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咸阳市高新一中2024级阶段性质量检测（一）数学试题
考试时长：120分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．过两点的直线倾斜角为 （ ）
A． B． C． D．
2.下列关于空间向量的说法中正确的是 （ ）
A．单位向量都相等
B．若，，则
C．若向量，满足，则
D．若，，则
3.设向量不共面，已知，若三点共线，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4.若直线与平行，则实数值为 （ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D.2或3
5.如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则 （ ）
B．
C.
D．
6.已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标（ ）
A 或 B. 或（3，0） C. D.（7,0）
7.已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为 （ ）
A． B． C． D．
8.如图，在正方体中，是棱上的动点．
下列结论不正确的是 （ ）
A．平面
B．
C．二面角的大小为
D．直线与平面所成角的大小不变
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知空间向量，，下列说法正确的是 （ ）
A 若，则 B．若在上的投影向量为，则
C．若，则 D．若与夹角为锐角，则
10.下列说法不正确的有 （ ）
A．直线的倾斜角越大，斜率越大
B．若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是
C．直线的倾斜角的取值范围是
D．直线在轴上的截距是3
11.如图，在底面为平行四边形的直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则 （ ）
A．
B．与平面所成角的余弦值为
C．三棱柱的外接球的表面积为
D．点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，若，则的值为 .
13.已知点、，则线段的垂直平分线方程为 ．
14.如图所示，在直四棱柱 中，，
点在棱上，且，则点到平面的距离为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15.已知，，．
(1)求；
(2)若，求实数，的值．
16.求满足下列条件的直线的方程：
(1) 经过点C(2，-3)，且平行于过M(1，2)和N(-1，-5)两点的直线；
(2) 经过点B(3，0)，且与直线2x+y 5=0垂直.
17.已知直线经过点，且与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点为坐标原点.
（1）若直线在两坐标上的截距相等，求直线的方程；
（2）求面积的最小值及此时直线的方程.
18.如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证：
(1)∥平面；
(2)平面平面．
19.如图，在多面体中，平面平面，四边形为平行四边形，为的中点.
(1)求证：DF；(2)求点到平面的距离；
(3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹
角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.【答案】A 解析:，故．
2.【答案】D
解析：对于A，单位向量是模为1的向量，但方向是任意的；
把空间中所有的单位向量移到同一起点，则终点构成一个球面，故A错误；
对于B，因为零向量的方向无法确定，规定：零向量与任意向量平行，
所以当时，与不一定平行，故B错误；
对于C，向量不能比较大小，但向量的模是实数，可以比较大小，故C错误；
对于D，相等向量的方向相同、长度相等，因此向量相等具有传递性，故D正确．故选：D.
3.【答案】C
解析：因为三点共线，所以，则存在实数，使得，
由已知得
故
由于不共面，故解得
另解:因为向量不共面，所以，
由已知得
故向量表达式中的系数对应成比例，即，解得．故选：C.
4.【答案】B
5.【答案】A
解析：因为，所以；因为点为的中点，所以，
易知，，
所以
，又，，，
所以 ．故选：A
6.【答案】A
7.【答案】D
解析：由已知：平行六面体所有棱长均为，
，则，
又因为：，
同理可得：，
则
，则.故选：.
8.【答案】D
解析：对于选项A：因为平面平面，平面，
所以平面，故选项A正确；
如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，
，，，
对于选项B：，，
因为，
所以，即，
故选项B正确；
因为，在棱上，所以二面角即二面角，
因为，，平面，平面，
所以即为二面角的平面角，
在正方形中，，所以二面角的大小为，故选项C正确，
直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，
所以直线与平面所成角的的正弦值为，
随的值的变换其正弦值也变化，故直线与平面所成角也变化，D错误. 故选：D.
9.【答案】ACD
解析：对于A：，，又，，
即：，解得：，故A选项正确；
对于B：在上的投影向量为：，即，
代入坐标化简可得：，故，无解，故B选项错误；
对于C：，
，解得：，故C选项正确；
对于D：与夹角为锐角，，解得：，
且与不共线，即，解得：，
所以与夹角为锐角，解得：，故D选项正确；故选：ACD.
10.【答案】ABD
解析：对于A，当倾斜角为时，斜率为，当倾斜角为时，斜率为，故A错误；
对于B，直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误；
对于C，直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故C正确；
对于D，直线，即，故直线直线在轴上的截距是，故D错误.
故选：ABD.
11.【答案】AC解析：对于A，连接，因为，
所以为等边三角形，则，而，
所以，故A正确；
以为原点，在平面内过点D作的垂线为x轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
对于B，平面的一个法向量为，
，设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的余弦值为，故B错误；
对于C，由题意知为等边三角形，
的外接圆半径，三棱柱的外接球半径 ，
所以三棱柱的外接球的表面积为，故C正确；
对于D，，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，则，
点到平面的距离，故D错误．故选：AC．
【答案】-3
13.【答案】
14.【答案】
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
.
设平面的法向量为，则
令，则.
点到平面的距离. 故答案为：.
解析：（1）因为，，则，，
，所以.
（2）由题意可得：，
因为，且，
设，即，则，解得.
17.解析（1）由题意可知直线不经过原点，
又直线在两坐标上的截距相等，设直线的方程为，
代入点，得，解得，故直线的方程为，即.
（2）依题意，设直线的方程为，则，且，
所以，解得，当且仅当，即时，等号成立，
所以的面积，即的面积的最小值为，
此时直线的方程为，即.
18.解析（1）依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，．
由E为棱的中点，得．
因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以向量为平面的一个法向量，而，
所以，又平面，所以平面．
（2）设平面的一个法向量为，
则，即
不妨令，可得为平面的一个法向量．
设平面的法向量，又向量，，
则，即，
不妨令，可得为平面的一个法向量．
因为，所以．
所以平面平面．
19.解析：（1）证明：在中，因为，
所以，
所以，所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以.
（2）由（1）可得，又，所以两两垂直，
以所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量，
因为，
所以即
令，则，所以，
所以点到平面的距离.
（3）假设存在，设，则，
所以，
设平面的一个法向量因为，
所以即，
令，则，
所以，
设平面与平面的夹角为，
则
解得或（舍），
所以存在点，使得满足要求，此时，即.

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