资源简介

■
2025一2026学年上学期两校诊断测试
四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演
数学答题卡
算步聚.
16.(15分)
考场/座位号：
15.(13分)
姓名：
班级：
贴条形码区
注意事项
答题前请将
姓名、班级
考场、准
考证号填写清楚
必须使用2B铅笔填
(正面朝上，切勿贴出虚线方松
题区域内作
对应的答
正确填涂
■缺考标记
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的，
1[A][B][C][D]
6[A][BI[C][D]
2[A][B][C][D]
T[A][B][C][D]
3 [A][B][C][D]
8[A][BJ[C][D]
4[A][B][C][D]
5[A][B][C][D]
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0
分.
9[A][B][C][D
10[AJ[B][C][D]
1[A][B][C][D]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12
13.
囚囚■
囚囚■
■
■
17.(15分)
18.(17分)
G

19.(17分)
I
I
1
◆
囚■囚
囚■囚
■2025—2026学年上学期两校诊断测试
数学参考答案及评分标准
选择题答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C D C A C A B C ABD AC ACD
填空题答案：
12、 13、 14、
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1.样本数据7，9，12，15，23，25的第70百分位数是（ ）
A．14 B．15 C．23 D．24
【答案】C
【详解】样本数据共6个，所以是从小到大第5个数据23，故选C.
2.若复数，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【详解】，，.故选D.
3.已知向量，且，则向量与夹角的大小为（ ）
A． B． C. D．
【答案】C
【详解】，故选：C.
4.设集合，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】,是的真子集,是的充分不必要条件.故选：A.
5.已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A. 3 B. C.7 D.8
【答案】C
【详解】因为与平行，所以，解得,故选：C.
6.已知函数则的所有零点之和为（ ）
A.-4 B．0 C．2 D．
【答案】A
【详解】由得：当时，由，得当时，由，得或，所以四个零点和为，故选：A.
7.已知直线与曲线有1个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由可得，，所以曲线表示半圆，
又由直线可得恒过定点，记,则，当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为，解得，
作图如下，
由图可知，当或时，直线与曲线有1个公共点，故选:B.
8.已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为对于任意的、，且，
都有成立，在不等式两边同时除以可得，移项有，构造函数，则，所以，函数在上单调递减，当时，在上单调递增，不符合题意；
当时，若使得函数在上单调递减，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.故选：C.
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知圆，，则下列说法正确的是（ ）
A．圆，相交 B．公共弦所在直线方程为
C．两个圆的圆心所在直线的斜率为-2 D．两圆的公切线有2条
【答案】ABD
【详解】对于A.，，半径，，，半径,
计算两圆心之间的距离,比较d与,,
因为,所以两圆相交，选项A正确.
对于B.,展开并相减得：，选项B正确.
对于C.圆心，，根据斜率公式，选项C错误.
对于D.两圆位置关系为“相交”，相交的两圆公切线有两条，选项D正确.故选：ABD.
10.在中，内角所对的边分别为，的面积为.下列有关的结论，正确的是（ ）
A． B．若，则为外接圆的半径C．若，则 D．若，则为等腰三角形
【答案】AC
【详解】对于A，，，根据余弦函数单调性，可得，，故A正确.
对于B，，故B错误.
对于C，若，则，则，即，故C正确.
对于D，因为，即，
所以有,
整理可得，所以或,故为等腰三角形或直角三角形，故D错误.故选：AC.
11.如图，已知正方体的棱长为，点在上，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若为棱中点，则过点的截面周长为
B．在点的运动过程中，与平面所成角的取值范围
C．若为棱中点，且，则点的轨迹长度为
D．当，为的中点，则点的轨迹面积为
【答案】ACD
【详解】对于A，当为棱中点，取中点，则过点的截面即为边长为的菱形，则周长为，故A正确.
对于B，在点的运动过程中，与平面所成角的取值范围,故B错误.
对于C，点的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆弧，故弧长为，故C正确.
