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5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
课时作业
基础练
1.函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象与函数y=1的图象的交点个数是(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 A
【解析】 将y=sin x,x∈[0,2π]与y=1的函数图象绘制在同一平面直角坐标系中,如图所示,数形结合可知,只有1个交点.故选A.
2.函数y=-cos x(x≥0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　)
[A](,1)　 [B](π,1)
[C](0,1) [D](2π,1)
【答案】 B
【解析】 用五点法画出函数y=-cos x(x≥0)的部分图象如图所示,由图易知与y轴最近的最高点的坐标为(π,1).故选B.
3.函数y=sin(-x),x∈[-π,π]的图象是(　　)
[A]　 [B]
[C]　 [D]
【答案】 D
【解析】 对任意x∈(-π,0),有-x∈(0,π),所以sin(-x)>0.这表明y=sin(-x)的图象在x∈(-π,0)的部分都应在x轴上方,只有D符合题意.故选D.
4.在[0,2π]上,函数y=的定义域是(　　)
[A][0,]　 [B][,]
[C][,] [D][,π]
【答案】 B
【解析】 依题意得2sin x-≥0,即sin x≥.作出y=sin x在[0,2π]上的图象及直线y=,如图所示.
由图象可知,满足sin x≥的x的取值范围是[,].故选B.
5.(多选)函数y=|cos x|,x∈(,)的图象与直线y=t(t为常数,t∈R)的交点可能有(　　)
[A]0个 [B]1个 [C]2个 [D]3个
【答案】 ABC
【解析】 作出y=|cos x|,x∈(,)的图象观察可知,当t<0或t>1时,y=|cos x|的图象与直线y=t的交点个数为0;当t=0或t=1或t=时,y=|cos x|的图象与直线y=t的交点个数为1;当06.在(0,2π)内,使sin x>|cos x|的x的取值范围是(　　)
[A](,) [B](,)∪(,]
[C](,) [D](,)
【答案】 A
【解析】 y=sin x以及y=|cos x|的图象如图所示,由图可知,x∈(,).故选A.
7.(5分)-≤cos x≤的解集是　　　　　　　　　　　　 　　　.
【答案】 {x≤x≤2kπ-或 2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}
【解析】 在[-π,π]上,直线y=-,y=与函数y=cos x的图象的交点的横坐标从左到右依次为-,-,,,所以满足不等式-≤cos x≤的解集为{x≤x≤2kπ-或2kπ+≤x≤2kπ+,
k∈Z}.
8.(5分)若函数f(x)=2sin x-1-a在[,π]上有两个零点,则实数a的取值范围是　 .
【答案】 [-1,1)
【解析】 令f(x)=0得2sin x=1+a.作出y=2sin x在x∈[,π]上的图象,如图所示.
要使函数f(x)在[,π]上有两个零点,需满足≤1+a<2,所以-1≤a<1.
9.(13分)用“五点法”作出函数y=cos(x+),x∈[-,]的简图.
【解】 由题知y=cos(x+),x∈[-,],
列表如下:
x -
x+ 0 π 2π
y 1 0 -1 0 1
根据表格画出图象如下:
10.(14分)当x∈[-2π,2π]时,作出下列函数的图象,把这些图象与y=sin x的图象进行比较,你能发现图象变换的什么规律
(1)y=|sin x|;
(2)y=sin |x|.
【解】 (1)y=|sin x|=
将y=sin x的图象在x轴上方部分保持不变,下方部分作关于x轴对称的图形,即可得到y=|sin x|的图象.
(2)y=sin |x|=将y=sin x 的图象在y轴右边部分保持不变,并作其关于y轴对称的图形,即可得到y=sin |x| 的图象.
强化练
11.(多选)函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k的交点个数可能是(　　)
[A]1 [B]2 [C]4 [D]6
【答案】 ABC
【解析】 由题意可得f(x)=sin x+2|sin x|=作出函数y=f(x)和y=k的图象如图所示.
