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第2课时　换底公式
课时作业
基础练
1.化简log29×log34等于(　　)
[A] [B] [C]2 [D]4
【答案】 D
【解析】 法一　原式=×==4.故选D.
法二　原式=2log23×=2×2=4.故选D.
2.化简的值是(　　)
[A]1 [B] [C] [D]2
【答案】 B
【解析】 由题意可得===.故选B.
3.设log34·log48·log8m=log416,则m等于(　　)
[A] [B]9 [C]18 [D]27
【答案】 B
【解析】 因为log34·log48·log8m=××==2,所以lg m=2lg 3=lg 9,所以m=9.故选B.
4.若+=,则t等于(　　)
[A]2 [B]12 [C]48 [D]144
【答案】 D
【解析】 由对数的运算性质可知+=logt3+logt4=,即logt12=,解得t=144.故选D.
5.设n=+,则n的值所在的区间为(　　)
[A](-2,-1) [B](-3,-2)
[C](1,2) [D](2,3)
【答案】 D
【解析】 由题意可得n=+=+=log32+log35=log310,且 32=9<10,33=27>10,所以n=log310∈(2,3).故选D.
6.(多选)设a,b,c均是不等于1的正实数, 则下列等式恒成立的是(　　)
[A]logab·logca=logcb
[B]loga(bc)=logab·logac
[C]loga(b+c)=logab+logac
[D]logab=lobc
【答案】 AD
【解析】 依题意,logab·logca=·==logcb,A正确;
令a=2,b=2,c=4,则loga(bc)=log28=3,logab·logac=log22·log24=2,B错误;
令a=2,b=4,c=4,则loga(b+c)=log28=3,logab+logac=log24+log24=4,C错误;
lobc===logab,D正确.故选AD.
7.(5分)计算log332×log49-log2+log26的值为　　　　.
【答案】 8
【解析】 原式=log325×lo32-log2+log26=5log32×log23-log2+log26=5-log2+log26=5+log2=5+log28=8.
8.(5分)若ln 3=a,则log9e=　　　　.(用a表示)
【答案】
【解析】 因为ln 3=a,所以ea=3,则log9e===.
9.(12分)求下列各式的值:
(1)log6432×log2×log3×log5;
(2)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
【解】 (1)原式=lo25×log25-2×log32-3×log53-2=×(-2)log25×(-3)log32×(-2)log53=-10×××=-10.
(2)法一　原式=(log253+lo52+lo5)·(log52+lo22+lo23)=(3log25+log25+log25)(log52+log52+log52)=
(3+1+)×3×log25×log52=13.
法二　原式=(++)·(++)=(++)·(++)=×=13.
10.(14分)(1)设log182=a,试用含有a的代数式表示log32;
(2)设log35=a,log57=b,试用a,b表示log7563.
【解】 (1)因为log182=a,所以=log218=log2(2×32)=log22+log232=1+2log23,所以log23==,即log32=.
(2)因为log53==,log57=b,所以log7563=====.
强化练
11.(多选)地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定,一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为M=lg (其中常数A0是距震中100 km处接收到的0级地震的地震波的最大振幅,Amax是指我们关注的这次地震在距震中100 km处接收到的地震波的最大振幅).地震的能量E(单位:J)是指当地震发生时,以地震波的形式放出的能量.已知E=104.8×101.5M,其中M为地震震级.下列说法正确的是(　　)
[A]若地震震级M增加2级,则最大振幅Amax增加到原来的20倍
[B]若地震震级M增加2级,则放出的能量E增加到原来的1 000倍
[C]若最大振幅Amax增加到原来的100倍,则放出的能量E增加到原来的 1 000 倍
[D]若最大振幅Amax增加到原来的100倍,则放出的能量E增加到原来的100倍
【答案】 BC
【解析】 因为M′=M+2=2+lg =lg ,所以Amax′=100Amax,故A错误;
由E′=104.8×101.5M′=104.8×101.5(M+2)=104.8×101.5M+3=1 000E,故B正确;
因为M″=lg =M+2,所以E″=104.8×1=104.8×101.5(M+2)=104.8×101.5M+3=1 000E,故C正确,D错误.故选BC.
