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第2课时　等式性质与不等式性质
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.已知ab>bc,则下列不等式一定成立的是(　　)
[A]a>c [B]a[C]< [D]>
2.设a,b,c∈R,且a>b,则(　　)
[A]ac2>bc2 [B]a2|a|>b2|b|
[C]a(a-b)>b(a-b)　　 [D]>
3.一高中某班打算开展辩论赛活动,现有辩题A,B可供选择,每名学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备,已知该班的女生人数多于男生人数,经过统计,选辩题A的人数多于选辩题B的人数,则(　　)
[A]选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数
[B]选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数
[C]选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数
[D]选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数
4.已知实数a,b,c满足a>b>0>c,则下列不等式中成立的是(　　)
[A]a+
[C]< [D]>
5.(多选)下列是<<0成立的必要条件的有(　　)
[A]|a|<|b| [B]0<<1
[C]>0 [D]ac6.设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值为(　　)
[A]27 [B]24 [C]12 [D]32
7.(5分)已知a,b,c∈R,命题p:若a>b>c,则ab28.(5分)若实数a,b满足-19.(14分)已知实数a,b满足-1(1)求a+b和ab的取值范围;
(2)证明:1+ab>a+b.
10.(15分)如果向一杯糖水里加糖,糖水变甜了,这其中蕴含着著名的糖水不等式:
<(x>y>0,m>0).若已知a,b,c是三角形的三边,试利用糖水不等式,求证:
1<++<2.
强化练
11.已知a>b>c,2a+b+c=0,则(　　)
[A]-3<<-1 [B]-1<<-
[C]-2<<-1 [D]-1<<-
12.(5分)若二次函数y=ax2+bx+c满足以下条件:①该函数的图象过原点;②当 x=-1时,y的取值范围为大于等于1且小于等于2;③当x=1时,y的取值范围为大于等于3且小于等于4.则当x=-2时,y的取值范围是　 .
13.(15分)设0拓展练
14.有外表一样、质量不同的四个小球,它们的质量分别是a,b,c,d.已知a+b=c+d,
a+d>b+c,a+c[A]d>b>a>c　 [B]b>c>d>a　
[C]d>b>c>a　 [D]c>a>d>b第1课时　不等关系与不等式
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.某同学准备用自己存的零花钱买一套名著,他现在已存60元,计划从现在起以后每个月存30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要月数的x的不等式是(　　)
[A]30x-60≥400 [B]30x+60≥400
[C]30x-60≤400 [D]30x+60≤400
【答案】 B
【解析】 x个月后他至少有400元,可表示成30x+60≥400.故选B.
2.若a=x2+3x+5,b=3x+4,则(　　)
[A]a[B]a>b
[C]a=b
[D]a,b的大小关系无法确定
【答案】 B
【解析】 因为a-b=x2+3x+5-3x-4=x2+1>0,所以a>b.故选B.
3.已知0[A]MN
[C]M=N [D]M≥N
【答案】 B
【解析】 因为0所以M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1)>0,
所以M>N.故选B.
4.已知a>b>c,则+的值是(　　)
[A]正数　 [B]负数
[C]非正数 [D]非负数
【答案】 A
【解析】 +==.因为a>b>c,所以b-a<0,b-c>0,c-a<0,所以>0.故选A.
5.已知四个实数a,2a,a2,2a2,当0[A]a [B]2a2 [C]2a [D]a2
【答案】 C
【解析】 由00,则2a>a;2a-a2=a(2-a)>0,则2a>a2;2a-2a2=2a(1-a)>0,则2a>2a2,所以这四个实数中最大的是2a.故选C.
6.(多选)已知有学生若干人,住若干间宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,则学生人数可能为(　　)
[A]55 [B]59 [C]63 [D]67
【答案】 BCD
【解析】 设宿舍有x间,则学生有(4x+19)人,依题意,得解得因为x∈N*,所以x=10,11或12,学生人数分别为59,63,67.故选BCD.
7.(5分)已知a∈R,则a2+3a-1　　　　2a-2.(填“>”或“<”)
【答案】 >
【解析】 因为a2+3a-1-(2a-2)=a2+a+1=(a+)2+>0,所以a2+3a-1>2a-2.
8.(5分)设a=+,b=+,则a与b的大小关系是　　　　　　.(用“>”连接)
【答案】 a>b
【解析】 =7+10+2=17+2,=3+14+2=17+2,
因为17+2>17+2,所以>,又 +>0,+>0,
所以+>+,即a>b.
