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4.4.1　对数函数的概念
课时作业
基础练
1.下列函数是对数函数的是(　　)
[A]y=log2(2x) [B]y=log2(x+2)
[C]y=log2x2 [D]y=2log2x
【答案】 D
【解析】 D项即y=2log2x=lox,符合对数函数的定义.故选D.
2.已知对数函数的图象过点M(125,3),则此对数函数的解析式为(　　)
[A]y=log5x [B]y=lox
[C]y=lox [D]y=log3x
【答案】 A
【解析】 设对数函数解析式为y=logax(a>0,且a≠1).由题意得3=loga125,得a=5,所以y=log5x.故选A.
3.函数y=的定义域为(　　)
[A]{x|x>1} [B]{x|x>1,且x≠2}
[C]{x|x>2} [D]R
【答案】 B
【解析】 由题意,即解得x>1,且x≠2.因此,函数的定义域为{x|x>1,且x≠2}.故选B.
4.“每天进步一点点”可以用数学来诠释.假如你今天的数学水平是1,以后每天比前一天增加千分之五,则经过y天之后,你的数学水平x与y之间的函数关系式是(　　)
[A]y=log1.05x [B]y=log1.005x
[C]y=log0.95x [D]y=log0.995x
【答案】 B
【解析】 由题意得x=(1+0.005)y=1.005y,化为对数函数得y=log1.005x.故选B.
5.设函数f(x)=则f()的值为(　　)
[A]1 [B]2 [C]0 [D]-1
【答案】 A
【解析】 因为f(2)=log22=1,所以f()=f(1)=2-12=1.故选A.
6.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)”的是(　　)
[A]幂函数 [B]对数函数
[C]指数函数 [D]一次函数
【答案】 B
【解析】 选项A,取f(x)=xα(α为常数),则f(xy)=(xy)α=xαyα,而f(x)+f(y)=xα+yα,显然不满足题意;
选项B,取f(x)=logax(a>0,且a≠1),则f(xy)=loga(xy)=logax+logay,而f(x)+f(y)=logax+logay,显然满足题意;
选项C,取f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f(xy)=axay,而f(x)+f(y)=ax+ay,显然不满足题意;
选项D,取f(x)=kx+b(k≠0),则f(xy)=kxy+b,而f(x)+f(y)=k(x+y)+2b,显然不满足题意.故选B.
7.(5分)某公司为了业务发展,制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额为x万元时,奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y=2log4x-2,某业务员要得到5万元奖励,则他的销售额应为
　　　　万元.
【答案】 128
【解析】 由题意得5=2log4x-2,即7=log2x,得x=27=128.
8.(5分)函数y=lg(x2-2x)的定义域是　　　　　　　　.
【答案】 (-∞,0)∪(2,+∞)
【解析】 根据题意得,x2-2x>0,即x(x-2)>0,解得x<0或x>2.所以该函数的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).
9.(15分)求下列函数的定义域:
(1)f(x)=ln(3+x)+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=.
【解】 (1)由题意得解得-3所以函数f(x)的定义域为(-3,0].
(2)由题意得解得x<-1或x>2,且x≠3.
故f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(2,3)∪(3,+∞).
(3)由题意得
即解得x>,且x≠1.
所以函数f(x)的定义域为(,1)∪(1,+∞).
10.(15分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.经研究发现大西洋鲑鱼的游速可以表示为v=log3(单位:m/s),θ表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条大西洋鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是多少
(2)计算一条大西洋鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
(3)若一条大西洋鲑鱼的游速提高1 m/s,则它的耗氧量的单位数是原来的多少倍
【解】 (1)当θ=2 700时,v=log327=.即当一条大西洋鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是 m/s.
(2)由v=log3=0可得θ=100.
即当一条大西洋鲑鱼静止时耗氧量的单位数为100.
(3)设大西洋鲑鱼的游速为v1时,它的耗氧量的单位数为θ1;游速为v2时,它的耗氧量的单位数为θ2,
令v2-v1=log3-log3=log3=1,可得=9.
所以若一条大西洋鲑鱼的游速提高1 m/s,则它的耗氧量的单位数是原来的9倍.
强化练
11.下列选项中的两个函数是同一个函数的是 (　　)
[A]y=log3x2与y=2log3x
[B]y=lg 10x与y=10lg x
[C]y=log3x2与y=2log3|x|
[D]y=lg x与y=ln x
【答案】 C
【解析】 A,B选项定义域不同;D选项对应关系不同;C选项定义域和对应关系都相同,是同一个函数.故选C.
