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3.3　对数函数y＝logax的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.进一步理解对数函数的图象和性质 直观想象
2.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题 数学运算
第一课时　对数函数的图象和性质
　　观察图形：
【问题】　（1）观察图①所示的函数y＝log2x，y＝log0.5x，y＝log10x，y＝log0.1x的图象，你能得出什么结论？
（2）函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx的图象如图②所示，那么a，b，c的大小关系如何？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象和性质
a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：　　
值域：　
过定点　　　，即当x＝1时，y＝0
当x＞1时，y　0； 当0＜x＜1时，y　0 当x＞1时，y　0； 当0＜x＜1时，y　0
在定义域（0，＋∞）上是　　函数； 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于正无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于负无穷大 在定义域（0，＋∞）上是　　函数； 当x值趋近于正无穷大时，函数值趋近于负无穷大； 当x值趋近于0时，函数值趋近于正无穷大
提醒　对数函数图象的再理解：①对数函数的图象永远在y轴的右侧，对数函数的图象都经过点，（1，0），（a，1），且图象都在第一、四象限内；②（ⅰ）若0＜a＜1且0＜x＜1，或a＞1且x＞1，则有y＞0；（ⅱ）若0＜a＜1且x＞1，或a＞1且0＜x＜1，则有y＜0.简记为：同区间为正，异区间为负.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0）.（　　）
（2）函数y＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，＋∞）上是单调函数.（　　）
（3）由函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度可得y＝log2x＋1的图象.（　　）
（4）y＝4x与y＝log4x的图象关于直线y＝x对称.（　　）
2.已知a＝log23，b＝log2e，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是（　　）
A.a＞b＞c　　　　　　 B.b＞a＞c
C.c＞b＞a　　 D.c＞a＞b
3.函数f（x）＝log2（x－1）的定义域是　　　　.
题型一 对数型函数的定义域
【例1】　求下列函数的定义域：
（1）y＝；（2）y＝；
（3）y＝log2（16－4x）；（4）y＝log（x－1）（3－x）.
尝试解答
通性通法
求对数型函数定义域的原则
（1）分母不能为0；
（2）根指数为偶数时，被开方数非负；
（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
【跟踪训练】
　求下列函数的定义域：
（1）y＝；
（2）y＝＋ln（x＋1）.
题型二 对数型函数的图象
【例2】　（1）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为（　　）
（2）已知f（x）＝loga｜x｜，满足f（－5）＝1，试画出函数f（x）的图象.
尝试解答
通性通法
有关对数型函数图象问题的应用技巧
（1）求函数y＝m＋logaf（x）（a＞0，且a≠1）的图象过定点时，只需令f（x）＝1求出x，即得定点为（x，m）；
（2）给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法；
（3）根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝loga（x－1）＋1（a＞0，且a≠1）的图象恒过点（　　）
A.（1，1）　　　　　　　 B.（1，2）
C.（2，1）　　 D.（2，2）
2.对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的大致图象如图所示，已知a的取值为，，，，则曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是　　　　.
3.作出函数y＝｜log2（x＋1）｜的图象.
题型三 比较对数值的大小
【例3】　比较下列各题中两个值的大小：
（1）log31.9，log32；
（2）log23，log0.32；
（3）logaπ，loga3.14（a＞0，且a≠1）.
尝试解答
通性通法
比较对数值大小常用的4种方法
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；
（2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论；
（3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图象，再进行比较；
（4）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
【跟踪训练】
比较下列各组对数值的大小：
（1）lo与lo；
（2）3log45，2log23；
（3）lo0.3与lo3.
题型四 求解对数不等式
【例4】　解不等式：
（1）log2（2x＋3）≥log2（5x－6）；
（2）loga（x－4）－loga（2x－1）＞0（a＞0，且a≠1）.
尝试解答
通性通法
常见对数不等式的2种解法
（1）形如logax＞logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
（2）形如logax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解.
【跟踪训练】
1.求满足不等式log3x＜1的x的取值集合.
2.已知log0.7（2x）＜log0.7（x－1），求x的取值范围.
1.三个数a＝，b＝，c＝log3的大小顺序为（　　）
A.b＜c＜a　　B.b＜a＜c
C.c＜a＜b　　D.c＜b＜a
2.（多选）已知a＞0，且a≠1，函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a在同一坐标系中的图象不可能是（　　）
3.函数f（x）＝＋ln x的定义域是　　　　.
