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4.5.3　函数模型的应用
课时作业
基础练
1.放射性物质的衰变规律为M=M0×,其中M0指初始质量,t为衰变时间,T为半衰期,M为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T1,T2(单位:天),若两种物质的初始质量相同,1 024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍,则-等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
2.等额分付资本回收是指起初投资P,在利率i、回收周期数n为定值的情况下,每期期末取出的资金A为多少时,才能在第n期期末把全部本利取出,即全部本利回收,其计算公式为A=P·.某农业种植公司投资28万元购买一大型农机设备,期望投资收益年利率为10%,若每年年底回笼资金5.6万元,则该公司能全部收回本利和的时间至少为(lg 11≈1.04,lg 2≈
0.30,lg 5≈0.70)(　　)
[A]9年 [B]8年 [C]7年 [D]6年
3.已知[x]表示不大于x的最大整数.某运动鞋店开店营业前10天的日销售利润(单位:元)用f(i)(i=1,2,…,10)表示,f(i)为第i天的日销售利润,当1≤i≤10时,f(i)与[]成正比.若该店营业前3天的日销售利润总额为300元,则该店营业第7天的日销售利润为(　　)
[A]600元 [B]700元
[C]800元 [D]900元
4.从A地到B地的距离约为300 km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120)的数据如下:
v 0 40 60 80 120
Q 0 7 8 10 20
为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系,下列最符合实际的函数模型是(　　)
[A]Q=a+b
[B]Q=av3+bv2+cv
[C]Q=0.6v+b
[D]Q=klogav+b
5.某快递公司经过调查得出用户的投诉率y与从用户提出申请到业务员取件的时间t(单位:h)之间满足函数关系式:y=为保证用户的投诉率不高于15%,则从用户提出申请到业务员取件的时间至多为(参考数据:log23≈1.6)(　　)
[A]2 h [B]3 h [C]4 h [D]5 h
6.(多选)在实际应用中,通常用吸光度A和透光度T来衡量物体的透光性能,它们之间的换算公式为T=,如表所示为不同玻璃材料的透光率.
玻璃材料 材料1 材料2 材料3
T 0.6 0.7 0.8
[A]A1>2A2 [B]A2+A3>A1
[C]A1+A3>2A2 [D]A1A3<
7.(5分)光线通过一块玻璃,其强度要失掉原来的,要使通过玻璃的光线强度为原来的以下,至少需要这样的玻璃板的块数为　　　　.(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
8.(5分)带有无线覆盖功能的路由器,常称为WiFi,它主要应用于用户上网和无线覆盖.经测试发现,某品牌无线路由器发射信号初始强度为S0,其辐射信号强度S与距离d近似满足函数模型ln(S)=-d2+B,其中G,B为非零常数.已知发射信号初始强度S0=1时,在距无线路由器
2 m 的地方测得信号强度为a,则当S0=4时,信号强度为的位置距无线路由器的距离为
　　　　m.
9.(13分)数学建模研究表明:一天中,区域的居民活动类型(工作、学习和休闲)越丰富,活动地点总数越多,区域之间人口流动越频繁,城市活力度越高.Q市基于大数据测算城市活力度,发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数M(t)=来近似刻画,其中中午12点的城市活力度为20,是工作日内活力度的最高值;24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值.
(1)分别求m,n的值;
(2)求该工作日内,Q市活力度不大于10的总时长.
强化练
10.(多选)某食品的保鲜时间y(单位:h)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b
(e=2.718…,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是120 h,在20 ℃的保鲜时间是30 h,则(　　)
[A]k>0
[B]储存温度越高保鲜时间越短
[C]在10 ℃的保鲜时间是60 h
[D]在30 ℃的保鲜时间是15 h
11.(多选)某化工厂每一天中污水污染指数f(x) 与时刻x(单位:h)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)-a|+2a+1,x∈[0,24],其中a为污水治理调节参数,且a∈(0,1),规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数,则使该厂每天的污水污染指数不超过3的a的取值可以为(　　)
[A] [B] [C] [D]
12.(14分)某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆,已知每瓶空气净化剂含量为a,投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少,根据经验,当场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果,且至少需要持续净化12 h才能达到净化目的,现有9瓶该空气净化剂.
(1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶,能否达到净化的目的 如果能,说明理由;如果不能,最多可净化多长时间 (精确到0.1 h)
(2)如果9瓶空气净化剂分两次投放,在第一次投放后间隔6 h进行第二次投放,为达到净化目的,试给出两次投放的所有可能方案 (每次投放的瓶数为整数,投放用时忽略不计)
参考数据:lg 3≈0.477,0.96≈0.53.4.5.3　函数模型的应用
课时作业
基础练
1.放射性物质的衰变规律为M=M0×,其中M0指初始质量,t为衰变时间,T为半衰期,M为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为T1,T2(单位:天),若两种物质的初始质量相同,1 024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍,则-等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 由题意可得M0×=,即=-3,所以-=.故选A.
