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5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时　两角差的余弦公式
课时作业
基础练
1.cos 165°等于(　　)
[A] [B]
[C]- [D]-
【答案】 C
【解析】 cos 165°=cos(180°-15°)=-cos 15°=-cos( 45°-30°)=-(cos 45°cos 30°+sin 45°
sin 30°)=-.故选C.
2.计算cos 20°cos 80°+sin 160°cos 10°等于(　　)
[A] [B] [C]- [D]-
【答案】 A
【解析】 cos 20°cos 80°+sin 160°cos 10°=cos 20°cos 80°+sin 20°sin 80°=cos(80°-20°)=
cos 60°=.故选A.
3.已知cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=-,β∈(π,),则sin β的值是(　　)
[A] [B]- [C]- [D]
【答案】 C
【解析】 因为cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=cos(α-β-α)=cos β=-,又β∈(π,),
所以sin β=-=-.故选C.
4.已知sin α=,α∈(0,),则cos(+α)等于(　　)
[A] [B]-
[C]- [D]
【答案】 D
【解析】 因为sin α=,α∈(0,),所以cos α==,又cos(+α)=cos(2π-+α)=cos(α-),所以cos(α-)=cos αcos +sin αsin =×+×=.故选D.
5.(多选)若sin x+cos x=cos(x+φ),则φ的一个可能值是(　　)
[A]-　 [B]-　 [C] [D]
【答案】 AC
【解析】 由sin x+cos x=cos(x-)=cos(x+φ),可得φ=-+2kπ,k∈Z,故φ=-,都符合题意.故选AC.
6.若α∈(0,),β∈(-,0),cos(+α)=,cos(+)=,则cos(α-)等于(　　)
[A] [B]- [C]- [D]
【答案】 D
【解析】 因为0<α<,
所以<+α<,
又因为cos(+α)=>0,
所以<α+<,
所以sin(α+)==.
因为-<β<0,
所以0<+<,
因为cos(+)=,
所以sin(+)==.
所以cos(α-)=cos[(+α)-(+)]
=cos(+α)cos(+)+sin(+α)sin(+)=×+×=.故选D.
7.(5分)已知在△ABC中,sin A=,cos B=-,则cos(A-B)=　　　　.
【答案】 -
【解析】 因为cos B=-,且08.(5分)=　　　　.
【答案】
【解析】 原式===
=cos 15°=cos(60°-45°)=.
9.(14分)如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.
(1)如果A,B两点的纵坐标分别为,,求cos α 和sin β的值;
(2)在(1)的条件下,求cos(β-α)的值.
【解】 (1)由题意得sin α=,sin β=,又α为锐角,所以cos α==.
(2)因为β为钝角,所以由(1)知cos β=-=-,所以cos(β-α)=cos βcos α+sin βsin α=
-×+×=.
10.(15分)已知sin(α+)=,-<α<,求:
(1)cos(α-)的值;
(2)cos α的值.
【解】 (1)因为sin(α+)=,所以cos(α-)=cos(α+-)=cos[(α+)-]=sin(α+)=.
(2)因为-<α<,所以0<α+<,因为sin(α+)=,所以cos(α+)==,
所以cos α=cos(α+-)=cos(α+)·cos +sin(α+)sin =×+×=.
强化练
11.已知在平面直角坐标系中,角α与角β均以x轴的非负半轴为始边,它们的终边关于y轴对称,若sin α=,则cos(α-β)等于(　　)
[A]1 [B]-1 [C]- [D]
【答案】 C
【解析】 因为角α与角β的终边关于y轴对称,sin α=>0,所以角α和角β的终边不可能在第三、第四象限.①若角α的终边在第一象限,则cos α=,由α+β=π,得β=π-α,所以sin β=
sin(π-α)=sin α=,cos β=cos(π-α)=-cos α=-,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=×
(-)+×=-;②若角α 的终边在第二象限,则cos α=-,由α+β=π,得β=π-α,所以sin β=
sin(π-α)=sin α=,cos β=cos(π-α)=-cos α=,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=
(-)×+×=-.综上,cos(α-β)=-.故选C.
