资源简介

4.4.3　不同函数增长的差异
课时作业
基础练
1.下列函数中,当x充分大时,增长速度最快的是(　　)
[A]y=10×1.05x [B]y=20+x1.5
[C]y=30+lg (x-1) [D]y=50x+100
【答案】 A
【解析】 由于指数函数y=1.05x的底数大于1,其增长速度随着x的增大会越来越快,比幂函数、对数函数、一次函数的增长速度都快.故选A.
2.在一次数学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据:
x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则y与x的关系与下列函数最接近的是(其中a为待定系数)(　　)
[A]y=ax [B]y=ax2+1
[C]y=loga(x+1) [D]y=
【答案】 A
【解析】 将对应的(x,y)在平面直角坐标系中画出(如图),根据图形形状可得,其与指数函数图象最为接近.故选A.
3.下面对函数f(x)=lox与g(x)=在区间(0,+∞)上的衰减情况的说法正确的是(　　)
[A]f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快
[B]f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢
[C]f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢
[D]f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快
【答案】 C
【解析】 在平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示,
由图象可判断出衰减情况为f(x),g(x)的衰减速度越来越慢.故选C.
4.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加值y(单位:万公顷)关于年数x(单位:年)的函数关系较为接近的是(　　)
[A]y=0.2x [B]y=0.1x2+0.1x
[C]y=0.2+log4x [D]y=
【答案】 D
【解析】 由题意,最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,即(1,0.2),(2,0.4),(3,0.76).对于A,y=0.2x,当x=3时,y=0.6和0.76相差较大;对于B,y=0.1x2+0.1x,当x=2时,y=0.6和0.4相差较大;对于C,y=0.2+log4x,当x=2时,y=0.7和0.4相差较大;对于D,y=,当x=1时,y=0.2,当x=2时,y=0.4,当x=3时,y=0.8和0.76相差0.04.
综上,选用函数关系y=较为近似.故选D.
5.(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).则以下结论正确的是(　　)
[A]当x>1时,甲走在最前面
[B]当01时,丁走在最后面
[C]丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面
[D]如果它们一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲
【答案】 BCD
【解析】 路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,
f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相应的函数模型分别是指数型函数、二次函数、一次函数和对数型函数,
当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=4,A不正确;
根据四种函数的变化特点,对数型函数的变化是先快后慢,又当 x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体重合,从而可知当01时,丁走在最后面,B正确;
指数型函数的变化是先慢后快,当运动的时间足够长,最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体,即一定是甲物体,D正确;
结合对数型和指数型函数的图象(图略)变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,C正确.故选BCD.
6.(多选)某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体,有三种方案可以选择,这三种方案的注入量随时间的变化如下图所示:
横轴为时间(单位:h),纵轴为注入量,根据以上信息,若使注入量最多,下列说法正确的是(　　)
[A]注入时间在3 h以内(含3 h),采用方案一
[B]注入时间恰为4 h,不采用方案三
[C]注入时间恰为6 h,采用方案二
[D]注入时间恰为10 h,采用方案二
【答案】 ABC
【解析】 对于A,由题图可知,当注入时间在3 h 以内(含3 h)时,方案一的注入量大于其他两种方案,故A正确;对于B,当注入时间恰为4 h时,由题图可知,方案三的注入量小于其他两个方案,故B正确;对于C,当注入时间恰为6 h时,方案二的注入量大于其他两个方案,故C正确;对于D,当注入时间大于8 h 时,由题图可知,方案三的注入量最大,故应选择方案三,D错误.故选ABC.
7.(5分)某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(单位:年)的函数关系如图所示.
以下三种说法:①前三年总产量增长的速度越来越快;②前三年总产量增长的速度越来越慢;③第三年后这种产品停止生产.其中说法正确的序号是　　　　.
【答案】 ②③
【解析】 由题图可知,前三年总产量增长的速度越来越慢,故①错误,②正确;
第三年后这种产品的总产量保持不变,所以产品停止生产,故③正确.
8.(5分)若x∈(0,+∞),在函数y=log2x,y=2x,y=2x中,增长较快的一个是　　　　;则使log2x<2x<2x成立的x的取值范围是　　　　.
