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11.3乘法公式
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 平舆县期末）如图，从边长为a+1的正方形纸片中剪去一个边长为a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　）
A．4a B．2a C．a2﹣1 D．2
2．（2024秋 湛江期末）已知（x﹣2024）2+（x﹣2026）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（　　）
A．4 B．18 C．12 D．16
3．（2024秋 通辽期末）下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（2x+1）（﹣2x﹣1）
C．（3x﹣y）（﹣3x+y） D．（﹣m+n）（﹣m﹣n）
4．（2024秋 抚顺县期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
二．填空题（共5小题）
5．（2024秋 敖汉旗校级期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为7和30，则图乙面积为　 　 ．
6．（2024秋 桐柏县期末）有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与38，则正方形B的面积为　 　 ．
7．（2025春 宿城区校级月考）一个底面是正方形的长方体，高为6cm，底面正方形的边长为5cm．如果它的高不变，底面正方形边长增加了a cm，那么它的体积增加了　 　 cm3（用含a的代数式表示）．
8．（2025春 沙坪坝区校级期末）若x+y＝5，xy＝6，则（x﹣y）2﹣2x﹣2y＝ 　 　 ．
9．（2024秋 沙市区期末）计算12﹣22+32﹣42+52﹣62+ +992﹣1002的值为　 　 ．
三．解答题（共2小题）
10．（2024秋 龙潭区校级期末）化简：（a﹣2）2+4（a﹣1）﹣（a+2）（a﹣2）．
11．（2024秋 汉川市期末）如图1，长方形的长为4b，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图2“回形”正方形，
【自主探究】
（1）观察图1、图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系式是 　 　 ；
【知识运用】
（2）若2x﹣3y＝5，xy＝1，运用你所得到的公式，计算（2x+3y）2的值；
【知识延伸】
（3）已知（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝10，求（x﹣2024）2的值．
11.3乘法公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．（2024秋 平舆县期末）如图，从边长为a+1的正方形纸片中剪去一个边长为a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（　　）
A．4a B．2a C．a2﹣1 D．2
【考点】平方差公式的几何背景．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据拼图用代数式表示拼成的长方形的长与宽，进而利用长方形的面积公式进行计算即可．
【解答】解：根据拼图可知，拼成的长方形的长为（a+1）+（a﹣1）＝2a，宽为（a+1）﹣（a﹣1）＝2，因此面积为2a×2＝4a，
故选：A．
【点评】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼成后长方形的长与宽是正确解答的关键．
2．（2024秋 湛江期末）已知（x﹣2024）2+（x﹣2026）2＝38，则（x﹣2025）2的值是（　　）
A．4 B．18 C．12 D．16
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】设x﹣2025＝a，将已知式子变形为（x﹣2025+1）2+（x﹣2025﹣1）2＝38，然后根据完全平方公式计算，得出a2的值，即可得出答案．
【解答】解：设x﹣2025＝a，
∵（x﹣2024）2+（x﹣2026）2＝38，
∴（x﹣2025+1）2+（x﹣2025﹣1）2＝38，
∴（a+1）2+（a﹣1）2＝38，
∴a2+2a+1+a2﹣2a+1＝38，
∴2a2+2＝38，
∴2a2＝36，
∴a2＝18，
即（x﹣2025）2＝18，
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
3．（2024秋 通辽期末）下列算式能用平方差公式计算的是（　　）
A．（2a+b）（2b﹣a） B．（2x+1）（﹣2x﹣1）
C．（3x﹣y）（﹣3x+y） D．（﹣m+n）（﹣m﹣n）
【考点】平方差公式；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据平方差公式的结构特征逐项进行判断即可．
【解答】解：根据平方差公式的结构特征可知，
A．（2a+b）（2b﹣a）不能利用平方差公式，因此选项A不符合题意；
B．（2x+1）（﹣2x﹣1）＝﹣（2x+1）（2x+1），不能利用平方差公式，因此选项B不符合题意；
C．（3x﹣y）（﹣3x+y）＝﹣（3x﹣y）（3x﹣y），不能利用平方差公式，因此选项C不符合题意；
D．（﹣m+n）（﹣m﹣n）＝[（﹣m）+n][（﹣m）﹣n]，能利用平方差公式，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确判断的关键．
4．（2024秋 抚顺县期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为（　　）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【考点】平方差公式的几何背景；完全平方公式的几何背景．
【专题】数形结合；几何直观；运算能力．
【答案】B
【分析】分别设正方形A，B的边长为a，b，再表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，最后通过整式的计算可得出答案．
【解答】解：设正方形A，B的边长分别为a，b，
由图甲可得，（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab．
由图乙可得，（a+b）2﹣a2﹣b2＝a2+b2+2ab﹣a2﹣b2＝2ab，
∴a2+b2＝2ab4.5．
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确表示出相关图形面积，并能进行计算归纳．
二．填空题（共5小题）
