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5.7三角函数的应用
课时作业
基础练
1.简谐运动f(x)=2sin(x+φ)(|φ|<)的图象经过点P(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
[A]T=6,φ=　 [B]T=6,φ=
[C]T=6π,φ= [D]T=6π,φ=
2.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器,如图(1)所示,各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=sin ωt,t∈[0,+∞).图(2)是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定ω的值为(　　)
[A]200 [B]400
[C]200π [D]400π
3.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针位置P(x,y).若初始位置为P0(,),则当秒针从P0(此时t=0)开始时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(　　)
[A]y=sin(t+),t∈[0,+∞)
[B]y=sin(-t-),t∈[0,+∞)
[C]y=sin(-t+),t∈[0,+∞)　
[D]y=sin(-t-),t∈[0,+∞)
4.如图,某港口某天从6时到18时的水深y(单位:m)与时间x(单位:时)之间的关系可用函数f(x)=Asin(ωx+φ)+5(A>0,ω>0,|φ|<)近似刻画,据此可估计当天12时的水深为(　　)
[A] m [B]4 m
[C](5-) m [D](5-) m
5.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,
点P所经过的 的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
6.(多选)单摆运动是用一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点,在重力作用下在铅垂平面内做周期运动.已知某单摆运动的振幅为2,单摆离开平衡位置的位移y(单位:cm)和时间t(单位:s)近似满足函数关系f(t)=Asin(ωt-φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0),其部分图象如图所示,则(　　)
[A]该单摆运动的周期为3π
[B]该单摆运动的初相为
[C]当时间t=时,该单摆运动的单摆离开平衡位置的位移的大小为
[D]该单摆运动在时间t∈(0,)上f(t)随着t的增大而增大
7.(5分)右图为一个钟摆的示意图,其中OA是钟摆能向左摆动的最大位置,角θ为钟摆在运动过程中与OA的夹角,已知θ与时间t(单位:s)满足函数关系式θ=sin(ωt+φ),ω>0,|φ|≤,且频率为,从θ最大处开始计时,则该函数的初相为　　　 　.
8.(5分)在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球,它们做上、下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)时离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由下列两式确定:s1=5sin(2t+),s2=5cos(2t-).则当时间t=时,s1　　s2.(用“>”“<”“=”作答)
强化练
9.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式,其瞬时电流i(单位:A)与时间t
(单位:s)满足函数关系式:i=Imsin(ωt+φ0)(其中Im为供电的最大电流,单位:A;ω表示角频率,单位:rad/s;φ0为初始相位),该三相交流电的频率f(单位:Hz)与周期T(单位:s)满足关系式f·T=1.某实验室使用5 Hz的三相交流电,经仪器测得在t=0.05 s与t=0.2 s的瞬时电流之比为,且当t=1 s时的瞬时电流恰好为1 A,若φ0∈(0,),则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为(　　)
[A]2 A [B] A
[C]3 A [D]2.5 A
10.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦,也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔,它的振幅就变化一次.如图所示,某一条“葫芦曲线”的方程为|y|=(2-[])|sin ωx|,
x≥0,其中[x]表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足ω∈(1,3),且经过点M(,).则该条“葫芦曲线”与直线x=交点的纵坐标为(　　)
[A]± [B]±
[C]± [D]±1
11.(14分)主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声,然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声(如图所示),已知某噪声声波曲线f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0≤φ<π),其振幅为2,且经过点(1,-2).
(1)求该噪声声波曲线f(x)的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g(x)的解析式;
(2)证明:g(x)+g(x+1)+g(x+2)为定值.5.7三角函数的应用
课时作业
基础练
1.简谐运动f(x)=2sin(x+φ)(|φ|<)的图象经过点P(0,1),则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)
[A]T=6,φ=　 [B]T=6,φ=
[C]T=6π,φ= [D]T=6π,φ=
【答案】 A
【解析】 由周期公式知T==6,当x=0时,由y=2sin φ=1及|φ|<,得φ=.故选A.
