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4.5.1　函数的零点与方程的解
课时作业
基础练
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的有(　　)
[A]若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
[B]若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0
[C]若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
[D]若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
【答案】 C
【解析】 A项,当函数f(x)=x2时,f(-1)f(1)=1>0,存在0∈(-1,1),使得f(0)=0,故A错误;
B项,当函数f(x)=x(x-1)(x-2)时,f(-1)f(3)=-6×6=-36<0,存在0∈(-1,3),1∈(-1,3),2∈(-1,3)使得f(0)=0,f(1)=0,f(2)=0,故B错误;
C项,由A的分析可知C正确;
D项,由函数零点存在定理知若f(a)f(b)<0,则存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0,故D错误.故选C.
2.已知函数f(x)=2-,在下列区间中,一定包含f(x)零点的区间是(　　)
[A](,) [B](,1)
[C](1,2) [D](2,4)
【答案】 B
【解析】 因为f()=2-=-3<0,f()=2-=-2<0,f(1)=2-=1>0,
又函数在(0,+∞)上单调递增,所以f()·f(1)<0,所以函数f(x)在(,1)上存在零点.故选B.
3.函数f(x)=的零点个数为(　　)
[A]1 [B]2
[C]3 [D]4
【答案】 C
【解析】 当x≤0时,由x5-x3=0,解得x=0或 x=-1或x=1(舍去);当x>0时,令g(x)=ln x-,由y=
ln x和y=-均在(0,+∞)上单调递增可得,g(x)=ln x-在(0,+∞)上单调递增.
又g(1)=ln 1-1=-1<0,g(e)=ln e-=1->0,根据函数零点存在定理可得,g(x)在(1,e)上存在一个零点,
根据函数的单调性可知,g(x)=ln x-在(0,+∞)上存在唯一的零点.
综上所述,f(x)的零点个数为3.故选C.
4.已知实数a[A](-∞,a)和(a,b)
[B](b,c)和(c,+∞)
[C](a,b)和(b,c)
[D](-∞,a)和(c,+∞)
【答案】 C
【解析】 设f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a),由a0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0,由函数零点存在定理知,f(x)的零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内,故方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0的两个实根分别属于区间(a,b)和(b,c).故选C.
5.(多选)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内,则下列说法不正确的是(　　)
[A]函数f(x)在区间(0,1)内有零点
[B]函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
[C]函数f(x)在区间(1,8)内无零点
[D]函数f(x)在区间[2,8)内无零点
【答案】 ABC
【解析】 因为函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内,所以函数f(x)唯一的一个零点在区间(0,2)内,可知函数f(x)在区间[2,8)内无零点.故A,B,C不正确,D正确.故选ABC.
6.(多选)下列函数在区间[-1,3]上存在唯一的零点的是(　　)
[A]f(x)=x2-2x-8
[B]f(x)=-2
[C]f(x)=2x-1-1
[D]f(x)=1-ln(x+2)
【答案】 BCD
【解析】 因为f(x)=x2-2x-8=0的解为x=-2或x=4,所以f(x)在区间[-1,3]上没有零点,故A错误;
因为f(x)=-2在[0,+∞)上单调递增,且f(0)=-2<0,f(3)=-2>0,所以f(x)在区间[-1,3]上存在唯一的零点,故B正确;
由f(x)=2x-1-1=0得x=1∈[-1,3],故C正确;
因为f(x)=1-ln(x+2)在(-2,+∞)上单调递减,且f(-1)=1>0,f(3)=1-ln 5<0,所以f(x)在区间[-1,3]上存在唯一的零点,故D正确.故选BCD.
7.(5分)已知f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则这三个零点之和等于　　　　.
【答案】 0
【解析】 因为奇函数的图象关于原点对称,所以若f(x) 有三个零点,则其和必为0.
8.(5分)已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是　　　　.
【答案】 -,-
【解析】 由题意知,方程x2-ax-b=0的两根分别为2,3,所以即a=5,b=-6,
所以方程bx2-ax-1=-6x2-5x-1=0的根为-,-,即为函数g(x)的零点.
9.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和2,若函数g(x)=ax3+bx+4的零点所在的区间为(n,n+1),求整数n的值.