12.(5分)已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则ab=　　　　.
【答案】 9
【解析】 因为logab+logba=+logba=,所以3(logba)2-10logba+3=0,解得logba=3或logba=.
因为a>b>1,所以logba>1,则logba=3,所以a=b3,又ab=ba,所以(b3)b=,所以3b=b3,又b>1,所以b=,则a=3,所以ab=9.
13.(17分)(1)试利用对数的运算性质计算(+)的值;
(2)已知x,y,z为正数,若3x=4y=6z,求-的值;
(3)定义:一个自然数的数位的个数,叫做位数,例如23的位数是2,2 024的位数是4.试判断22 024的位数.(注:lg 2≈0.301 0)
【解】 (1)原式=(+)=×=.
(2)由题意,令3x=4y=6z=a,则a>0,所以x=log3a,y=log4a,z=log6a,
所以-=-=×-×=-==.
(3)设22 024=t,则lg t=2 024×lg 2,又lg 2≈0.301 0,所以lg t≈2 024×0.301 0=609.224,所以t≈10609.224,
则t∈(10609,10610),所以22 024的位数为610.
拓展练
14.数学中有这样一条定律:在大量b进制随机数据中,以n开头的数出现的概率为Pb(n)=logb,如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.若P16(n)=(k∈N*,k>4),则k的值为(提示:an=a1+a2+a3+…+ak)(　　)
[A]14 [B]15 [C]24 [D]25
【答案】 A
【解析】 P16(n)=P16(5)+P16(6)+…+P16(k)=log16+log16+log16+…+log16=log16====log163,即log16=log163,所以=3,解得k=14.故选A.4.3.2　对数的运算
第1课时　对数的运算
课时作业
基础练
1.log23+log26-log29的值为(　　)
[A]1 [B]-1
[C]log23 [D]log35
【答案】 A
【解析】 log23+log26-log29=log2(3×6÷9)=log22=1.故选A.
2.“ln 成立”是“ln M-ln N成立”的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]既不充分也不必要条件
[D]充要条件
【答案】 B
【解析】 ln 成立,则>0,分为或两种情况.若则ln 成立能推出
ln M-ln N成立;若则ln 成立不能推出ln M-ln N成立.而ln M-ln N 成立一定能推出ln 成立,所以“ln 成立”是“ln M-ln N成立”的必要不充分条件.故选B.
3.已知3a=2,则log38-2log36用a表示为 (　　)
[A]a-2 [B]5a-2
[C]3a-(1+a)2 [D]3a-a2
【答案】 A
【解析】 因为3a=2,所以a=log32,所以log38-2log36=log323-2(log32+1)=log32-2=a-2.故选A.
4.若lg x-lg y=t,则lg -lg 等于 (　　)
[A]3t [B]t
[C]t [D]
【答案】 A
【解析】 lg -lg =3lg -3lg =3lg =3(lg x-lg y)=3t.故选A.
5.已知5a=10b(a≠0,b≠0),则等于(　　)
[A] [B]2
[C]log510 [D]1-lg 2
【答案】 D
【解析】 当a≠0,b≠0时,因为 5a=10b,所以lg 5a=lg 10b,所以alg 5=b,所以=lg 5=1-lg 2.
故选D.
6.(多选)若x>0,y>0,则下列各式中一定成立的是(　　)
[A]lg x+lg y=lg (x+y)
[B]lg =lg x-lg y
[C]lg x2=(lg x)2
[D]lg =3lg y-lg x
【答案】 BD
【解析】 lg x+lg y=lg (xy),故A不正确;根据对数的运算法则得lg =lg x-lg y,故B正确;lg x2=2lg x,故C不正确;lg =lg y3-lg =lg y3-lg =3lg y-lg x,故D正确.故选BD.