2.音叉是呈“Y”形的钢质或铝合金发声器,如图(1)所示,各种音叉可因其质量和叉臂长短、粗细不同而在振动时发出不同频率的纯音.敲击某个音叉时,在一定时间内,音叉上点P离开平衡位置的位移y与时间t的函数关系为y=sin ωt,t∈[0,+∞).图(2)是该函数在一个周期内的图象,根据图中数据可确定ω的值为(　　)
[A]200 [B]400
[C]200π [D]400π
【答案】 D
【解析】 由题图(2)可得,T=4×=,即=,则ω=400π.故选D.
3.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针位置P(x,y).若初始位置为P0(,),则当秒针从P0(此时t=0)开始时,点P的纵坐标y与时间t的函数解析式为(　　)
[A]y=sin(t+),t∈[0,+∞)
[B]y=sin(-t-),t∈[0,+∞)
[C]y=sin(-t+),t∈[0,+∞)　
[D]y=sin(-t-),t∈[0,+∞)
【答案】 C
【解析】 由题意可得T=60且秒针按顺时针旋转,即T==60,所以|ω|=,即ω=-.结合初始位置P0(,),可知C正确.故选C.
4.如图,某港口某天从6时到18时的水深y(单位:m)与时间x(单位:时)之间的关系可用函数f(x)=Asin(ωx+φ)+5(A>0,ω>0,|φ|<)近似刻画,据此可估计当天12时的水深为(　　)
[A] m [B]4 m
[C](5-) m [D](5-) m
【答案】 A
【解析】 由题图可得=18-6=12,则ω=,当sin(ωx+φ)=-1时,f(x)取得最小值,为-A+5=2,得A=3,因为函数f(x)=3sin(x+φ)+5的图象过点(6,),所以3sin(×6+φ)+5=,即sin φ=-,又|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=3sin(x-)+5.当x=12时,f(x)=3sin(2π-)+5=-+5=.故选A.
5.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,
点P所经过的 的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 设所对圆心角为θ,由|OA|=1,得l=θ,sin =,所以d=2sin =2sin ,
即d=f(l)=2sin (0≤l≤2π),它的图象为C.故选C.
6.(多选)单摆运动是用一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线悬挂一个质点,在重力作用下在铅垂平面内做周期运动.已知某单摆运动的振幅为2,单摆离开平衡位置的位移y(单位:cm)和时间t(单位:s)近似满足函数关系f(t)=Asin(ωt-φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0),其部分图象如图所示,则(　　)
[A]该单摆运动的周期为3π
[B]该单摆运动的初相为
[C]当时间t=时,该单摆运动的单摆离开平衡位置的位移的大小为
[D]该单摆运动在时间t∈(0,)上f(t)随着t的增大而增大
【答案】 ABC
【解析】 由题图知=π-,则T=3π,故A正确;由单摆运动的振幅为2,得A=2,由3π=,解得|ω|=,又ω>0,所以ω=,所以f(t)=2sin(t-φ),易得函数图象过点(,2),则×-φ=2kπ+,k∈Z,解得φ=--2kπ,k∈Z,又-π<φ<0,所以φ=-,即f(t)=2sin(t+),故该单摆运动的初相为,故B正确;f()=2sin(×+)=2sin =,故C正确;因为该单摆运动的运动位移与时间近似满足的函数关系式为f(t)=2sin(t+),当t∈(0,)时,由f(t)的图象知f(t)在(0,)上单调递增,在(,)上单调递减,故D错误.故选ABC.
7.(5分)右图为一个钟摆的示意图,其中OA是钟摆能向左摆动的最大位置,角θ为钟摆在运动过程中与OA的夹角,已知θ与时间t(单位:s)满足函数关系式θ=sin(ωt+φ),ω>0,|φ|≤,且频率为,从θ最大处开始计时,则该函数的初相为　　　 　.
【答案】
【解析】 因为频率f==,即T=π,所以ω=2,故θ=sin(2t+φ),由已知可得当t=0时,
θ=sin(2×0+φ)=,解得φ=,该函数的初相为.