对于D，当，为的中点，恒有，在的运动过程中，恒有，则点的轨迹是以为球心，为半径的八分之一个球面，故面积为，故D正确.故选：ACD.
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别.从袋子中摸出两个小球，所标元素能组成“（一氧化碳）”的概率是 .
【答案】
【详解】共有6个样本点，其中共有1个样本点可以组成“（一氧化碳）”，所以.
13.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是_________.
【答案】
【详解】当时，此时直线方程为，不存在，故；当时，即，由可得 即，设直线的倾斜角为，由可得，综上，
14.在锐角中，内角所对的边分别为，且，，则面积的取值范围为 .
【答案】
【详解】由正弦定理得，所以，
即，由，,又,故.
由已知及余弦定理可得,由为锐角三角形可得且，解得，所以面积
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数（为常数）是奇函数.
（1）求的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1） （2）
【详解】（1）因为函数（为常数）是奇函数，
所以，则，................................2分
即，所以，即，解得.................................4分
当时函数无意义，故舍去，所以....................................6分
（2）因为，则，
因为恒成立，所以对任意的恒成立，.......................9分
又在上单调递增，所以，...........................11分
所以，即的取值范围是...............................................................13分
16.（15分）函数，若在处取得最值.
（1）求的最小值;
（2）当取最小值时，将函数的图象向右平移个单位后得到函数,在内求使得不等式成立的的取值范围.
【答案】（1）2 （2）
【详解】（1）
..........................................................................................4分
因为在处取得最值，所以是函数的一条对称轴，即
所以, 因为，所以的最小值为2................................................................7分
（2）由(1)知...9分
不等式，即为
,...............12分
当,
当,..............................................................14分
综上所述:..............................................................15分
17.（15分）某中学结合中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，开展两项爱国主义教育活动：组织学生集体观看93反法西斯战争胜利日阅兵，直观感受国家军事力量；举办“铭记历史，振兴中华”主题文化活动，激发学生爱国情感.活动结束后，学校通过问卷调查收集学生对两项爱国主义教育活动满意度，将结果量化为取值于[40,100]的分数（满分100，最低分40分），并进一步划分为 [40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100] 六个子区间.采用简单随机抽样方法，从所有回收问卷中抽取100份有效问卷构建样本，样本分数的频数分布如下表所示：
分数区间
样本频数 （单位：份） 5 10 20 30 25 10
假设样本具有充分代表性，依据“频率估计概率”的统计思想，解答以下问题：
（1）依据分数对满意度进行三级分类：定义分数区间对应 “不满意”（记为类别），对应“基本满意”（记为类别），对应“非常满意”（记为类别）.从该校全体学生中随机抽取1名学生，求该学生对两项爱国主义教育活动满意度属于“类别”或“类别”的概率估计值；
（2）依据上述样本数据，结合统计学相关知识，设定某一“满意分数段”（需从 [40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]及相邻区间的并集中选取），设校内任意1名学生的得分落在该“满意分数段”内的概率为.若从该校全体学生中随机抽取2名学生时，恰有1名学生的得分落在该“满意分数段”内的概率不低于 0.48，求的取值范围并设定符合条件的“满意分数段”对应的分数区间.