当k<0或k>3时,直线y=k与函数f(x)的图象没有交点;当k=3时,直线y=k与函数f(x)的图象只有1个交点;当112.(5分)函数f(x)=2|cos x|-x的零点个数为　　　　.
【答案】 4
【解析】 令f(x)=0,得x=0或2|cos x|=.设y1=2|cos x|,y2=,在平面直角坐标系中先画出y=2cos x的图象,保留x轴上方的部分图象并把x轴下方的图象向上翻折即得y1=2|cos x|的图象,再作出y2=的图象,如图所示,由图可知两者共有3个交点.综上所述,函数f(x)共有4个
零点.
13.(15分)已知函数f(x)=
(1)作出该函数的图象;
(2)若f(x)=,求x的值;
(3)若a∈R,讨论方程f(x)=a的解的个数.
【解】 (1)f(x)的函数图象如下:
(2)当-π≤x<0时,f(x)=cos x=,解得x=-,当0≤x≤π时,f(x)=sin x=,解得x=或,综上,x=-或或.
(3)方程f(x)=a的解的个数等价于y=f(x)与y=a的图象的交点个数,则由(1)中函数图象可得,当a>1或a<-1时,解的个数为0;当-1≤a<0或a=1时,解的个数为1;当0≤a<1时,解的个数为3.
拓展练
14.(多选)若函数f(x)=2cos x,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则(　　)
[A]当x∈(,)时,f(x)<0
[B]f(0)=1
[C]f()=0
[D]所围图形的面积为2π
【答案】 AC
【解析】 作出函数f(x)=2cos x,x∈[0,2π]的图象,其与直线y=2围成的平面图形为如图所示的阴影部分.由图可知,当x∈(,)时,f(x)<0,故A正确;
f(0)=2cos 0=2,故B错误;f()=2cos =0,故C正确;利用图象的对称性,知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积,因为OA=2,OC=2π,所以S阴影部分=S矩形OABC=2×2π=4π,故D错误.故选AC.5.4.1　正弦函数、余弦函数的图象
课时作业
基础练
1.函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象与函数y=1的图象的交点个数是(　　)
[A]1 [B]2 [C]3 [D]4
2.函数y=-cos x(x≥0)的图象中与y轴最近的最高点的坐标为(　　)
[A](,1)　 [B](π,1)
[C](0,1) [D](2π,1)
3.函数y=sin(-x),x∈[-π,π]的图象是(　　)
[A]　 [B]
[C]　 [D]
4.在[0,2π]上,函数y=的定义域是(　　)
[A][0,]　 [B][,]
[C][,] [D][,π]
5.(多选)函数y=|cos x|,x∈(,)的图象与直线y=t(t为常数,t∈R)的交点可能有(　　)
[A]0个 [B]1个 [C]2个 [D]3个
6.在(0,2π)内,使sin x>|cos x|的x的取值范围是(　　)
[A](,) [B](,)∪(,]
[C](,) [D](,)
7.(5分)-≤cos x≤的解集是　　　　　　　　　　　　 　　　.
8.(5分)若函数f(x)=2sin x-1-a在[,π]上有两个零点,则实数a的取值范围是　 .
9.(13分)用“五点法”作出函数y=cos(x+),x∈[-,]的简图.
10.(14分)当x∈[-2π,2π]时,作出下列函数的图象,把这些图象与y=sin x的图象进行比较,你能发现图象变换的什么规律
(1)y=|sin x|;
(2)y=sin |x|.
强化练
11.(多选)函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k的交点个数可能是(　　)
[A]1 [B]2 [C]4 [D]6
12.(5分)函数f(x)=2|cos x|-x的零点个数为　　　　.
13.(15分)已知函数f(x)=
(1)作出该函数的图象;
(2)若f(x)=,求x的值;
(3)若a∈R,讨论方程f(x)=a的解的个数.
拓展练
14.(多选)若函数f(x)=2cos x,x∈[0,2π]的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形,则(　　)
[A]当x∈(,)时,f(x)<0
[B]f(0)=1
[C]f()=0
[D]所围图形的面积为2π

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