8.(5分)在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球,它们做上、下自由振动.已知它们在时间t(单位:s)时离开平衡位置的位移s1(单位:cm)和s2(单位:cm)分别由下列两式确定:s1=5sin(2t+),s2=5cos(2t-).则当时间t=时,s1　　s2.(用“>”“<”“=”作答)
【答案】 =
【解析】 当t=时,s1=5sin(2×+)=5sin =-5,s2=5cos(2×-)=5cos π=-5,所以s1=s2.
强化练
9.三相交流电是我们生活中比较常见的一种供电方式,其瞬时电流i(单位:A)与时间t
(单位:s)满足函数关系式:i=Imsin(ωt+φ0)(其中Im为供电的最大电流,单位:A;ω表示角频率,单位:rad/s;φ0为初始相位),该三相交流电的频率f(单位:Hz)与周期T(单位:s)满足关系式f·T=1.某实验室使用5 Hz的三相交流电,经仪器测得在t=0.05 s与t=0.2 s的瞬时电流之比为,且当t=1 s时的瞬时电流恰好为1 A,若φ0∈(0,),则该实验室所使用的三相交流电的最大电流为(　　)
[A]2 A [B] A
[C]3 A [D]2.5 A
【答案】 A
【解析】 由题意f=5,所以T=,=,所以ω=10π,从而i=Imsin(10πt+φ0).因为在t=0.05 s与t=0.2 s的瞬时电流之比为,所以Imsin(10π×0.05+φ0)=Imsin(10π×0.2+φ0),
所以sin(+φ0)=sin(2π+φ0),所以cos φ0=sin φ0,即tan φ0=,因为φ0∈(0,),所以φ0=,从而i=Im·sin(10πt+).因为在t=1 s时的瞬时电流恰好为1 A,所以1=Imsin(10π+),
即1=Imsin ,解得Im=2.故选A.
10.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦,也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔,它的振幅就变化一次.如图所示,某一条“葫芦曲线”的方程为|y|=(2-[])|sin ωx|,
x≥0,其中[x]表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足ω∈(1,3),且经过点M(,).则该条“葫芦曲线”与直线x=交点的纵坐标为(　　)
[A]± [B]±
[C]± [D]±1
【答案】 C
【解析】 将点M(,)代入“葫芦曲线”的方程可得(2-[])|sin ω|=,即|sin ω|=1,
由ω∈(1,3)可得ω=2,因此曲线方程为|y|=(2-[])·|sin 2x|,当x=时,
可得|y|=(2-[])|sin 2×|=(2-[])·|sin |=|sin |=,所以交点的纵坐标为±.故选C.
11.(14分)主动降噪耳机工作的原理是先通过微型麦克风采集周围的噪声,然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声(如图所示),已知某噪声声波曲线f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0≤φ<π),其振幅为2,且经过点(1,-2).
(1)求该噪声声波曲线f(x)的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线g(x)的解析式;
(2)证明:g(x)+g(x+1)+g(x+2)为定值.
(1)【解】 由振幅为2,A>0,可得A=2,f(x)=2sin(x+φ),由噪声声波曲线经过点(1,-2),
得-2=2sin(+φ) sin(+φ)=-1,而0≤φ<π,+φ∈[,),则+φ= φ=,
则f(x)=2sin(x+),又降噪声波曲线与噪声声波曲线的振幅相同、相位相反,
所以g(x)=2sin(-x-),即g(x)=-2sin(x+).
(2)【证明】 由(1)可得g(x)=-2sin(x+)=-2sin(x++)=-2cos(x+),
则g(x)+g(x+1)+g(x+2)=-2cos(x+)-2cos(x+π)-2cos(x++π)=-2cos(x+)+
2cos x+2cos(x+)=-2(cos x·-sin x·)+2cos x+2[cos x·(-)-sin x·]=
-cos x+sin x+2cos x-cos x-sin x=0,即g(x)+g(x+1)+g(x+2)为定值0.

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