【答案】（1）0.85 （2）① ②[60,80)
【详解】（1）由题意知：“不满意”（类别 A）对应分数区间 [40,60)，“基本满意“”（类别 B）对应分数区间 [60,80)，“非常满意”（类别 C）对应分数区间 [80,100]
“基本满意”（[60,80)）的样本频数：20+30=50
“基本满意”概率估计值 ..............................................2分
“非常满意”（[80,100]）的样本频数：25+10=35
“非常满意” 概率估计值： ..........................................4分
由于“基本满意”与“非常满意” 为互斥事件，应用互斥事件概率加法公式：
=0.5+0.35=0.85 ..................................................6分
（2）①由题意知“随机抽取 1 名学生得分落在满意度分数段内” 的概率为,
则从该校全体学生中随机抽取2名学生时，恰有 1 名学生的得分落在该“满意分数段”内的概率等于 .............................................................................10分
由题意建立不等式： .......................................................................11分
解得 . ...................................................................................12分
②通过已知数据列表，发现单个子区间的概率不满足①的概率要求；由此计算两个连续区间的概率，发现区间[60,80)和[70,90)满足题意；连续三个区间的的概率也不满足①的概率要求；
因此可以设定满意度区间为[60,80)和[70,90).....................................................................................14分
依据第一问分类逻辑一致性原则和实际生活经验，选定最优分数段区间为[60,80).....................15分
18.（17分）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面四边形为菱形，，平面平面,为棱的中点,记平面和平面的交线为．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段（不含端点）上是否存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或
【详解】（1）∵四边形为菱形，∴，∵平面，平面，∴平面，∵平面，平面和平面的交线为，∴...............................................................5分
（2）取的中点，连接，
∵是边长为4的等边三角形，∴，∵四边形为菱形，，∴为等边三角形，，∵平面平面，平面平面，平面，，∴平面，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴,轴，轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，解得，
∴点到平面的距离...............................................................10分
（3）假设在线段（不含端点）上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为．设，则，
∵平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值为，
∴.
整理得，解得或，
所以在线段 (不含端点)上存在点，当或时，直线与平面所成角的正弦值为．..............................................................17分
19.（17分）若圆的圆心在轴的正半轴上，圆过原点，且与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）已知，点是圆上的一个动点，若点与点关于点对称.
①求点的轨迹方程；
②若过的直线与点的轨迹交于两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)存在点，使得为定值.
【详解】（1）设圆A的圆心为，半径为,因为圆过原点，所以.
圆心到直线的距离为.............................2分
化简为，因为，所以，即，解得.
所以点P的轨迹方程为..........................................................4分
（2）①设，由(1)得满足的方程，
又点是点与点的中点，则,...................................................6分
代入可得，即的轨迹为..........................................................8分
②存在点，使得为定值...................................................9分
当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，
由，消去，得，
设，，则，，...........................................11分
又，，
则
...........................................13分
要使上式恒为定值，需满足，解得.
此时，为定值；..........................................15分
当直线的斜率不存在时，，，
由可得，所以........................................16分
综上所述，存在点，使得为定值..........................................17分内部★启用前
2025—2026学年上学期两校诊断测试
数学试卷
（考试时间 120 分钟，满分 150 分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚。并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1.样本数据7，9，12，15，23，25的第70百分位数是（ ）
A．14 B．15 C．23 D．24
2.若复数，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3.已知向量，且，则向量与夹角的大小为（ ）
A． B． C. D．
4.设集合，，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5.已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A. 3 B. C.7 D.8
6.已知函数则的所有零点之和为（ ）
A.-4 B．0 C．2 D．
7.已知直线与曲线有1个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.已知函数，若对于任意的，且，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知圆，，则下列说法正确的是（ ）
A．圆，相交 B．公共弦所在直线方程为
C．两个圆的圆心所在直线的斜率为-2 D．两圆的公切线有2条
10.在中，内角所对的边分别为，的面积为.下列有关的结论，正确的是（ ）
A． B．若，则为外接圆的半径C．若，则 D．若，则为等腰三角形
11.如图，已知正方体的棱长为，点在上，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是（ ）
A．若为棱中点，则过点的截面周长为
B．在点的运动过程中，与平面所成角的取值范围为
C．若为棱中点，且，则点的轨迹长度为
D．当，为的中点，则点的轨迹面积为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号的小球，这些小球除元素符号外，无其他差别.从袋子中摸出两个小球，所标元素能组成“（一氧化碳）”的概率是 .
13.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是_________.
14.在锐角中，内角所对的边分别为，且，，则面积的取值范围为 .
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知函数（为常数）是奇函数.
（1）求的值； （2）若恒成立，求实数的取值范围.
