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2025年秋期高三第一次月考数学试题
一、单选题 （本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.）
1. 已知复数满足(其中为虚数单位)，则( )
A. B. C. D.
2. 在等差数列中，，，则
A. B. C. 1 D. 2
3. 已知函数为偶函数，当时，，则
A. B. C. 6 D.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 长为 1 的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑动，则点 关于点 的对称点 的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
6. 已知，，则 ( )
A. B. C. D.
7. 满足, 的有序实数组可以是( )
A. (4, 3, 2) B. (4, 2, 3) C. (3, 9, 2) D. (18, 12, 2)
8. 7. 将6名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为( )
A. 260 B. 280 C. 360 D. 390
二、选择题：（本大题共小题，每小题分，共分. 在每小题给出的选项中，有多项符合要求. 全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分.）
9. 食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为，，的三个食物格子，其中号格子装有个汉堡和个鸡腿，号格子装有个汉堡和个鸡腿，号格子中有个汉堡. 已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样. 已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入个汉堡的记为事件
A，装入 2 个鸡腿记为事件 B，装入 1 个鸡腿，1 个汉堡记为事件 C，事件表示食物取自 i 号格子，下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
10. 化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度 值时会造成
一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差 和乙小组进行的实验数据的误差 均符合正态分布，其中
，，已知正态分布密度函数 ，记 和 所对
应的正态分布密度函数分别为 ，，则( )
A.
B. 乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中
C.
D.
11. 若函数满足:对，都有，则称该函数具有性质，下列函数具有性质的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题:（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.）
12. 若平面向量，，，则实数______.
13. 设函数，若在上有且只有一个极值点，且，则______。
14.已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15.（13分） 已知的面积为，为边的中点，，。
(1)求的长；(2)求角的正弦值。
16. （15分）已知椭圆 上任意一点 到 的两个焦点 的距离之和为 。
(1) 求 的方程；
(2) 已知直线 与 相交于 ， 两点，若 ，求 的值。
17. (15 分) 乒乓球台被球网分成甲、乙两部分，如图，甲被划分为两个不相交的区域 、，乙被划分为两个不相交的区域 、。某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，并规定：回球一次，落点在 上记 分，在 上记 分，其他情况记 分。对落点在 上的来球，队员小明回球的落点在 上的概率为 ，在 上的概率为 ；对落点在 上的来球，小明回球的落点在 上的概率为 ，在 上的概率为 。
(1)假设每次来球都等可能地落在 、 上，现已知小明某次回球落在乙上，求他此次回球得 分的概率；
(2)假设共有两次来球且落在 、 上各一次，小明的两次回球互不影响，求两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望。
18. (17分)四棱锥的底面是正方形，，平面，平面底面.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)判断棱上是否存在一点(不含端点)，使得点，，，，在同
一个球面上，并证明你的结论.
19. （17分）已知函数 。
(1) 当 ， 时，求函数 的单调增区间；
(2) 当 ， 时，设 ，且函数 的图象关于直线 对称，将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 ，求解不等式 ；
(3) 当 ，， 时，若实数 ，， 使得 对任意实数 恒成立，求 的值。2025年秋期高三第一次月考数学试题答案
一、单选题
1. 已知复数满足(其中为虚数单位)，则( )
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】因为，所以，故. 故选：.
2. 在等差数列中，，，则
A. B.
C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】在等差数列中，，. 故选: B
3. 已知函数为偶函数，当时，，则
A. B.
C. 6 D.
【答案】D
【解析】因为函数为偶函数，所以，当时，，
则. 故选：D.
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】
【解析】根据题意由指数函数的单调性可知能推出，即充分性成立；
由可推出，不能推出，即必要性不成立；
5. 长为 1 的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑动，则点 关于点 的对称点 的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】设 ，，，则有 ，，
即 ，，由题意可得 ，即 ，即 ，故选: 。
6. 已知，，则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，因为，则，则，则.故选：D.
7. 满足, 的有序实数组可以是( )
A. (4, 3, 2) B. (4, 2, 3) C. (3, 9, 2) D. (18, 12, 2)
【答案】D
【解析】记, 则,
因为, 所以, 所以,
对于 A, , 故 A 错误; 对于 B, , 故 B 错误;
对于 C, , 故 C 错误; 对于 D, , 故 D 正确.
故选: D.