4.函数f（x）＝logax在[2，4]上的最大值与最小值的和为6，则a的值为　　　　.
第一课时　对数函数的图象和性质
【基础知识·重落实】
知识点
　（0，＋∞）　R　（1，0）　＞　＜　＜　＞　增　减
自我诊断
1.（1）√　（2）√　（3）×　（4）√
2.A　a＝log23＞b＝log2e＞log22＝1，c＝ln 2＜ln e＝1，∴a，b，c的大小关系为a＞b＞c.
3.（1，＋∞）
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）要使函数式有意义，需解得x＞1，且x≠2.
故函数y＝的定义域是{x｜x＞1，且x≠2}.
（2）要使函数式有意义，需
即解得x≥4.
故函数y＝的定义域是{x｜x≥4}.
（3）要使函数式有意义，需16－4x＞0，解得x＜2.
故函数y＝log2（16－4x）的定义域是{x｜x＜2}.
（4）要使函数式有意义，需解得1＜x＜3，且x≠2.
故函数y＝log（x－1）（3－x）的定义域是{x｜1＜x＜3，且x≠2}.
跟踪训练
　解：（1）要使函数有意义，需
即即－3＜x＜－2或x≥2，
故所求函数的定义域为（－3，－2）∪[2，＋∞）.
（2）要使函数有意义，需即
∴－1＜x＜2.
故所求函数的定义域为（－1，2）.
【例2】　（1）C　y＝a－x＝，∵a＞1，∴0＜＜1，则y＝a－x在（－∞，＋∞）上是减函数，过定点（0，1）；对数函数y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，过定点（1，0）.故选C.
（2）解：因为f（－5）＝1，所以loga5＝1，即a＝5，故f（x）＝log5｜x｜＝
所以函数y＝log5｜x｜的图象如图所示.
跟踪训练
1.C　令x－1＝1，即x＝2，得f（2）＝loga1＋1＝1，因此f（x）的图象恒过点（2，1）.故选C.
2.，，，　解析：当a＞1时，对数函数y＝logax的图象是上升的；当0＜a＜1时，对数函数y＝logax的图象是下降的.对数的底数越大，对数函数的图象在x轴上方的部分越远离y轴的正方向.故曲线C1，C2，C3，C4对应的a的值依次是，，，.
3.解：第一步：作y＝log2x的图象，如图①所示.
第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2（x＋1）的图象，如图②所示.
第三步：将y＝log2（x＋1）在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y＝｜log2（x＋1）｜的图象，如图③所示.
【例3】　解：（1）因为y＝log3x在（0，＋∞）上是增函数，且1.9＜2，所以log31.9＜log32.
（2）因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞log0.32.
（3）π＞3.14，当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是增函数，有logaπ＞loga3.14；
当0＜a＜1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是减函数，
有logaπ＜loga3.14.
综上可得，当a＞1时，logaπ＞loga3.14；当0＜a＜1时，logaπ＜loga3.14.
跟踪训练
　解：（1）因为y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，且＜，所以lo＞lo.
（2）因为3log45＝log4125，2log23＝log29＝log481，且函数y＝log4x在（0，＋∞）上是增函数，又125＞81，
所以3log45＞2log23.
（3）由对数的性质知lo0.3＞0＞lo3，所以lo0.3＞lo3.
【例4】　解：（1）原不等式等价于
解得＜x≤3.
所以不等式的解集为.
（2）原不等式化为loga（x－4）＞loga（2x－1）.
当a＞1时，不等式等价于 无解.
当0＜a＜1时，不等式等价于解得x＞4.
综上可知，当a＞1时，解集为 ；当0＜a＜1时，解集为{x｜x＞4}.
跟踪训练
1.解：∵log3x＜1＝log33，
∴x满足的条件为
即0＜x＜3.
∴x的取值集合为{x｜0＜x＜3}.
2.解：∵函数y＝log0.7x在（0，＋∞）上为减函数，
∴由log0.7（2x）＜log0.7（x－1），得
解得x＞1.
∴x的取值范围是（1，＋∞）.
随堂检测
1.D　a＝＞1，0＜b＝＜1，c＝log3＜0，所以a＞b＞c.
2.ABD　对于A，由指数函数和对数函数知a＞1，而由一次函数知0＜a＜1，不符合；对于B，∵函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，∴排除B；对于C，都符合；对于D，由指数函数和对数函数知0＜a＜1，而由一次函数知a＞1，不符合.
