资源简介

1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
1.函数f（x）＝ln x＋的零点为（　　）
A.1　 B.
C.e　 D.
2.已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下x，f（x）的对应值表：
x 1 2 3 4 5 6
f（x） 15 10 －7 6 －4 －5
则函数f（x）在区间[1，6]上的零点至少有（　　）
A.2个　 B.3个
C.4个　 D.5个
3.函数f（x）＝2x＋2x在下列区间内一定有零点的是（　　）
A.[－1，0]　 B.[－3，－2]
C.[1，2]　 D.[3，4]
4.函数f（x）＝x－lox的零点个数为（　　）
A.0　 B.1
C.2　 D.无数
5.（多选）下列说法中正确的是（　　）
A.函数f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为（－1，0）
B.函数f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1
C.函数f（x）的零点，即函数f（x）的图象与x轴的交点
D.函数f（x）的零点，即函数f（x）的图象与x轴的交点的横坐标
6.（多选）若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象为一条不间断的曲线，则下列说法中正确的是（　　）
A.若f（a）f（b）＜0，则存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0
B.若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0
C.若对任意的实数c∈[a，b]，f（c）≠0，则f（a）f（b）＞0
D.若对任意的实数c∈（a，b），f（c）＝0，则f（a）f（b）＜0
7.函数f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）的零点有　　　个.
8.若二次函数f（x）＝x2－12x＋36的零点在区间（2a－1，2a＋5）上，则实数a的取值范围是　　　　.
9.函数f（x）＝｜x－2｜－ln x的零点的个数为　　　　.
10.判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出：
（1）f（x）＝－x2＋2x－1；
（2）f（x）＝x4－x2；
（3）f（x）＝4x＋5；
（4）f（x）＝log3（x＋1）.
11.函数f（x）＝2x－－a的一个零点在区间（1，2）内，则实数a的取值范围是（　　）
A.（1，3）　 B.（1，2）
C.（0，3）　 D.（0，2）
12.（多选）设f（x）＝｜x－1｜（x＋1）－x，若关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实数解，则实数k可取（　　）
A.－1　 B.
C.0　 D.1
13.已知函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是　　　　.
14.已知关于x的方程x2－2ax＋4＝0，在下列条件下，求实数a的取值范围.
（1）一个根大于1，一个根小于1；
（2）一个根在（0，1）内，另一个根在（6，8）内.
15.已知函数f（x）＝g（x）＝f（x）＋x＋a.若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（　　）
A.[－1，0）　 B.[0，＋∞）
C.[－1，＋∞）　 D.[1，＋∞）
16.已知y＝f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）＝x2－2x.
（1）写出函数y＝f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围.
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
1.A　依次检验，使f（x）＝0的x的值即为零点.
2.B　由题表可知f（2）·f（3）＜0，f（3）·f（4）＜0，f（4）·f（5）＜0，又函数f（x）的图象是连续不断的，故f（x）在区间[1，6]上至少有3个零点.
3.A　函数f（x）＝2x＋2x是增函数，且f（－1）＝－2＝－＜0，f（0）＝1＞0，由函数零点存在定理可知，函数在区间[－1，0]上一定存在零点.
4.B　函数f（x）＝x－lox的零点个数，就是函数y＝x与y＝lox的图象的交点个数，如图，可知函数的图象只有一个交点.函数f（x）＝x－lox的零点个数为1.故选B.
5.BD　根据函数零点的定义，可知f（x）＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1，即函数f（x）的图象与x轴的交点的横坐标.因此B、D正确.
6.AC　若f（a）f（b）＜0，则存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0，故A正确；若f（a）f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0，故B错误；若对任意的实数c∈[a，b]，f（c）≠0，则f（a）f（b）＞0，故C正确；若对任意的实数c∈（a，b），f（c）＝0，则f（a）f（b）不一定小于0，故D错误，故选A、C.
