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2025-2026学年山东省金乡县青华园实验高中高二（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中山路上有，，三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为秒，秒，秒，某辆车在中山路上行驶，则在三处都不停车的概率是( )
A. B. C. D.
2.两个事件，相互独立，则( )
A. B.
C. D.
3.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字，，，把两个玩具各抛掷一次，向下的面的数字之和能被整除的概率为( )
A. B. C. D.
4.围棋起源于中国，据先秦典籍世本记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有位，另外一个小组有位，则甲和乙不在同一个小组的概率为( )
A. B. C. D.
5.有一个正方体的玩具，六个面标注了数字，，，，，，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷一次，记下正方体朝上的数字为，再由乙抛掷一次，朝上数字为，若就称甲、乙两人“默契配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为( )
A. B. C. D.
6.现有张分别标有，，，，，，的卡片，甲一次性从中随机抽取张卡片，抽到的卡片数字之和为，剩下的张卡片数字之和为，则的概率为( )
A. B. C. D.
7.现有张完全相同的卡片，分别写有字母，，，，，从中任取一张，看后再放回，再任取一张甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为”，丙表示事件“两次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则( )
A. 乙与丁相互独立 B. 甲与丙相互独立 C. 丙与丁相互独立 D. 甲与乙相互独立
8.当时，若，则事件与( )
A. 互斥 B. 对立 C. 独立 D. 不独立
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.概率是对随机事件发生可能性大小的度量，通过实验和观察的方法可以得到实验中某事件发生的频率，进而用频率得到某事件的概率的估计．
利用计算机模拟掷两枚硬币的实验，在重复实验次数为，，时各做组实验，得到事件“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数和频率表如下：
序号
频数 频率 频数 频率 频数 频率
用折线图表示频率的波动情况如图所示：
根据以上信息，下面说法正确的有( )
A. 实验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B. 实验次数较小时，频率波动较大；实验次数较大时，频率波动较小；所以实验时，实验次数越少越好
C. 随机事件发生的频率会随着实验次数增加而逐渐稳定在一个固定值即随机事件发生的概率附近
D. 我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机实验得到事件发生的频率即为概率
10.抛掷一枚骰子次，记“向上的点数是，，“为事件，“向上的点数是，“为事件，“向上的点数是，，“为事件，“向上的点数是，，，“为事件，则下列关于事件，，，判断正确的有( )
A. 与是互斥事件但不是对立事件 B. 与是互斥事件也是对立事件
C. 与是互斥事件 D. 与不是对立事件也不是互斥事件
11.下列对各事件发生的概率判断正确的是( )
A. 某学生在上学的路上要经过个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第个路口首次遇到红灯的概率为
B. 三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为
C. 甲袋中有个白球，个红球，乙袋中有个白球，个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为
D. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生不发生的概率与发生不发生的概率相同，则事件发生的概率是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从双鞋子中，任取只，其中至少有两只鞋是一双，这个事件是______填“必然”，“不可能”或“随机”事件．
13.已知事件，互相独立，且，则 ______．
14.袋子中装有分别标注数字为，，，，的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为或的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．
某小组有名男生和名女生，从中任选名同学去参加演讲比赛，其中：
“恰有名男生”和“恰有名男生”；
“至少有名男生”和“至少有名女生”；
“至少有名男生”和“全是男生”；
“至少有名男生”和“全是女生”．
16.本小题分
某单位有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为，，，现在通过某项检查，采用分层抽样的方法从中抽取人进行前期检查．
求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？
若所抽取的人中恰有人合格，人不合格，现从这人中再随机抽取人检查，求至少有人合格的概率．
17.本小题分
从一副扑克牌去掉大、小王，共张中随机选取张，试求下列事件的概率：
这张牌是红色牌；
这张牌是黑色；
这张牌是黑色、黑色或黑色；
这张牌牌面是的倍数且是红色；
这张牌不是方片．
18.本小题分
袋中装有个形状、大小完全相同的球，其中黑球个、白球个、红球个，规定取出一个黑球记分，取出一个白球记分，取出一个红球记分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的个球，规定取出球的总积分多者获胜．
求甲、乙成平局的概率；
从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性．
19.本小题分
如图在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面，、分别是、的中点．
证明：；
若是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求点的位置．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.必然
13.
14.
15.在所选名同学中，“恰有名男生”实质选出的是“名男生和名女生”，
它与“恰有名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件．
“至少有名男生”包括“名男生和名女生”和“名都是男生”两种结果，
而“至少有名女生”包括“名男生和名女生”和“名都是女生”两种结果，
它们可能同时发生，所以不是互斥事件．
“至少有名男生”包括“名男生和名女生”和“名都是男生”两种结果，
这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件．
“至少有名男生”包括“名男生和名女生”和“名都是男生”两种结果，
它与“全是女生”不可能同时发生，所以是互斥事件．
16.解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为：：，
由于采用分层抽样的方法从中抽取人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人，人，人．
该企业总共有名员工，
记事件：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，
所以每一位员工被抽到的概率为．
记事件：“至少有人合格”，
记其中合格的人的分别为，，不合格的人的分别为，，，，
则从人的中随机抽取人的所有可能结果有：
，，，，，，，，，，
，，，，，共种，
其中至少有人的合格的结果有：
，，，，，，，，，共种，
故至少有人的合格的概率为．
17.根据题意，这副牌共有张，
这张牌是红色牌有张，这张牌是红色牌的概率为；
这张牌是黑色有张，这张牌是黑色的概率为；
这张牌是黑色、黑色或黑色有张，这张牌是黑色、黑色或黑色的概率为；
这张牌牌面是的倍数且是红色有张，这张牌牌面是的倍数且是红色的概率为；
这张牌不是方片有张，这张牌不是方片的概率为．
18.解：记黑球为，号，白球为，号，红球为，号，
则甲的可能取球共有以下种情况：
，，，，，，，，，，
，，，，，，，，，，
甲乙平局时都得分，所以甲取出的三个小球是一黑一白一红，共种情况，
故平局的概率．
甲获胜时，得分只能是分或分，即取出的是红白，红白，红黑共种情况，
故先取者甲获胜的概率，
后取者乙获胜的概率，
所以，故先取后取获胜的概率一样．
19.证明：连接，且是的中点，．
又平面平面，平面平面，平面．
平面，平面，．
又为菱形，且、分别为棱、的中点，．
，，又，，平面，平面，
平面；
平面，．
解：如图，连接、，
设，则，，
又．
解得，即点在上靠近点的四等分点处．

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