12.设函数f(x)=f()lg x+1,则f(10)的值是(　　)
[A]1 [B]-1
[C]10 [D]
【答案】 A
【解析】 因为f(x)=f()lg x+1,将式中x换成,所以f()=f(x)lg +1=-f(x)lg x+1.
由以上两式,得f(x)=,
所以f(10)==1.故选A.
13.(15分)已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义.求实数a的取值范围.
【解】 设t(x)=3-ax,因为a>0,且a≠1,所以t(x)=3-ax为减函数,则当x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3-2a.
因为当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即当x∈[0,2]时,3-ax>0恒成立.所以3-2a>0,即a<.又a>0,且a≠1,所以0所以实数a的取值范围为(0,1)∪(1,).
拓展练
14.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a后开始下降,其二氧化碳的排放量S与时间t(单位:年)满足函数关系式S=abt,若经过5年,二氧化碳的排放量为.已知该地区通过植树造林、节能减排等方式,能抵消的二氧化碳的排放量为,则该地区要能实现二氧化碳“零排放”,至少需要经过(参考数据:lg 2≈0.3)(　　)
[A]28年 [B]29年 [C]30年 [D]31年
【答案】 C
【解析】 由题意,S=ab5=,即b5=,解得b=.令abt=,即bt=,故=,
即tlg =lg ,可得t(3lg 2-1)=-2lg 2,即t=≈=30.故选C.4.4.1　对数函数的概念
课时作业
基础练
1.下列函数是对数函数的是(　　)
[A]y=log2(2x) [B]y=log2(x+2)
[C]y=log2x2 [D]y=2log2x
2.已知对数函数的图象过点M(125,3),则此对数函数的解析式为(　　)
[A]y=log5x [B]y=lox
[C]y=lox [D]y=log3x
3.函数y=的定义域为(　　)
[A]{x|x>1} [B]{x|x>1,且x≠2}
[C]{x|x>2} [D]R
4.“每天进步一点点”可以用数学来诠释.假如你今天的数学水平是1,以后每天比前一天增加千分之五,则经过y天之后,你的数学水平x与y之间的函数关系式是(　　)
[A]y=log1.05x [B]y=log1.005x
[C]y=log0.95x [D]y=log0.995x
5.设函数f(x)=则f()的值为(　　)
[A]1 [B]2 [C]0 [D]-1
6.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)”的是(　　)
[A]幂函数 [B]对数函数
[C]指数函数 [D]一次函数
7.(5分)某公司为了业务发展,制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额为x万元时,奖励y万元.若公司拟定的奖励方案为y=2log4x-2,某业务员要得到5万元奖励,则他的销售额应为
　　　　万元.
8.(5分)函数y=lg(x2-2x)的定义域是　　　　　　　　.
9.(15分)求下列函数的定义域:
(1)f(x)=ln(3+x)+;
(2)f(x)=;
(3)f(x)=.
10.(15分)大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.经研究发现大西洋鲑鱼的游速可以表示为v=log3(单位:m/s),θ表示鱼的耗氧量的单位数.
(1)当一条大西洋鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时,它的游速是多少
(2)计算一条大西洋鲑鱼静止时耗氧量的单位数.
(3)若一条大西洋鲑鱼的游速提高1 m/s,则它的耗氧量的单位数是原来的多少倍
强化练
11.下列选项中的两个函数是同一个函数的是 (　　)
[A]y=log3x2与y=2log3x
[B]y=lg 10x与y=10lg x
[C]y=log3x2与y=2log3|x|
[D]y=lg x与y=ln x
12.设函数f(x)=f()lg x+1,则f(10)的值是(　　)
[A]1 [B]-1
[C]10 [D]
13.(15分)已知函数f(x)=loga(3-ax)(a>0,且a≠1).当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义.求实数a的取值范围.
拓展练
14.某地区二氧化碳的排放量达到峰值a后开始下降,其二氧化碳的排放量S与时间t(单位:年)满足函数关系式S=abt,若经过5年,二氧化碳的排放量为.已知该地区通过植树造林、节能减排等方式,能抵消的二氧化碳的排放量为,则该地区要能实现二氧化碳“零排放”,至少需要经过(参考数据:lg 2≈0.3)(　　)
[A]28年 [B]29年 [C]30年 [D]31年

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