2.等额分付资本回收是指起初投资P,在利率i、回收周期数n为定值的情况下,每期期末取出的资金A为多少时,才能在第n期期末把全部本利取出,即全部本利回收,其计算公式为A=P·.某农业种植公司投资28万元购买一大型农机设备,期望投资收益年利率为10%,若每年年底回笼资金5.6万元,则该公司能全部收回本利和的时间至少为(lg 11≈1.04,lg 2≈
0.30,lg 5≈0.70)(　　)
[A]9年 [B]8年 [C]7年 [D]6年
【答案】 B
【解析】 由题意,知A=5.6万元,P=28万元,i=10%,由公式可得5.6=28×,整理得=2,
等式两边取对数,得n==≈=7.5,则该公司能够全部收回本利和的时间至少为8年.故选B.
3.已知[x]表示不大于x的最大整数.某运动鞋店开店营业前10天的日销售利润(单位:元)用f(i)(i=1,2,…,10)表示,f(i)为第i天的日销售利润,当1≤i≤10时,f(i)与[]成正比.若该店营业前3天的日销售利润总额为300元,则该店营业第7天的日销售利润为(　　)
[A]600元 [B]700元
[C]800元 [D]900元
【答案】 D
【解析】 已知[x]表示不大于x的最大整数,又当1≤i≤10时,f(i)与[]成正比,设f(i)=k[],
则f(1)+f(2)+f(3)=k[2]+k[2]+k[]=6k=300,解得k=50,所以f(7)=50×[]=50×18=900,
所以该店营业第7天的日销售利润为900元.故选D.
4.从A地到B地的距离约为300 km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度v(单位:km/h)(0≤v≤120)的数据如下:
v 0 40 60 80 120
Q 0 7 8 10 20
为了描述汽车每小时耗油量Q与速度v的关系,下列最符合实际的函数模型是(　　)
[A]Q=a+b
[B]Q=av3+bv2+cv
[C]Q=0.6v+b
[D]Q=klogav+b
【答案】 B
【解析】 依题意以及表中数据画出散点图,可知该函数必须满足三个条件:第一,定义域为[0,120];第二,在定义域上单调递增;第三,函数图象经过坐标原点.由散点图可知,函数图象不符合Q=a+b函数图象的特征,排除A;函数Q=0.6v+b单调递减,排除C;当v=0时,Q=klogav+b没有意义,排除D;故最符合实际的函数模型为Q=av3+bv2+cv.故选B.
5.某快递公司经过调查得出用户的投诉率y与从用户提出申请到业务员取件的时间t(单位:h)之间满足函数关系式:y=为保证用户的投诉率不高于15%,则从用户提出申请到业务员取件的时间至多为(参考数据:log23≈1.6)(　　)
[A]2 h [B]3 h [C]4 h [D]5 h
【答案】 C
【解析】 当0≤t<2时,y=t2单调递增,所以y<=0.4%,即投诉率恒小于15%;
当t≥2时,令×≤15%,即≤log23≈1.6,解得t≤4,所以2≤t≤4.
所以从用户提出申请到业务员取件的时间至多为4 h.故选C.
6.(多选)在实际应用中,通常用吸光度A和透光度T来衡量物体的透光性能,它们之间的换算公式为T=,如表所示为不同玻璃材料的透光率.
玻璃材料 材料1 材料2 材料3
T 0.6 0.7 0.8
[A]A1>2A2 [B]A2+A3>A1
[C]A1+A3>2A2 [D]A1A3<
【答案】 BCD
【解析】 由T=,得A=-lg T ,则A1=-lg 0.6,A2=-lg 0.7,A3=-lg 0.8,
2A2=-2lg 0.7=-lg 0.49,lg 0.6>lg 0.49,-lg 0.6<-lg 0.49,即A1<2A2,A错误;
A2+A3=-lg 0.7-lg 0.8=-lg 0.56>-lg 0.6=A1,B正确;
A1+A3=-lg 0.6-lg 0.8=-lg 0.48>-lg 0.49=-2lg 0.7=2A2,C正确;
A1A3=(-lg 0.6)(-lg 0.8)=lg 0.6·lg 0.8,=(-lg 0.7)2=(lg 0.7)2,
==log0.70.6,==log0.80.7,log0.70.6-=log0.7=log0.7()
=log0.7()log0.81=0,
所以log0.70.60,则A1A3<,D正确.故选BCD.
7.(5分)光线通过一块玻璃,其强度要失掉原来的,要使通过玻璃的光线强度为原来的以下,至少需要这样的玻璃板的块数为　　　　.(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)
【答案】 7
【解析】 设至少需要x块玻璃板,由题意知<,即<,两边取对数lg 即x·(lg 9-lg 10)<-lg 2,即x·(1-2lg 3)>lg 2,x>≈6.57,所以x=7.
