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2024-2025学年辽宁省鞍山五十一中九年级（下）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一只不透明袋子中装有1个绿球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同，某课外学习小组做摸球试验，将口袋中的球拌匀，从中随机摸出个球，记下颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，获得数据如下：
摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000
摸到黑球的频数 142 186 260 668 1064 1333
摸到黑球的频率 0.7100 0.6200 0.6500 0.6680 0.6650 0.6665
该学习小组发现，摸到黑球的频率在一个常数附近摆动，由此估计这个口袋中黑球有（　　）个．
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2.右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（　　）
A.
B.
C.
D.
3.已知关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+a2=1的常数项是0，则a的值为（　　）
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0
4.最近北京2022年冬奥会的吉祥物“冰墩墩”成为了互联网的“顶流”，他呆萌的形象受到了人们的青睐，结合你所学知识，从下列四个选项中选出能够和如图的图片成中心对称的是（　　）
A. B. C. D.
5.若函数与y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+kc的大致图象为（　　）
A. B.
C. D.
6.一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆CD与底部支架AB所成锐角α=15°.顶部支架EF与灯杆CD所成锐角β=45°，则EF与FG所成锐角的度数为（　　）
A. 60°
B. 55°
C. 50°
D. 45°
7.电影《哪吒2》于春节档上映，首月累计票房约35亿元，第三个月全球累计票房约140亿元.若每月累计票房的增长率相同，设增长率为x,根据题意可列方程为（　　）
A. 35（1+x）=140 B. 35（1+x）2=140
C. 35（1-x）2=140 D. 35+35（1+x）+35（1+x）2=140
8.如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD长为半径作弧，两弧交于点M，N；②作直线MN，与CD交于点E，连接BE，若AD=4，直线MN恰好经过点A，则BE的长为（　　）
A. B. C. D.
9.已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）都在二次函数y=-x2+2x-1的图象上，且x1＜x2＜1＜x3，则下列结论可能成立的是（　　）
A. y1＜y2＜y3＜0 B. 0＜y1＜y2＜y3 C. y1＜y2＜0＜y3 D. y3＜y2＜y1＜0
10.如图，二次函数：y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x=1，点B坐标为（-1，0），则下面的五个结论：
①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③当y＜0时，x＜-1或x＞3；④2c+3b=0；⑤a+b≥m（am+b）（m为实数），其中正确的结论是（　　）
A. ②③④⑤
B. ①③④⑤
C. ①②④⑤
D. ①②③⑤
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.有四张不透明的卡片为2，，π，，除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 .
12.如图，在四边形ABCD中，已知∠A=90°，分别以点B，C，D为圆心，以1cm长为半径作圆，求阴影部分的面积之和 .
13.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△DOE：S△COA=1：16，则S△BDE：S△CDE= .
14.如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数图象上，AC⊥y轴于点C，BD∥x轴交OA于点D，，BD=4，OB=8，则k的值为______.
15.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点（点F不与点AD重合）.将△AEF沿EF所在直线翻折，点A的对应点为A′，连接A′D，A′C.当△A′DC是等腰三角形时，AF的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+（2k-3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2.
（1）求k的取值范围；
（2）若（x1+1）（x2+1）=7，求k的值.
17.(本小题8分)
“欢乐斗地主”是一种3人（两个农民联合对抗一名地主）的棋牌类游戏.它由一副扑克牌（54张）组成，任意一家出完牌后结束游戏，若是地主先出完牌则地主胜，否则农民胜.牌的大小：火箭（大、小王）＞炸弹（4张相同数值的牌）＞任意其他的牌.
（1）如果地主手中没有大小王，则出现火箭的概率为______；
（2）如果地主手中没有K，求出现K炸的概率.
18.(本小题8分)
如图，△AOB中，∠ABO=90°，边OB在x轴上，反比例函数y=（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB=12.
（1）设点M的坐标为（m,n），求反比例函数的解析式；
（2）若AN=，求直线MN的解析式.

19.(本小题10分)
根据以下素材，探索完成任务.
如何拟定计时器的计时方案？
问题背景 “漏刻”是我国古代的一种计时工具（如图1），
它是中国古代人民对函数思想的创造性应用.