3.（0，＋∞）　解析：函数f（x）＝＋ln x的自变量满足∴x＞0，即定义域为（0，＋∞）.
4.　解析：依题意得
所以3loga2＝6，即loga2＝2，所以a2＝2，所以a＝（－舍去）.
4 / 4(共65张PPT)
3.3　对数函数y＝logax的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
1.进一步理解对数函数的图象和性质 直观想象
2.能运用对数函数的图象和性质解决相关问题 数学运算
第一课时　对数函数的图象和性质
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　观察图形：
【问题】　（1）观察图①所示的函数 y ＝log2 x ， y ＝log0.5 x ， y ＝
log10 x ， y ＝log0.1 x 的图象，你能得出什么结论？
（2）函数 y ＝log ax ， y ＝log bx ， y ＝log cx 的图象如图②所示，那么
a ， b ， c 的大小关系如何？




知识点　对数函数 y ＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1）的图象和性质
a ＞1 0＜ a ＜1
图
象
a ＞1 0＜ a ＜1
性
质 定义域： 值域： 过定点 ，即当 x ＝1时， y ＝0 当 x ＞1时， y 0； 当0＜ x ＜1时， y 0 当 x ＞1时， y 0；
当0＜ x ＜1时， y 0
在定义域（0，＋∞）上是
函数； 当 x 值趋近于正无穷大时，函数
值趋近于正无穷大； 当 x 值趋近于0时，函数值趋近于
负无穷大 在定义域（0，＋∞）上
是 函数；
当 x 值趋近于正无穷大时，函
数值趋近于负无穷大；
当 x 值趋近于0时，函数值趋
近于正无穷大
（0，＋∞）　
R　
（1，0）　
＞　
＜　
＜　
＞　
增　
减　
提醒　对数函数图象的再理解：①对数函数的图象永远在 y 轴的右
侧，对数函数的图象都经过点 ，（1，0），（ a ，1），且图
象都在第一、四象限内；②（ⅰ）若0＜ a ＜1且0＜ x ＜1，或 a ＞1且 x
＞1，则有 y ＞0；（ⅱ）若0＜ a ＜1且 x ＞1，或 a ＞1且0＜ x ＜1，则有
y ＜0.简记为：同区间为正，异区间为负.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数 y ＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1）的图象过定点（1，0）.
（　√　）
（2）函数 y ＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1）在（0，＋∞）上是单调函
数. （　√　）
（3）由函数 y ＝log2 x 的图象向左平移1个单位长度可得 y ＝log2 x ＋
1的图象. （　×　）
（4） y ＝4 x 与 y ＝log4 x 的图象关于直线 y ＝ x 对称. （　√　）
√
√
×
√
2. 已知 a ＝log23， b ＝log2e， c ＝ln 2，则 a ， b ， c 的大小关系是
（　　）
A. a ＞ b ＞ c B. b ＞ a ＞ c
C. c ＞ b ＞ a D. c ＞ a ＞ b
解析：　 a ＝log23＞ b ＝log2e＞log22＝1， c ＝ln 2＜ln e＝1，
∴ a ， b ， c 的大小关系为 a ＞ b ＞ c .
3. 函数 f （ x ）＝log2（ x －1）的定义域是 .
（1，＋∞）　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 对数型函数的定义域
【例1】　求下列函数的定义域：
（1） y ＝ ；
解：要使函数式有意义，需解得 x ＞1，且
x ≠2.
故函数 y ＝ 的定义域是{ x ｜ x ＞1，且 x ≠2}.
（2） y ＝ ；
解：要使函数式有意义，需
即解得 x ≥4.
故函数 y ＝ 的定义域是{ x ｜ x ≥4}.
（3） y ＝log2（16－4 x ）；
解：要使函数式有意义，需16－4 x ＞0，解得 x ＜2.
故函数 y ＝log2（16－4 x ）的定义域是{ x ｜ x ＜2}.
（4） y ＝log（ x－1）（3－ x ）.
解：要使函数式有意义，需解得1＜ x ＜3，且 x
≠2.
故函数 y ＝log（ x－1）（3－ x ）的定义域是{ x ｜1＜ x ＜3，且 x
≠2}.
通性通法
求对数型函数定义域的原则
（1）分母不能为0；
（2）根指数为偶数时，被开方数非负；
（3）对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
【跟踪训练】
　求下列函数的定义域：
（1） y ＝ ；
解：要使函数有意义，需
即即－3＜ x ＜－2或 x ≥2，
故所求函数的定义域为（－3，－2）∪[2，＋∞）.