7.3　解析：因为f（x）＝（x－1）（x2＋3x－10）＝（x－1）（x＋5）（x－2），所以由f（x）＝0得x＝－5或x＝1或x＝2.
8.　解析：函数f（x）＝x2－12x＋36的零点是6，由2a－1＜6＜2a＋5得＜a＜.
9.2　解析：由题意知，函数f（x）的定义域为（0，＋∞），函数f（x）在（0，＋∞）内的零点就是方程｜x－2｜－ln x＝0的根.令y1＝｜x－2｜，y2＝ln x（x＞0），在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，由图知，两个函数图象有两个交点，故方程｜x－2｜－ln x＝0有2个根，即对应函数有2个零点.
10.解：（1）令－x2＋2x－1＝0，解得x＝1，
所以函数f（x）＝－x2＋2x－1的零点为1.
（2）令f（x）＝x2（x－1）（x＋1）＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f（x）＝x4－x2的零点为0，－1和1.
（3）令4x＋5＝0，则4x＝－5，
因为4x＞0，－5＜0，所以方程4x＋5＝0无实数解.
所以函数f（x）＝4x＋5不存在零点.
（4）令log3（x＋1）＝0，解得x＝0，
所以函数f（x）＝log3（x＋1）的零点为0.
11.C　易知函数f（x）＝2x－－a在区间（1，2）上单调递增，又函数f（x）＝2x－－a的一个零点在区间（1，2）内，所以所以0＜a＜3.
12.CD　因为f（x）＝｜x－1｜·（x＋1）－x＝故函数f（x）的图象如图所示，由图可知，当－1＜k＜时，函数f（x）的图象与直线y＝k有三个交点，即关于x的方程f（x）＝k有三个不同的实数解.
13.a＜b＜c　解析：画出函数y＝3x，y＝log3x，y＝－x，y＝－2的图象，如图所示.观察图象可知，函数f（x）＝3x＋x，g（x）＝log3x＋2，h（x）＝log3x＋x的零点依次是点A，B，C的横坐标.由图象可知a＜b＜c.
14.解：设f（x）＝x2－2ax＋4，
（1）方程x2－2ax＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的图象与性质及零点存在定理得f（1）＝5－2a＜0，解得a＞.
故实数a的取值范围为.
（2）方程x2－2ax＋4＝0的一个根在（0，1）内，另一个根在（6，8）内，结合二次函数的图象与性质及零点存在定理得解得＜a＜.
故实数a的取值范围为.
15.C　函数g（x）＝f（x）＋x＋a存在2个零点，即关于x的方程f（x）＝－x－a有2个不同的实根，即函数f（x）的图象与直线y＝－x－a有2个交点，作出直线y＝－x－a与函数f（x）的图象，如图所示，由图可知，－a≤1，解得a≥－1.
16.解：（1）当x∈（－∞，0）时，－x∈（0，＋∞），
因为y＝f（x）是奇函数，
所以f（x）＝－f（－x）＝－[（－x）2－2（－x）]＝－x2－2x，
所以f（x）＝
（2）当x∈[0，＋∞）时，f（x）＝x2－2x＝（x－1）2－1，最小值为－1；
当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－x2－2x＝1－（x＋1）2，最大值为1.
所以据此可作出函数y＝f（x）的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f（x）＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是（－1，1）.
1 / 21.1　利用函数性质判定方程解的存在性
新课程标准解读 核心素养
1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点与方程解的关系 数学抽象、直观想象、数学运算
2.了解函数零点存在定理，会判断函数零点的个数 直观想象、逻辑推理
　　路边有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两幅图.
【问题】　推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　函数的零点
1.函数的零点
使得f（x0）＝0的数x0称为方程f（x）＝0的解，也称为函数f（x）的零点.f（x）的零点就是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的　　　　.
2.函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：
提醒　（1）函数的零点是实数，而不是点.如函数f（x）＝x＋1的零点是－1，而不是（－1，0）；（2）并不是所有的函数都有零点，如函数f（x）＝，y＝x2＋1均没有零点；（3）若函数有零点，则零点一定在函数的定义域内.
