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2024-2025学年山东省青岛市莱西市日庄中心中学九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各数中，比-2小的数是（　　）
A. -1 B. -4 C. 4 D. 1
2.“致中和，天地位焉，万物育焉”，对称之美随处可见.下列选项分别是扬州大学、扬州中国大运河博物馆、扬州五亭桥、扬州志愿服务的标识，其中的轴对称图形是（　　）
A. B.
C. D.
3.如图所示，该几何体的左视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（　　）
A. 1.56×10-3 B. 0.156×10-3 C. 1.56×10-6 D. 15.6×10-7
5.下列计算正确的是（　　）
A. 4a2+2a2=6a4 B. 5a 2a=10a C. a6÷a2=a3 D. （-a2）2=a4
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O.过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC=50°，则∠ABC的度数是（　　）
A. 50°
B. 100°
C. 130°
D. 150°
7.为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（　　）
A. 9.2 B. 9.4 C. 9.5 D. 9.6
8.在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2，4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（　　）
A. （-1.6，-1） B. （-1，-1.6） C. （1.6，1） D. （1，-1.6）
9.如图，菱形ABCD中，点O是BD的中点，AM⊥BC，垂足为M，AM交BD于点N，OM=2，BD=8，则MN的长为（　　）
A. B. C. D.
10.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（-1，-2），抛物线与y轴的交点位于x轴上方.以下结论正确的是（　　）
A. a＜0 B. c＜0 C. a-b+c=-2 D. b2-4ac=0
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算= ______.
12.一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α=15°.顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β=45°，则EF与FG所成锐角的度数为______.
13.关于x的一元二次方程（m-2）x2+4x+2=0有两个实数根，则m的取值范围是______.
14.图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中AB=AB′，AB⊥B′C于点C，BC=1尺，B′C=3尺，设AC的长度为x尺，可列方程为______.
15.为了促进城乡协调发展，实现共同富裕，某乡镇计划修建公路，如图，与是公路弯道的外、内边线，它们有共同的圆心O，所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，公路弯道外侧边线比内侧边线多36米，则公路宽AC的长是 米.（π取3.14，计算结果精确到0.1）
16.对于一个二次函数y=a（x-m）2+k（a≠0）中存在一点P（x′，y′），使得x′-m=y′-k≠0，则称2|x′-m|为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为______.
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
如图，∠BAC=45°，D，E在AB上，作⊙O经过D，E两点且与AC相切.
18.(本小题8分)
（1）解不等式组：；
（2）化简：.
19.(本小题8分)
在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”.将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀.
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是______；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”.甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率.
20.(本小题8分)
某校为掌握学生对垃圾分类的了解情况，在全校范围内抽取部分学生进行调查问卷，并将收集到的信息进行整理，绘制成如图所示不完整的统计图，其中A为“非常了解”，B为“了解较多”，C为“基本了解”，D为“了解较少”.请你根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了______名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中“了解较少”所对应的圆心角度数；
（3）若全校共有1200名学生，请估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题.
21.(本小题8分)
如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面30m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为多少米？（结果精确到1m,参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（-1，n）、B（2，1）.
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）直接写出当时x的取值范围.
23.(本小题8分)
为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为50g,营养成分表如下.
（1）若要从这两种食品中摄入4600kJ热量和70g蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于90g,且热量最低，应如何选用这两种食品？
24.(本小题8分)
已知：如图，E，F为 ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF.
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）连接DE，BF，当△ACD满足什么条件时，四边形BEDF是菱形？
25.(本小题8分)
从地面竖直向上发射的物体离地面的高度h（m）满足关系式h=-5t2+v0t,其中t（s）是物体运动的时间，v0（m/s）是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球.
（1）小球被发射后______s时离地面的高度最大（用含v0的式子表示）.
（2）若小球离地面的最大高度为20m,求小球被发射时的速度.
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同.小明说：“这两次间隔的时间为3s.”已知实验楼高15m,请判断他的说法是否正确，并说明理由.