12.已知≤α≤π,π≤β≤,sin 2α=,cos(α+β)=-,则β-α等于(　　)
[A]或　 [B]
[C]　 [D]
【答案】 C
【解析】 因为≤α≤π,所以≤2α≤2π,又sin 2α=>0,故<2α<π,故cos 2α=-.因为<α<,π≤β≤,所以<α+β<2π,cos(α+β)=-<0,故<α+β<,sin(α+β)=-,cos(β-α)=cos[(β+α)-2α]=
cos(β+α)cos 2α+sin(β+α)sin 2α=(-)×(-)+(-)×=-,又<β-α<,故β-α=.故选C.
13.(15分)已知函数f(x)=-cos 2xcos +sin 2xsin .
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若<α<β<,f(α)=,且f(β)=,求角2β-2α的大小.
【解】 (1)因为f(x)=-cos 2xcos +sin 2xsin ,所以f(x)=cos 2xcos +sin 2xsin =cos(2x-),所以函数f(x)的最小正周期T==π.
(2)因为f(α)=,且f(β)=,所以cos(2α-)=,cos(2β-)=.
又<α<β<,所以0<2α-<2β-<,
所以sin(2α-)==,sin(2β-)==,所以cos(2β-2α)=
cos[(2β-)-(2α-)]=cos(2β-)cos(2α-)+sin(2β-)sin(2α-)=×+×=.又<α<β<,所以0<2β-2α<,所以2β-2α=.
拓展练
14.(5分)(1)若sin α+sin β=,cos α+cos β=,则cos(α-β)的值为　　　　;
(2)若sin α+sin β=,则cos α+cos β的取值范围是　　　　　　　　　.
【答案】 (1)-　(2)[-,]
【解析】 (1)由已知得(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=+=1,
所以sin2α+sin2β+2sin αsin β+cos2α+cos2β+2cos αcos β=1,
所以(sin2α+cos2α)+(sin2β+cos2β)+2(cos αcos β+sin αsin β)=1,
所以2+2(cos αcos β+sin αsin β)=1,即2+2cos(α-β)=1,所以cos(α-β)=-.
(2)由sin α+sin β=,平方可得sin2α+2sin αsin β+sin2β=,①
设cos α+cos β=m,平方可得cos2α+2cos αcos β+cos2β=m2,②
①+②得2+2cos αcos β+2sin αsin β=+m2,即m2=+2cos(α-β).因为cos(α-β)∈[-1,1],
所以0≤m2≤,所以-≤m≤,故cos α+cos β的取值范围为[-,].5.5.1　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第1课时　两角差的余弦公式
课时作业
基础练
1.cos 165°等于(　　)
[A] [B]
[C]- [D]-
2.计算cos 20°cos 80°+sin 160°cos 10°等于(　　)
[A] [B] [C]- [D]-
3.已知cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=-,β∈(π,),则sin β的值是(　　)
[A] [B]- [C]- [D]
4.已知sin α=,α∈(0,),则cos(+α)等于(　　)
[A] [B]-
[C]- [D]
5.(多选)若sin x+cos x=cos(x+φ),则φ的一个可能值是(　　)
[A]-　 [B]-　 [C] [D]
6.若α∈(0,),β∈(-,0),cos(+α)=,cos(+)=,则cos(α-)等于(　　)
[A] [B]- [C]- [D]
7.(5分)已知在△ABC中,sin A=,cos B=-,则cos(A-B)=　　　　.
8.(5分)=　　　　.
9.(14分)如图,在平面直角坐标系中,锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A,B两点.
(1)如果A,B两点的纵坐标分别为,,求cos α 和sin β的值;
(2)在(1)的条件下,求cos(β-α)的值.
10.(15分)已知sin(α+)=,-<α<,求:
(1)cos(α-)的值;
(2)cos α的值.
强化练
11.已知在平面直角坐标系中,角α与角β均以x轴的非负半轴为始边,它们的终边关于y轴对称,若sin α=,则cos(α-β)等于(　　)
[A]1 [B]-1 [C]- [D]
12.已知≤α≤π,π≤β≤,sin 2α=,cos(α+β)=-,则β-α等于(　　)
[A]或　 [B]
[C]　 [D]
13.(15分)已知函数f(x)=-cos 2xcos +sin 2xsin .
