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重庆市高2026届拔尖强基联盟高三上十月联合考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题为真命题的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.设，则( )
A. B. C. D.
5.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.底面半径为的圆锥，其轴截面中两条母线的夹角为钝角，那么其侧面展开所得扇形的面积可能是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示若，，，四点在同一个圆上，则( )
A. B. C. D.
8.若函数，，则恒成立时，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. B.
C. 已知角的终边，则 D. 函数的图象关于点对称
10.设是定义在上的奇函数，且当时，，则( )
A. B. 当时，
C. 恰有个零点 D.
11.在中，角，，所对边分别为，，，的中点为，，且，延长到，使点为线段的中点，下列说法正确的是( )
A. B. 的面积的最大值为
C. 若为锐角三角形，的取值范围为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设函数，则 ．
13.已知函数，，，则的最大值为 ．
14.勾股数是指一组能构成直角三角形边长的正整数，即已知有三个三角形的边长均为勾股数，其中两个三角形的三边长为和，若这三个三角形的最小角之和恰为，则第三个三角形周长的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，平面四边形中，的面积为，为的角平分线，，．
求边的长度
若的外接圆直径，求的周长．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点，满足．
证明：平面
若，平面，，，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛联赛积分规则为：胜一场得分，平一场得分，负一场得分九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有支球队进行单循环比赛每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次已知九龙坡区队在与赛区中任何一个对手比赛时，获胜的概率均为，平局的概率均为，失利的概率均为，且各场比赛结果相互独立．
九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用模拟了该球队在种不同观众人数单位：千人下的比赛表现每场均模拟完整的小组赛模拟数据如下：
场均观众人数千人
小组赛积分
请计算场均观众人数千人与小组赛积分的样本相关系数精确到，并说明两者之间的线性相关程度
九龙坡区队在月日的揭幕赛中以失利于渝中区队，积分根据赛事规则推算，在中心城区赛区，球队至少需要获得分才有晋级总决赛的可能求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得分的概率．
附：相关系数，
18.本小题分
已知椭圆的左右焦点分别为，，其长轴长为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，点在轴上方，线段的中点为，的重心为．
求椭圆的方程
若，和面积分别为，．
(ⅰ)求的取值范围
(ⅱ)求的取值范围．
19.本小题分
给定函数，若曲线上存在个不同的点，，，满足曲线在在，，，这个点处的切线重合，则称集合为函数所对应的一个“重切点集”．
函数，求出对应的一个“重切点集”
函数，，求出对应的一个“重切点集”
函数，是否存在对应的“重切点集”，如果有，请写出如果没有，请说明理由．
参考答案
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15.解：因为为的角平分线，，所以，
而，因此由的面积为得：，解得，
所以由余弦定理得：．
因为的外接圆直径，所以，
而由知：，因此，而，
所以由余弦定理得：，解得或，
因此的周长为或．
16.证明：如图：
取的中点，连接、．
因为点是线段的中点，所以，
而平面，平面，因此平面．
在三棱柱中，因为，所以，
因此四边形是平行四边形，所以，
而平面，平面，因此平面．
因为、平面，，所以平面平面，
而平面，因此平面．
因为平面，、平面，所以、，
而，因此、、两两垂直，
所以以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系如下图：
在三棱柱中，因为，，
所以、、、、，
因此，，．
设平面的法向量为，
因此由得：
所以取得，，因此是平面的一个法向量．
若直线与平面所成角为，
则，
因此直线与平面所成角的正弦值为．
17.场均观众人数均值，小组赛积分均值，
计算分子：
分子总和为，
计算分母项：
分母为
则，说明场均观众人数与小组赛积分高度正线性相关；
支球队单循环赛，每队需赛场，揭幕赛已赛场负，积分，故剩余场，
设剩余场中胜场、平场、负场为非负整数，满足：
且
由且，得，
故的可能取值为，，
当时：，结合，得，，
组合数选场胜、场平为，概率为；
当时：，结合，得或：
，：组合数，概率；
，：组合数，概率；
总概率为；
当时：，，组合数，概率为；
所有情况概率之和为
18.解：因为椭圆的长轴长为，所以，而其离心率为，因此，
所以椭圆的方程为．
因为椭圆的左右焦点分别为，，所以、．
因为过点的直线交椭圆于，两点，点在轴上方，所以直线的斜率不为，因此设直线的方程为．
因为点在轴上方，所以设、．
由得：，，
因此，．
因为，所以且，因此，．
当过点的直线与轴垂直时，由，结合椭圆的对称性知：，因此为所求．
当过点的直线与轴垂直时，由，结合椭圆的对称性知：，因此由得：．
当时，由得：，代入得：，
即，即，结合解得：或．
综上所述，的取值范围是．
(ⅱ)因为线段的中点为，点是线段的中点，连接、、，
所以，，，
因此．
因为点是的重心，
所以．
因为由知：且，而，
所以，，
因此．
因为关于函数是减函数，且当时，；当时，，
所以的取值范围是．
19.解：
时，，时，，
设切线切于点，切于点，
则，
解得，
函数对应的一个“重切点集”为，
．
由 得，
为函数的最大值点，
分别令，，，，可得四个最大值点，
每一个最大值点处有一条重合的切线，
函数，
对应的一个“重切点集”为，
假设，存在对应的“重切点集”，
设公共切线切曲线于，
，
则切线方程分别为，
和
从而 且，
由得，由得，
所以，
得，
显然不恒为，
故，不合题意，
故，不存在对应的“重切点集”．
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