知识点二　函数零点存在定理
若函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的图象是一条　　　　的曲线，并且在区间端点的函数值　　　　　　，即f（a）·f（b）　　0，则在开区间（a，b）内，函数y＝f（x）至少有　　个零点，即在区间（a，b）内相应的方程f（x）＝0至少有　　个解.
【想一想】
1.函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f（a）·f（b）＜0时，能否判断函数在区间（a，b）上的零点个数？
2.函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点，是不是一定有f（a）·f（b）＜0？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何函数都有零点.（　　）
（2）函数y＝x的零点是O（0，0）.（　　）
（3）若函数f（x）满足f（a）·f（b）＜0，则函数在区间[a，b]上至少有一个零点.（　　）
（4）函数的零点不是点，它是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标，是方程f（x）＝0的解.（　　）
2.函数f（x）＝x3－x＋1的零点所在的区间是（　　）
A.（－2，－1）　　　　 B.（－1，0）
C.（0，1）　　 D.（1，2）
3.若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，则实数a＝　　　　.
题型一 求函数的零点
【例1】　（1）求函数f（x）＝的零点；
（2）已知函数f（x）＝ax－b（a≠0）的零点为3，求函数g（x）＝bx2＋ax的零点.
尝试解答
通性通法
函数零点的求法
（1）代数法：求方程f（x）＝0的实数根；
（2）几何法：对于不能用求根公式的方程f（x）＝0，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来.图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝2x2－3x＋1的零点是（　　）
A.－，－1　　　　　B.，1
C.，－1　　D.－，1
2.若f（x）＝则函数g（x）＝f（x）－x的零点为　　　　.
题型二 函数零点个数问题
角度1　判断函数零点个数
【例2】　求函数f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2的零点个数.
尝试解答
通性通法
判断函数零点个数的4种常用方法
（1）利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点；
（2）画出函数y＝f（x）的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数；
（3）结合单调性，利用零点存在定理，可判定y＝f（x）在（a，b）上零点的个数；
（4）转化成两个函数图象的交点问题.
角度2　根据零点个数求参数范围
【例3】　已知函数f（x）＝（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（　　）
A.（－∞，－1）　　 B.（－∞，0）
C.（－1，0）　　 D.[－1，0）
尝试解答
通性通法
　　已知函数有零点（方程有根）求参数范围的常用方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.
【跟踪训练】
1.函数f（x）＝的零点个数是（　　）
A.0　　B.1
C.2　　D.3
2.若函数f（x）＝有两个不同的零点，则实数a的取值范围是　　　　.
题型三 方程在某区间内有解的判断（证明）
【例4】　求证：方程3x＝在区间（0，1）内必有一个实数根.
尝试解答
通性通法
判定方程在区间内有解的常用方法
（1）解方程法：当对应方程f（x）＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；
（2）利用零点存在定理：首先看函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f（a）·f（b）＜0.若有，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内必有零点；
（3）数形结合法：通过画函数图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
提醒　函数零点存在定理是不可逆的，f（a）·f（b）＜0 函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，但是函数y＝f（x）在（a，b）内有零点，不一定能推出f（a）·f（b）＜0.
【跟踪训练】
　方程ln x＋x－3＝0在区间（2，3）内有没有解？为什么？
1.函数f（x）＝x3－4x的零点为（　　）
A.（0，0），（2，0）
B.（－2，0），（0，0），（2，0）
C.－2，0，2
D.0，2
2.已知定义在R上的函数f（x）的图象是连续不断的，且有如下对应值表：
x 1 2 3 4
f（x） 6.1 2.9 －3.5 －1
那么函数f（x）一定存在零点的区间是（　　）
A.（－∞，1）　　B.（1，2）
C.（2，3）　　D.（3，4）
3.（多选）下列图象表示的函数中有两个零点的有（　　）
4.若方程x2＋（m－2）x＋1＝0的两个根分别在区间（0，1）和（1，2）之内，则实数m的取值范围为　　　
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
【基础知识·重落实】
知识点一
1.横坐标
知识点二
　连续　一正一负　＜　一　一　
想一想
1.提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数.