素材1 为了提高计时的准确度，需稳定“漏水壶”
的水位.如图2，若打开出水口B，水位就
稳定在BC位置，随着“受水壶”内的水
逐渐增加，读出“受水壶”的刻度，就可以确定时间.
小明想根据“漏刻”的原理制作一个简易计时器.
素材2 实验发现，当打开不同的出水口时，水位
可以稳定在相应的高度，从而调节计时时
长T（即“受水壶”到达最高位200mm的
总时间）.右表是记录“漏水壶”水位高度
h（mm）与“受水壶”每分钟上升高度x（mm）
的部分数据，已知h关于x的函数表达式
为：h=ax2+c. h（mm）…72162288…x（mm/min）…101520…
问题解决
任务1 确定函数关系 求h关于x的函数表达式.
任务2 探索计时时长 “漏水壶”水位定在98mm时，求计时器的计时时长T.
任务3 拟定计时方案 小明想要设计出“漏水壶”水位高度和计时时长都是
整数的计时器，且“漏水壶”水位需满足
112.5mm～220.5mm（含112.5mm,220.5mm）.
请求出所有符合要求的方案.
20.(本小题8分)
如图1，在一个坡角（∠MON）为30°的斜坡ON上有一棵大树AB（与地面垂直），从斜坡底端O点处测得大树顶端B的仰角（∠MOB）为60°，OA=6.4m.
（1）求大树AB的高度；
（2）如图2，某时刻太阳光线与水平线的夹角为26.5°，大树AB在阳光下的影子AD落在斜坡上，求影子AD的长度.（结果精确到0.1m,参考数据：tan26.5°≈0.50，sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，，
21.(本小题8分)
如图1，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，连接CB，CD，延长CA，BD交于点E，∠BDC=2∠ABE．
（1）求证：AE=AB；
（2）如图2，过点D作⊙O的切线交AE于点F，若DF=，CD=，求EF长．
22.(本小题12分)
正方形ABCD边长为2，点E在边BC上.将△ABE沿AE翻折至△AEF，延长EF交CD于点G，连接AG.
（1）如图1，求证：∠DAG=∠FAG；
（2）当点E是BC中点时，
①如图2，求tan∠CGE的值；
②如图3，连接BD，取BD中点O，连接OF并延长交CD于点M.求的值.
23.(本小题13分)
我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”.根据该约定，完成下列各题.
（1）下列函数是“T函数”的有______.（填序号）
③y=x+1；②y=2024x2+3；③y=||；④y=-x2+2x+2024.
（2）已知二次函数y=（k+1）x2+（k2-1）x+1（k为常数）是“T函数”，将此“T函数”进行平移.
①得到新的二次函数y=ax2+bx+c（c＜0）图象与x轴交于A，B两点（点A在B的左侧），与y轴交于点C，若AB=2，且满足∠ACO=∠ABC，求平移后新函数的解析式；
②若得到新的二次函数y=ax2+bx+c图象顶点落在直线y=2x上，当2≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为6，直接写出平移后新函数的顶点坐标；
（3）关于x的“T函数”L：y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与抛物线y=-形状相同，函数的最小值为1，若点，，点D为函数L上任意一点，当∠PDQ＜30°时，直接写出点D的纵坐标y的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】π
13.【答案】1：3
14.【答案】
15.【答案】或1或
16.【答案】解：（1））Δ=（2k-3）2-4k2
=4k2-12k+9-4k2
=-12k+9．
∵原方程有两个不相等的实数根，
∴-12k+9＞0，
解得 k＜，
即实数k的取值范围是 k＜；
（2）由根与系数的关系，x1+x2=-2k+3，x1x2=k2，
∵（x1+1）（x2+1）=7，
∴x1x2+x1+x2+1=7，
∴k2-2k+3+1=7，
化简得k2-2k-3=0，
（k-3）（k+1）=0
∴k=3或k=-1，
又∵k＜，
∴k=-1．
17.【答案】；
．
18.【答案】解：（1）过M作MH⊥x轴于H，如图：
∵MH∥AB，
∴△OMH∽△OAB，
∵M为斜边OA的中点，
∴=（）2=，即=，
∴S△OMH=3，
∴=3，
∴k=±6，
∵k＞0，
∴k=6；
∴y=（x≠0），
（2）设OB=m,则N（m,），
∴AB=+，
∵S△AOB=12，
∴m（+）=12，
解得m=4，
∴N（4，），
∵OH=OB，
∴OH=2，
在y=中，令x=2得y=3，
∴M（2，3），
由M（2，3），N（4，）得直线MN解析式为y=-x+．
19.【答案】解：任务1：
把x=10，h=72和x=20，h=288分别代入h=ax2+c,
得，
解得
所以h关于x的函数关系式为h=0.72x2；
任务2：
当h=98时，98=0.72x2，
解得x=或x=-（舍去），
∴T===（min），
∴计时器的计时时长为min；
任务3：
由112.5≤h≤220.5，得12.5≤x≤17.5，
∵，
∴．
∵h和T都是整数，
∴T=12，13，14，15，16，
当T=12时，，h=200；
当T=13时，x=，h=0.72×≈170.41；
T=14时，x==，h=0.72×≈146.94；
当T=15时，，h=128；
所以符合要求的方案有两种，
方案一，“漏水壶”水位高度为128mm,计时器计时时长15min；
方案二，“漏水壶”水位高度为200mm,计时器计时时长12min.
