项符合题意；
D．∵纸条按如图所示的方式折叠，∴，故D选项不符合题意；故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，与关于直线对称，则 ．
【答案】/90度
【详解】解：由条件可知，，
，．故答案为：．
12．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵点关于的对称点是，∴垂直平分，∴
∵点关于的对称点是，∴垂直平分，∴
∵，∴
∴故答案为：
13．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点M，N，D是的中点，P是上任意一点，连接，．若，则当的周长取最小值时， ．（用含的代数式表示）
【答案】
【详解】解：如图，连接．
垂直平分，，，，
当、、在同一直线上时，最小，最小值为．
周长最小值．
，点是边的中点，，
，，．故答案为：．
14．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，已知，点P在内部，点与点P关于对称，点与点P关于对称，连接，分别交，于点E，F，连接，．若，，则的面积为 ．(用含a，b的代数式表示)
【答案】
【详解】解：连接，
根据轴对称的性质可知：，
，，，，
，，
，，
为直角三角形，，故答案为：．
15．（2025湖南中考模拟预测）如图，把沿平行于的直线折叠，使点落在边上的点处，若，则的度数为______．

【答案】80°/80度
【详解】解：根据题意可得：，，
沿平行于的直线折叠，使点落在边上的点处，，
，故答案为：．
16．（25-26八年级上·成都·课后作业）如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得和能够重合，和重合，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有 （填序号）．
【答案】①②④
【详解】解：由折叠得，
∴，，，
∴，，，故结论①正确，②正确，结论③错误；
又∵，即，故结论④正确，
综上所述，正确的有①②④，故答案为①②④．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，平面直角坐标系中有两点，．
(1)在y轴上画出一点M，使得的值最小；
(2)在x轴上画出一点N，使得的值最大．
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）解：如图，点就是所求的点；
（2）解：如图，点就是所求的点．
18．（25-26八年级上·广东·课后作业）如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若．
(1)求的长度；(2)求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：与关于直线对称，，
，．
（2）与关于直线对称，，，
，．
19．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在相同小正方形组成的网格纸上，有三个黑色方块，请你用三种不同的方法分别在图1、图2、图3上再选一个小正方形方块涂黑，使得四个黑色方块组成轴对称图形．
【答案】见解析
【详解】解：如图所示．（答案不唯一）
20．（25-26七年级上·河南·开学考试）将图中等腰三角形（）的边（）沿虚线折叠一下，使边刚好和边重合．在图中找到折叠后与点重合的点，连接可得到三角形，求三角形的面积与三角形的面积之比．
(1)在图中画出点，并连出三角形；
(2)三角形的面积与三角形的面积之比是多少？
【答案】(1)见解析；(2)．
【详解】（1）解：如图，在上取一点，使，则该点即为所求，三角形即为所求；
（2）解：根据图形折叠的性质可知，，
∵，∴，
根据等高模型可得，， 根据图形折叠的性质可知，，
∴，∴．
21．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知是的顶点关于某条直线的对称点．
(1)请利用无刻度的直尺和圆规作出直线（保留作图痕迹）；
(2)请利用刻度尺和三角板画出关于直线对称的；
(3)若，则________________．
【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)110
【详解】（1）解：如图，作线段的垂直平分线，则直线即为所求.
（2）解：如图，即为所求.
（3）解：，，.
与关于直线对称，.故答案为：110.
22．（25-26七年级上·山东·课后作业）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动．
【生活案例】（1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______．
【变式思考】（2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数．
【拓展运用】（3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数．
备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．）
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】解：（1），理由如下：如图
∵，∴，∵，∴，
∴，即，∴；故答案为：．
（2）如图 ∵，∴，
∴，∴．
∵，∴，∴．
∵，∴，即．
（3）如图，∵，∴．
∵，∴，
∵，∴．
当时，，∴，解得：．
23．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）在如图所示的三角形纸片中，，，按如下步骤可以把这个直角三角形纸片分成三个全等的小直角三角形（图中虚线表示折痕）：折叠三角形纸片，使直角边落在斜边上，点落在斜边点处；将折叠后的纸片再沿折叠．(1)由步骤可以得到哪些等量关系？(2)请证明；
(3)按照这种方法能否将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形？直接写出你的结论．
【答案】(1)，，，，
(2)证明见解析 (3)按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形
【详解】（1）解：折叠三角形纸片，使直角边落在斜边上，点落在斜边点处，
，，，，；
（2）证明：，，，
，，
点在上，且，，
在和中，，；
（3）解：按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形，
理由：当时，则，
，，与不全等，
按照这种方法不能将任意一个直角三角形分成三个全等的小三角形．
24．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）（1）如图，在边长均为1的小正方形组成的方格图中，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上．
①作，使它与关于直线l对称；
②在直线l上找一点P，使的和最短．（不需要计算，在图上直接标记点P的位置）．
（2）观察下图①~③中涂色部分构成的图案．（每个小三角形面积均为1）
①写出这三个图案都具有的两个共同特征：
__________________，____________________
②借助图④⑤中的网格，请你设计另外两个新的图案，使新的图案同时具有你在解答（1）时所写出的两个共同特征．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①都是轴对称图形；阴影部分的面积都是4；②见解析（答案不唯一）
【分析】本题考查作图 轴对称变换、轴对称 最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键；
（1）①根据轴对称的性质作图即可；
②连接，交直线l于点P，则点P即为所求；
（2）①根据轴对称图形的性质，结合网格特点求解即可；
②根据①中发现的特征，设计符合要求的图案即可．
【详解】解：（1）①如图，即为所求作：
②如图，点P即为所求作：
（2）①根据图案特征，可得三个图案都具有的两个共同特征：都是轴对称图形；阴影部分的面积都是4；
②新的图案如图所示：
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