【解】 因为-1和2是函数f(x)=x2+ax+b的零点,所以-1和2是x2+ax+b=0的两个实数解,所以-1+2=-a,-1×2=b,即a=-1,b=-2.
所以g(x)=-x3-2x+4.因为g(1)=1,g(2)=-8,g(1)g(2)<0,所以g(x)在区间(1,2)内有零点.
又y=-x3和y=-2x+4在R上均单调递减,所以g(x)在R上单调递减,所以g(x)只有一个零点,g(x)的零点所在的区间为(1,2),所以n=1.
10.(14分)求下列函数的零点.
(1)f(x)=x-2-3;
(2)f(x)=x2-(3a-1)x+(2a2-2);
(3)f(x)=x+ln x-1;
(4)f(x)=2x+2x-8.
【解】 (1)由x-2-3=0,得(+1)(-3)=0,又≥0,所以=3,即x=9,所以函数f(x)的零点为9.
(2)由x2-(3a-1)x+(2a2-2)=0,得[x-(a+1)][x-2(a-1)]=0,
①当a+1=2(a-1),即a=3时,函数f(x)有唯一的零点4;
②当a+1≠2(a-1),即a≠3时,函数f(x)有两个零点a+1和2(a-1).
(3)由f(x)=x+ln x-1,得f(1)=1+0-1=0,又函数y=x,y=ln x-1在(0,+∞)上都单调递增,
所以函数f(x)=x+ln x-1在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)的零点为1.
(4)由f(x)=2x+2x-8,得f(2)=4+4-8=0,又函数y=2x,y=2x-8都是增函数,
所以函数f(x)=2x+2x-8是增函数,所以函数f(x)的零点为2.
强化练
11.(多选)函数f(x)=9lg x-x2+9的零点所在区间为(　　)
[A](0,1) [B](2,3)
[C](3,4) [D](4,5)
【答案】 AC
【解析】 因为f(x)的定义域为(0,+∞),分别画出函数y=9lg x与y=x2-9的图象,结合图象可知两函数图象的交点有2个,且f()=9lg -+9=-<0,f(1)=9lg 1-1+9=8>0,
所以f()·f(1)<0,所以f(x)在(0,1)内有零点,又因为f(3)=9lg 3-9+9=9lg 3>0,f(4)=9lg 4-16+9=3lg 64-7<3lg 100-7=-1<0,所以f(3)·f(4)<0,所以f(x)在(3,4)内有零点.故选AC.
12.(多选)已知x0是函数f(x)=ex+2x-4的零点(其中e=2.718 28…为自然对数的底数),则下列说法正确的有(　　)
[A]x0∈(,1) [B]ln(4-2x0)=x0
[C]>1 [D]2x0+1->0
【答案】 ABD
【解析】 对于A,f(x)=ex+2x-4是R上的增函数,f()=-3<0 ,f(1)=e-2>0,故函数有唯一的零点x0∈(,1),A正确;
对于B,+2x0-4=0,即=4-2x0,x0∈(,1),即ln (4-2x0)=x0,B正确;
对于C,x0∈(,1),<<1,C错误;
对于D,x0∈(,1),=4-2x0,2x0+1-=2x0+1-==>0,D正确.故选ABD.
13.(15分)已知函数y=f(x)(x≥0)的图象由曲线段OA:y=loga(x+b)(其中a>0,且a≠1)和射线AB构成,如图所示.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)在同一坐标系中,作出函数y=(x>0)的大致图象,并从“形”的角度直观判断方程x·f(x)=2的实根个数,再从“数”的角度加以验证.
【解】 (1)在曲线段OA中,由即
又a>0,且a≠1,解得
设射线AB:f(x)=kx+m(m≥3).由解得
故所求解析式为f(x)=
(2)函数y=(x>0)的大致图象如图,
从“形”的角度直观判断:
因为函数y=f(x)与y=(x>0)的图象有且仅有两个交点,所以方程x·f(x)=2(x>0)有且仅有2个不相等的实根.
从“数”的角度论证如下:
显然x≠0,只考虑x>0的情形.
①当x∈(0,3)时,函数g(x)=f(x)-=log2(x+1)-在(0,3)上单调递增.
