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2026安徽省蚌埠市省示范中学联考
数学试卷
本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则属于的元素是（ ）
A. B. C. D.
2.复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A. 0.25米 B. 0.5米 C. 0.75米 D. 1米
4.的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数和（ ）
A. B. C. D.
5.若双曲线的渐近线与圆有公共点，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.为了解某企业喜爱打羽毛球、打篮球和游泳的职工年龄情况，统计了该企业第一车间的所有职工喜爱打羽毛球、打篮球和游泳构成比例（每位职工必选一项体育活动且只选一项）．得到如下饼图：
若喜爱打羽毛球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱打篮球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱游泳的职工年龄（岁）的均值与方差分别为.
则下面结论中不正确的是（ ）
A.该企业喜欢打篮球的职工人数可能多于喜欢游泳的职工人数
B.第一车间喜欢打羽毛球的职工有一些年龄比较大
C.第一车间所有职工平均年龄为岁
D.第一车间所有职工年龄方差不超过喜爱打羽毛球、打篮球及游泳的职工的年龄方差之和
7.已知点M是椭圆上的一点，，分别是C的左、右焦点，且，点N在的平分线上，O为原点，，，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，则（ ）
A.点是曲线的对称中心 B.是的极值点
C.的解集为 D.使得
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数，则（ ）
A.最小正周期为 B.是奇函数 C.在上单调递增 D.最大值为1
10.市场监督管理局对9家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且得分的平均数分别为77、60，其中A工厂生产的产品得分如下表：
分数 名次（按高分到低分排名）
甲产品 75 4
乙产品 66 6
则在此次抽查评分中（ ）
A. 9家工厂甲产品得分的中位数一定小于平均数
B. 9家工厂乙产品得分的中位数一定大于平均数
C. 9家工厂甲产品得分中一定存在极端高分数（高于平均数10分以上）
D. 9家工厂乙产品得分中一定存在极端低分数（低于平均数10分以上）
11.设是是个随机试验中的两个事件，，，( )
A.事件相互独立 B.若，则
C. D.若，则必有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知，，则与向量的一个单位向量的坐标为_____.（写出一个即可）
13.记的内角，，的对边分别为，，，为的中点，为边上一点，.设，且，则________；的最小值为________.
14.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为9．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
已知数列的首项为1，其前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）证明：.
16.（15分）
中国已成为世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运行时速最高、在建规模最大的国家，中国高铁引领着世界高铁发展的新潮流.这一典型的国家成就，内蕴着特殊的交通科技史价值，也孕育着中国特色的科技文化，也为国人带来巨大方便.某县城高铁站每天上午，(分)都恰有一辆车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站时刻
概率
（1）有甲、乙、丙三个旅客到站时间分别为，，，求这三人中至少1人等车超过
10分钟的概率.
（2）一旅客到车站，求它候车时间的数学期望（精确到分）．
17.（15分）
已知
（1）当时，直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求的值；
（2）当时，求证：.
18.（17分）
已知点是抛物线的焦点，的两条切线交于点是切点．
（1）若，求直线的方程；
（2）若点在直线上，记的面积为的面积为，求的最小值；
（3）证明：．
19.（17分）
如图，三棱锥中，点在平面的射影恰在上，为中点，，，.
（1）若平面，证明：是的三等分点；
（2）记的轨迹为曲线，判断是什么曲线，并说明理由；
（3）求的最小值.2026安徽省蚌埠市省示范中学联考
数学试卷
本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟.
★祝考试顺利★
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，集合，则属于的元素是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,.
2.复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，．故选：B
3.在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（ ）
A. 0.25米 B. 0.5米 C. 0.75米 D. 1米
【答案】A
【详解】由可知，且，故，
当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.故选：A.
4.的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数和（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，则
∴展开式中的项为
的展开式中，除项之外，剩下所有项的系数和.
5.若双曲线的渐近线与圆有公共点，则的离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】双曲线渐近线为，且与圆有公共点，
∴圆心到渐近线的距离不大于半径，即，，，
．故选：D．
6.为了解某企业喜爱打羽毛球、打篮球和游泳的职工年龄情况，统计了该企业第一车间的所有职工喜爱打羽毛球、打篮球和游泳构成比例（每位职工必选一项体育活动且只选一项）．得到如下饼图：
若喜爱打羽毛球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱打篮球的职工年龄（岁）的均值与方差分别为，喜爱游泳的职工年龄（岁）的均值与方差分别为.
