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第2课时　基本不等式的应用
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.已知一个直角三角形的斜边长为8,则其面积的最大值是(　　)
[A]12 [B]14 [C]16 [D]18
【答案】 C
【解析】 设直角三角形的两条直角边分别为a,b,则a2+b2=64,直角三角形的面积为ab≤·==16,当且仅当a=b=4时,等号成立.故选C.
2.已知a>1>c,则与的大小关系是(　　)
[A]≥
[B]≤
[C]>
[D]<
【答案】 B
【解析】 因为a>1>c,所以a-1>0,1-c>0.所以=≤=,当且仅当a-1=1-c,即a+c=2时,等号成立.所以≤.故选B.
3.某生物制药公司为了节约成本开支,引入了一批新型生物污水处理器,通过费用开支的记录得知其月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:t)满足函数关系式y=2x2-180x+
20 000.则当每吨的平均处理成本最低时的月处理量为(　　)
[A]80 t [B]100 t [C]120 t [D]150 t
【答案】 B
【解析】 依题意,每吨的平均处理成本为=2(x+)-180≥2×2-180=220,当且仅当x=,即x=100时,等号成立,所以当月处理量为100 t时,可以使每吨的平均处理成本最低.故选B.
4.已知a>0,b>0,则下列不等式不成立的是(　　)
[A]a+b+≥2
[B](a+b)(+)≥4
[C]≥2
[D]>
【答案】 D
【解析】 对于A,a+b+≥2+≥2=2,当且仅当2=且a=b,
即a=b=时,等号成立,A正确;
对于B,(a+b)(+)=1+1++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b时,等号成立,B正确;
对于C,因为a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立),所以≥=2,C正确;
对于D,若>成立,则>1,即a+b<2,但a+b≥2,D错误.故选D.
5.某工厂生产某种产品,第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则(　　)
[A]x=　 [B]x≤
[C]x>　 [D]x≥
【答案】 B
【解析】 由题意得,A(1+a)(1+b)=A(1+x)2,则(1+a)(1+b)=(1+x)2,因为(1+a)(1+b)≤()2,所以1+x≤=1+,所以x≤,当且仅当a=b时,等号成立.故选B.
6.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客购得的黄金实际克数是t,则(　　)
[A]t>10 [B]t≥10
[C]0【答案】 A
【解析】 由于天平两臂不等长,可设天平左臂长为a,右臂长为b,则a≠b,再设先称得黄金为x g,后称得黄金为y g,则xb=5a,5b=ay,所以x=,y=,所以x+y=+≥2=10,当且仅当=,即a=b时,等号成立,但a≠b,所以等号不成立,即x+y>10,所以t>10.故选A.
7.(5分)西周数学家商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例,其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形,若三角形的“弦”的长度为2,则该矩形周长的最大值为　　　　.
【答案】 8
【解析】 设矩形的一组邻边长为a,b,则该矩形的周长为2(a+b),且a2+b2=8.
法一　a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2()2=(a+b)2,即a+b≤=4,
当且仅当a=b=2时,等号成立,所以2(a+b)≤8,即该矩形周长的最大值为8.
法二　≤=2,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以2(a+b)≤8,
即该矩形周长的最大值为8.
8.(5分)已知对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,则实数a的最小值为　　　　.
【答案】
【解析】 由x>a,可得x-a>0,又由2x+=2(x-a)++2a≥2·+2a=4+2a,当且仅当2(x-a)=,即x=a+1时,等号成立,因为对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,所以4+2a≥5,解得a≥,所以实数a的最小值为.
9.(14分)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池,其蓄水量为200 m3,高为x m,底面的一条边长为5 m,施工方给的报价为四个侧面造价100元/m2,底面造价80元/m2.
(1)设此蓄水池的总造价为y元,求y关于x的函数关系式;
(2)如果你是施工方,请帮该厂设计一个总造价最低的方案,并给出具体的数据.
【解】 (1)长方体蓄水池的底面面积为 m2,长方体底面的另一条边长为= m,
故y=80·+100×2(5x+·x)=+1 000x+8 000,x>0.
(2)因为x>0,所以y=+1 000x+8 000≥2+8 000=16 000,
当且仅当=1 000x,即x=4时,等号成立,此时=10,
故当长方体的高为4 m,底面长、宽分别为10 m 和5 m时,总造价最低.
10.(14分)(1)已知a,b,c>0,求证:++≥a+b+c.
(2)已知a,b,c均为正数,且满足abc=1,求证:++≤a2+b2+c2.
【证明】 (1)因为a,b,c>0,所以+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,
所以+b++c++a≥2a+2b+2c,即++≥a+b+c,当且仅当a=b=c时,等号成立.