而且g(1)=1-2=-1<0,g(2)=log23-1>0,所以g(x)在(0,3)上有且仅有一个零点.
所以方程f(x)=,即x·f(x)=2在(0,3)上有且仅有1个实根.
②当x∈[3,+∞)时,
法一　由x·f(x)=2,得x(5-x)=2,即x2-5x+2=0,解得x=或x=(舍去).
所以方程x·f(x)=2(x>0)在[3,+∞)上有且仅有1个实根.
法二　因为函数h(x)=x2-5x+2在[3,+∞)上单调递增,且h(4)=-2<0,h(5)=2>0,
所以h(x)在[3,+∞)上有且仅有一个零点x0∈(4,5).
综上所述,方程x·f(x)=2有且仅有2个不相等的实根.
拓展练
14.(5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+4)=2f(x),当x∈[0,4)时,f(x)=-x2+4x-1,则函数g(x)=f(x)-3在区间[0,12)内的零点个数为　　　　.
【答案】 5
【解析】 当 x∈[0,4)时,f(x)=-x2+4x-1=-(x-2)2+3,可作图如图(1),由f(x+4)=2f(x)可得x∈[0,12)时,f(x)图象如图(2),令g(x)=0,得f(x)=3,函数g(x)=f(x)-3在区间[0,12)内的零点个数等于函数y=f(x)的图象与函数y=3的图象在该区间内的交点个数,如图(3)所示.
观察图象可得两曲线在区间[0,12)内有5个交点,故g(x)的零点个数为5.4.5.1　函数的零点与方程的解
课时作业
基础练
1.若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的有(　　)
[A]若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
[B]若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0
[C]若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
[D]若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0
2.已知函数f(x)=2-,在下列区间中,一定包含f(x)零点的区间是(　　)
[A](,) [B](,1)
[C](1,2) [D](2,4)
3.函数f(x)=的零点个数为(　　)
[A]1 [B]2
[C]3 [D]4
4.已知实数a[A](-∞,a)和(a,b)
[B](b,c)和(c,+∞)
[C](a,b)和(b,c)
[D](-∞,a)和(c,+∞)
5.(多选)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0,8),(0,4),(0,2)内,则下列说法不正确的是(　　)
[A]函数f(x)在区间(0,1)内有零点
[B]函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
[C]函数f(x)在区间(1,8)内无零点
[D]函数f(x)在区间[2,8)内无零点
6.(多选)下列函数在区间[-1,3]上存在唯一的零点的是(　　)
[A]f(x)=x2-2x-8
[B]f(x)=-2
[C]f(x)=2x-1-1
[D]f(x)=1-ln(x+2)
7.(5分)已知f(x)为奇函数,且该函数有三个零点,则这三个零点之和等于　　　　.
8.(5分)已知函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3,则函数g(x)=bx2-ax-1的零点是　　　　.
9.(12分)已知函数f(x)=x2+ax+b的零点是-1和2,若函数g(x)=ax3+bx+4的零点所在的区间为(n,n+1),求整数n的值.
10.(14分)求下列函数的零点.
(1)f(x)=x-2-3;
(2)f(x)=x2-(3a-1)x+(2a2-2);
(3)f(x)=x+ln x-1;
(4)f(x)=2x+2x-8.
强化练
11.(多选)函数f(x)=9lg x-x2+9的零点所在区间为(　　)
[A](0,1) [B](2,3)
[C](3,4) [D](4,5)
12.(多选)已知x0是函数f(x)=ex+2x-4的零点(其中e=2.718 28…为自然对数的底数),则下列说法正确的有(　　)
[A]x0∈(,1) [B]ln(4-2x0)=x0
[C]>1 [D]2x0+1->0
13.(15分)已知函数y=f(x)(x≥0)的图象由曲线段OA:y=loga(x+b)(其中a>0,且a≠1)和射线AB构成,如图所示.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)在同一坐标系中,作出函数y=(x>0)的大致图象,并从“形”的角度直观判断方程x·f(x)=2的实根个数,再从“数”的角度加以验证.
拓展练
14.(5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+4)=2f(x),当x∈[0,4)时,f(x)=-x2+4x-1,则函数g(x)=f(x)-3在区间[0,12)内的零点个数为　　　　.

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