【答案】 y=2x　(1,2)
【解析】 作出函数y=log2x,y=2x,y=2x在(0,+∞)上的大致图象如图.
由图可知,y=log2x的增长是由快变慢,y=2x是均匀增长,y=2x的增长是由慢变快,故增长较快的一个是y=2x;由图形可得log2x<2x<2x成立的x的取值范围是(1,2).
9.(14分)在某科学实验中,实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶,想测试染料的扩散效果.已知染料在水桶中扩散的速度是先快后慢,1 s后染料扩散的体积是1 cm3,2 s后染料扩散的体积是3 cm3,染料扩散的体积y(单位:cm3)与时间x(单位:s)的关系有两种函数模型可供选择:①y=m·3x;②y=mlog3x+b,其中m,b均为常数.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)若染料扩散的体积达到5 cm3,至少需要多少秒.
【解】 (1)在函数y=m·3x中,y随x的增长而增长,且增长的速度越来越快;在函数y=mlog3x+b中,y随x的增长而增长,且增长的速度越来越慢.根据染料扩散的速度是先快后慢,所以选第二个模型更合适,即y=mlog3x+b.由题意可得,解得
所以该模型的解析式为y=2log23·log3x+1=2log2x+1.
(2)由(1)知,y=2log2x+1.由题意知,y≥5,即2log2x+1≥5,则有2log2x≥4,所以log2x≥2,所以x≥4.所以至少需要4 s.
强化练
10.(5分)生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水面的高度随着时间的变化而变化,在图中请选择与容器相匹配的图象,A对应　　　　;B对应　　　　;C对应　　　　;D对应　　　　.
[A] [B] [C] [D]
【答案】 (4)　(1)　(3)　(2)
【解析】 A容器下粗上细,水面高度的变化先慢后快,故与(4)对应;B容器为球形,水面高度变化为快—慢—快,故与(1)对应;C,D容器都是柱形的,水面高度的变化速度都应是不变的,但C容器细,D容器粗,故C容器水面高度变化更快些,与(3)对应,D容器水面高度变化更慢些,与(2)对应.
11.(5分)已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,h(x)=xa,a>0,且a≠1,给出下列结论:①当a>1时, x∈(0,+∞),函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方;② x0∈(0,+∞),当x>x0时,恒有h(x)>g(x);
③ a∈(0,1),方程f(x)=g(x),f(x)=h(x),g(x)=h(x)都有解.其中正确结论的序号是　　　　.
【答案】 ②③
【解析】 对于①,取a=>e0=1,则f(x)=,f(e)==e,g(x)=lox,g(e)=loe=eln e=e,此时f(e)=g(e),不满足函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方,①错误;
对于②,当01时,对数函数g(x)=logax和幂函数h(x)=xa在区间(0,+∞)上,随着x的增大,g(x)=logax增长得越来越慢,尽管在x的一定变化范围内,logax可能会大于xa,但由于xa的增长快于logax的增长,则总存在一个x0,当x>x0时,就会有h(x)>g(x)成立,②正确;
对于③,0函数f(x)=ax,g(x)=logax,h(x)=xa的图象两两都分别有交点,所以方程f(x)=g(x),f(x)=h(x),g(x)=h(x)都有解,③正确.所以正确结论的序号是②③.
12.(14分)某公司经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:
km/h)(40≤v≤120)的数据关系如表所示:
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:Q(v)=0.9v+a;Q(v)=0.04v+b;Q(v)=0.000 025v3-
0.004v2+cv.
(1)请选出最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式.
(2)选择一段长度为100 km的平坦高速路段进行测试,这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少
【解】 (1)该函数模型应为增函数,故第一种函数模型不符合;
若选择第二种模型,代入(40,5.2),得5.2=0.04×40+b,解得b=3.6,所以Q(v)=0.04v+3.6,
此时Q(90)=7.2,Q(100)=7.6,Q(120)=8.4,与实际数据相差较大,故第二种不符合;
经观察,第三种函数模型最符合实际,代入(40,5.2),可得0.000 025×403-0.004×402+c×40=5.2,即1.6-6.4+c×40=5.2,解得c=0.25,所以Q(v)=0.000 025v3-0.004v2+0.25 v.