（2） y ＝ ＋ln（ x ＋1）.
解：要使函数有意义，需即
∴－1＜ x ＜2.
故所求函数的定义域为（－1，2）.
题型二 对数型函数的图象
【例2】　（1）当 a ＞1时，在同一坐标系中，函数 y ＝ a－ x 与 y ＝log
ax 的图象为（　　）
解析：　 y ＝ a－ x ＝ ，∵ a ＞1，∴0＜ ＜1，则 y ＝ a－ x 在（－
∞，＋∞）上是减函数，过定点（0，1）；对数函数 y ＝log ax 在
（0，＋∞）上是增函数，过定点（1，0）.故选C.
（2）已知 f （ x ）＝log a ｜ x ｜，满足 f （－5）＝1，试画出函数 f
（ x ）的图象.
解：因为 f （－5）＝1，所以log a 5＝1，即 a ＝5，故 f （ x ）＝
log5｜ x ｜＝
所以函数 y ＝log5｜ x ｜的图象如图所示.
通性通法
有关对数型函数图象问题的应用技巧
（1）求函数 y ＝ m ＋log af （ x ）（ a ＞0，且 a ≠1）的图象过定点
时，只需令 f （ x ）＝1求出 x ，即得定点为（ x ， m ）；
（2）给出函数解析式判断函数的图象，应首先考虑函数对应的基本
初等函数是哪一种；其次找出函数图象的特殊点，判断函数的
基本性质、定义域、单调性以及奇偶性等；最后综合上述几个
方面将图象选出，解决此类题目常采用排除法；
（3）根据对数函数图象判断底数大小的方法：作直线 y ＝1与所给图
象相交，交点的横坐标即为各个底数，根据在第一象限内，自
左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的
大小.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝log a （ x －1）＋1（ a ＞0，且 a ≠1）的图象恒过点
（　　）
A. （1，1） B. （1，2）
C. （2，1） D. （2，2）
解析：　令 x －1＝1，即 x ＝2，得 f （2）＝log a 1＋1＝1，因此 f
（ x ）的图象恒过点（2，1）.故选C.
2. 对数函数 y ＝log ax （ a ＞0，且 a ≠1）的大致图象如图所示，已知 a
的取值为 ， ， ， ，则曲线 C1， C2， C3， C4对应的 a 的值
依次是 .
， ， ， 　
解析：当 a ＞1时，对数函数 y ＝log ax 的图象是上升的；当0＜ a ＜1
时，对数函数 y ＝log ax 的图象是下降的.对数的底数越大，对数函
数的图象在 x 轴上方的部分越远离 y 轴的正方向.故曲线 C1， C2，
C3， C4对应的 a 的值依次是 ， ， ， .
3. 作出函数 y ＝｜log2（ x ＋1）｜的图象.
解：第一步：作 y ＝log2 x 的图象，如图①所示.
第二步：将 y ＝log2 x 的图象沿 x 轴向左平移1个单位长度，得 y ＝
log2（ x ＋1）的图象，如图②所示.
第三步：将 y ＝log2（ x ＋1）在 x 轴下方的图象作关于 x 轴的对称变
换，得 y ＝｜log2（ x ＋1）｜的图象，如图③所示.
题型三 比较对数值的大小
【例3】　比较下列各题中两个值的大小：
（1）log31.9，log32；
解：因为 y ＝log3 x 在（0，＋∞）上是增函数，且1.9＜2，所以
log31.9＜log32.
（2）log23，log0.32；
解：因为log23＞log21＝0，log0.32＜log0.31＝0，所以log23＞
log0.32.
（3）log a π，log a 3.14（ a ＞0，且 a ≠1）.
解：π＞3.14，当 a ＞1时，函数 y ＝log ax 在（0，＋∞）上是增
函数，有log a π＞log a 3.14；
当0＜ a ＜1时，函数 y ＝log ax 在（0，＋∞）上是减函数，
有log a π＜log a 3.14.
综上可得，当 a ＞1时，log a π＞log a 3.14；当0＜ a ＜1时，log a π
＜log a 3.14.
通性通法
比较对数值大小常用的4种方法
（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行比较；
（2）若底数为同一字母，则根据底数对对数函数单调性的影响，对
底数进行分类讨论；
（3）若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再
进行比较，也可以利用顺时针方向底数增大画出对数函数的图
象，再进行比较；
（4）若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较.