5．（2024秋 敖汉旗校级期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为7和30，则图乙面积为　67　 ．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】推理填空题；整式；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据设正方形A和B的边长为a和b可得（a﹣b）2＝7，2ab＝30，即可求图乙的面积．
【解答】解：设正方形A和B的边长分别为a和b，
所以图甲阴影部分面积为：（a﹣b）2＝7，
a2﹣2ab+b2＝7，
图乙阴影部分面积为：b（a+b）+b（a﹣b）＝30，
即2ab＝30，
所以a2+b2＝37，
所以图乙的面积为：（a+b）2＝a2+2ab+b2＝67．
故答案为67．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是利用完全平方公式的变形．
6．（2024秋 桐柏县期末）有两个正方形A、B，将A、B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙．若图甲、图乙中阴影的面积分别为12与38，则正方形B的面积为　7　 ．
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】图表型；运算能力．
【答案】7．
【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，用代数式表示图甲、图乙中阴影的面积，整体代入计算即可得到答案．
【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由题意得：图甲中阴影的面积为a（a+b）﹣a2﹣b2＝12，
∴ab﹣b2＝12；
图乙中阴影的面积为（a+b）2﹣a2﹣b2＝38，
∴2ab＝38，
∴ab＝19，
∴b2＝19﹣12＝7，
∴正方形B的面积为7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
7．（2025春 宿城区校级月考）一个底面是正方形的长方体，高为6cm，底面正方形的边长为5cm．如果它的高不变，底面正方形边长增加了a cm，那么它的体积增加了　（6a2+60a）　 cm3（用含a的代数式表示）．
【考点】完全平方公式的几何背景；认识立体图形．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（6a2+60a）．
【分析】长方体变化后的高为6cm，底面边长为（5+a）cm，根据长方体的体积公式求解．
【解答】解：6（a+5）2﹣6×52
＝150+60a+6a2﹣150
＝（6a2+60a）cm3．
故答案为：（6a2+60a）．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，认识立体图形，掌握完全平方公式的定义是关键．
8．（2025春 沙坪坝区校级期末）若x+y＝5，xy＝6，则（x﹣y）2﹣2x﹣2y＝ 　﹣9　 ．
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣9．
【分析】利用完全平方公式变形后代入已知数值计算即可．
【解答】解：∵x+y＝5，xy＝6，
∴（x﹣y）2﹣2x﹣2y
＝（x+y）2﹣4xy﹣2（x+y）
＝52﹣4×6﹣2×5
＝25﹣24﹣10
＝﹣9，
故答案为：﹣9．
【点评】本题考查完全平方公式，将原式进行正确地变形是解题的关键．
9．（2024秋 沙市区期末）计算12﹣22+32﹣42+52﹣62+ +992﹣1002的值为　﹣5050　 ．
【考点】平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣5050．
【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．
【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+ +992﹣1002
＝（1﹣2）（1+2）+（3﹣4）（3+4）+（5﹣6）（5+6）+…+（99﹣100）（99+100）
＝﹣（1+2+3+4+…+99+100）
＝﹣101×50
＝﹣5050．
故答案为：﹣5050．
【点评】本题考查了平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
10．（2024秋 龙潭区校级期末）化简：（a﹣2）2+4（a﹣1）﹣（a+2）（a﹣2）．
【考点】平方差公式；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】4．
【分析】先利用完全平方公式、单项式乘多项式和平方差公式计算，再合并即可．
【解答】解：（a﹣2）2+4（a﹣1）﹣（a+2）（a﹣2）
＝a2﹣4a+4+4a﹣4﹣a2+4
＝4．
【点评】本题考查整式的乘法公式，单项式乘多项式，熟练掌握以上知识点是关键．
11．（2024秋 汉川市期末）如图1，长方形的长为4b，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个如图2“回形”正方形，
【自主探究】
（1）观察图1、图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系式是 　（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2　 ；
【知识运用】
（2）若2x﹣3y＝5，xy＝1，运用你所得到的公式，计算（2x+3y）2的值；
【知识延伸】
（3）已知（x﹣2023）2+（x﹣2025）2＝10，求（x﹣2024）2的值．
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；应用意识．
【答案】（1）（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（2）49；
（3）4．
【分析】（1）根据图2的面积即可得出答案；
（2）代入到（1）即可得出答案；
（3）令x﹣2024＝t，则（t+1）2+（t﹣1）2＝10，进而得出答案．
【解答】解：（1）观察图二可得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．
（2）原式＝（2x﹣3y）2+4×2x×3y
＝（2x﹣3y）2+24xy
＝52+24×1
＝25+24
＝49．
（3）令x﹣2024＝t，
则（t+1）2+（t﹣1）2＝10，
t2+2t+1+t2﹣2t+1＝10，
t2＝4，
故（x﹣2024）2＝4．
【点评】本题主要考查完全平方公式，灵活运用完全平方式是解题的关键．

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