2.提示：不一定，如f（x）＝x2在区间（－1，1）上有零点0，但是f（－1）f（1）＝1×1＝1＞0.
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）√
2.A　f（－2）＝－5，f（－1）＝1，f（0）＝1，f（1）＝1，f（2）＝7.因为f（－2）·f（－1）＜0，f（－1）·f（0）＞0，f（0）·f（1）＞0，f（1）·f（2）＞0，所以函数f（x）＝x3－x＋1的零点所在的区间是（－2，－1），故选A.
3.0或－　解析：当a＝0时，令y＝－x－1＝0，解得x＝－1，符合题意；当a≠0时，函数y＝ax2－x－1为二次函数，因为函数y＝ax2－x－1只有一个零点，所以Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－，符合题意.故实数a＝0或－.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3（x＝1舍去）；
当x＞0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数f（x）＝的零点为－3和e2.
（2）由已知得f（3）＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，
故g（x）＝3ax2＋ax＝ax（3x＋1）.
令g（x）＝0，即ax（3x＋1）＝0，
解得x＝0或x＝－.
所以函数g（x）＝bx2＋ax的零点为0和－.
跟踪训练
1.B　方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以函数f（x）＝2x2－3x＋1的零点是，1.
2.1＋，1　解析：求g（x）的零点即求f（x）＝x的根，
∴或
解得x＝1＋（1－舍去）或x＝1.
∴g（x）的零点为1＋，1.
【例2】　解：法一　∵f（0）＝1＋0－2＝－1＜0，f（1）＝2＋lg 2－2＞0，∴f（x）在（0，1）上必定存在零点.又显然f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2在（－1，＋∞）上为增函数.
故函数f（x）有且只有一个零点.
法二　
在同一坐标系下作出h（x）＝2－2x和g（x）＝lg（x＋1）的草图.由图象知g（x）＝lg（x＋1）的图象和h（x）＝2－2x图象有且只有一个交点，即f（x）＝2x＋lg（x＋1）－2有且只有一个零点.
【例3】　D　当x＞0时，f（x）＝3x－1有一个零点x＝.∵函数f（x）在R上有两个零点，因此当x≤0时，f（x）＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex（x≤0），则－1≤a＜0.
跟踪训练
1.C　方程x＋2＝0（x＜0）的根为x＝－2，方程x2－1＝0（x＞0）的根为x＝1，所以函数f（x）有2个零点：－2与1.
2.（0，1]　解析：当x＞0时，由f（x）＝ln x＝0，得x＝1.因为函数f（x）有两个不同的零点，则当x≤0时，函数f（x）＝2x－a只有一个零点，令f（x）＝0得a＝2x，因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，所以实数a的取值范围是（0，1].
【例4】　证明：设函数f（x）＝3x－＝3x－＋1，则函数f（x）在（0，1）上单调递增.
而f（0）＝30－2＝－1＜0，f（1）＝31－＝＞0，f（0）·f（1）＜0，因为函数f（x）在区间（0，1）内的图象是一条连续曲线，
所以由零点存在定理可知函数f（x）在区间（0，1）内有零点，且只有一个.
所以方程3x＝在区间（0，1）内必有一个实数根.
跟踪训练
　解：设函数f（x）＝ln x＋x－3，
因为f（2）＝ln 2＋2－3＝ln 2－1＜0，f（3）＝ln 3＋3－3＝ln 3＞0，且f（x）的图象是一条连续的曲线，
所以由零点存在定理可知方程f（x）＝0在区间（2，3）内有解，即方程ln x＋x－3＝0在区间（2，3）内有解.
随堂检测
1.C　令f（x）＝0，得x（x－2）（x＋2）＝0，解得x＝0或x＝±2，故选C.