7.(5分)计算log2+lo8=　　　　.
【答案】
【解析】 log2+lo8=log2-log22+lo=-1+6=.
8.(5分)若log4x+log4y=2,log2x-log2y=1,则x+y=　　　　.
【答案】 6
【解析】 因为log4x+log4y=2,所以x>0,y>0,且log4(xy)=2,即xy=16,①
因为log2x-log2y=1,所以x>0,y>0,且log2=1,即=2,②
联立①②解得x=4,y=2,所以x+y=6.
9.(14分)用lg x,lg y,lg z表示下列各式:
(1)lg (xyz);
(2)lg ;
(3)lg ;
(4)lg .
【解】 (1)lg (xyz)=lg x+lg y+lg z.
(2)lg =lg (xy2)-lg z=lg x+2lg y-lg z.
(3)lg =lg (xy3)-lg =lg x+3lg y-lg z.
(4)lg =lg -lg (y2z)=lg x-2lg y-lg z.
10.(14分)计算下列各式的值:
(1)log5-log5150;
(2);
(3)2log32-log3+log38-.
【解】 (1)原式=log5-log5=log5=log5=-1.
(2)原式===1.
(3)原式=log34-log3+log38-=log3(4××8)-=log39-9=2-9=-7.
强化练
11.已知正实数m,n满足ln m=ln (m-2n)-ln n,则等于(　　)
[A]1 [B]
[C]4 [D]1或
【答案】 B
【解析】 由ln m=ln (m-2n)-ln n,得ln =ln (m-2n),因此=m-2n>0,整理得2+-1=0,解得=,即=,经检验符合题意.所以=.故选B.
12.下列数据最接近的是(参考数据:lg 3≈0.477)(　　)
[A]10-34 [B]10-35 [C]10-36 [D]10-37
【答案】 C
【解析】 lg =lg 3361-lg 10 00052=361×lg 3-52×4≈361×0.477-52×4=-35.803,所以≈10-35.803,分析知选项C中10-36与其最接近.故选C.
13.(16分)(1)已知10a=2,10b=500,求a+b的值;
(2)若ln a,ln b是方程4x2-8x+3=0的两个不等实根,求的值.
【解】 (1)因为10a=2,10b=500,所以a=lg 2,b=lg 500,所以a+b=lg 2+lg 500=lg 1 000=3.
(2)由根与系数的关系可知ln a+ln b=2,ln a·ln b=,所以=(ln b-ln a)2=(ln b+ln a)2-
4ln a·ln b=22-4×=1.
拓展练
14.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如[-3.2]=-4,[2.3]=2.则[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]的值是(　　)
[A]145 [B]857 [C]150 [D]243
【答案】 B
【解析】 [log31]=[log32]=0,共2个0;
[log33]=[log34]=[log35]=[log36]=[log37]=[log38]=1,共6个1;
[log39]=[log310]=…=[log326]=2,共18个2;
[log327]=[log328]=…=[log380]=3,共54个3;
[log381]=[log382]=…=[log3242]=4,共162个4;
[log3243]=5,共1个5.
所以[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]=2×0+6×1+18×2+54×3+162×4+5×1=857.故选B.第2课时　换底公式
课时作业
基础练
1.化简log29×log34等于(　　)
[A] [B] [C]2 [D]4
2.化简的值是(　　)
[A]1 [B] [C] [D]2
3.设log34·log48·log8m=log416,则m等于(　　)
[A] [B]9 [C]18 [D]27
4.若+=,则t等于(　　)
[A]2 [B]12 [C]48 [D]144
5.设n=+,则n的值所在的区间为(　　)
[A](-2,-1) [B](-3,-2)
[C](1,2) [D](2,3)
6.(多选)设a,b,c均是不等于1的正实数, 则下列等式恒成立的是(　　)
[A]logab·logca=logcb
[B]loga(bc)=logab·logac
[C]loga(b+c)=logab+logac
[D]logab=lobc
7.(5分)计算log332×log49-log2+log26的值为　　　　.