9.(14分)(1)已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小;
(2)已知M=+与N=+,其中a>0,b>0,证明M≤N.
(1)【解】 3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1),因为x≤1,所以x-1≤0,又3x2+1>0,所以(3x2+1)·(x-1)≤0,所以3x3≤3x2-x+1.
(2)【证明】 M-N=(+)-(+)=(-)-(-)=-=(a-b)(-)=-,
因为a>0,b>0,所以(1+a)(1+b)>0,-(a-b)2≤0,所以M-N≤0,即M≤N.
10.(15分)已知a>0且a≠1,比较 与 的大小.
【解】 因为-==,
所以当a>1时,-2a<0,a+1>0,a-1>0,
所以<0,所以<;
当00,a-1<0,
所以>0,所以>.
综上,当a>1时,<;
当0.
强化练
11.两人共同参加一个游戏,游戏规则如下:其中一人在集合A={x3,x2y,xy2,y3}(x>0,y>0且x≠y)中任取2个元素并求和,剩下2个元素给另一个人并求和,和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜(　　)
[A]x3,x2y [B]x3,xy2
[C]x3,y3 [D]x2y,xy2
【答案】 C
【解析】 若先取者取x3和x2y,则(x3+x2y)-(xy2+y3)=x2(x+y)-y2(x+y)=(x+y)·(x2-y2)=
(x+y)2(x-y),根据x>0,y>0且x≠y,不能确定大小关系,A错误;若先取者取x3和xy2,则(x3+xy2)-(x2y+y3)=x(x2+y2)-y(x2+y2)=(x2+y2)(x-y),根据x>0,y>0且x≠y,不能确定大小关系,B错误;若先取者取x3和y3,则(x3+y3)-(x2y+xy2)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x2-y2)(x-y)=(x-y)2(x+y),因为x>0,y>0且x≠y,所以上式大于0,C正确,D错误.故选C.
12.已知甲、乙两人均两次购买同一种学习用品,甲不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量固定;乙不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数固定.假设所购物品的价格发生波动,则(　　)
[A]两位中省钱小能手是甲
[B]两位中谁是省钱小能手与价格升降有关
[C]两位中省钱小能手是乙
[D]两位中谁是省钱小能手与购买数量有关
【答案】 C
【解析】 设第一次所购物品的单价为p1,第二次所购物品的单价为p2,甲单次购买物品的数量为n,则甲两次所购物品的平均价格为=.设乙单次购买物品所花的钱数为m,则第一次购买物品的数量为,第二次购买物品的数量为,则乙两次所购物品的平均价格为=.因为-=-==≥0,但 p1≠p2,故等号不能取到,所以甲两次所购物品的平均价格大于乙两次所购物品的平均价格,故乙是省钱小能手.故选C.
13.(15分)已知方程x2+4x+m=0的两个实根为x1,x2,将A=+与B=x1x2(x1+x2)表示为m的代数式,并比较A与B的大小.
【解】 由题意得x1+x2=-4,x1x2=m,且Δ=16-4m≥0,解得m≤4,所以A=+=(x1+x2)2-2x1x2=
16-2m,B=x1·x2(x1+x2)=-4m,所以A-B=16-2m-(-4m)=16+2m.当-80,即A>B;当m=-8时,16+2m=0,即A=B;当m<-8时,16+2m<0,即A综上,当-8B;当m=-8时,A=B;当m<-8时,A拓展练
14.已知矩形ABCD的一组邻边长为a,b-c,矩形EFGH的一组邻边长为b,a-c(a>b>c>0),按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为S1,S2,则S1与S2的大小关系为(　　)
[A]S1>S2 [B]S1=S2
[C]S1【答案】 C
【解析】 设空白处面积为S,则S1=a(b-c)-S,S2=b(a-c)-S,
所以S1-S2=a(b-c)-S-b(a-c)+S=ab-ac-ab+bc=c(b-a),
又c>0,且b-a<0,所以S1-S2<0,所以S1课时作业
(满分:100分)
基础练
1.已知ab>bc,则下列不等式一定成立的是(　　)
[A]a>c [B]a[C]< [D]>
【答案】 D
【解析】 由ab>bc,得b≠0,对于A,B,当b>0时,a>c,当b<0时,abc,b2>0,得>,则C错误,D正确.故选D.