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若<α<β<,f(α)=,且f(β)=,求角2β-2α的大小.
拓展练
14.(5分)(1)若sin α+sin β=,cos α+cos β=,则cos(α-β)的值为　　　　;
(2)若sin α+sin β=,则cos α+cos β的取值范围是　　　　　　　　　. 第3课时　两角和与差的正切公式
课时作业
基础练
1.tan 105°的值为(　　)
[A]-1- [B]-2-
[C]-2+ [D]2-
【答案】 B
【解析】 tan 105°=tan(45°+60°)===-2-.故选B.
2.已知角θ的终边经过点(3,-4),将角θ的终边顺时针旋转后得到角β,则tan β等于(　　)
[A]- [B]7
[C] [D]-7
【答案】 B
【解析】 角θ的终边经过点(3,-4),则tan θ=,将角θ的终边顺时针旋转后得到角β,
则tan β=tan(θ-)===7.故选B.
3.已知tan(α+β)=3,tan β=,则tan α等于(　　)
[A] [B]
[C]　 [D]-
【答案】 B
【解析】 tan α=tan[(α+β)-β]==.故选B.
4.在△ABC中,tan A=2,tan B=3,则C等于(　　)
[A]30° [B]45°
[C]60° [D]135°
【答案】 B
【解析】 因为A+B+C=180°,且tan C=-tan(A+B)=-=1,所以C=45°.故选B.
5.tan 20°++tan 20°tan 40°等于(　　)
[A]1 [B]
[C] [D]2
【答案】 C
【解析】 因为==tan(45°-5°)=tan 40°,
且tan 60°=tan(20°+40°)==,可得tan 20°+tan 40°=(1-tan 20°tan 40°),
所以tan 20°++tan 20°tan 40°=tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°
=(1-tan 20°tan 40°)+tan 20°tan 40°=.故选C.
6.已知α,β∈(0,π),tan α,tan β是方程x2-3x+4=0的两个根,则α+β等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]或
【答案】 B
【解析】 因为tan α,tan β是方程x2-3x+4=0的两个根,所以tan α+tan β=3>0,
tan αtan β=4>0,所以tan α>0,tan β>0,因为α,β∈(0,π),所以0<α<,0<β<,0<α+β<π,
因为tan(α+β)===-,所以α+β=.故选B.
7.(5分)已知2tan θ-tan(θ+)=7,则tan θ=　　　　.
【答案】 2
【解析】 因为2tan θ-tan(θ+)=7,所以2tan θ-=7,令t=tan θ,t≠1,则2t-=7,整理得t2-4t+4=0,解得t=2,即tan θ=2.
8.(5分)已知α为第一象限角,sin(α-)=,tan(β+)=,则tan(α+β)=　　　　.
【答案】
【解析】 因为α为第一象限角,sin(α-)=,所以cos(α-)=,所以tan(α-)=,
又α+β=(α-)+(β+),所以tan(α+β)=tan[(α-)+(β+)]===.
9.(13分)化简求值:
(1);
(2)(1+tan α)(1+tan β)(其中α+β=kπ+,k∈Z).
【解】 (1)因为tan 60°=tan(10°+50°)=,
所以tan 60°(1-tan 10°tan 50°)=tan 10°+tan 50°,
所以
=
=
=-tan 60°=-.
(2)因为α+β=kπ+,所以tan(α+β)=tan(kπ+)=tan =1,所以(1+tan α)·(1+tan β)=tan αtan β+tan α+tan β+1=tan αtan β+tan(α+β)(1-tan αtan β)+1=tan αtan β+tan(kπ+)(1-tan αtan β)+1=2.
10.(15分)(1)已知tan(α+β)=2,tan(α-β)=4,求tan 2α·tan 2β的值.
(2)已知tan α=,tan β=,求的值.
【解】 (1)因为tan 2α=tan[(α+β)+(α-β)]===-,
tan 2β=tan[(α+β)-(a-β)]===-.
