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2025-2026 学年第一学期天域全国名校协作体联考
高三年级数学学科答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A A D B A B C C
1.答案 A
【详解】由集合并集运算得到 A B ( 1, 2]．故选：A.
2．答案 A
2 i (2 i)(1 i) 1 3i
【详解】由题设 z 1 i (1 i)(1 i) 2 ，故选：A
3．答案 D
p
【详解】抛物线 y2 2px上的点到焦点的最短距离为 ，故 p 4故选：D
2
4．答案 B
【详解】
解析：O1A O1B O1O2 O2A O1O2 O2B O1O2 O2A O1O2 O2A
O 21O2 O
2
2A 3
,故选 B.
5.答案 A
6.答案 B
4×12
【详解】先任选一条棱，余下的 11条棱与它异面的有 4条棱，所以共有 = 24对异面直线.故选 B.
2
7. 答案 C
【详解】 y sin 2x周期为 ，所以在 0 x 上由于三角函数图象的对称性得， x1, x4 关于 x 对称，同理2 4
x2，x x
3
3 关于 对称，所以 y y ， y4 1 4 2
y3 ．又因为 x1, x2, , x3,x4成等差数列，所以 x1 2x4 2
，所
4 4
y
以 y1 sin(2(2x

2 )) sin(4x

2 ) cos(4x2 ) 2sin
2 (2x2 ) 1 2y
2 1
2 1
2
，所以 6y ，故选 C．4 2 8 1
8.答案：C
【详解】：取 = 1, = 0,得到 (0) = 2,
取 = 0,得 ( ) = ( ),故函数 ( )为偶函数，故 B正确；
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( + 1) + ( 1) + ( ) = 0
取 = 1,得 ( + 1) + ( 1) + ( ) = 0,构造 ( + 1) + ( + 2) + ( ) = 0，得 ( + 2) = ( 1),故函数 ( )
为周期函数，周期为 3，故 A正确；
由 (0) = 2， (1) = 1， ( + 1) + ( 1) + ( ) = 0，得 (2) = 1. (3) = 2.
所以2026i=1 f(i) = 1，故 D正确；
2
取 = 1 , = 1 ( 1，得到： ) = 1,取 = 1, = 1, 3得 ( ) = 2 ( 1 ) ≠ 0,故 C错误,选 C.
2 2 2 2 2 2
二多选题
9．答案 BCD
10. 答案 ABD
选项 A，B可以通过定义直接选出 A,B正确；
选项 C分析： OA = 2,得到点 A(1, 3)，得 2 = 2, 1 = 2 3,
1 AF1F2 = 2 1 = 2 3;故 C错误；2
D AF F r = 2 + 选项 ：因为 为直角三角形，所以内切圆半径 1 1 21 2 = 3 1,故 D正确.2
11.答案 ACD
sinC sin A sin B c a b
【详解】由 与正弦定理可得 ，即 2 2 2， 2 2 2
c b c a c b c a c a bc b c b bc a
cos A ，故 A .选项 A正确
3 3
a b
b
3
A B a b C 2，所以由正弦定理 ，可得 3 sin A C ，即 a π ①.sin A sin B
2 sin

C

3
3 1 2a cosC sinC 2 3 2asin C π 又因为 3a cosC a sinC 2 3，即 ，即 2 3 ②，将①代入②可得
2 2 3
b 3
2 2 sin C π

2 3，解得b 2 .选项 B错误
sin π C 3
3
ΔABC周长取值范围为 (3 3,6 2 3)，故选项 C正确
b 2 1
设VABC外接圆半径为 R，则OA OB OC R，且 2R ，即 R ，
sinB sinB sin B
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因为 AOC 2B, BOC
2π
2A 1，所以 S R2 OAC sin AOC
1 1 sin 2B 1
3 2 2 sin2
，
B tanB
S 1 1 sin 2π 3 sin
2 B cos2 B 3 1
OBC
1 ，所以
2 sin 2 B 3 4 sin 2 B 4 tan 2 B
S S 1 3 1 1 3 1 1 3 OAC OBC ，tan B 4 tan 2 B 4 tan 2 B tan B 4