(2)因为a,b,c均为正数,所以a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,
所以a2+b2+a2+c2+b2+c2≥2ab+2ac+2bc,即a2+b2+c2≥ab+ac+bc,
因为abc=1,所以a2+b2+c2≥=++,当且仅当a=b=c时,等号成立,即++≤a2+b2+c2.
强化练
11.某公园有如图所示的一块直角三角形空地,直角边AB=8 m,AC=6 m.现欲建一个如图所示的内接矩形花园ADEF,点E在斜边BC上(不包括端点),则花园ADEF的面积的最大值为(　　)
[A]2 m2 [B]12 m2
[C]16 m2 [D]24 m2
【答案】 B
【解析】 设AD=x,则BD=8-x,因为△CFE∽△CAB,所以=,解得AF=6-x,其中012.(多选)已知a,b为不相等的正实数,满足a+=b+,则下列不等式正确的为(　　)
[A]a+b>2
[B]++≥4
[C]+≥16
[D]≥4
【答案】 ABD
【解析】 由a+=b+ a-b+-=0 a-b+=0 (a-b)(1-)=0,因为a,b为不相等的正实数,所以ab=1.对于A,a+b>2=2,故A正确;
对于B,++=a+b+≥2=4,当且仅当a+b=,即或 时,等号成立,故B正确;对于C,+=+=b2++≥3=12,
当且仅当b2=,即b=2时,等号成立,故C错误;
对于D,≥4等价于8a2+b2≥4a2+4,即4a2+b2≥4ab=4,
当且仅当2a=b,即时,等号成立,故D正确.故选ABD.
13.(16分)如图,在周长为8的矩形ABCD中(其中AB>AD),现将△ABC沿AC折叠到
△AB′C,设AB′与CD交于点E,设AB=x,B′E=y.
(1)求△B′EC的周长;
(2)试用x表示y,并求x的取值范围;
(3)当x为何值时,△B′EC的面积S取得最大值,并求出该最大值.
【解】 (1)由题意得△DEA≌△B′EC,因此CE+B′C+B′E=CE+AD+DE=AD+DC=4,
所以△B′EC的周长为定值4.
(2)由折叠知AB′=AE+B′E=AB=x,
则AE=x-y,即CE=x-y,
由(1)知CE+B′C+B′E=4,
即(x-y)+B′C+y=4,则B′C=4-x,
在Rt△B′EC中,由勾股定理得B′E2+B′C2=CE2,
即y2+(4-x)2=(x-y)2,化简得y=4-.
因为AB>AD,AB+AD=4,
所以x>4-x且x<4,即2所以y=4-,2(3)在Rt△B′EC中,S=B′C·B′E=(4-x)(4-)=12--2x,2则S=12-(+2x)≤12-2=12-8,当且仅当=2x,即x=2时,等号成立,
所以当x=2时,△B′EC的面积S取得最大值,且最大值为12-8.
拓展练
14.当x>0,y>0时,≥,这个基本不等式可以推广为当x,y>0时,λx+μy≥xλyμ,其中λ+μ=1且λ>0,μ>0.考虑取等号的条件,进而可得当x≈y时,λx+μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作:×≈×10+×9=,则≈≈3.167.用这样的方法,可得的近似值为(　　)
[A]3.033 [B]3.035
[C]3.037 [D]3.039
【答案】 C
【解析】 依题意,×≈×28+×27=,则≈≈3.037.故选C.第1课时　基本不等式
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中可使+≥2成立的个数是(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
2.下列各不等式正确的是(　　)
[A]a2+1>2a(a∈R)
[B]|x+|≥2(x∈R,x≠0)
[C]≥2(ab≠0)
[D]+(x∈R)的最小值为2
3.若实数x>0,y>0,且x+y=1,则xy的最大值为(　　)
[A]1 [B]2 [C] [D]
4.已知0[A] [B] [C]1 [D]
5.(多选)已知函数y=x++1(x<0),则函数(　　)
[A]没有最大值 [B]没有最小值
[C]最大值为-7 [D]最小值为9
6.已知a>0,且是方程x2+bx-8=0的一个根,则b+的最小值是(　　)
[A]8 [B]4 [C]2 [D]8
7.(5分)若a,b,c,d,x,y是正实数,且P=+,Q=·,则P　　　　Q.(比较大小)
8.(5分)已知m>0,n>0,且m+n=1,则m2+n2的最小值为　 　　　.
9.(13分)(1)已知a>0,b>0,且2a+b=4,求的最小值;
(2)求1+2x2+的最小值.
10.(15分)(1)若x>1,求y=x+的最小值;
(2)已知x>0,求y=的最小值;
(3)求y=(x>-1)的最小值.
强化练
11.(多选)已知a>0,b>0,a+b<2,则(　　)
[A]0[C]112.(5分)已知实数x,y,z,若x+2y-z=4,则(x+y-z)y-xz的最大值为　　　　.
13.(15分)已知实数a>b>0.