2.设a,b,c∈R,且a>b,则(　　)
[A]ac2>bc2 [B]a2|a|>b2|b|
[C]a(a-b)>b(a-b)　　 [D]>
【答案】 C
【解析】 对于A,当c=0时,ac2=bc2,故A错误;对于B,当a=-1,b=-2时,满足a>b,此时a2|a|=1,b2|b|=8,a2|a|b,可得a-b>0,所以a(a-b)>b(a-b),故C正确;对于D,当c=0时,=,故D错误.故选C.
3.一高中某班打算开展辩论赛活动,现有辩题A,B可供选择,每名学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备,已知该班的女生人数多于男生人数,经过统计,选辩题A的人数多于选辩题B的人数,则(　　)
[A]选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数
[B]选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数
[C]选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数
[D]选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数
【答案】 A
【解析】 设选辩题A的男生有x人,选辩题A的女生有y人,选辩题B的男生有m人,选辩题B的女生有n人.已知该班女生人数多于男生人数,所以y+n>x+m,又选辩题A的人数多于选辩题B的人数,所以x+y>m+n.将这两个不等式相加得到2y+x+n>2m+x+n,两边同时消去x+n,得到2y>2m,即y>m,则选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数.故选A.
4.已知实数a,b,c满足a>b>0>c,则下列不等式中成立的是(　　)
[A]a+
[C]< [D]>
【答案】 D
【解析】 对于A,a+-(b+)=a-b+(-),因为a>b>0,所以a-b>0,->0,所以a-b+(-)>0,即a+>b+,故A错误;对于B,令a=2,b=1,则=<=2,故B错误;对于C,因为a>b>0>c,所以>,所以>,故C错误;对于D,-==,因为a>b>0>c,所以c-a<0,c-b<0,(c-a)(c-b)>0,a2-b2>0,c(b-a)>0,所以>0,即>,故D正确.故选D.
5.(多选)下列是<<0成立的必要条件的有(　　)
[A]|a|<|b| [B]0<<1
[C]>0 [D]ac【答案】 ABC
【解析】 由<<0,得c≠0,所以<<0,则<<0.对于A,<<0,当c<0时,b>a>0,当c>0时,
ba>0,得0<<1,由b0,因此>0是<<0成立的一个必要条件,C符合题意;对于D,由<<0,得bc6.设x,y为实数,满足3≤xy2≤8,4≤≤9,则的最大值为(　　)
[A]27 [B]24 [C]12 [D]32
【答案】 A
【解析】 由3≤xy2≤8,得≤≤,又4≤≤9,所以16≤≤81,所以×16≤·≤×81,即2≤≤27,所以的最大值为27.故选A.
7.(5分)已知a,b,c∈R,命题p:若a>b>c,则ab2【答案】 1　0　-1(答案不唯一,满足a>b>c即可)
【解析】 因为a>b>c,b2≥0,若b=0,则ab2=cb2=0;若b≠0,则b2>0,可得ab2>cb2.综上所述,
ab2≥cb2.所以对于任意a>b>c,命题p均为假命题,例如a=1,b=0,c=-1.
8.(5分)若实数a,b满足-1【答案】 {x|-3【解析】 依题意,-1即-39.(14分)已知实数a,b满足-1(1)求a+b和ab的取值范围;
(2)证明:1+ab>a+b.
(1)【解】 因为-1所以-2当-10<-a<1,0<-b<1,此时0当-1此时0<-ab<1,得到-1当0此时0<-ab<1,得到-1当0当a=0或b=0时,ab=0.综上,-1(2)【证明】 因为1+ab-(a+b)=(1-a)(1-b),又-10,得到1+ab>a+b.
10.(15分)如果向一杯糖水里加糖,糖水变甜了,这其中蕴含着著名的糖水不等式:
<(x>y>0,m>0).若已知a,b,c是三角形的三边,试利用糖水不等式,求证:
1<++<2.
【证明】 因为a,b,c是三角形的三边,所以b+c>a>0,由题知<=,
同理<,<,所以++<++==2,
又>,>,>,所以++>=1.所以原不等式成立.
强化练
11.已知a>b>c,2a+b+c=0,则(　　)
[A]-3<<-1 [B]-1<<-
[C]-2<<-1 [D]-1<<-
【答案】 A
【解析】 因为a>b>c,2a+b+c=0,所以a>0,c<0,b=-2a-c.因为a>b,所以a>-2a-c,即3a>-c,解得>-3;又b>c,所以-2a-c>c,即a<-c,得<-1,所以-3<<-1.故选A.
12.(5分)若二次函数y=ax2+bx+c满足以下条件:①该函数的图象过原点;②当 x=-1时,y的取值范围为大于等于1且小于等于2;③当x=1时,y的取值范围为大于等于3且小于等于4.则当x=-2时,y的取值范围是　 .