由 tan B
3
,
1
知，所以 x 0, 3 ，
3

tan B
2

则 S OAC S OBC f x
3 x 2 x 3 3 2 3 3 x ；4 4 4 3 12
ΔOAC和 OBC 3面积之差的取值范围为 ( , 3 ] .故选项 D正确
4 12
三、填空题：本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
8
12.答案：
9
13.答案： 1024
(4x+ 1 -4)4= 4x
2-4x+1 4= (2x-1)
8
【详解】
x x x4
Tr+1=Cr (2x)8-r(-1)r8 =(-1)r28-rCrx8-r8 (r=0,1, ,8) 令 8-r=7，解得 r=1
(-1)128-1C1x78 =-27×8x7=-1024x7
故答案为-1024
14. 7 15答案：
4
解析：设半径为 r,要使半径最大，则使两个小球与容器的表面相切，且两个小球也相切，
2 2r ≥ 0
而O1O2可构成新的长方体的对角线，但要满足 2 2r ≥ 0,
3 2r ≥ 0
而 2r 2 = (2 2r)2 + (2 2r)2 + (3 2r)2,
得：8r2 28r + 17 = 0,
r = 7± 15得： ,而 r ≤ 1, 7 15故 r = .
4 4
四、解答题
15.答案：（1）17；（2）0.004
解析：（1）根据题意，把男性样本记为 x1，x2，…x120，其平均数记为 ；把女性样本记为 y1，y2，…y90，其平均
数记为 ，则 =14， =21， 2分.
记总样本数据的平均数为 ，
z= 120 90则 210 ×14+ 210 ×21＝17，
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总样本数据的平均数为 17. 5分.
（2）根据题意，由（1）知μ＝17，σ2＝23，所以 X～N（17，23），
所以 P（12.2≤X≤21.8）＝P（17﹣4.8≤X≤17+4.8）≈0.6827，
P 1（X＜12.2）≈ 2 ×（1﹣0.6827）＝0.15865， 8分.
设抽取的 3位参与者中，脂肪含量均小于 12.2%的人数为 Y，
易得 Y～B（3，0.15865）， 10分.
故 P（X ＝3）= 33 ×（0.15865）3≈0.004，
故 3位参与者的脂肪含量均小于 12.2%的概率为 0.004． 13分.
16. 答案：（1）F(x) 1在定义域 R单调递增；(2)( ∞, ]
2
解析：（1）F(x) = ex e x 2x，x ∈ R. 1分
所以 F'(x) = ex + e x 2 ≥ 2 ex e x 2 = 0, 4分
所以 F(x)在定义域 R单调递增； 5分
（2）函数 ( ) = + 2 2 2为偶函数，由对称性可将问题转化为 x ∈ [0, + ∞),使 G(x) ≥ 0即可；而 G(0) =
0; 7分
'( ) = 4 , ''( ) = + 4 , '''( ) = ex e x，
因为 x ∈ [0, + ∞)，所以 '''( ) = ex e x ≥ 0，故 G''(x)在 x ∈ [0, + ∞)上为增函数；
≤ 1当 时， ''( ) ≥ ''(0) = 2 4 ≥ 0,所以 G'(x)在 x ∈ [0, + ∞)上为增函数； 9分
2
故 G'(x) ≥ G'(0) = 0，所以 G'(x)在 x ∈ [0, + ∞)上为增函数,
故 G(x) ≥ G(0) = 0 1，符合题意，故 ≤ ； 12分
2
1
当 > 时， ''(0) = 2 4 < 0, ‘’(2 ) = 2 2 4 ≥ 0(前面已证），
2
故 t > 0,使 G''(t) = 0,所以 x ∈ (0, t)时，有 G'(x)为减函数，故 G'(x) < G'(0) = 0,
所以 x ∈ (0, t)时，有 G(x)为减函数，故 G(x) < G(0) = 0,与题设矛盾，故舍去;
1
综上所述 的取值范围是( ∞, ]. 15分
2
17.答案：(1)答案见解析； (2)3 10
10
【详解】（1）如图，取 BC的中点 O，连接 AO，DO，
在多面体 ABCDE中，ΔABC，△BCD，ΔCDE都是边长为 2的等边三角形，
则在等边三角形 DCE中， EH CD，
又因为 EH BC ,CD∩ BC = C.
所以 EH 平面 BCD， 3分
同理，得 AO 平面 BCD， DO 平面 ABC， 4分
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所以 OA，OB，OD两两垂直，且 EH //OA，而EH OA，
故四边形 EHOA为平行四边形， EA //OH
OH // BD AE // BD 5分
（2）以 O为坐标原点，OA，OB，OD所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系 Oxyz．
以 BC中点 O为原点，OA为 x轴，OB为 y轴，垂直于平面 ABC的方向为 z轴
A( 3,0,0) B(0,1,0) C(0,-1,0) D(0,0, 3) 7分
1 3
E 3,- , ( CDE中，EH⊥平面 BCD，H为 CD中点，EH沿 x轴方向，长度 3)。
2 2
Q在 AO上，设 Q(t,0,0) DQ⊥平面 BCE，故DQ⊥BC且DQ⊥BE。
DQ=(t,0,- 3) BC=(0,-2,0) BE= 3,- 3 , 3 ，
2 2
DQ BE=t 3+0+(- 3) 3 =0 t= 3 3，解得 ，故 Q ,0,0 9分
2 2 2
3 3
设平面 BAE的法向量n1=(x1, y1,z1): BA=( 3,-1,0)，BE= 3,- , ，2 2
3x1-y1=0
方程组： 3 3 ，令x1=1，得y1= 3，z1=1，故n1=(1, 3,1)。 11分3x1- y2 1+ z2 1=0
平面 BDQ的法向量n2=(x2,y2,z2): B
3
D=(0,-1, 3)，BQ= ,-1,0
2
-y2+ 3z2=0
方程组： 3 ，令z2=1，得y2= 3，x2=2，故n2=(2, 3,1)。 13分x
2 2
-y2=0
n1 n2=1×2+ 3× 3+1×1=2+3+1=6，
|n1|= 12+( 3)2+12= 5，|n |= 22+( 3)2+12= 8=2 2 cos θ=
6 = 3 102 ， 15分5×2 2 10