2.C　由表可知f（1）f（2）＞0，f（2）f（3）＜0，f（3）f（4）＞0，由零点存在定理可知f（x）一定存在零点的区间是（2，3）.故选C.
3.CD　有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故选C、D.
4.　解析：设f（x）＝x2＋（m－2）x＋1，∵方程x2＋（m－2）x＋1＝0的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2）之内，∴即解得－＜m＜0.
3 / 4(共35张PPT)
1.1　利用函数性质判定方程解的存在性
新课程标准解读 核心素养
1.结合学过的函数图象与性质，了解函数零点
与方程解的关系 数学抽象、直观想
象、数学运算
2.了解函数零点存在定理，会判断函数零点的
个数 直观想象、逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　路边有一条河，小明从 A 点走到了 B 点.观察下列两幅图.
【问题】　推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河？



知识点一　函数的零点
1. 函数的零点
使得 f （ x0）＝0的数 x0称为方程 f （ x ）＝0的解，也称为函数 f
（ x ）的零点. f （ x ）的零点就是函数 y ＝ f （ x ）的图象与 x 轴交点
的 .
横坐标　
2. 函数的零点、函数的图象与 x 轴的交点、对应方程的解的关系：
提醒　（1）函数的零点是实数，而不是点.如函数 f （ x ）＝ x ＋1
的零点是－1，而不是（－1，0）；（2）并不是所有的函数都有零
点，如函数 f （ x ）＝ ， y ＝ x2＋1均没有零点；（3）若函数有零
点，则零点一定在函数的定义域内.
知识点二　函数零点存在定理
若函数 y ＝ f （ x ）在闭区间[ a ， b ]上的图象是一条 的曲
线，并且在区间端点的函数值 ，即 f （ a ）· f
（ b ） 0，则在开区间（ a ， b ）内，函数 y ＝ f （ x ）至少
有 个零点，即在区间（ a ， b ）内相应的方程 f （ x ）＝0至少
有 个解.
连续　
一正一负　
＜　
一　
一　
1. 函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的图象是连续不断的一条曲
线， f （ a ）· f （ b ）＜0时，能否判断函数在区间（ a ， b ）上
的零点个数？
提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数.
2. 函数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）上有零点，是不是一定有 f
（ a ）· f （ b ）＜0？
提示：不一定，如 f （ x ）＝ x2在区间（－1，1）上有零点0，但是 f
（－1） f （1）＝1×1＝1＞0.
【想一想】
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任何函数都有零点. （　×　）
（2）函数 y ＝ x 的零点是 O （0，0）. （　×　）
（3）若函数 f （ x ）满足 f （ a ）· f （ b ）＜0，则函数在区间[ a ，
b ]上至少有一个零点. （　×　）
（4）函数的零点不是点，它是函数 y ＝ f （ x ）的图象与 x 轴交点
的横坐标，是方程 f （ x ）＝0的解. （　√　）
×
×
×
√
2. 函数 f （ x ）＝ x3－ x ＋1的零点所在的区间是（　　）
A. （－2，－1） B. （－1，0）
C. （0，1） D. （1，2）
解析：　 f （－2）＝－5， f （－1）＝1， f （0）＝1， f （1）＝
1， f （2）＝7.因为 f （－2）· f （－1）＜0， f （－1）· f （0）＞
0， f （0）· f （1）＞0， f （1）· f （2）＞0，所以函数 f （ x ）＝ x3
－ x ＋1的零点所在的区间是（－2，－1），故选A.
3. 若函数 y ＝ ax2－ x －1只有一个零点，则实数 a ＝ .
解析：当 a ＝0时，令 y ＝－ x －1＝0，解得 x ＝－1，符合题意；当
a ≠0时，函数 y ＝ ax2－ x －1为二次函数，因为函数 y ＝ ax2－ x －1
只有一个零点，所以Δ＝1＋4 a ＝0，解得 a ＝－ ，符合题意.故实
数 a ＝0或－ .