【跟踪训练】
比较下列各组对数值的大小：
（1）lo 与lo ；
解：因为 y ＝lo x 在（0，＋∞）上是减函数，且 ＜ ，所以
lo ＞lo .
（2）3log45，2log23；
解：因为3log45＝log4125，2log23＝log29＝log481，且函数 y ＝
log4 x 在（0，＋∞）上是增函数，又125＞81，
所以3log45＞2log23.
（3）lo 0.3与lo 3.
解：由对数的性质知lo 0.3＞0＞lo 3，所以lo 0.3＞
lo 3.
题型四 求解对数不等式
【例4】　解不等式：
（1）log2（2 x ＋3）≥log2（5 x －6）；
解：原不等式等价于
解得 ＜ x ≤3.
所以不等式的解集为 .
（2）log a （ x －4）－log a （2 x －1）＞0（ a ＞0，且 a ≠1）.
解：原不等式化为log a （ x －4）＞log a （2 x －1）.
当 a ＞1时，不等式等价于 无解.
当0＜ a ＜1时，不等式等价于解得 x ＞4.
综上可知，当 a ＞1时，解集为 ；当0＜ a ＜1时，解集为{ x ｜ x
＞4}.
通性通法
常见对数不等式的2种解法
（1）形如log ax ＞log ab 的不等式，借助 y ＝log ax 的单调性求解，如果
a 的取值不确定，需分 a ＞1与0＜ a ＜1两种情况讨论；
（2）形如log ax ＞ b 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形
式，再借助 y ＝log ax 的单调性求解.
【跟踪训练】
1. 求满足不等式log3 x ＜1的 x 的取值集合.
解：∵log3 x ＜1＝log33，
∴ x 满足的条件为
即0＜ x ＜3.
∴ x 的取值集合为{ x ｜0＜ x ＜3}.
2. 已知log0.7（2 x ）＜log0.7（ x －1），求 x 的取值范围.
解：∵函数 y ＝log0.7 x 在（0，＋∞）上为减函数，
∴由log0.7（2 x ）＜log0.7（ x －1），得
解得 x ＞1.
∴ x 的取值范围是（1，＋∞）.
1. 三个数 a ＝ ， b ＝ ， c ＝log3 的大小顺序为（　　）
A. b ＜ c ＜ a B. b ＜ a ＜ c
C. c ＜ a ＜ b D. c ＜ b ＜ a
解析： a ＝ ＞1，0＜ b ＝ ＜1， c ＝log3 ＜0，所以 a ＞ b ＞ c .
2. （多选）已知 a ＞0，且 a ≠1，函数 y ＝log ax ， y ＝ ax ， y ＝ x ＋ a
在同一坐标系中的图象不可能是（　　）
解析：　对于A，由指数函数和对数函数知 a ＞1，而由一次
函数知0＜ a ＜1，不符合；对于B，∵函数 y ＝ ax 与 y ＝log ax 的图
象关于直线 y ＝ x 对称，∴排除B；对于C，都符合；对于D，由指
数函数和对数函数知0＜ a ＜1，而由一次函数知 a ＞1，不符合.
3. 函数 f （ x ）＝ ＋ln x 的定义域是 .
解析：函数 f （ x ）＝ ＋ln x 的自变量满足∴ x ＞
0，即定义域为（0，＋∞）.

解析：依题意得
所以3log a 2＝6，即log a 2＝2，所以 a2＝2，所以 a ＝ （－ 舍
去）.
（0，＋∞）　
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数 f （ x ）＝lg（ x －1）＋ 的定义域为 （　　）
A. （1，4] B. （1，4）
C. [1，4] D. [1，4）
解析：　由题意得所以1＜ x ≤4.
1
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2. 函数 y ＝log a （ x －2）（ a ＞0且 a ≠1）的图象恒过的定点是
（　　）
A. （1，0） B. （2，0）
C. （3，0） D. （4，0）
解析：　令 x －2＝1，得 x ＝3.当 x ＝3时， y ＝0，故函数的图象
恒过定点（3，0）.
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3. 若log a ＜1，则实数 a 的取值范围是（　　）
解析：　当 a ＞1时，满足条件；当0＜ a ＜1时，由
得0＜ a ＜ ，综上， a ∈ ∪（1，＋∞）.
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4. 函数 f （ x ）＝ 的定义域为（0，10]，则实数 a 的值为
（　　）
A. 0 B. 10 C. 1
解析：　由已知，得 a －lg x ≥0的解集为（0，10]，由 a －lg x
≥0，得lg x ≤ a ，又当0＜ x ≤10时，lg x ≤1，所以 a ＝1，故选C.