16.（15分）函数，若在处取得最值.
（1）求的最小值；
（2）当取最小值时，将函数的图象向右平移个单位后得到函数,在内求使得不等式成立的的取值范围.
17.（15分）某中学结合中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，开展两项爱国主义教育活动：组织学生集体观看93反法西斯战争胜利日阅兵，直观感受国家军事力量；举办“铭记历史，振兴中华”主题文化活动，激发学生爱国情感.活动结束后，学校通过问卷调查收集学生对两项爱国主义教育活动满意度，将结果量化为取值于[40,100]的分数（满分100，最低分40分），并进一步划分为 [40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100] 六个子区间.采用简单随机抽样方法，从所有回收问卷中抽取100份有效问卷构建样本，样本分数的频数分布如下表所示：
分数区间
样本频数 （单位：份） 5 10 20 30 25 10
假设样本具有充分代表性，依据“频率估计概率”的统计思想，解答以下问题：
（1）依据分数对满意度进行三级分类：定义分数区间对应“不满意”（记为类别），对应“基本满意”（记为类别），对应“非常满意”（记为类别）.从该校全体学生中随机抽取1名学生，求该学生对两项爱国主义教育活动满意度属于“类别”或“类别”的概率估计值；
（2）依据上述样本数据，结合统计学相关知识，设定某一“满意分数段”（需从 [40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]及相邻区间的并集中选取），设校内任意1名学生的得分落在该“满意分数段”内的概率为.若从该校全体学生中随机抽取2名学生时，恰有1名学生的得分落在该“满意分数段”内的概率大于0.48，试求解以下问题：
①求的取值范围；
②设定符合概率条件且兼具满意度评价合理性的“满意分数段”对应的分数区间.
18.（17分）如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面四边形为菱形，，平面平面,为棱的中点,记平面和平面的交线为．
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段（不含端点）上是否存在一点,使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的位置；若不存在，请说明理由．
19.（17分）若圆的圆心在轴的正半轴上，圆过原点，且与直线相切
（1）求圆的方程；
（2）已知，点是圆上的一个动点，若点与点关于点对称.
①求点的轨迹方程；
②若过的直线与点的轨迹交于两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．内部★启用前
2025一2026学年上学期两校诊断测试
数学试卷
(考试时间120分钟，满分150分)
命题人：高二数学组
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、班级、考场/座位号在答题卡上填写清楚。并
认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求，
1.样本数据7,9,12,15,23,25的第70百分位数是（)
A.14
B.15
C.23
D.24
2.若复数z=-i+1,则zz=（)
A.5
B.4
C.3
D.2
3.已知向量d=4,万=(0，)且a6=2√2，则向量a与6夹角的大小为()
4设集合4=血x>0以B={之0，
则x∈A是x∈B的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知直线1：3x-4y+7=0与直线l,:6x-（m+1)y+1-m=0平行，则m的值为()
A.3
B.-1
C.7
D.8
2
6.已知函数f(x)
-2,x之0，则y=f(x)-2的所有零点之和为（）
x+4,x<0,
A.-4
B.0
C.2
D.2+2
7.已知直线-y-k+2=0与曲线y=V1-x2有1个公共点，则实数k的取值范围是()
B+wu得c(3别n(得
数学试卷·第1页（共6页)
8.已知函数f(x)=x2+2x,若对于任意的xx2∈[2，+o),且x1xf(x)-xf(x)>axx,(x-x)成立，则a的取值范围是（)
A.[0,+o0)
B
C.D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.已知圆C:(x-2)2+(y-2)2=4,C2:(x-1)+y2=9,则下列说法正确的是()