20.【答案】解：（1）延长BA交OM于点C，
由题意得：∠BCO=90°，
∵∠MOB=60°，
∴∠B=90°-∠BOM=30°，
∵∠MON=30°，
∴∠BON=∠BOM-∠MON=30°，
∴∠B=∠BON=30°，
∴AO=AB=6.4m,
∴大树AB的高度为6.4m；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，
设AE=x m,
∵AB=6.4m,
∴BE=AB-AE=（6.4-x）m,
由题意得：DE∥OM，
∴∠EDO=∠NOM=30°，
在Rt△ADE中，AD=2AE=2x（m），DE=AE=x（m），
在Rt△BED中，∠BDE=26.5°，
∴DE===2（6.4-x）m,
∴x=2（6.4-x），
解得：x=25.6-12.8，
∴AD=2x=51.2-25.6≈6.9（m），
∴影子AD的长度约为6.9m.
21.【答案】（1）证明：∵∠ACD=∠ABE，∠BDC=2∠ABE，
∴∠BDC=2∠ACD，
∵∠BDC=∠E+∠ACD，
∴∠ACD=∠E，
∴∠ABE=∠E，
∴AE=AB；
（2）解：连接AD，OD，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
由（1）知，∠E=∠ABE，
∵∠CAB=∠ABE+∠E，
∴∠CAB=2∠ABE，
∵∠AOD=2∠ABE，
∴∠CAB=∠AOD，
∴OD∥CE，
∴DF⊥CE，
∵DF=，CD=，
∴CF==6，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BE，BC⊥CE，
∴DF∥BC，
∵AB=AE，
∴BD=DE，
∴CF=EF=6．
22.【答案】（1）证明：∵正方形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
由翻折变换的性质可知AB=AF，∠B=∠AFE=90°，
∴AF=AD，∠AFG=∠D=90°，
∵AG=AG，
∴Rt△AGD≌Rt△AGF（HL），
∴∠DAG=∠FAG；
（2）解：①由（1）可知△AGD≌△AGF，
∴GD=GF，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=EF=1，
设GD=GF=x,
在Rt△CGE中，EG2=CG2+EC2，
∴（1+x）2=（2-x）2+12，
∴x=，
∴CG=2-=，
∴tan∠CGE===；
②如图3中，连接BF，CF，BF交AE于点J，过点F作FH⊥BC于点H．
∵AB=2，BE=1，∠ABE=90°，
∴AE==，
由翻折变换的性质可知，AB=AF=2，BE=EF=1，
∴AE垂直平分线段BF，
∴BJ=JF，
∵ AB BE= AE BJ，
∴BJ==，
∴BF=，
∵∠FBC+∠ABF=90°，∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠FBC，
∴tan∠FBC=tan∠BAE，
∴=，
∴=，
∴CF=，
∵ BF CF= BC FH，
∴FH==，
∴CH===，
∴EH=CE-CH=1-=，
∵OE∥FH∥CM，
∴===．
23.【答案】②③；
①y=2x2+2x-或y=2x2-2x-；②（4-，8-2）或（2-，4-2）；
y＞2-2
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