则下面结论中不正确的是（ ）
A.该企业喜欢打篮球的职工人数可能多于喜欢游泳的职工人数
B.第一车间喜欢打羽毛球的职工有一些年龄比较大
C.第一车间所有职工平均年龄为岁
D.第一车间所有职工年龄方差不超过喜爱打羽毛球、打篮球及游泳的职工的年龄方差之和
【答案】D
【解析】由于只统计了第一车间职工喜爱的体育活动，所以A正确，B明显正确；
样本均值：，C正确
样本方差：
，D错误.
7.已知点M是椭圆上的一点，，分别是C的左、右焦点，且，点N在的平分线上，O为原点，，，则C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】设，，延长ON交于A，如图所示.
由题意知，O为的中点，∴点A为中点.
又，点N在的平分线上，
∴，∴是等腰三角形，
∴，
则，所以.
又，所以.
又在中，由余弦定理得，
即，即，化简得：.
又，所以，所以，即故选：B.
8.已知函数，则（ ）
A.点是曲线的对称中心 B.是的极值点
C.的解集为 D.使得
【答案】ACD
【解析】令，其定义域为，
，为奇函数，关于点对称，
关于点对称，故A正确；令，
则，
在单调递增，
又在单调递增，函数在上单调递增，
则不是函数的极值点，故B错误；
由于在上单调递增，所以由，
可得，则解集为，故C正确；
不妨设，在上单调递增，，
则等价于，
即，令，则，
只需函数为增函数即可，而当时，满足为增函数，
故存在非零常数M，使得，故D正确．故选：.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知函数，则（ ）
A.最小正周期为 B.是奇函数 C.在上单调递增 D.最大值为1
【答案】BD
【解析】由，显然不是的周期，A错；
由的定义域为R，且，
所以为奇函数，B对；
由解析式，易得，显然在上不是单调递增，C错；
由，
令，则，且，
若，则，又在、上都单调递减，
在上，，在上，，
所以的最大值为1，D对.故选：BD
10.市场监督管理局对9家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且得分的平均数分别为77、60，其中A工厂生产的产品得分如下表：
分数 名次（按高分到低分排名）
甲产品 75 4
乙产品 66 6
则在此次抽查评分中（ ）
A. 9家工厂甲产品得分的中位数一定小于平均数
B. 9家工厂乙产品得分的中位数一定大于平均数
C. 9家工厂甲产品得分中一定存在极端高分数（高于平均数10分以上）
D. 9家工厂乙产品得分中一定存在极端低分数（低于平均数10分以上）
【答案】ABD
【解析】对于甲乙产品，9家工厂抽查评分从低到高的第5位是中位数，
由75分是甲产品按高分到低分的第4位，即从低到高的第6位，故中位数小于等于75分，
由66分是乙产品按高分到低分的第6位，即从低到高的第4位，故中位数大于等于66分，
又甲、乙得分的平均数分别为77分、60分，A、B对；
甲产品评分可以为，此时不存在极端高分数，C错；
对于乙产品，由题意，前六名的得分均大于等于66，
假设前六名所有评分都为66分，则后三名总分为分，
所以后三名的得分中必定有小于等于48分的情况，故必存在极端低分数，D对.故选：ABD
11.设是是个随机试验中的两个事件，，，( )
A.事件相互独立 B.若，则
C. D.若，则必有
【答案】BCD
【解析】由条件，得,
由于,
不妨设，，于是,,
代入可得，
选项A：，由于无法推断是否等于，
则事件相互独立无法确定，选项A错误；
选项B：若，可解得，
，选项B正确；
选项C：，得，由于，
则，由于，得，
则可以得到，选项C正确；
选项D：若，，即,
整理得,
将,,，代入
解得，,,选项D正确；
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知，，则与向量的一个单位向量的坐标为_____.（写出一个即可）
【答案】（也可以是）
【解析】依题意，，所以与向量的一个单位向量.答案为：或
13.记的内角，，的对边分别为，，，为的中点，为边上一点，.设，且，则________；的最小值为________.
【答案】①; ②
【分析】根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，即可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，结合题中关系可得，即可分析最值.
【解析】因为，由正弦定理可得，
又因为，
，
即，
可得，
且，则，可得，
则，
且，所以；
因为，
由正弦定理可得，
由题意可知：，
则，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.
14.某封闭的圆锥容器的轴截面为等边三角形，高为9．一个半径为1的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为______．
【答案】
【解析】由轴截面为等边三角形的高为9，
易得圆锥的母线长与底面圆的直径均为．
小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，
小球接触到的区域围成一个圆台侧面
展开后是一个扇环，
可知圆台的上下底面圆的半径为，
所以扇环其面积为；
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，
其半径为，其面积为．
综上，圆锥内壁上小球能接触到的区域面积为．故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
已知数列的首项为1，其前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式.
（2）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析
【解析】（1），①
当时，，②
①-②，得，两边同时除以，得.