A.圆C,C,相交
B.公共弦所在直线方程为x+2y-6=0
C.两个圆的圆心所在直线的斜率为-2
D.两圆的公切线有2条
10.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,△ABC的面积为S.下列有关△ABC的结论，
正确的是()
A.cos A+cosC>0
B.若S=4R2 sin Asin BsinC,则R为△ABC外接圆的半径
C.若b>c,则cos2BD.若acos A=bcos B,则△ABC为等腰三角形
11.如图，已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，点M在DD上，N为正方形ABCD所在平面内
一动点，则下列结论正确的是()
A.若M为棱DD中点，则过点A、M、C的截面周长为4V5
D
B.在点M的运动过程中，AM与平面ABB,A所成角的取值范围
[别
C若M为楼DD中点.、日N一2、则点N的劲迹长度为
D
·N
D.当MN=√2，P为MN的中点，则点P的轨迹面积为
4
B
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.一个不透明的袋子中装有4个分别标有化学元素符号N、N、O、C的小球，这些小球除元素符号
外，无其他差别从袋子中摸出两个小球，所标元素能组成“C、0(一氧化碳”的概率是
13.设直线l的方程为x-ysin0-2=0,则直线I的倾斜角a的范围是
14.在锐角△4BC中，内角小B、C所对的边分别为a、bc,且a=4,2b-0-cosA=0,则△ABC
cosC
面积的取值范围为
数学试卷·第2页（共6页)2025一2026学年上学期两校诊断测试
数学参考答案及评分标准
选择题答案：
题号
6
8
10
11
答案
C
D
C
A
C
B
C
ABD
AC
ACD
填空题答案：
2
[
14、(23,83
6
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求，
1.样本数据7,9,12,15,23,25的第70百分位数是（)
A.14
B.15
C.23
D.24
【答案】C
【详解】样本数据共6个，6×70%=4.2廷Z,所以是从小到大第5个数据23，故选C
2若复数z=-i+1,则zz=（)
A.5
B.4
C.3
D.2
【答案】D
【详解】z=-i+1,z=1+i,zz=1-2=2.故选D
3.已知向量d=4,b=(0,1)且a-i=22,则向量a与b夹角的大小为()
a日
B.π
C.π
D.π
3
4
6
【答案】C
【详解】cosa.b 2v2 2
4)升，故选g
4设集合4-ar>0,B=≥0：
则x∈A是x∈B的()
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
数学试卷答案·第1页（共12页)
【详解】A∈(1，+o),B∈(-o,0)U[1,+∞)，A是B的真子集，x∈A是x∈B的充分不必要条件.故选：A.
5.已知直线：3x-4y+7=0与直线1，：6x-(m+1)y+1-m=0平行，则m的值为()
A.3
B.11
C.7
D.8
2
【答案】C
【详解】因为l:3x-4y+7=0与l2:6x-(m+1)y+1-m=0平行，所以3×[-(m+1】=-4×6,解得m=7,
故选：C
6.已知函数fx)=
(-2x20则y=()-2的所有零点之和为（）
x+4,x<0,
A.-4
B.0
C.2
D.2+√2
【答案】A
【详解】由f(x)-2=0得f(x)=2:当x≥0时，由(x-2)2-2=0,得x=2±√2，当x<0时，由
x+4-2=0,得x=-6或x=-2,所以四个零点和为2+√2+2-√2+(-6)+(-2)=-4，故选：A.
7.已知直线-y-k+2=0与曲线y=V1-x2有1个公共点，则实数k的取值范围是（)
【答案】B
【详解】由y=V1-x2可得，x2+y2=1(y≥0)，所以曲线y=√-x2表示半圆，
又由直线c-y-k+2=0可得恒过定点A(,2),记B(-1,0),则kB=1,当直线a-y-k+2=0与半
y之0)相切时，圆心到直线的距离为d=一=1，解
√k2+1
作图如下，
由图可知，
当k=3或k>1时，直线-y-k+2=0与曲线y=-产有1个公共点，故选：B.
8.已知函数f(x)=x2+2x,若对于任意的x、x∈[2，+0)，且xx2f(x)-xf(x)>axx(号-)成立，则a的取值范围是()
数学试卷答案·第2页（共12页)

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