18．解析：（1）由题意知，CA a, b ，CB a, b ，

所以CA CB a2 b2 c2 4，即 c 2 .
e c 1又 ，所以 a 4，b a2 c2 .a 2 2 3
x2 y2
所以椭圆的标准方程为 1 .…………………………………4分
16 12
（2）直线 l : x my 3 .
x my 3

由 x2
2 2
y2 ，得 3m 4 y 18my 21 0，
1 16 12
设M x , y 18m1 1 ， N x2 , y2 ，则 y1 y2 2 ， y
21
3m 4 1
y2 ，3m2 4
所以my1y
7
2 y1 y2 .………………………………………………………………7分6
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y1 y2
因为椭圆的左，右顶点分别为 A 2,0 ，B 2,0 ，所以 k1 ， k2 x ，1 4 x2 4
7
k y (x 4) my y y y1 y2
1
y y 7 y
1 1 2 1 2 1 6
1 1 2 1
所以 6 6 .………………10分
k2 y2 (x1 4) my 7 7 491y2 7 y2 y1 y2 7y y y 76 2 6 1 6 2

（3）直线MN的方向向量为 e (m,1)，所以由锐角三角形知，

PM PN 0① ，MP MN 0②， NP NM 0③，
由①得： (x1 5)(x2 5) y1y2 0
2
化简得 (m 1)y1y2 2m(y1 y2 ) 4 0，
2 5
进而化简得m ④；……………………………………………………………………………12分
27