所以tan 2α·tan 2β=(-)×(-)=.
(2)原式
=
==
=tan(β-α)=
==.
强化练
11.(多选)已知α,β为锐角,且满足α+2β=,tan tan β=2-,则(　　)
[A]α= [B]α=
[C]β= [D]β=
【答案】 AC
【解析】 由题意得+β=,所以tan(+β)==,则tan +tan β=3-,因此tan ,
tan β是方程x2-(3-)x+2-=0的两根,解得x1=1,x2=2-.当tan =1时,因为0<α<,
所以0<<,此时α不存在,故tan =2-,tan β=1,β=,
则tan α=tan(+)====,因为α,β均为锐角,所以α=,β=.故选AC.
12.(5分)已知α,β,γ都是锐角,且tan α=,tan β=,tan γ=,则α+β+γ=　　　　.
【答案】
【解析】 因为tan α=,tan β=,所以tan(α+β)===,因为tan γ=,
所以tan(α+β+γ)===1,因为α,β,γ∈(0,),所以α+β∈(0,π),
因为tan(α+β)=>0,所以α+β∈(0,),所以α+β+γ∈(0,π),所以α+β+γ=.
13.(15分)已知tan(α-β)=,tan β=-,α,β∈(0,π),求2α-β的值.
【解】 因为tan β=-,tan(α-β)=,所以tan α=tan [(α-β)+β]===,
tan(2α-β)=tan [(α-β)+α]===1.因为tan α=>0,tan β=-<0,所以α∈(0,),
β∈(,π),所以α-β∈(-π,0).
又因为tan(α-β)=>0,所以α-β∈(-π,-),2α-β=α+(α-β)∈(-π,0).又tan(2α-β)=1,
所以2α-β=-.
拓展练
14.(多选)已知0<α<β<,且tan α,tan β是方程x2-kx+2=0的两个不等实根.则下列结论正确的是(　　)
[A]tan α+tan β=k　 [B]tan(α+β)=-k
[C]k>2　 [D]k+tan α>4
【答案】 ABC
【解析】 由tan α,tan β是方程x2-kx+2=0的两个不等实根,所以tan α+tan β=k,tan α·tan β=2,故A正确;tan(α+β)===-k,故B正确;由0<α<β<,得tan α,tan β均为正数,
则tan α+tan β=k≥2=2,当且仅当tan α=tan β时,等号成立,由0<α<β<知
tan α2,故C正确;k+tan α=2tan α+tan β≥
2=4,当且仅当2tan α=tan β=2时,等号成立,即k+tan α≥4,故D错误.故选ABC.第2课时　两角和与差的正弦、余弦公式
课时作业
基础练
1.cos 的值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
2.sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°等于(　　)
[A] [B] [C] [D]1
3.化简sin(x+)+sin(x-)等于(　　)
[A]-sin x　 [B]sin x
[C]-cos x [D]cos x
4.若sin αcos -cos αsin =,α∈[0,2π),则α等于(　　)
[A]　　 [B]　
[C]或　　 [D]或
5.已知在△ABC中,A=,cos B=,则sin C等于(　　)
[A] [B]-
[C] [D]-
6.(多选)cos α-sin α化简的结果可以是(　　)
[A]cos(-α) [B]2cos(+α)
[C]sin(-α) [D]2sin(-α)
7.(5分)已知α为钝角,且sin(α+)=,则cos(α+)=　　　　　　.
8.(5分)已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos α·cos β=　　　　.
9.(14分)已知α∈(0,),β∈(,π),tan α=,cos(α-β)=.
(1)求sin(α-);
(2)求sin β.
10.(14分)设cos α=-,tan β=,π<α<,0<β<.
(1)求sin(α-β)的值;
(2)求α-β的值.
强化练
11.(多选)若f(x)=2sin(x+φ)-cos x为奇函数,则φ的值可能为(　　)
[A] [B]　　 [C] [D]
12.(5分)若cos(α-)=,则sin(α-)cos α=　　　　.
13.(15分)人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活,在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),则曼哈顿距离为d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|,余弦相似度为cos(A,B)=
·+·,余弦距离为1-cos(A,B).