0或－ 　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 求函数的零点
【例1】　（1）求函数 f （ x ）＝的零点；
解：当 x ≤0时，令 x2＋2 x －3＝0，解得 x ＝－3（ x ＝1舍去）；
当 x ＞0时，令－2＋ln x ＝0，解得 x ＝e2.
所以函数 f （ x ）＝的零点为－3和e2.
（2）已知函数 f （ x ）＝ ax － b （ a ≠0）的零点为3，求函数 g （ x ）
＝ bx2＋ ax 的零点.
解：由已知得 f （3）＝0，即3 a － b ＝0，则 b ＝3 a ，
故 g （ x ）＝3 ax2＋ ax ＝ ax （3 x ＋1）.
令 g （ x ）＝0，即 ax （3 x ＋1）＝0，
解得 x ＝0或 x ＝－ .
所以函数 g （ x ）＝ bx2＋ ax 的零点为0和－ .
通性通法
函数零点的求法
（1）代数法：求方程 f （ x ）＝0的实数根；
（2）几何法：对于不能用求根公式的方程 f （ x ）＝0，可以将它与函
数 y ＝ f （ x ）的图象联系起来.图象与 x 轴的交点的横坐标即为
函数的零点.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝2 x2－3 x ＋1的零点是（　　）
解析：　方程2 x2－3 x ＋1＝0的两根分别为 x1＝1， x2＝ ，所以
函数 f （ x ）＝2 x2－3 x ＋1的零点是 ，1.
2. 若 f （ x ）＝则函数 g （ x ）＝ f
（ x ）－ x 的零点为 .
解析：求 g （ x ）的零点即求 f （ x ）＝ x 的根，
∴或
解得 x ＝1＋ （1－ 舍去）或 x ＝1.
∴ g （ x ）的零点为1＋ ，1.
1＋ ，1　
题型二 函数零点个数问题
角度1　判断函数零点个数
【例2】　求函数 f （ x ）＝2 x ＋lg（ x ＋1）－2的零点个数.
解：法一　∵ f （0）＝1＋0－2＝－1＜0， f （1）＝2＋lg 2－2＞0，
∴ f （ x ）在（0，1）上必定存在零点.又显然 f （ x ）＝2 x ＋lg（ x ＋
1）－2在（－1，＋∞）上为增函数.
故函数 f （ x ）有且只有一个零点.
法二　在同一坐标系下作出 h （ x ）＝2－2 x 和 g （ x ）＝lg（ x ＋
1）的草图.由图象知 g （ x ）＝lg（ x ＋1）的图象和 h （ x ）＝2
－2 x 图象有且只有一个交点，即 f （ x ）＝2 x ＋lg（ x ＋1）－2有
且只有一个零点.
通性通法
判断函数零点个数的4种常用方法
（1）利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个
零点；
（2）画出函数 y ＝ f （ x ）的图象，判定它与 x 轴的交点个数，从而判
定零点的个数；
（3）结合单调性，利用零点存在定理，可判定 y ＝ f （ x ）在（ a ，
b ）上零点的个数；
（4）转化成两个函数图象的交点问题.
角度2　根据零点个数求参数范围
【例3】　已知函数 f （ x ）＝（ a ∈R），若函数 f
（ x ）在R上有两个零点，则 a 的取值范围是（　　）
A. （－∞，－1） B. （－∞，0）
C. （－1，0） D. [－1，0）
解析：　当 x ＞0时， f （ x ）＝3 x －1有一个零点 x ＝ .∵函数 f
（ x ）在R上有两个零点，因此当 x ≤0时， f （ x ）＝e x ＋ a ＝0只有一
个实根，∴ a ＝－e x （ x ≤0），则－1≤ a ＜0.
通性通法
已知函数有零点（方程有根）求参数范围的常用方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参
数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解
决；
（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出
函数的图象，然后观察求解.
【跟踪训练】
1. 函数 f （ x ）＝的零点个数是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　方程 x ＋2＝0（ x ＜0）的根为 x ＝－2，方程 x2－1＝0
（ x ＞0）的根为 x ＝1，所以函数 f （ x ）有2个零点：－2与1.