此时,Q(60)=6,Q(90)=8.325,Q(100)=10,Q(120)=15.6,符合题意,所以Q(v)=0.000 025v3-
0.004v2+0.25v.
(2)设总耗油量为W,由题意得W=×Q=0.002 5v2-0.4v+25=0.002 5(v-80)2+9,40≤v≤120,当v=80时,W取得最小值为9.
所以这辆车应以80 km/h的速度行驶才能使总耗油量最少.4.4.3　不同函数增长的差异
课时作业
基础练
1.下列函数中,当x充分大时,增长速度最快的是(　　)
[A]y=10×1.05x [B]y=20+x1.5
[C]y=30+lg (x-1) [D]y=50x+100
2.在一次数学实验中,运用图形计算器采集到如下一组数据:
x -2.0 -1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
则y与x的关系与下列函数最接近的是(其中a为待定系数)(　　)
[A]y=ax [B]y=ax2+1
[C]y=loga(x+1) [D]y=
3.下面对函数f(x)=lox与g(x)=在区间(0,+∞)上的衰减情况的说法正确的是(　　)
[A]f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越快
[B]f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越慢
[C]f(x)的衰减速度越来越慢,g(x)的衰减速度越来越慢
[D]f(x)的衰减速度越来越快,g(x)的衰减速度越来越快
4.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠面积增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠面积增加值y(单位:万公顷)关于年数x(单位:年)的函数关系较为接近的是(　　)
[A]y=0.2x [B]y=0.1x2+0.1x
[C]y=0.2+log4x [D]y=
5.(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x2,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1).则以下结论正确的是(　　)
[A]当x>1时,甲走在最前面
[B]当01时,丁走在最后面
[C]丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面
[D]如果它们一直运动下去,那么最终走在最前面的是甲
6.(多选)某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体,有三种方案可以选择,这三种方案的注入量随时间的变化如下图所示:
横轴为时间(单位:h),纵轴为注入量,根据以上信息,若使注入量最多,下列说法正确的是(　　)
[A]注入时间在3 h以内(含3 h),采用方案一
[B]注入时间恰为4 h,不采用方案三
[C]注入时间恰为6 h,采用方案二
[D]注入时间恰为10 h,采用方案二
7.(5分)某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(单位:年)的函数关系如图所示.
以下三种说法:①前三年总产量增长的速度越来越快;②前三年总产量增长的速度越来越慢;③第三年后这种产品停止生产.其中说法正确的序号是　　　　.
8.(5分)若x∈(0,+∞),在函数y=log2x,y=2x,y=2x中,增长较快的一个是　　　　;则使log2x<2x<2x成立的x的取值范围是　　　　.
9.(14分)在某科学实验中,实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶,想测试染料的扩散效果.已知染料在水桶中扩散的速度是先快后慢,1 s后染料扩散的体积是1 cm3,2 s后染料扩散的体积是3 cm3,染料扩散的体积y(单位:cm3)与时间x(单位:s)的关系有两种函数模型可供选择:①y=m·3x;②y=mlog3x+b,其中m,b均为常数.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)若染料扩散的体积达到5 cm3,至少需要多少秒.
强化练
10.(5分)生活经验告诉我们,当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时,水面的高度随着时间的变化而变化,在图中请选择与容器相匹配的图象,A对应　　　　;B对应　　　　;C对应　　　　;D对应　　　　.
[A] [B] [C] [D]
11.(5分)已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,h(x)=xa,a>0,且a≠1,给出下列结论:①当a>1时, x∈(0,+∞),函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方;② x0∈(0,+∞),当x>x0时,恒有h(x)>g(x);
③ a∈(0,1),方程f(x)=g(x),f(x)=h(x),g(x)=h(x)都有解.其中正确结论的序号是　　　　.
12.(14分)某公司经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:
km/h)(40≤v≤120)的数据关系如表所示:
v 40 60 90 100 120
Q 5.2 6 8.325 10 15.6
为描述Q与v的关系,现有以下三种模型供选择:Q(v)=0.9v+a;Q(v)=0.04v+b;Q(v)=0.000 025v3-
0.004v2+cv.
(1)请选出最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式.
(2)选择一段长度为100 km的平坦高速路段进行测试,这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少

展开更多......

收起↑