当时，.
，，解得，此时，也满足，
数列是以为首项，1为公差的等差数列，
，即.
（2）证明：当时，，当时，，
16.（15分）
中国已成为世界上高速铁路发展最快、系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运行时速最高、在建规模最大的国家，中国高铁引领着世界高铁发展的新潮流.这一典型的国家成就，内蕴着特殊的交通科技史价值，也孕育着中国特色的科技文化，也为国人带来巨大方便.某县城高铁站每天上午，(分)都恰有一辆车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站时刻
概率
（1）有甲、乙、丙三个旅客到站时间分别为，，，求这三人中至少1人等车超过
10分钟的概率.
（2）一旅客到车站，求它候车时间的数学期望（精确到分）．
【解析】（1）设甲、乙、丙三个旅客等车不超过10分钟分别为事件，则超过10分钟分别为事件，
甲乙丙三人中至少1人等车超过10分钟为事件
.
；
（2）旅客候车时间的取值为，
概率分别为：，
，
，
，
，
，
，
故候车时间的分布列：
候车时间（分）
概率
候车时间的数学期望：
∴候车时间的数学期望为分钟.
17.（15分）
已知
（1）当时，直线是曲线的切线，也是曲线的切线，求的值；
（2）当时，求证：.
【解析】（1）当时，，则，
设切点分别为，则切线方程为：，
即
，即
∴，即
∴，即或
∴或.
（2）当时，
先证，令，
在上，在上，
因此是唯一的极小值点，，所以，故
记，
则
在上单调递增，．
在区间上；
在区间上；
综上所述，成立．
18.（17分）
已知点是抛物线的焦点，的两条切线交于点是切点．
（1）若，求直线的方程；
（2）若点在直线上，记的面积为的面积为，求的最小值；
（3）证明：．
【答案】（1）；（2）16；（3）证明见解析.
【解析】（1）由题知，抛物线，切线斜率不为0，设切线为，
与联立，得，
，解得或3，
时，，则，切点为；
时，，则，切点为，
故直线方程为，即．
（2），设，
由题意易知抛物线的切线不与轴垂直，设切线为，
与联立，得，，则，
即，故抛物线在点处的切线方程为，
在点处的切线方程为，联立可得，
又在直线上，故，即①，
点到的距离为，
，
故，
同理可得，
故
，
将①式代入可得：
，
令，则，则
，
故当时，有最小值为．
（3）由（2）知，
则
，
由抛物线定义可得
，
故，即．
，
，
，
，
则，
又与范围均，故，
结合，可得．
19.（17分）
如图，三棱锥中，点在平面的射影恰在上，为中点，，，.
（1）若平面，证明：是的三等分点；
（2）记的轨迹为曲线，判断是什么曲线，并说明理由；
（3）求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）椭圆，理由见解析；（3）
【分析】（1）由于平面，作，证得，进而证得平面，得到和，结合，得到，得到，得到，即可得证；（2）延长至，使得，得到M，D到的距离为定值，求得，得到M，D的运动平面截得该圆柱，根据圆锥曲线的定义，即可求解；（3）以A为原点，建立空间直角坐标系，由椭圆的短半轴长为1，求得椭圆，求得，得到为左焦点，设右焦点为，则，设，在中，由余弦定理，求得和.解法1：由，令，得到，求得，得到函数的单调性和极值，即可求解；
解法2：由，转化为求的最小值，结合基本不等式，即可求解.
【解析】（1）由于平面，作，垂足为点，
因为平面，则，
又因为，且，平面，
因此平面，因为平面，所以，
同理可证：，
又因为，可得，
所以，因为面，从而，
因此，进而为的三等分点.
（2）椭圆，
延长至，使得，由于，可得M，D到的距离为定值，
因此M，D应在以为高线的圆柱上运动，且上下底面与垂直，
又因为M，D为平面上两点，，
从而M，D的运动平面截得该圆柱，根据圆锥曲线的定义，
因而M，D的运动轨迹应为椭圆，示意如下.
（3）以A为原点，所在直线为x轴，过A点与平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，下面求椭圆方程：一方面，由于该圆柱的底面半径为，
故由图可知椭圆的短半轴长为1，
由，从而椭圆的长半轴，进而椭圆方程：，
又由，平面，从而，即，
由定义知为椭圆的左焦点，设的右焦点为，则，设，
在中，由余弦定理，可得，
解得，同理可得：，
解法1：由，
令，则，可得，
令，解得，（舍去），
当，；当，，
因此为的极小值点，可得.
解法2：由，原题等价于求的最小值，
则等价于求的最小值，
又由，
当且仅当时等号成立，因此的最小值为.

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