8. 7. 将6名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，学生不安排到甲地且与学生不安排到同一个地方，则不同的安排方案的种数为( )
A. 260 B. 280 C. 360 D. 390
【答案】A
【解析】(1)三地分别有1人、1人、4人共有种；
①去甲地，如果甲地有1人，则有种，如果甲地有4人，则有种，所以去甲地共有种；
②、去同一个地方，有种；
③、去甲地，有种；
所以，三地分别有1人、1人、4人的情况下，符合题意的共有种；
(2)三地分别有1人、2人、3人共有种；
①去甲地，如果甲地有1人，有种，如果甲地有2人，有种，如果甲地3人，有种，所以去甲地共有种；
②、去同一个地方，如果这个地方有2人，有种，如果这个地方有3人，有种，所以、去同一个地方共有种；
③、去甲地，如果甲地有2人，则有种，如果甲地有3人，则有种，所以、去甲地共有种；
所以，三地分别有1人、2人、3人的情况下，共有种；
(3)三地各有2人，共有种；
①去甲地，有种；
②、去同一个地方，有种；
③ 、 去甲地，有 种；
所以，三地各有 2 人的情况下，符合题意的共有 种；
综上，符合题意的安排方案共有 种，
故选：。
二、选择题：本大题共小题，每小题分，共分. 在每小题给出的选项中，有多项符合要求. 全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分.
9. 食物盲盒是当下店家掀起的“外卖热”，现有编号依次为，，的三个食物格子，其中号格子装有个汉堡和个鸡腿，号格子装有个汉堡和个鸡腿，号格子中有个汉堡. 已知汉堡完全一样，鸡腿也完全一样. 已知店员任意选择食物格子的概率是相同的，若店员在一份外卖中装入个汉堡的记为事件
A，装入 2 个鸡腿记为事件 B，装入 1 个鸡腿，1 个汉堡记为事件 C，事件表示食物取自 i 号格子，下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】对于 A，，故 A 错误；
对于 B，，故 B 正确；
对于 C，，故 C 错误；
对于 D，由于，故，D 正确；
故选：BD
10. 化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度 值时会造成
一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差 和乙小组进行的实验数据的误差 均符合正态分布，其中
，，已知正态分布密度函数 ，记 和 所对
应的正态分布密度函数分别为 ，，则( )
A.
B. 乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中
C.
D.
【答案】AC
【解析】由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大，反之，
标准差越大，数据越分散，峰值越小.
对于两个小组的误差，甲组的标准差 ，乙组的标准差
显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据相对乙组更集中，故 A 正确，B 错误；
，，
，故 C 正确；
，
，
而对于任何正态分布都有 ，
故 ，故 D 错误.
故选：AC.
11. 若函数满足:对，都有，则称该函数具有性质，下列函数具有性质的是( )
A. B.
C. D.
【答案】
【解析】由性质的定义可知，当时，，且时，.
对于，因为的定义域为，值域为，
当时，必有，所以函数不具有性质，故错误；
对于，因为与在上单调递增，所以在上单调递增，
且，即为奇函数，
设，即，则，所以；
设，即，则，
所以，所以函数具有性质，故正确；
对于，取，，即，则，
所以函数不具有性质，故错误；
对于，因为，所以在上单调递增，
且，所以是奇函数，
设，即，则，所以；
设，即，则，
所以，所以函数具有性质，故正确；
故选：
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若平面向量，，，则实数______.
【答案】
【解析】由题意有，
所以，故答案为：。
13. 设函数，若在上有且只有一个极值点，且，则______。
【答案】##
【解析】，且在上有且只有一个极值点，得，
所以，
解得。故答案为：。
14.已知不等式对恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】问题转化为对任意，恒成立，
令，，
令，，令，得，
所以在上，，递增，在上，，递减，
所以，当时，；又，
所以当上，，，递增，
当上，，，递减，所以，
所以，故答案为：.
四、解答题
15. 已知的面积为，为边的中点，，。
(1)求的长；(2)求角的正弦值。
【答案】(1)4(2)
【解析】(1)由已知为边的中点，
所以，即，
又，两式相除得，
所以，又，则，故；
(2)由(1)得，则，
在中，由余弦定理可知，
即，则，
又由正弦定理可知，则。
16. 已知椭圆 上任意一点 到 的两个焦点 的距离之和为 。
(1) 求 的方程；
(2) 已知直线 与 相交于 ， 两点，若 ，求 的值。
【答案】(1)(2)
【解析】(1) 由题意可得 解得 故的方程为.
(2) 联立，得.
，解得.
设，，则，
，
解得，即的值为.