(1)若A(-1,2),B(,),求A,B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离;
(2)已知M(sin α,cos α),N(sin β,cos β),Q(sin β,-cos β),若cos(M,N)=,cos(M,Q)=,求tan αtan β
的值;
(3)已知0<α<β<,M(5cos α,5sin α),N(13cos β,13sin β),P(5cos(α+β),5sin(α+β)),若cos(M,P)=,
cos(M,N)=,求M,P之间的曼哈顿距离.
拓展练
14.(5分)(1)若sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　.
(2)已知在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则角C=　　　　. 第3课时　两角和与差的正切公式
课时作业
基础练
1.tan 105°的值为(　　)
[A]-1- [B]-2-
[C]-2+ [D]2-
2.已知角θ的终边经过点(3,-4),将角θ的终边顺时针旋转后得到角β,则tan β等于(　　)
[A]- [B]7
[C] [D]-7
3.已知tan(α+β)=3,tan β=,则tan α等于(　　)
[A] [B]
[C]　 [D]-
4.在△ABC中,tan A=2,tan B=3,则C等于(　　)
[A]30° [B]45°
[C]60° [D]135°
5.tan 20°++tan 20°tan 40°等于(　　)
[A]1 [B]
[C] [D]2
6.已知α,β∈(0,π),tan α,tan β是方程x2-3x+4=0的两个根,则α+β等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]或
7.(5分)已知2tan θ-tan(θ+)=7,则tan θ=　　　　.
8.(5分)已知α为第一象限角,sin(α-)=,tan(β+)=,则tan(α+β)=　　　　.
9.(13分)化简求值:
(1);
(2)(1+tan α)(1+tan β)(其中α+β=kπ+,k∈Z).
10.(15分)(1)已知tan(α+β)=2,tan(α-β)=4,求tan 2α·tan 2β的值.
(2)已知tan α=,tan β=,求的值.
强化练
11.(多选)已知α,β为锐角,且满足α+2β=,tan tan β=2-,则(　　)
[A]α= [B]α=
[C]β= [D]β=
12.(5分)已知α,β,γ都是锐角,且tan α=,tan β=,tan γ=,则α+β+γ=　　　　.
13.(15分)已知tan(α-β)=,tan β=-,α,β∈(0,π),求2α-β的值.
拓展练
14.(多选)已知0<α<β<,且tan α,tan β是方程x2-kx+2=0的两个不等实根.则下列结论正确的是(　　)
[A]tan α+tan β=k　 [B]tan(α+β)=-k
[C]k>2　 [D]k+tan α>4第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式
课时作业
基础练
1.tan 等于(　　)
[A] [B]
[C]-1 [D]+1
2.若角α满足sin α+sin 2α=0(α≠kπ,k∈Z),则cos α+cos 2α等于(　　)
[A]1 [B]-1
[C]0 [D]-
3.已知α∈(0,),cos 2α=,则sin2(α+)等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
4.已知tan θ=,则下列结论错误的是(　　)
[A]=-4
[B]sin 2θ=
[C]cos 2θ=-
[D]sin2θ+sin θcos θ-1=-
5.中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m=的近似值.古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用2sin 18°表示,即=2sin 18°,则的值为(　　)
[A] [B]1
[C]- [D]-1
6.(多选)若sin α>sin β>0,则下列不等式中不一定成立的是(　　)
[A]sin 2α>sin 2β [B]cos 2α[C]cos 2α>cos 2β [D]sin 2α7.(5分)已知等腰三角形底角的正弦值为,则顶角的余弦值是　　　　.
8.(5分)计算:-=　　　　.
9.(14分)已知角α是第一象限角,且满足5sin2α+6sin α-8=0.
(1)求sin α,cos α,tan α的值;
(2)求sin 2α,cos(2α-)的值.
10.(15分)(湘教版必修第二册P79例2)已知tan α=,求:
(1)tan 2α;
(2)tan 4α;
(3)tan β,其中β满足4α+β=.
强化练
11.(5分)已知cos(α+)=,α∈(0,),则cos(2α+)=　　　　.