8.(5分)若ln 3=a,则log9e=　　　　.(用a表示)
9.(12分)求下列各式的值:
(1)log6432×log2×log3×log5;
(2)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
10.(14分)(1)设log182=a,试用含有a的代数式表示log32;
(2)设log35=a,log57=b,试用a,b表示log7563.
强化练
11.(多选)地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定,一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为M=lg (其中常数A0是距震中100 km处接收到的0级地震的地震波的最大振幅,Amax是指我们关注的这次地震在距震中100 km处接收到的地震波的最大振幅).地震的能量E(单位:J)是指当地震发生时,以地震波的形式放出的能量.已知E=104.8×101.5M,其中M为地震震级.下列说法正确的是(　　)
[A]若地震震级M增加2级,则最大振幅Amax增加到原来的20倍
[B]若地震震级M增加2级,则放出的能量E增加到原来的1 000倍
[C]若最大振幅Amax增加到原来的100倍,则放出的能量E增加到原来的 1 000 倍
[D]若最大振幅Amax增加到原来的100倍,则放出的能量E增加到原来的100倍
12.(5分)已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则ab=　　　　.
13.(17分)(1)试利用对数的运算性质计算(+)的值;
(2)已知x,y,z为正数,若3x=4y=6z,求-的值;
(3)定义:一个自然数的数位的个数,叫做位数,例如23的位数是2,2 024的位数是4.试判断22 024的位数.(注:lg 2≈0.301 0)
拓展练
14.数学中有这样一条定律:在大量b进制随机数据中,以n开头的数出现的概率为Pb(n)=logb,如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律.若P16(n)=(k∈N*,k>4),则k的值为(提示:an=a1+a2+a3+…+ak)(　　)
[A]14 [B]15 [C]24 [D]254.3.2　对数的运算
第1课时　对数的运算
课时作业
基础练
1.log23+log26-log29的值为(　　)
[A]1 [B]-1
[C]log23 [D]log35
2.“ln 成立”是“ln M-ln N成立”的(　　)
[A]充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]既不充分也不必要条件
[D]充要条件
3.已知3a=2,则log38-2log36用a表示为 (　　)
[A]a-2 [B]5a-2
[C]3a-(1+a)2 [D]3a-a2
4.若lg x-lg y=t,则lg -lg 等于 (　　)
[A]3t [B]t
[C]t [D]
5.已知5a=10b(a≠0,b≠0),则等于(　　)
[A] [B]2
[C]log510 [D]1-lg 2
6.(多选)若x>0,y>0,则下列各式中一定成立的是(　　)
[A]lg x+lg y=lg (x+y)
[B]lg =lg x-lg y
[C]lg x2=(lg x)2
[D]lg =3lg y-lg x
7.(5分)计算log2+lo8=　　　　.
8.(5分)若log4x+log4y=2,log2x-log2y=1,则x+y=　　　　.
9.(14分)用lg x,lg y,lg z表示下列各式:
(1)lg (xyz);
(2)lg ;
(3)lg ;
(4)lg .
10.(14分)计算下列各式的值:
(1)log5-log5150;
(2);
(3)2log32-log3+log38-.
强化练
11.已知正实数m,n满足ln m=ln (m-2n)-ln n,则等于(　　)
[A]1 [B]
[C]4 [D]1或
12.下列数据最接近的是(参考数据:lg 3≈0.477)(　　)
[A]10-34 [B]10-35 [C]10-36 [D]10-37
13.(16分)(1)已知10a=2,10b=500,求a+b的值;
(2)若ln a,ln b是方程4x2-8x+3=0的两个不等实根,求的值.
拓展练
14.函数f(x)=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如[-3.2]=-4,[2.3]=2.则[log31]+[log32]+[log33]+…+[log3243]的值是(　　)
[A]145 [B]857 [C]150 [D]243

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