8.(5分)带有无线覆盖功能的路由器,常称为WiFi,它主要应用于用户上网和无线覆盖.经测试发现,某品牌无线路由器发射信号初始强度为S0,其辐射信号强度S与距离d近似满足函数模型ln(S)=-d2+B,其中G,B为非零常数.已知发射信号初始强度S0=1时,在距无线路由器
2 m 的地方测得信号强度为a,则当S0=4时,信号强度为的位置距无线路由器的距离为
　　　　m.
【答案】 4
【解析】 根据题意,当S0=1,d=2,S=a时,ln a=-4G+B;当S=,S0=4时,ln (×2)=-d2+B,
即ln a=-d2+B,因此-4G+B=-d2+B,故d=4,即S0=4时,信号强度为的位置距无线路由器的距离为4 m.
9.(13分)数学建模研究表明:一天中,区域的居民活动类型(工作、学习和休闲)越丰富,活动地点总数越多,区域之间人口流动越频繁,城市活力度越高.Q市基于大数据测算城市活力度,发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数M(t)=来近似刻画,其中中午12点的城市活力度为20,是工作日内活力度的最高值;24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值.
(1)分别求m,n的值;
(2)求该工作日内,Q市活力度不大于10的总时长.
【解】 (1)由中午12点的城市活力度为20,知M(12)=20,代入数据得12m+5-6m=20,解得m=,
24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值,故M(24)=M(6)=6×+5-6×=5,
代入M(24)=M(12)·e-n(t-12)得5=20e-12n,解得n=.
(2)由(1)知M(t)=
当6≤t≤12时,令M(t)=t-10≤10,解得t∈[6,8],
当12可得t-12≥6,解得t∈[18,24],故一日内只有当t∈(8,18)时,活力度大于10,
即该工作日内有14 h活力度不大于10.
强化练
10.(多选)某食品的保鲜时间y(单位:h)与储存温度x(单位:℃)满足函数关系y=ekx+b
(e=2.718…,k,b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是120 h,在20 ℃的保鲜时间是30 h,则(　　)
[A]k>0
[B]储存温度越高保鲜时间越短
[C]在10 ℃的保鲜时间是60 h
[D]在30 ℃的保鲜时间是15 h
【答案】 BCD
【解析】 对于A,由题可知120=eb,30=e20k+b=e20k×eb,则e20k=,即e10k=,可得10k<0,即k<0,故A错误;对于B,由A选项的分析可知,y=kx+b在R上是减函数,且y=ex在R上是增函数,所以y=ekx+b在R上是减函数,则储存温度越高保鲜时间越短,B正确;对于C,由A选项的分析可知,e10k+b=e10k×eb=×120=60 h,C正确;对于D,由A选项的分析可知,e30k+b=e30k×eb=×120=15 h,D正确.故选BCD.
11.(多选)某化工厂每一天中污水污染指数f(x) 与时刻x(单位:h)的函数关系为f(x)=|log25(x+1)-a|+2a+1,x∈[0,24],其中a为污水治理调节参数,且a∈(0,1),规定每天中f(x)的最大值作为当天的污水污染指数,则使该厂每天的污水污染指数不超过3的a的取值可以为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 AB
【解析】 设t=log25(x+1),则当0≤x≤24时,0≤t≤1.可得g(t)=|t-a|+2a+1,t∈[0,1],
则g(t)=显然g(t)在[0,a)上单调递减,在[a,1]上单调递增,
则f(x)max=max{g(0),g(1)},且g(0)=3a+1,g(1)=a+2,则有解得a≤,
又a∈(0,1),故调节参数a应控制在(0,]内,结合选项可知,A,B正确,C,D错误.故选AB.
12.(14分)某一运动场馆投放空气净化剂净化场馆,已知每瓶空气净化剂含量为a,投放后该空气净化剂以每小时10%的速度减少,根据经验,当场馆内空气净化剂含量不低于3a时有净化效果,且至少需要持续净化12 h才能达到净化目的,现有9瓶该空气净化剂.
(1)如果一次性投放该空气净化剂9瓶,能否达到净化的目的 如果能,说明理由;如果不能,最多可净化多长时间 (精确到0.1 h)
(2)如果9瓶空气净化剂分两次投放,在第一次投放后间隔6 h进行第二次投放,为达到净化目的,试给出两次投放的所有可能方案 (每次投放的瓶数为整数,投放用时忽略不计)
参考数据:lg 3≈0.477,0.96≈0.53.
【解】 (1)假设一次性投放9瓶,可持续净化x h,则9a·(1-10%)x≥3a(x≥0),所以0.9x≥,两边取常用对数得x·lg 0.9≥lg ,所以x≤≈10.4,因为10.4<12,所以不能达到净化目的,最多可净化 10.4 h.
(2)设第一次投放n瓶,第二次投放9-n瓶,n∈N*且n<9,依据题意得
由第一个不等式可得,n≥≈5.7,由第二个不等式可得,n≤≈7.1,所以5.7所以两次投放可能的投放方案为第一次投放6瓶,第二次投放3瓶;或在第一次投放7瓶,第二次投放2瓶.

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