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北师大版八年级上册数学第二章实数单元练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．9的平方根是（　　）
A．3 B． C． D．
2．在、、、中，最大的数是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法错误的是（ ）
A．的立方根是 B．是的算术平方根
C．的平方根是 D．的平方根是
4．下列各数是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
5．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．定义新运算：加法运算法则： ， 其中，， ， 为实数．若， 则下列结论正确的是（　　）
A．， B．， C．， D．，
7．下列各数中，整数部分为3的数是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各式中，与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
9．已知一个正数的平方根是和，则这个数是（ ）
A． 1 B． C．16 D．64
10．数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
11．计算 ．
12．比较大小： （填“”、“”或“”）．
13．计算： ．
14．已知实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示：试化简：
15．为了比较与的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中，．通过计算可得 ．（填“”或“”或“”）
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)解方程：．
17．若，求的值
18．已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根．
(1)填空： ， ， ；
(2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值．
19．设的整数部分为，小数部分为，求的值．
20．某正数的两个不相等的平方根分别是和．
(1)求的值．
(2)求的立方根．
21．阅读材料：把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…，如此重复下去，若最终结果为，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：，所以是快乐数．根据上述材料，解决以下问题：
(1)试说明：是“快乐数”；
(2)若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是，求出这个“快乐数”．
22．观察下表：
0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 0.1 1 10 100
(1)由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：__________________；
(2)根据你发现的规律填空：已知．
则___________，___________；
若，则___________；
(3)拓展提升：
①已知，则___________；
②已知，则___________．
试卷第1页，共3页
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《北师大版八年级上册数学第二章实数单元练习》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D B D A A C D C
1．B
【分析】本题考查求一个数的平方根．一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么x就叫作a的平方根．据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴9的平方根是．
故选：B
2．A
【分析】本题考查了实数的大小比较，能熟记实数的大小比较法则是解题的关键．先将，转换为小数，再根据实数的大小比较法则比较数的大小即可解答．
【详解】解：，，
，
最大的数是．
故选：A ．
3．D
【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义解答即可．
本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A. 的立方根是，正确，不符合题意；
B. 是的算术平方根，正确，不符合题意；
C. 的平方根是，正确，不符合题意；
D. ，4的平方根是，即的平方根是，故选项错误，符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数；根据定义逐项判断即可，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
【详解】解：A、是有限小数，是有理数，故该选项不符合题意；
B、是无理数，故该选项符合题意；
C、是分数，是有理数，故该选项不符合题意；
D、是分数，是有理数，故该选项不符合题意；
故选：B．
5．D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
∴．
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，理解题中所定义的新运算，并能建立关于和的方程是解题的关键．根据题中所给定义，建立关于和的方程，解方程即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
，．
故选：A ．
7．A
【分析】本题考查了估算无理数大小，正确记忆π的近似值是解题关键．
直接利用，进而求出即可．
【详解】解：∵，
∴π的整数部分为3．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，解题的关键是将二次根式化为最简二次根式后，判断被开方数是否相同．
先将各选项中的二次根式化为最简二次根式，再根据“被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式”，判断哪个选项与是同类二次根式．
【详解】根据同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则这些二次根式是同类二次根式．
A、已是最简二次根式，被开方数为3，与的被开方数2不同，不是同类二次根式；
B、已是最简二次根式，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式；
C、，化简后被开方数为2，与的被开方数相同，是同类二次根式；
D、已是最简二次根式，被开方数为14，与的被开方数2不同，不是同类二次根式．
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义．
根据正数的平方根有两个并且互为相反数，列出方程，求出方程的解得到x的值，即可得到这个数．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
∴，，
∴这个数为．
故选：D．
10．C
【分析】本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．首先根据数轴上1，的对应点分别是点A和点B，可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答．
【详解】解：∵数轴上1，的对应点分别是点A和点B，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴点C表示的数为：．
故选：C．
11．2
【分析】本题考查了算术平方根的定义，理解定义是正确开方的关键．
如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，通常用符号表示算术平方根，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：2．
12．
【分析】本题考查的是实数的大小比较．由得，再利用不等式的基本性质可得，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】题目主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．根据，结合二次根式的性质化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了实数与数轴、算术平方根，根据数轴得到a、b的正负号是解题的关键．
由数轴得，，再利用算术平方根的性质化简式子即可．
【详解】解：由数轴得，，，
∴，
∴
；
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，勾股定理，三角形三边的关系，利用勾股定理可求出，由线段的和差关系可得，根据即可得到答案．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
在中，由三角形三边的关系可得，，
∴，
故答案为：．
16．(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，求平方根的方法解方程，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（2）先化简二次根式，再去绝对值和计算乘方，最后根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（3）先计算二次根式乘除法，再计算二次根式减法即可得到答案；
（4）先把方程两边同时除以4，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴或．
17．0
【分析】本题主要考查偶数次方、绝对值和算术平方根的非负性，掌握非负数相加等于0，那么每个数都等于0是解题的关键．
根据非负数的性质可得，，的值，进而即可求解．
【详解】∵，且，，
∴，，，
∴，，，
∴，，，
∴，
故答案为：的值为0．
18．(1)5；2；
(2)
【分析】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，无理数的估算，求一个数的算术平方根，熟知立方根和平方根的定义是解题的关键．
（1）对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求出a、b的值，再根据算术平方根的定义求出m的值即可；
（2）根据无理数的估算方法估算出m的取值范围，进而确定x、y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3，
∴，，
∴，
∵m是的算术平方根，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴m的整数部分为2，小数部分为，即，
∴．
19．6
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．由的整数部分为a，小数部分为b，求出a，b的值后代入即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴的整数部分为：，小数部分为：，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键：
（1）根据正数的两个平方根互为相反数，进行求解即可；
（2）先求出，再代入求出的值，然后根据立方根的定义，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵正数的两个不相等的平方根分别是和
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴其立方根为．
21．(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，有理数的乘方运算，明确“快乐数”的含义是解决本题的关键。
（1）按照“快乐数”的定义，进行计算即可求解；
（2）根据“快乐数”的定义可得当一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为时，这个三位数经过第一次运算结果可以是或，分别结合“快乐数”的定义，求出这个数，再根据这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被除余数是，确定这个“快乐数”即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
则是“快乐数”．
（2）解：因为，，
故当一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为时，这个三位数经过第一次运算结果可以是或；
当经过第一次运算结果是时，，
此时这个“快乐数”可以是，，，，
其与它的各位上的数字相加所得的和为，；
其与它的各位上的数字相加所得的和为，；
其与它的各位上的数字相加所得的和为，；
其与它的各位上的数字相加所得的和为，；
符合题意的“快乐数”是；
当经过第一次运算结果为时，，
此时这个“快乐数”可以是，，，，
其与它的各位上的数字相加所得的和为，；
其与它的各位上的数字相加所得的和为，；
其与它的各位上的数字相加所得的和为，；
其与它的各位上的数字相加所得的和为，；
符合题意的“快乐数”是；
综上，这个“快乐数”为或．
22．(1)被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位
(2)，，
(3)①；②
【分析】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键．
（1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题；
（2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案；
（3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解．
【详解】（1）解： 由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位．或者：被开方数扩大或缩小百倍，它的算术平方根就扩大或缩小十倍．
故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位；
（2）解：∵．
∴，；
若，则，
故答案为：，，；
（3）解：①∵知，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
故答案为：．
答案第1页，共2页
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