由②③得， (MP e)(NP e) 0，化简得 (m(x1 5) y1)(m(x2 5) y2 ) 0，
2
进而化简得 ((m 1)y1 2m)((m
2 1)y2 2m) (m
2 1)2 y y 2m(m2 21 2 1)(y1 y2 ) 4m 0
进而化简得 27m4 10m2 21 0⑤，……………………………………………………………15分
当m2
1 1
[ , ]时，同时满足④⑤，所以此时△MNP为锐角三角形. …………………………17分
5 2
19．解：（1）由递推关系得，
a1 1,a2 1,a3 1,a4 0,a5 0,a6 1,a7 0,a8 1,a 9 1； 4分
（2）由： a1 1,a2 1,a3 1,a4 0,a5 0,a6 1,a7 0,a8 1,a9 1,a10 1,
可知：数列 an 的周期T 7， 6分
而数列的前 20 项中有 12 个数字 1，有 8个数字 0，故选 , 共有 20 × 20 = 400种选法，
分成 3种情况：
①当ai = aj时，有 20 种情况，每一种情况 + 2 = 1，故这类求和为 20，
②当ai = 1, aj = 0时，有C220 = 190种情况，每一种情况 + 2
= 3，
故这类求和为 3 × 190 = 570，
③当ai = 0, aj = 1
3
时，有C220 = 190种情况，每一种情况 + 2 = ， 9分2
3
故这类求和为 × 190 = 285， 10 分
2

综上可得 T = 1≤i,j≤20 + 2 = 20 + 570 + 285 = 875.
4 3
（3）当 n 7k 1时， Sn n ；7 7
4 6
当 n 7k 2时， Sn n ；7 7
4 9
当 n 7k 3时， Sn n ；7 7
4 5
当 n 7k 4时， Sn n ；7 7
第 6页共 7页
4 1
当 n 7k 5时， Sn n ；7 7
4 4
当 n 7k 6时， Sn n ；7 7
4
当 n 7k 7时， Sn n； 14分7
4 9
由此推出， Sn n .每个周期内，数列的和为 4，而100被 4整除，所以恰好 25个周期，故7 7
Sn 100的最大 n 25 7 175 . 17分
第 7页共 7页绝密★考试结束前
2025-2026学年第一学期天域全国名校协作体联考
高三年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2。答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字，
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效，
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。

1.已知集合A={x-1A.（-1,2]
B.(-1,2)
c.[0)
D.[0,2]
蜘
2.已知复数z满足(1-i)z=2+i,则复数z的虚部为（)
粼
A.
3-2
C.
3若抛物线y2=2x上的点到焦点的最短距离为2，则抛物线方程为（）
区
A.y2=x
B.y2=2x
C.y2=4x
D.y2=8x
州
4.已知圆O与圆O2的半径分别为3和1，圆O与圆O2内沿着圆周滚动如图所示，AB是圆O,的任
杯
意直径，则QA0B=（)
相
00
A.1
B.3
C.5
D.8
5已知函数f(x)=
2￥-1
2*+1
正数a,b满足fa)+9b-2)=0,则上+的最小值为（)
a b
A.8
B.10
C.12
D.16
茶
高三数学学科试题第1页（共4页）
6敢正方体六个表面的中心，构成正八面体，如图所示，正八面体的12条棱中异面直线的对数为()
A.16
B.24
C.32
D.48
2已知4，以BC,%Cg,子De,)是曲线y=s血2x上的四点，其中
0<<名<马<<受且要，成等差数列，则立=()
A.2
B.4
C.6
D.8
8已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x一y)+f(x)fy)=0,f()=1,则下列说法错
误的是（)
A.f(x)为周期函数B.f(x)为偶函数
cf原=0
D.
觉f0=1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合思目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.盒子中有大小相同的5个球，其中3个红球，2个白球，从盒子中随机依次不放回的取出两个球，
记事件A为“第一次取出的是红球”，事件B为“第二次取出的是红球”，则（)
A,P(4B)=亏
B.P(0-2
C.P(B)=
3
D.P(A+
9
10.已知双曲线B:产_上=1的左右焦点分别为，B,点A在渐近线上，且在第一象限，满足
A上AF,则下列说法正确的是（)
A.双曲线E的渐近线方程为y=土√3x
B.双曲线E的离心率为e=2
C.△AFF的面积为43
D.△AFE的内切圆的半径r=√5-1
高三数学学科试愿第2页（共4页）

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