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1.4.2　充要条件 课时作业
1.“a=b”是“ac=bc”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
2.使“x∈{x|x≥3或x≤-}”成立的一个充分不必要条件是(　　)
[A]x≥0 [B]x<0或x>2
[C]x∈{-1,3,5} [D]x≥3或x≤-
3.设a,b是实数, 则“|a|<|b|”是“a[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
4.设p是q的充分不必要条件,r是q的必要不充分条件,s是r的充要条件,则s是p的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
5.(多选)设计如图所示的四个电路图,p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则p是q的充要条件的电路图是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
6.(多选)设集合A={x|x2-x-6=0},B={x|ax-1=0且a≠0}.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,则实数a的值可以为(　　)
[A]- [B]- [C] [D]
7.(5分)设a为实数,则“a3=-1”是“a2=-1”的　　　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
8.(5分)已知p:q:2m-19.(14分)已知a+b≠0,证明:a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
10.(14分)已知p:x-2>0,q:ax-4>0,其中a∈R且a≠0.
(1)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
强化练
11.集合A,B之间的关系如图所示,p:a∈ UB,q:a∈A,则p是q的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
12.(多选)在四边形ABCD中,“四边形ABCD是梯形”的一个充分不必要条件可能是(　　)
[A]AB平行于CD,且AB等于CD
[B]AB平行于CD,且AB不等于CD
[C]AB平行于CD,且AD不平行于BC
[D]AB平行于CD或AD平行于BC
13.(14分)已知关于x的方程(m∈Z):①mx2-4x+4=0,②x2-4mx+4m2-4m-5=0,求方程①和②都有整数解的充要条件.
拓展练
14.甲、乙、丙、丁四名同学在玩一个猜数字游戏,甲、乙、丙共同写出三个集合:
A={x|0<△x<2},B={x|-3≤x≤5},C={x|0[A]3或4 [B]2或3
[C]1或2 [D]1或31.4.2　充要条件 课时作业
1.“a=b”是“ac=bc”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 当a=b时,可得ac=bc,即“a=b” “ac=bc”;当ac=bc时,不妨取c=0,则a,b不一定相等,即“ac=bc”“a=b”.所以“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件.故选B.
2.使“x∈{x|x≥3或x≤-}”成立的一个充分不必要条件是(　　)
[A]x≥0 [B]x<0或x>2
[C]x∈{-1,3,5} [D]x≥3或x≤-
【答案】 C
【解析】 各选项中,只有{-1,3,5}为{x|x≥3或x≤-}的真子集,其余均不为该集合的真子集,故“x∈{-1,3,5}”是“x∈{x|x≥3或x≤-}”的一个充分不必要条件.故选C.
3.设a,b是实数, 则“|a|<|b|”是“a[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 D
【解析】 充分性:不妨令a=1,b=-2,此时满足|a|<|b|,但a>b,充分性不成立;必要性:不妨令a=-1,b=0,此时满足a|b|,必要性不成立.故“|a|<|b|”是“a4.设p是q的充分不必要条件,r是q的必要不充分条件,s是r的充要条件,则s是p的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 因为p是q的充分不必要条件,所以p q且qp,因为r是q的必要不充分条件,所以q r且rq,因为s是r的充要条件,所以s r且r s,如图,所以p s且sp,故s是p的必要不充分条件.故选B.
5.(多选)设计如图所示的四个电路图,p:开关S闭合,q:灯泡L亮,则p是q的充要条件的电路图是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 BD
【解析】 由题知,A中电路图,开关S闭合,灯泡L亮,而灯泡L亮,开关S不一定闭合,故A中p是q的充分不必要条件;B中电路图,开关S闭合,灯泡L亮,且灯泡L亮,则开关S闭合,故B中p是q的充要条件;C中电路图,开关S闭合,灯泡L不一定亮,灯泡L亮,则开关S一定闭合,故C中p是q的必要不充分条件;D中电路图,开关S闭合,则灯泡L亮,灯泡L亮,则开关S闭合,故D中p是q的充要条件.故选BD.
6.(多选)设集合A={x|x2-x-6=0},B={x|ax-1=0且a≠0}.若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,则实数a的值可以为(　　)
[A]- [B]- [C] [D]
【答案】 AD
【解析】 由题得A={x|x2-x-6=0}={-2,3},B={x|x=},若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件,
则BA,因为a≠0,所以B≠,即B={3}或B={-2}.当B={3}时,满足3a-1=0,所以a=;当B={-2}时,满足-2a-1=0,所以a=-,所以a的值可以是,-.故选AD.