2. 若函数 f （ x ）＝有两个不同的零点，则实数 a 的
取值范围是 　 　.
（0，1]
解析：当 x ＞0时，由 f （ x ）＝ln x ＝0，得 x ＝1.因为函数 f （ x ）
有两个不同的零点，则当 x ≤0时，函数 f （ x ）＝2 x － a 只有一个
零点，令 f （ x ）＝0得 a ＝2 x ，因为0＜2 x ≤20＝1，所以0＜ a ≤1，
所以实数 a 的取值范围是（0，1].
题型三 方程在某区间内有解的判断（证明）
【例4】　求证：方程3 x ＝ 在区间（0，1）内必有一个实数根.
证明：设函数 f （ x ）＝3 x － ＝3 x － ＋1，则函数 f （ x ）在
（0，1）上单调递增.
而 f （0）＝30－2＝－1＜0， f （1）＝31－ ＝ ＞0， f （0）· f （1）
＜0，因为函数 f （ x ）在区间（0，1）内的图象是一条连续曲线，
所以由零点存在定理可知函数 f （ x ）在区间（0，1）内有零点，且只
有一个.
所以方程3 x ＝ 在区间（0，1）内必有一个实数根.
通性通法
判定方程在区间内有解的常用方法
（1）解方程法：当对应方程 f （ x ）＝0易解时，可先解方程，再看求
得的根是否落在给定区间上；
（2）利用零点存在定理：首先看函数 y ＝ f （ x ）在区间[ a ， b ]上的
图象是否连续，再看是否有 f （ a ）· f （ b ）＜0.若有，则函数 y
＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）内必有零点；
（3）数形结合法：通过画函数图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来
判断.
提醒　函数零点存在定理是不可逆的， f （ a ）· f （ b ）＜0 函
数 y ＝ f （ x ）在区间（ a ， b ）内有零点，但是函数 y ＝ f （ x ）
在（ a ， b ）内有零点，不一定能推出 f （ a ）· f （ b ）＜0.
【跟踪训练】
方程ln x ＋ x －3＝0在区间（2，3）内有没有解？为什么？
解：设函数 f （ x ）＝ln x ＋ x －3，
因为 f （2）＝ln 2＋2－3＝ln 2－1＜0， f （3）＝ln 3＋3－3＝ln 3＞
0，且 f （ x ）的图象是一条连续的曲线，
所以由零点存在定理可知方程 f （ x ）＝0在区间（2，3）内有解，即
方程ln x ＋ x －3＝0在区间（2，3）内有解.
1. 函数 f （ x ）＝ x3－4 x 的零点为（　　）
A. （0，0），（2，0）
B. （－2，0），（0，0），（2，0）
C. －2，0，2
D. 0，2
解析：　令 f （ x ）＝0，得 x （ x －2）（ x ＋2）＝0，解得 x ＝0
或 x ＝±2，故选C.
2. 已知定义在R上的函数 f （ x ）的图象是连续不断的，且有如下对应
值表：
x 1 2 3 4
f （ x ） 6.1 2.9 －3.5 －1
那么函数 f （ x ）一定存在零点的区间是（　　）
A. （－∞，1） B. （1，2）
C. （2，3） D. （3，4）
解析：　由表可知 f （1） f （2）＞0， f （2） f （3）＜0， f （3）
f （4）＞0，由零点存在定理可知 f （ x ）一定存在零点的区间是
（2，3）.故选C.
3. （多选）下列图象表示的函数中有两个零点的有（　　）
解析：有两个零点就是函数图象与 x 轴有两个交点，故选C、D.

解析：设 f （ x ）＝ x2＋（ m －2） x ＋1，∵方程 x2＋（ m －2） x ＋
1＝0的两个零点分别在区间（0，1）和（1，2）之内，
∴即解得－ ＜ m ＜0.
　
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