(1)证明b(a-b)≤,并指出等号成立的条件;
(2)求a2+的最小值及取最小值时a,b的值.
拓展练
14.在古巴比伦时期的数学泥版上,有许多三角形和梯形的分割问题,涉及不同的割线.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=a,AB=b,EF和GH为平行于底的两条割线,其中EF为中位线,GH过对角线交点,则通过比较这两条割线可以直接证明的不等式为(　　)
[A]≥(a>0,b>0)
[B]≤(a>0,b>0)
[C]≤(a>0,b>0)
[D]a2+b2≥2(a>0,b>0)第1课时　基本不等式
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.给出下列条件:①ab>0;②ab<0;③a>0,b>0;④a<0,b<0.其中可使+≥2成立的个数是(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 C
【解析】 根据基本不等式的条件,可知a,b应同号,故只有②不符合.故选C.
2.下列各不等式正确的是(　　)
[A]a2+1>2a(a∈R)
[B]|x+|≥2(x∈R,x≠0)
[C]≥2(ab≠0)
[D]+(x∈R)的最小值为2
【答案】 B
【解析】 A选项,当a=1时,a2+1=2a,故A错误;B选项,因为x≠0,|x|>0,|x+|=|x|+≥2=2,当且仅当x=±1时,等号成立,故B正确;C选项,当a<0,b<0时,<0,故C错误;D选项,
+≥2,当且仅当=,即x2+2=1,x2=-1时,等号成立,但是x2=-1不成立,故D错误.故选B.
3.若实数x>0,y>0,且x+y=1,则xy的最大值为(　　)
[A]1 [B]2 [C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为x>0,y>0,x+y=1,所以xy≤()2=,当且仅当x=y=时,等号成立.故选C.
4.已知0[A] [B] [C]1 [D]
【答案】 C
【解析】 因为00,所以a=≤=1,当且仅当a2=2-a2,即a=1时,等号成立,所以a 的最大值为1.故选C.
5.(多选)已知函数y=x++1(x<0),则函数(　　)
[A]没有最大值 [B]没有最小值
[C]最大值为-7 [D]最小值为9
【答案】 BC
【解析】 因为x<0,所以y=x++1=-[(-x)+(-)]+1≤-2·+1=-7,当且仅当-x=-,即x=-4时,等号成立,所以函数有最大值-7,无最小值.故选BC.
6.已知a>0,且是方程x2+bx-8=0的一个根,则b+的最小值是(　　)
[A]8 [B]4 [C]2 [D]8
【答案】 D
【解析】 由是方程x2+bx-8=0的一个根可得+-8=0,即b=4a-,且a>0,所以b+=
4a-+=4a+≥2·=8,当且仅当4a=,即a=1,b=2时,等号成立,故b+的最小值是8.故选D.
7.(5分)若a,b,c,d,x,y是正实数,且P=+,Q=·,则P　　　　Q.(比较大小)
【答案】 ≤
【解析】 Q=·=≥=+=P,
当且仅当=时,等号成立,故P≤Q.
8.(5分)已知m>0,n>0,且m+n=1,则m2+n2的最小值为　 　　　.
【答案】
【解析】 由m>0,n>0,且m+n=1,得mn≤()2=,当且仅当m=n=时,等号成立,
所以m2+n2=(m+n)2-2mn=1-2mn≥1-2×=,即m2+n2的最小值为.
9.(13分)(1)已知a>0,b>0,且2a+b=4,求的最小值;
(2)求1+2x2+的最小值.
【解】 (1)因为a>0,b>0,所以4=2a+b≥2,当且仅当2a=b,且2a+b=4,即a=1,b=2时,等号成立,所以0(2)由题意可知x≠0,所以x2>0,所以1+2x2+≥1+2=9,当且仅当2x2=,即x=±时,等号成立.所以1+2x2+的最小值为9.
10.(15分)(1)若x>1,求y=x+的最小值;
(2)已知x>0,求y=的最小值;
(3)求y=(x>-1)的最小值.
【解】 (1)y=x+=x+2+=x-1++3,由x>1可知x-1>0,
所以x-1++3≥2+3=7,当且仅当x-1=,即x=3时,
等号成立.所以所求的最小值为7.
(2)因为x>0,所以y==x+-2≥2-2=2,当且仅当x=,即x=2时,等号成立.
所以所求的最小值为2.
(3)因为x>-1,所以x+1>0,y===x+1++5≥2+5=9,
当且仅当x+1=,即x=1时,等号成立.所以所求的最小值为9.
强化练
11.(多选)已知a>0,b>0,a+b<2,则(　　)
[A]0[C]1【答案】 ABD
【解析】 对于A,0<2≤a+b<2,当且仅当a=b时,等号成立,故00,b>0,a+b<2,所以012.(5分)已知实数x,y,z,若x+2y-z=4,则(x+y-z)y-xz的最大值为　　　　.