7.(5分)设a为实数,则“a3=-1”是“a2=-1”的　　　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
【答案】 必要不充分
【解析】 a3=-1 a=-1,故解集为{-1},而a2=-1在R内无解,解集为 ,由于 是任何非空集合的真子集,故“a3=-1”是“a2=-1”的必要不充分条件.
8.(5分)已知p:q:2m-1【答案】 {m|m≥}
【解析】 由已知得命题p:29.(14分)已知a+b≠0,证明:a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
【证明】 充分性:若a+b=1,则a2+b2-a-b+2ab=(a+b)2-(a+b)=1-1=0,即充分性成立;
必要性:若a2+b2-a-b+2ab=0,则(a+b)2-(a+b)=(a+b)(a+b-1)=0,因为a+b≠0,所以a+b-1=0,
即a+b=1,即必要性成立.
综上,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.
10.(14分)已知p:x-2>0,q:ax-4>0,其中a∈R且a≠0.
(1)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围;
(2)若p是q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.
【解】 设p:x-2>0对应的集合为A={x|x>2},q:ax-4>0对应的集合为B={x|ax-4>0}.
当a<0时,B={x|x<};当a>0时,B={x|x>}.
(1)若p是q的充分不必要条件,则AB,当a<0时,不符合题意;
当a>0时,只要<2,所以a>2,即实数a的取值范围为{a|a>2}.
(2)若p是q的必要不充分条件,则BA,当a<0时,不符合题意;
当a>0时,只要>2,所以0强化练
11.集合A,B之间的关系如图所示,p:a∈ UB,q:a∈A,则p是q的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 由题图可知A UB,则p是q的必要不充分条件.故选B.
12.(多选)在四边形ABCD中,“四边形ABCD是梯形”的一个充分不必要条件可能是(　　)
[A]AB平行于CD,且AB等于CD
[B]AB平行于CD,且AB不等于CD
[C]AB平行于CD,且AD不平行于BC
[D]AB平行于CD或AD平行于BC
【答案】 BC
【解析】 对于选项A,由“AB平行于CD,且AB等于CD”推出“四边形ABCD是平行四边形”,选项A错误;对于选项B,因为“AB平行于CD,且AB不等于CD”可以推出“四边形ABCD是梯形”,但“四边形ABCD是梯形”推不出“AB平行于CD,且AB不等于CD”,也有可能是AD∥BC,且AD≠BC,选项B正确;对于选项C,“AB平行于CD,且AD不平行于BC” 可以推出“四边形ABCD是梯形”, 但“四边形ABCD是梯形”推不出“AB平行于CD,且AD不平行于BC”,也有可能是AD∥BC,且AB不平行于CD,选项C正确;对于选项D,由“AB平行于CD或AD平行于BC”不能推出“四边形ABCD是梯形”,选项D错误.故选BC.
13.(14分)已知关于x的方程(m∈Z):①mx2-4x+4=0,②x2-4mx+4m2-4m-5=0,求方程①和②都有整数解的充要条件.
【解】 方程①有实数解的充要条件是m=0或解得m≤1;
方程②有实数解的充要条件是Δ=16m2-4(4m2-4m-5)≥0,即m≥-.
所以-≤m≤1,又m∈Z,所以m=-1或m=0或m=1.
当m=-1时,方程①即-x2-4x+4=0,无整数解;当m=0时,方程②即x2-5=0,无整数解;当m=1时,方程①x2-4x+4=0有整数解x=2,方程②x2-4x-5=0有整数解x=-1或x=5,从而方程①②都有整数解.
所以方程①和②都有整数解的充要条件是m=1.
拓展练
14.甲、乙、丙、丁四名同学在玩一个猜数字游戏,甲、乙、丙共同写出三个集合:
A={x|0<△x<2},B={x|-3≤x≤5},C={x|0[A]3或4 [B]2或3
[C]1或2 [D]1或3
【答案】 C
【解析】 因为此数为小于5的正整数,所以A={x|0<△x<2}={x|0因为“x∈B”是“x∈A”成立的必要不充分条件,“x∈C”是“x∈A”成立的充分不必要条件,
所以A是B的真子集,C是A的真子集,
故≤5且>,解得≤△<3,故“△”表示的数字是1或2.故选C.

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