26.(本小题8分)
已知：如图，在矩形ABCD中，AB=24cm,BC=16cm,点E为边CD的中点，连接BE，EF⊥BE交AD于点F.点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为3cm/s,当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.设运动时间为t（s）（0＜t＜8）.解答下列问题：
（1）当t为何值时，点P在线段BQ的垂直平分线上？
（2）连接PQ，设五边形AFEPQ的面积为y（cm2），求 y与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t,使点Q在∠AFE的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】2-
12.【答案】60°
13.【答案】m≤4且m≠2
14.【答案】x2+32=（x+1）2
15.【答案】28.7
16.【答案】4
17.【答案】解：如图，⊙O为所作．

18.【答案】-6＜x≤13；
a+2
19.【答案】解：（1）；
（2）列表如下：
石头 剪子 布
石头 （石头，剪子） （石头，布）
剪子 （剪子，石头） （剪子，布）
布 （布，石头） （布，剪子）
共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：（石头，剪子），（剪子，布），（布，石头），共3种，
∴甲取胜的概率为．
20.【答案】（1）50
（2）“了解较少”所对应的圆心角度数为：，
50×34%=17（人）
补全图形如下：
（3）（名），
估计全校有多少名学生“非常了解”垃圾分类问题有480名．
21.【答案】17m．
22.【答案】反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为y=x-1；
-1≤x＜0或x≥2
23.【答案】解：（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意得：，
解得：．
∴应选用A种食品4包，B种食品2包；
（2）设选用A种食品m包，则选用B种食品（7-m）包，
根据题意得：10m+15（7-m）≥90，
解得：m≤3．
设每份午餐的总热量为w kJ，则w=700m+900（7-m），
即w=-200m+6300，
∵-200＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=3时，w取得最小值，此时7-m=7-3=4．
∴应选用A种食品3包，B种食品4包．
24.【答案】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
当AD=DC时，四边形BEDF为菱形
25.【答案】解：（1）；
（2）当t=时， h=20．
．
解得：v0=20．
∴小球被发射时的速度是20m/s；
（3）小明的说法不正确．
理由如下：
由（2）得：h=-5t2+20t.
当h=15时，15=-5t2+20t.
解方程，得：t1=1，t2=3．
∵3-1=2（s），
∴小明的说法不正确．
26.【答案】解：（1）∵AB=24cm,BC=16cm,点E为边CD的中点，
∴CE=12cm,
在Rt△ECB中，根据勾股定理，得BE==20（cm），
过P作PG⊥QB于G，
若点P在线段BQ的垂直平分线上，
则PQ=PB，GB= BQ= （24-3t），
∵∠C=∠PGB=90°，
∵CD∥AB，
∴∠PBG=∠BEC，
∴△PBG∽△BEC，
∴，即 ，
∴t=，
∴当t= 时，点P在线段BQ的垂直平分线上；
（2）∵四边形ABCD是矩形，AB=24cm,BC=16cm,点E为边CD的中点，
∴DE=CE=12，∠C=∠D=90°，∠DEF+∠DFE=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠DEF+∠CEB=90°，
∴∠DFE=∠CEB，
∴△DFE∽△CEB，
∴，即 ，
∴DF=9，
由（1）知，△PBG∽△BEC，
∴，即 ，
∴PG=，
∴五边形AFEPQ的面积y=S矩形ABCD-S△BEC-S△DEF-S△PBQ
=24×16-×12×16-×12×9- （24-3t）×=，
∴y与t的函数关系式为：y=；
（3）存在，理由如下：
过Q作QM⊥EF于M，若点Q在∠AFE的平分线上，则QM=QA，分别延长EF、BA相交于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△OAF∽△EDF，
∴=，
∴OA=，
∴OB=AB+OA=24+=，
∵QM⊥EF，EF⊥BE，
∴QM∥BE，
∴=，即=，
∴QM=t+，
∴t+=3t,
解得：t=．
综上所述，存在，t的值是．
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