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5. （多选）函数 f （ x ）＝log a （ x ＋2）（0＜ a ＜1）的图象过（　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
解析：　因为0＜ a ＜1，所以函数 y ＝log ax 是减函数，在 y 轴
右侧，过定点（1，0）.函数 f （ x ）＝log a （ x ＋2）的图象是把 y
＝log ax 的图象向左平移2个单位，所以图象过第二、三、四象限.
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6. （多选）已知log3 a ＞log3 b ，则下列不等式一定成立的是（　　）
B. log3（ a － b ）＞0
C. 3 a－ b ＜1
解析：　因为log3 a ＞log3 b ，所以 a ＞ b ＞0，所以0＜ ＜ ，
故选项A正确；当 a ＝ ， b ＝1时，log3（ a － b ）＝log3 ＝－1＜
0，故选项B错误；3 a－ b ＞30＝1，故选项C错误；由指数函数和幂
函数的单调性得 ＜ ＜ ，故选项D正确.故选A、D.
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7. 不等式lo （5＋ x ）＜lo （1－ x ）的解集为 .
解析：因为函数 y ＝lo x 在（0，＋∞）上是减函数，
所以解得－2＜ x ＜1.
（－2，1）　
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8. 函数 f （ x ）＝lg（2 x － b ），若 x ≥1时， f （ x ）≥0恒成立，则 b
应满足的条件是 .
解析：由题意得：当 x ≥1时，2 x － b ≥1恒成立，又当 x ≥1时，2 x
≥2，∴ b ≤1.
b ≤1　
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9. 若函数 f （ x ）＝log ax （其中 a 为常数，且 a ＞0， a ≠1）满足 f
（2）＞ f （3），则 f （2 x －1）＜ f （2－ x ）的解集是
.
解析：∵ f （2）＞ f （3），∴ f （ x ）＝log ax 是减函数，由 f （2 x
－1）＜ f （2－ x ），得∴
∴1＜ x ＜2.
{ x ｜1＜ x
＜2}　
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10. 已知函数 y ＝log a （ x ＋ b ）的图象如图所示.
（1）求实数 a 与 b 的值；
解：由图象可知，函数的图象过（－3，0）点与（0，2）点，
所以得方程0＝log a （－3＋ b ）与2＝log ab ，解得 a ＝2， b ＝4.
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（2）函数 y ＝log a （ x ＋ b ）与 y ＝log ax 的图象有何关系？
解：由（1）知 y ＝log2（ x ＋4），函数 y ＝log2（ x ＋4）的
图象可以由 y ＝log2 x 的图象向左平移4个单位长度得到.
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11. （多选）在同一直角坐标系中，函数 f （ x ）＝log a （ x － b ）， g
（ x ）＝ bx－ a 的图象可能是（　　）
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解析：　A：根据 f （ x ）的图象知对数函数在定义域上是增函
数，所以 a ＞1，图象过点（2，0），所以 b ＝1；根据 g （ x ）的
图象为 y ＝1的一条直线可判断 b ＝1，且无论 a 为何值图象均为 y
＝1，此类情况符合题意，A正确；B：由 g （ x ）的图象可知 a ＞
1，0＜ b ＜1，若0＜ b ＜1，对数函数 f （ x ）的图象应向右平移，
选项中 f （ x ）的图象向左平移，故B错误；C：由对数函数 f
（ x ）的图象知0＜ a ＜1且0＜ b ＜1，函数 g （ x ）的图象与直线 y
＝1交点的横坐标小于1且函数 g （ x ）是减函数，所以0＜ a ＜1且
0＜ b ＜1，C正确；D：由 f （ x ）的图象知函数 f （ x ）是减函
数，则0＜ a ＜1，但 g （ x ）未向右平移，D错误.
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12. （多选）已知实数 a ， b 满足lo a ＝lo b ，则下列关系式可能
成立的是（　　）
A. a ＞ b ＞1 B. 0＜ b ＜ a ＜1
C. b ＞ a ＞1 D. a ＝ b
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解析：　当 a ＝ b ＝1时，显然满足题意，故D可能成立；当 a
≠1且 b ≠1时，根据lo a ＝lo b 得 ＝ ，因此lg a ＝lo
·lg b .因为0＜lo ＝log32＜1，所以0＜lg a ＜lg b 或lg b ＜lg a ＜
0，则 b ＞ a ＞1或0＜ b ＜ a ＜1，故B、C可能成立.