【答案】 4
【解析】 因为x+2y-z=4,所以(x+y-z)y-xz=y(x+y)-z(x+y)=(x+y)(y-z)≤()2=()2=4,当且仅当x+y=y-z=2时,等号成立,故(x+y-z)y-xz的最大值为4.
13.(15分)已知实数a>b>0.
(1)证明b(a-b)≤,并指出等号成立的条件;
(2)求a2+的最小值及取最小值时a,b的值.
(1)【证明】 因为a>b>0,所以a-b>0,所以b(a-b)≤[]2=,当且仅当b=a-b,即2b=a时,等号成立.所以b(a-b)≤,当且仅当2b=a时,等号成立.
(2)【解】 由(1)知0综上可知,当a=,b=时,a2+取得最小值20.
拓展练
14.在古巴比伦时期的数学泥版上,有许多三角形和梯形的分割问题,涉及不同的割线.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且CD=a,AB=b,EF和GH为平行于底的两条割线,其中EF为中位线,GH过对角线交点,则通过比较这两条割线可以直接证明的不等式为(　　)
[A]≥(a>0,b>0)
[B]≤(a>0,b>0)
[C]≤(a>0,b>0)
[D]a2+b2≥2(a>0,b>0)
【答案】 B
【解析】 设AC交BD于点O,如图所示,因为AB∥GH∥CD,所以===,即OG=OH.又+=+=1,即+=1,解得GH=.又EF=,GH≤EF,所以≤.故选B.第2课时　基本不等式的应用
课时作业
(满分:100分)
基础练
1.已知一个直角三角形的斜边长为8,则其面积的最大值是(　　)
[A]12 [B]14 [C]16 [D]18
2.已知a>1>c,则与的大小关系是(　　)
[A]≥
[B]≤
[C]>
[D]<
3.某生物制药公司为了节约成本开支,引入了一批新型生物污水处理器,通过费用开支的记录得知其月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:t)满足函数关系式y=2x2-180x+
20 000.则当每吨的平均处理成本最低时的月处理量为(　　)
[A]80 t [B]100 t [C]120 t [D]150 t
4.已知a>0,b>0,则下列不等式不成立的是(　　)
[A]a+b+≥2
[B](a+b)(+)≥4
[C]≥2
[D]>
5.某工厂生产某种产品,第一年的产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则(　　)
[A]x=　 [B]x≤
[C]x>　 [D]x≥
6.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10 g黄金,售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5 g的砝码放在天平右盘中,再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.设顾客购得的黄金实际克数是t,则(　　)
[A]t>10 [B]t≥10
[C]07.(5分)西周数学家商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例,其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形,若三角形的“弦”的长度为2,则该矩形周长的最大值为　　　　.
8.(5分)已知对任意x>a,不等式2x+≥5恒成立,则实数a的最小值为　　　　.
9.(14分)某厂要建一个长方体形状的露天蓄水池,其蓄水量为200 m3,高为x m,底面的一条边长为5 m,施工方给的报价为四个侧面造价100元/m2,底面造价80元/m2.
(1)设此蓄水池的总造价为y元,求y关于x的函数关系式;
(2)如果你是施工方,请帮该厂设计一个总造价最低的方案,并给出具体的数据.
10.(14分)(1)已知a,b,c>0,求证:++≥a+b+c.
(2)已知a,b,c均为正数,且满足abc=1,求证:++≤a2+b2+c2.
强化练
11.某公园有如图所示的一块直角三角形空地,直角边AB=8 m,AC=6 m.现欲建一个如图所示的内接矩形花园ADEF,点E在斜边BC上(不包括端点),则花园ADEF的面积的最大值为(　　)
[A]2 m2 [B]12 m2
[C]16 m2 [D]24 m2
12.(多选)已知a,b为不相等的正实数,满足a+=b+,则下列不等式正确的为(　　)
[A]a+b>2
[B]++≥4
[C]+≥16
[D]≥4
13.(16分)如图,在周长为8的矩形ABCD中(其中AB>AD),现将△ABC沿AC折叠到
△AB′C,设AB′与CD交于点E,设AB=x,B′E=y.
(1)求△B′EC的周长;
(2)试用x表示y,并求x的取值范围;
(3)当x为何值时,△B′EC的面积S取得最大值,并求出该最大值.
14.当x>0,y>0时,≥,这个基本不等式可以推广为当x,y>0时,λx+μy≥xλyμ,其中λ+μ=1且λ>0,μ>0.考虑取等号的条件,进而可得当x≈y时,λx+μy≈xλyμ.用这个式子估计可以这样操作:×≈×10+×9=,则≈≈3.167.用这样的方法,可得的近似值为(　　)
[A]3.033 [B]3.035
[C]3.037 [D]3.039

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