17. (15 分) 乒乓球台被球网分成甲、乙两部分，如图，甲被划分为两个不相交的区域 、，乙被划分为两个不相交的区域 、。某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，并规定：回球一次，落点在 上记 分，在 上记 分，其他情况记 分。对落点在 上的来球，队员小明回球的落点在 上的概率为 ，在 上的概率为 ；对落点在 上的来球，小明回球的落点在 上的概率为 ，在 上的概率为 。
(1)假设每次来球都等可能地落在 、 上，现已知小明某次回球落在乙上，求他此次回球得 分的概率；
(2)假设共有两次来球且落在 、 上各一次，小明的两次回球互不影响，求两次回球结束后，小明得分之和 的分布列与数学期望。
【解析】(1)设事件 表示来球落在 上，事件 表示来球落在 上，事件 表示小明回球落在乙上，事件 表示小明回球得 分
由题意得 ，，，，
由全概率公式，
，因此
故小明此次回球得 分的概率为 。
(2) 可能取值为 ，，，，，，由两次回球结果相互独立可得
，，
，，
分布列如下
P
.
18. (15分)如图，四棱锥的底面是正方形，，平面，平面底面.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)判断棱上是否存在一点(不含端点)，使得点，，，，在同
一个球面上，并证明你的结论.
【解析】解法一：(1)过点作，垂足为，连结，如图，
因为平面底面，平面底面，
所以平面，则，
所以，故即为直线与平面所成的平面角，
因为平面，，平面，所以，，
又因为在正方形中，，所以平面，又，
平面 ADP,
所以 CD ⊥ PE, CD ⊥ PD,
又 PE ⊥ CK, CD ∩ CK = C, CD, CK 底面 ABCD,
所以 PE ⊥ 底面 ABCD, 且 AD 平面 ABCD, 则 PE ⊥ AD,
设正方形 ABCD 的边长为 3a, 则 AE = 2a, PE = , PD = , PA = ,
所以 PC = , BE = ,
故 △BAE ~ △CKB, 则 , 所以 CK = , 故 sin∠CPK = .
(2) 存在, 理由如下: 取 PB 的中点 M, 易知 AM = BM = EM = PM = ,
则 M 为该球球心, 半径 R = ,
设棱 PC 上是存在一点 F, 使得 A, B, E, F, P 在同一个球面上,
则 PM = FM = , 又 BC = 3a, PC = ,
所以在 △BPC 和 △PMF 中, , 解得 PF = ,
故当 F 为棱 PC 上靠近 C 的四等分点时, A, B, E, F, P 在同一个球面上.
解法二: (1) 所以 PE ⊥ 底面 ABCD, 设正方形 ABCD 的边长为 3a, 同法一,
以 E 为原点, EA 为 x 轴, EP 为 z 轴, 过点 E 作 AD 垂线为 y 轴, 如图,
则 M(a, , ), P(0, 0, ), C(-a, 3a, 0),
, , ,
设平面 PBE 的法向量 n = (x, y, z), 则 , 即 , 取 n = (3, -2, 0),
所以 PC 与平面 PBE 所成角的正弦值 sinθ = |cos| = .
(2) 存在, 理由如下:
取 BP 的中点 M, 易知 AM = BM = EM = PM = ,
以 E 为原点, EA 为 x 轴, EP 为 z 轴, 过点 E 作 AD 垂线为 y 轴, 如图,
设 λ = , 则 , ,
所以 R = || = ,
解得 λ = 或 λ = 0(舍去),
综上, 当 F 为棱 PC 上靠近 C 的四等分点时, A, B, E, F, P 在同一个球面上.
19. 已知函数 。
(1) 当 ， 时，求函数 的单调增区间；
(2) 当 ， 时，设 ，且函数 的图象关于直线 对称，将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 ，求解不等式 ；
(3) 当 ，， 时，若实数 ，， 使得 对任意实数 恒成立，求 的值。
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1) 当 ， 时，，
令 ，可得 ，
所以 的单调增区间为 。
(2) 当 ， 时，，其中 ，
因为 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，
将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，
由 ，得 ，则 ，
解得 ，所以不等式的解集为 。
(3) 当 ，， 时，，
其中 且 ，
所以 ，可化为 ，
即 ，
所以 。
由已知条件，上式对任意 恒成立，所以 ，
若 ，则由(1)知 ，显然不满足(3)式，故 ，
所以由(2)知 ，故 或 ，
当 时，，则(1)、(3)两式矛盾，
故，，由(1)、(3)知，
所以。

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