12.(5分)若sin(x-)cos(x-)=-,则cos 4x=　　　　.
13.(15分)已知A,B,C为△ABC的三个内角,依据下列条件,判断三角形的形状:
(1)sin C=2cos Asin B;
(2)tan =sin C.
拓展练
14.(5分)(1)求值:cos ·cos ·cos =　　　　;
(2)若n∈N*,α≠kπ,k∈Z,化简cos α·cos 2α·cos 4α·…·cos 2n-1α=　　　　. 第2课时　两角和与差的正弦、余弦公式
课时作业
基础练
1.cos 的值为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 cos =cos(+)=cos cos -sin ·sin =×-×=.故选C.
2.sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°等于(　　)
[A] [B] [C] [D]1
【答案】 B
【解析】 sin 109°cos 296°+cos 71°sin 64°=sin(180°-71°)cos(360°-64°)+cos 71°sin 64°=
sin 71°cos 64°+cos 71°sin 64°=sin(71°+64°)=sin 135°=.故选B.
3.化简sin(x+)+sin(x-)等于(　　)
[A]-sin x　 [B]sin x
[C]-cos x [D]cos x
【答案】 B
【解析】 sin(x+)+sin(x-)=sin x+cos x+sin x-cos x=sin x.故选B.
4.若sin αcos -cos αsin =,α∈[0,2π),则α等于(　　)
[A]　　 [B]　
[C]或　　 [D]或
【答案】 D
【解析】 sin αcos -cos αsin =sin(α-)=,又α∈[0,2π),所以α=或α=.故选D.
5.已知在△ABC中,A=,cos B=,则sin C等于(　　)
[A] [B]-
[C] [D]-
【答案】 A
【解析】 因为cos B=且0sin Acos B+cos Asin B=×+×=.故选A.
6.(多选)cos α-sin α化简的结果可以是(　　)
[A]cos(-α) [B]2cos(+α)
[C]sin(-α) [D]2sin(-α)
【答案】 BD
【解析】 cos α-sin α=2×(cos α-sin α)=2cos(+α)=2sin(-α).故选BD.
7.(5分)已知α为钝角,且sin(α+)=,则cos(α+)=　　　　　　.
【答案】 -
【解析】 因为α为钝角,且sin(α+)=,所以cos(α+)=-,所以cos(α+)=cos[(α+)+]=
cos(α+)·cos -sin(α+)sin =-×-×=-.
8.(5分)已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos α·cos β=　　　　.
【答案】 -
【解析】 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-,两式相加可得2cos αcos β=-,即cos αcos β=-.
9.(14分)已知α∈(0,),β∈(,π),tan α=,cos(α-β)=.
(1)求sin(α-);
(2)求sin β.
【解】 (1)因为α∈(0,),所以sin α>0,cos α>0,
由可得
所以sin(α-)=sin αcos -cos αsin =×-×=-.
(2)因为α∈(0,),β∈(,π),所以-π<α-β<0,所以sin(α-β)<0,
所以sin(α-β)=-=-=-,因此sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=×-×(-)=.
10.(14分)设cos α=-,tan β=,π<α<,0<β<.
(1)求sin(α-β)的值;
(2)求α-β的值.
【解】 (1)因为π<α<,cos α=-,所以sin α=-,又0<β<,tan β=,所以sin β=,cos β=,所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-×+×=-.
(2)因为0<β<,所以-<-β<0,又π<α<,所以<α-β<,因为sin(α-β)=-,所以α-β=.
强化练
11.(多选)若f(x)=2sin(x+φ)-cos x为奇函数,则φ的值可能为(　　)
[A] [B]　　 [C] [D]
【答案】 AD
【解析】 f(x)=2sin xcos φ+2cos xsin φ-cos x=2sin xcos φ+(2sin φ-1)cos x.若f(x)为奇函数,则2sin φ-1=0,即当sin φ=时,满足题意,结合选项,φ可取,.故选AD.
12.(5分)若cos(α-)=,则sin(α-)cos α=　　　　.