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13. 已知函数 f （ x ）＝直线 y ＝ a 与函数 f （ x ）的图
象恒有两个不同的交点，则 a 的取值范围是 .
解析：函数 f （ x ）的图象如图所示，要使 y ＝ a 与 f （ x ）有两个
不同交点，则0＜ a ≤1.
（0，1]　
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14. 已知函数 f （ x ）＝log a （ a ＞0，且 a ≠1）.
（1）求 f （ x ）的定义域；
解：要使函数有意义，则有 ＞0，
即（ x ＋1）（ x －1）＞0，
解得 x ＞1或 x ＜－1，
此函数的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）.
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（2）判断函数的奇偶性.
解： f （－ x ）＝log a ＝log a ＝－log a ＝－ f （ x ）.
又函数 f （ x ）的定义域关于原点对称，
所以 f （ x ）为奇函数.
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15. 设 a ， b 是关于 x 的方程｜lg x ｜＝ c 的两个不同实数根，且 a ＜ b
＜10，则 abc 的取值范围是 .
解析：由题意知，在 x ∈（0，10）上， y
＝｜lg x ｜的图象和直线 y ＝ c 有两个不同交
点，作出函数 y ＝｜lg x ｜的图象与直线 y ＝
c ，如图所示.结合图象可知，｜lg a ｜＝｜lg b ｜＝ c ，又 a ＜ b ＜10，∴－lg a ＝lg b ＝ c ，∴ ab ＝1，0＜ c ＜lg 10＝1，∴ abc 的取值范围是（0，1）.
（0，1）　
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16. 已知 f （ x ）＝｜log3 x ｜.
（1）画出这个函数的图象；
解：图象如图所示：
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（2）当0＜ a ＜2时 f （ a ）＞ f （2），利用函数图象求出 a 的取值
范围.
解：令 f （ a ）＝ f （2），即｜log3 a ｜＝｜log32｜，
解得 a ＝ 或 a ＝2.
从图象可知，当0＜ a ＜ 时，满足 f （ a ）＞ f （2），
所以 a 的取值范围是 .
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谢 谢 观 看！3.3　对数函数y＝logax的图象和性质
第一课时　对数函数的图象和性质
1.函数f（x）＝lg（x－1）＋的定义域为 （　　）
A.（1，4]　　　　　　　 B.（1，4）
C.[1，4]　 D.[1，4）
2.函数y＝loga（x－2）（a＞0且a≠1）的图象恒过的定点是（　　）
A.（1，0）　 B.（2，0）
C.（3，0）　 D.（4，0）
3.若loga＜1，则实数a的取值范围是（　　）
A.∪（1，＋∞）　 B.
C.　 D.
4.函数f（x）＝的定义域为（0，10]，则实数a的值为（　　）
A.0　 B.10
C.1　 D.
5.（多选）函数f（x）＝loga（x＋2）（0＜a＜1）的图象过（　　）
A.第一象限　 B.第二象限
C.第三象限　 D.第四象限
6.（多选）已知log3a＞log3b，则下列不等式一定成立的是（　　）
A.0＜＜　 B.log3（a－b）＞0
C.3a－b＜1　 D.＜
7.不等式lo（5＋x）＜lo（1－x）的解集为　　　　　　.
8.函数f（x）＝lg（2x－b），若x≥1时，f（x）≥0恒成立，则b应满足的条件是　　　　.
9.若函数f（x）＝logax（其中a为常数，且a＞0，a≠1）满足f（2）＞f（3），则f（2x－1）＜f（2－x）的解集是　　　　.
10.已知函数y＝loga（x＋b）的图象如图所示.
（1）求实数a与b的值；
（2）函数y＝loga（x＋b）与y＝logax的图象有何关系？
11.（多选）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝loga（x－b），g（x）＝bx－a的图象可能是（　　）
12.（多选）已知实数a，b满足loa＝lob，则下列关系式可能成立的是（　　）
A.a＞b＞1　 B.0＜b＜a＜1
C.b＞a＞1　 D.a＝b
13.已知函数f（x）＝直线y＝a与函数f（x）的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是　　　　.
14.已知函数f（x）＝loga（a＞0，且a≠1）.
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数的奇偶性.
15.设a，b是关于x的方程｜lg x｜＝c的两个不同实数根，且a＜b＜10，则abc的取值范围是　　　　.