【答案】 {y|6≤y≤10}
【解析】 因为二次函数y=ax2+bx+c的图象过原点,所以c=0,所以y=ax2+bx.
当x=-1时,1≤a-b≤2,①
当x=1时,3≤a+b≤4,②
当x=-2时,y=4a-2b.设存在实数m,n,使得4a-2b=m(a+b)+n(a-b),即4a-2b=(m+n)a+(m-n)b,所以解得所以4a-2b=(a+b)+3(a-b).由①②可知3≤a+b≤4,3≤3(a-b)≤6,所以3+3≤4a-2b≤4+6,即6≤4a-2b≤10,故当x=-2时,y的取值范围是{y|6≤y≤10}.
13.(15分)设0【证明】 法一　因为0所以x(1-y)+y(1-x)<(1-y)+y(1-x)=1-y+y-xy=1-xy<1,即x(1-y)+y(1-x)<1.
法二　因为0所以x(1-y)+y(1-x)<1-y+y=1,即x(1-y)+y(1-x)<1.
法三　因为x(1-y)+y(1-x)+xy+(1-x)(1-y)=1,所以x(1-y)+y(1-x)=1-xy-(1-x)(1-y).
因为0法四　如图,作边长为1的正方形ABCD,分别在边AD,AB上取点E,F,使得AF=x(0AE=y(0拓展练
14.有外表一样、质量不同的四个小球,它们的质量分别是a,b,c,d.已知a+b=c+d,
a+d>b+c,a+c[A]d>b>a>c　 [B]b>c>d>a　
[C]d>b>c>a　 [D]c>a>d>b
【答案】 A
【解析】 因为a+b=c+d,a+d>b+c,所以a+d+(a+b)>b+c+(c+d),即a>c,所以bb>a>c.故选A.第1课时　不等关系与不等式
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.某同学准备用自己存的零花钱买一套名著,他现在已存60元,计划从现在起以后每个月存30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要月数的x的不等式是(　　)
[A]30x-60≥400 [B]30x+60≥400
[C]30x-60≤400 [D]30x+60≤400
2.若a=x2+3x+5,b=3x+4,则(　　)
[A]a[B]a>b
[C]a=b
[D]a,b的大小关系无法确定
3.已知0[A]MN
[C]M=N [D]M≥N
4.已知a>b>c,则+的值是(　　)
[A]正数　 [B]负数
[C]非正数 [D]非负数
5.已知四个实数a,2a,a2,2a2,当0[A]a [B]2a2 [C]2a [D]a2
6.(多选)已知有学生若干人,住若干间宿舍,如果每间住4人,那么还余19人,如果每间住6人,那么只有一间不满但不空,则学生人数可能为(　　)
[A]55 [B]59 [C]63 [D]67
7.(5分)已知a∈R,则a2+3a-1　　　　2a-2.(填“>”或“<”)
8.(5分)设a=+,b=+,则a与b的大小关系是　　　　　　.(用“>”连接)
9.(14分)(1)已知x≤1,比较3x3与3x2-x+1的大小;
(2)已知M=+与N=+,其中a>0,b>0,证明M≤N.
10.(15分)已知a>0且a≠1,比较 与 的大小.
强化练
11.两人共同参加一个游戏,游戏规则如下:其中一人在集合A={x3,x2y,xy2,y3}(x>0,y>0且x≠y)中任取2个元素并求和,剩下2个元素给另一个人并求和,和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜(　　)
[A]x3,x2y [B]x3,xy2
[C]x3,y3 [D]x2y,xy2
12.已知甲、乙两人均两次购买同一种学习用品,甲不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品的数量固定;乙不考虑物品价格的升降,每次购买这种物品所花的钱数固定.假设所购物品的价格发生波动,则(　　)
[A]两位中省钱小能手是甲
[B]两位中谁是省钱小能手与价格升降有关
[C]两位中省钱小能手是乙
[D]两位中谁是省钱小能手与购买数量有关
13.(15分)已知方程x2+4x+m=0的两个实根为x1,x2,将A=+与B=x1x2(x1+x2)表示为m的代数式,并比较A与B的大小.
拓展练
14.已知矩形ABCD的一组邻边长为a,b-c,矩形EFGH的一组邻边长为b,a-c(a>b>c>0),按如图所示的方式重叠后两阴影部分的面积分别为S1,S2,则S1与S2的大小关系为(　　)
[A]S1>S2 [B]S1=S2
[C]S1

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