【答案】 -
【解析】 令α-=t,则α=t+,即cos t=,所以sin(α-)=sin(t+)=sin tcos +cos tsin =sin t+cos t,cos α=cos(t+)=cos tcos -sin tsin =cos t-sin t,因此,sin(α-)cos α=(sin t+cos t)(cos t-sin t)=cos2t-sin2t=×-×(1-)=-.
13.(15分)人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活,在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点A(x1,y1),B(x2,y2),则曼哈顿距离为d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|,余弦相似度为cos(A,B)=
·+·,余弦距离为1-cos(A,B).
(1)若A(-1,2),B(,),求A,B之间的曼哈顿距离d(A,B)和余弦距离;
(2)已知M(sin α,cos α),N(sin β,cos β),Q(sin β,-cos β),若cos(M,N)=,cos(M,Q)=,求tan αtan β
的值;
(3)已知0<α<β<,M(5cos α,5sin α),N(13cos β,13sin β),P(5cos(α+β),5sin(α+β)),若cos(M,P)=,
cos(M,N)=,求M,P之间的曼哈顿距离.
【解】 (1)因为d(A,B)=|-1-|+|2-|=,cos(A,B)=×+×=,所以余弦距离等于1-cos(A,B)=1-.
(2)cos(M,N)=·+·=sin αsin β+cos αcos β=;
cos(M,Q)=·+·=sin αsin β-cos αcos β=,
故sin αsin β=,cos αcos β=-,则tan αtan β==-3.
(3)因为=5,=5,
所以cos(M,P)=·+·=cos β=.
因为0<β<,所以sin β==.
因为=13,所以cos(M,N)=·+·=cos(α-β)=.
因为0<α<β<,则-<α-β<0,所以sin(α-β)=-=-.
因为cos α=cos(α-β+β)=cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=,sin α==,所以M(3,4).
因为cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-,sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,所以P(-,).
因为d(M,P)=|3-(-)|+|4-|=+=,所以M,P之间的曼哈顿距离是.
拓展练
14.(5分)(1)若sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)=　　　　.
(2)已知在△ABC中,3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,则角C=　　　　.
【答案】 (1)-　(2)
【解析】 (1)因为sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,所以sin2α+cos2β+2sin αcos β=1,①
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0,②
①②两式相加可得sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,所以sin(α+β)=-.
(2)由3sin A+4cos B=6,3cos A+4sin B=1,两式平方相加得9+16+24sin(A+B)=37,所以sin(A+B)=.
在△ABC中,sin C=sin [π-(A+B)]=sin(A+B)=,所以C=或,又3cos A+4sin B=1,化为4sin B=
1-3cos A>0,所以cos A<<,则A>,故C=.第4课时　二倍角的正弦、余弦、正切公式
课时作业
基础练
1.tan 等于(　　)
[A] [B]
[C]-1 [D]+1
【答案】 C
【解析】 法一　因为tan ==1,所以tan2+2tan -1=0.tan 是方程x2+2x-1=0的根,且方程x2+2x-1=0的两根分别为x1=-1,x2=--1.因为当x∈[0,)时,tan x>0,
所以tan =-1.故选C.
法二　tan =====-1.故选C.
2.若角α满足sin α+sin 2α=0(α≠kπ,k∈Z),则cos α+cos 2α等于(　　)
[A]1 [B]-1
[C]0 [D]-
【答案】 B
【解析】 由题意可知,sin α+2sin αcos α=sin α(1+2cos α)=0,α≠kπ,k∈Z,所以1+2cos α=0,
则cos α=-,cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,所以cos α+cos 2α=-1.故选B.
3.已知α∈(0,),cos 2α=,则sin2(α+)等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 因为α∈(0,),所以2α∈(0,),又因为cos 2α=,
所以sin 2α===.所以sin2(α+)====.故选D.
4.已知tan θ=,则下列结论错误的是(　　)
[A]=-4
[B]sin 2θ=
[C]cos 2θ=-
[D]sin2θ+sin θcos θ-1=-
【答案】 C
【解析】 ===-4,故A正确;sin 2θ====,故B正确;
cos 2θ====,故C不正确;
sin2θ+sin θcos θ-1=-1=-1=-1=-,故D正确.故选C.