16.已知f（x）＝｜log3x｜.
（1）画出这个函数的图象；
（2）当0＜a＜2时f（a）＞f（2），利用函数图象求出a的取值范围.
第一课时　对数函数的图象和性质
1.A　由题意得所以1＜x≤4.
2.C　令x－2＝1，得x＝3.当x＝3时，y＝0，故函数的图象恒过定点（3，0）.
3.A　当a＞1时，满足条件；当0＜a＜1时，由得0＜a＜，综上，a∈∪（1，＋∞）.
4.C　由已知，得a－lg x≥0的解集为（0，10]，由a－lg x≥0，得lg x≤a，又当0＜x≤10时，lg x≤1，所以a＝1，故选C.
5.BCD　因为0＜a＜1，所以函数y＝logax是减函数，在y轴右侧，过定点（1，0）.函数f（x）＝loga（x＋2）的图象是把y＝logax的图象向左平移2个单位，所以图象过第二、三、四象限.
6.AD　因为log3a＞log3b，所以a＞b＞0，所以0＜＜，故选项A正确；当a＝，b＝1时，log3（a－b）＝log3＝－1＜0，故选项B错误；3a－b＞30＝1，故选项C错误；由指数函数和幂函数的单调性得＜＜，故选项D正确.故选A、D.
7.（－2，1）　解析：因为函数y＝lox在（0，＋∞）上是减函数，
所以解得－2＜x＜1.
8.b≤1　解析：由题意得：当x≥1时，2x－b≥1恒成立，又当x≥1时，2x≥2，∴b≤1.
9.{x｜1＜x＜2}　解析：∵f（2）＞f（3），∴f（x）＝logax是减函数，由f（2x－1）＜f（2－x），得∴∴1＜x＜2.
10.解：（1）由图象可知，函数的图象过（－3，0）点与（0，2）点，
所以得方程0＝loga（－3＋b）与2＝logab，解得a＝2，b＝4.
（2）由（1）知y＝log2（x＋4），函数y＝log2（x＋4）的图象可以由y＝log2x的图象向左平移4个单位长度得到.
11.AC　A：根据f（x）的图象知对数函数在定义域上是增函数，所以a＞1，图象过点（2，0），所以b＝1；根据g（x）的图象为y＝1的一条直线可判断b＝1，且无论a为何值图象均为y＝1，此类情况符合题意，A正确；B：由g（x）的图象可知a＞1，0＜b＜1，若0＜b＜1，对数函数f（x）的图象应向右平移，选项中f（x）的图象向左平移，故B错误；C：由对数函数f（x）的图象知0＜a＜1且0＜b＜1，函数g（x）的图象与直线y＝1交点的横坐标小于1且函数g（x）是减函数，所以0＜a＜1且0＜b＜1，C正确；D：由f（x）的图象知函数f（x）是减函数，则0＜a＜1，但g（x）未向右平移，D错误.
12.BCD　当a＝b＝1时，显然满足题意，故D可能成立；当a≠1且b≠1时，根据loa＝lob得＝，因此lg a＝lo ·lg b.因为0＜lo＝log32＜1，所以0＜lg a＜lg b或lg b＜lg a＜0，则b＞a＞1或0＜b＜a＜1，故B、C可能成立.
13.（0，1]　解析：函数f（x）的图象如图所示，要使y＝a与f（x）有两个不同交点，则0＜a≤1.
14.解：（1）要使函数有意义，则有＞0，
即（x＋1）（x－1）＞0，
解得x＞1或x＜－1，
此函数的定义域为（－∞，－1）∪（1，＋∞）.
（2）f（－x）＝loga＝loga＝－loga＝－f（x）.
又函数f（x）的定义域关于原点对称，
所以f（x）为奇函数.
15.（0，1）　解析：由题意知，在x∈（0，10）上，y＝｜lg x｜的图象和直线y＝c有两个不同交点，作出函数y＝｜lg x｜的图象与直线y＝c，如图所示.结合图象可知，｜lg a｜＝｜lg b｜＝c，又a＜b＜10，∴－lg a＝lg b＝c，∴ab＝1，0＜c＜lg 10＝1，∴abc的取值范围是（0，1）.
16.解：（1）图象如图所示：
（2）令f（a）＝f（2），即｜log3a｜＝｜log32｜，
解得a＝或a＝2.
从图象可知，当0＜a＜时，满足f（a）＞f（2），
所以a的取值范围是.
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