5.中国数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m=的近似值.古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用2sin 18°表示,即=2sin 18°,则的值为(　　)
[A] [B]1
[C]- [D]-1
【答案】 B
【解析】 由=2sin 18°,且m=,可得m=2sin 18°,则=
=====1.故选B.
6.(多选)若sin α>sin β>0,则下列不等式中不一定成立的是(　　)
[A]sin 2α>sin 2β [B]cos 2α[C]cos 2α>cos 2β [D]sin 2α【答案】 AD
【解析】 因为sin α>sin β>0,所以sin2α>sin2β>0,-2sin2α<-2sin2β,则1-2sin2α<1-2sin2β,
又cos 2α=1-2sin2α,cos 2β=1-2sin2β,所以cos 2α当α=,β=时,sin α>sin β>0,sin 2α=1>=sin β,当α=,β=时,sin α>sin β>0,sin 2α=0<=sin β,则A,D可能成立,也可能不成立.故选AD.
7.(5分)已知等腰三角形底角的正弦值为,则顶角的余弦值是　　　　.
【答案】
【解析】 设等腰三角形的底角为α,则顶角为π-2α.
所以cos(π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin2α)=2sin2α-1=2×-1=.
8.(5分)计算:-=　　　　.
【答案】 4
【解析】 -===4.
9.(14分)已知角α是第一象限角,且满足5sin2α+6sin α-8=0.
(1)求sin α,cos α,tan α的值;
(2)求sin 2α,cos(2α-)的值.
【解】 (1)因为角α是第一象限角,所以sin α>0,cos α>0,tan α>0.由5sin2α+6sin α-8=0,
解得sin α=或sin α=-2(舍去),则cos α==,tan α==.
(2)sin 2α=2sin αcos α=2××=,cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,
cos(2α-)=cos 2αcos +sin 2αsin =-×+×=.
10.(15分)(湘教版必修第二册P79例2)已知tan α=,求:
(1)tan 2α;
(2)tan 4α;
(3)tan β,其中β满足4α+β=.
【解】 (1)tan 2α===.
(2)tan 4α=tan 2(2α)===.
(3)因为β=-4α,所以tan β=tan(-4α)===-.
强化练
11.(5分)已知cos(α+)=,α∈(0,),则cos(2α+)=　　　　.
【答案】 -
【解析】 因为cos(α+)=,α∈(0,),
所以α+∈(0,),2α+∈(0,π).
cos(2α+)=2cos2(α+)-1=2×-1=-,所以sin(2α+)==.
所以cos(2α+)=cos(2α++)=cos(2α+)cos -sin(2α+)sin =-×-×=-.
12.(5分)若sin(x-)cos(x-)=-,则cos 4x=　　　　.
【答案】
【解析】 因为sin(x-)=-cos(+x-)=-cos(x-),所以cos2(x-)=,所以=,所以cos(2x-)=-,即sin 2x=-,所以cos 4x=1-2sin22x=.
13.(15分)已知A,B,C为△ABC的三个内角,依据下列条件,判断三角形的形状:
(1)sin C=2cos Asin B;
(2)tan =sin C.
【解】 (1)因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,所以已知方程可化为
sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.又-π(2)在△ABC中,tan =sin C=sin(A+B)=2sin cos ,所以2cos2=1,
所以cos(A+B)=0,所以A+B=,所以△ABC为直角三角形.
拓展练
14.(5分)(1)求值:cos ·cos ·cos =　　　　;
(2)若n∈N*,α≠kπ,k∈Z,化简cos α·cos 2α·cos 4α·…·cos 2n-1α=　　　　.
【答案】 (1)-　(2)
【解析】 (1)法一　原式=cos ·cos ·
cos ==
=
====-.
法二　设S=cos ·cos ·cos ,T=sin ·sin ·sin ,
则ST=sin ·sin ·sin =-sin ·sin sin =-T,
显然T≠0,所以S=-.即cos ·cos ·cos =-.
(2)因为n∈N*,α≠kπ,k∈Z,所以sin α≠0,所以原式=
=
==…
=.

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