资源简介

14.2三角形全等的判定
【知识点1】全等三角形的判定 2
【知识点2】直角三角形全等的判定 3
【知识点3】全等三角形的判定与性质 4
【题型1】用SAS判定三角形全等 7
【题型2】SAS与全等三角形性质的综合 10
【题型3】SAS的实际应用 12
【题型4】用ASA判定三角形全等 15
【题型5】ASA与全等三角形性质的综合 18
【题型6】ASA的实际应用 22
【题型7】用AAS判定三角形全等 25
【题型8】AAS与全等三角形性质的综合 28
【题型9】AAS的实际应用 32
【题型10】用SSS判定三角形全等 36
【题型11】SSS与全等三角形性质的综合 37
【题型12】SSS的实际应用 41
【题型13】作一个角等于已知角 44
【题型14】作三角形 49
【题型15】用HL判定直角三角形全等 52
【题型16】HL与全等三角形性质的综合 55
【题型17】HL的实际应用 57
【题型18】灵活选择三角形全等的判定方法证全等 60
【题型19】添加适当条件判定三角形全等 63
【题型20】全等三角形的性质与判定的综合 65
【题型21】全等三角形与动点问题 69
【题型22】倍长中线法 73
【题型23】全等三角形与垂线问题 82
【题型24】与尺规作图相关的全等三角形问题 87
【知识点1】全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 1.（2024秋 宝应县期末）如图，∠C=∠D=90°，BC=BD．可以判定△ABC≌△ABD的依据是（　　） A．HLB．ASAC．SASD．AAS
【答案】A 【分析】斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可判断． 【解答】证明：在Rt△ABC和Rt△ABD中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）．
∴判定△ABC≌△ABD的依据是HL．
故选：A． 2.（2024秋 汕头期末）如图，点B，F，E，D共线，∠B=∠D，BE=DF，添加一个条件，不能判定△ABF≌△CDE的是（　　） A．AF∥CEB．∠A=∠CC．AF=CED．AB=CD
【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理判断求解即可． 【解答】解：∵BE=DF，
∴BF+EF=DE+EF，
即BF=DE，
A．∵AF∥CE，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AFB=∠CED，
又∠B=∠D，BF=DE，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABF≌△CDE，故本选项不符合题意；
B．∠A=∠C，∠B=∠D，BF=DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABF≌△CDE，故本选项不符合题意；
C．AF=CE，BF=DE，∠B=∠D，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABF≌△CDE，故本选项符合题意；
D．AB=CD，∠B=∠D，BF=DE，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABF≌△CDE，故本选项不符合题意；
故选：C． 【知识点2】直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 1.（2024秋 南关区期中）下列可使两个直角三角形全等的条件是（　　） A．一条边对应相等B．两条直角边对应相等C．一个锐角对应相等D．两个锐角对应相等
【答案】B 【分析】判定两个直角三角形全等的方法有：SAS、SSS、AAS、ASA、HL五种．据此作答． 【解答】解：两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A、C；
而D构成了AAA，不能判定全等；
B构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．
故选：B． 2.（2023秋 贵池区期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．斜边和一直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一锐角和斜边对应相等D．两条直角边对应相等
【答案】B 【分析】直角三角形全等的判定方法：HL，SAS，ASA，SSS，AAS，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 【解答】解：A、符合判定HL，故本选项正确，不符合题意；
B、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意；
C、符合判定AAS，故本选项正确，不符合题意；
D、符合判定SAS，故本选项正确，不符合题意．
故选：B． 【知识点3】全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 1.（2024秋 淮北期末）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE=∠B，CD=3BD，则AE等于（　　） A．7B．8C．9D．10
【答案】D 【分析】先根据AB=AC=15得∠B=∠C，又因为∠ADE=∠B得∠BAD=∠CDE，然后证明△ABD≌△DCE（AAS），从而知道BD=CE，即可知道AE的值． 【解答】解：∵AB=AC=15，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，∠BAD=180°-∠B-∠ADB，∠CDE=180°-∠ADE-∠ADB，
∴∠BAD=∠CDE，
∵AE的中垂线交BC于点D，
∴AD=ED，
在△ABD与△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS），
∴CD=AB=15，BD=CE，
∵CD=3BD，
∴BD=5，
∴CE=BD=5，
∴AE=AC-CE=15-5=10，
故选：D． 2.（2024秋 兴隆县期末）如图，点P在线段AB外，且PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：
甲：作∠APB的平分线PC交AB于点C．
乙：过点P作PC⊥AB，垂足为C．
丙：过点P作PC⊥AB于点C，且AC=BC．
其中，正确的是（　　） A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．全对
【答案】A 【分析】利用三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定判断四个选项是否成立即可． 【解答】解：∵作∠APB的平分线PC交AB于点C，
∴∠APC=∠BPC，
在△PCA和△PCB中，
，
∴△PCA≌△PCB（SAS），
∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故甲符合题意；
∵PC⊥AB，
∴△PCA和△PCB是直角三角形，
在Rt△PCA和Rt△PCB中，
，
∴△PCA≌△PCB（HL），
∴CA=CB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
故乙符合题意；
∵过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证也平分此条线段，
故丙不符合题意；
故选：A．
【题型1】用SAS判定三角形全等
【典型例题】如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（　　）
A.AB＝CD B.∠B＝∠D C.AD＝CB D.∠BAC＝∠DCA
【答案】C
【解析】解：添加的条件是AD＝CB，
理由是：∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
故选：C．
【举一反三1】如图，已知在△ABC和△DEF中，∠1＝∠2，BF＝CE．则添加下列条件能用“SAS”使△ABC和△DEF全等的是（　　）
A.AC＝DF B.AB＝DE C.∠A＝∠D D.∠B＝∠E
【答案】A
【解析】解：∵BF＝CE，
∴BF+CF＝CE+CF，即BC＝EF，
A、添加AC＝DF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），符合题意；
B、添加AB＝DE，不能判定△ABC和△DEF全等，符合题意；
C、添加∠A＝∠D，不能用“SAS”△ABC和△DEF全等，不符合题意；
D、添加∠B＝∠E，
在△ABC与△DEF中，不能用“SAS”△ABC和△DEF全等，不符合题意，
故选：A．
【举一反三2】如图，已知，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；再以点O为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点E，F；连接，，则，其全等的依据是 .
【答案】SAS
【解析】解：由作图步骤可知，，，
在和中，
，
．
【举一反三3】如图，，若不添加辅助线并利用“”判定，则可以添加的条件是 （填写一个条件即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】解：
当添加的条件为时，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴.
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．
求证：△ABE≌△ACD．
【答案】证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，
∵BD=EC，∴BE=CD，
在△ABE与△ACD中，，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
【举一反三5】如图所示，A，F，C，D四点同在一直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.求证：
△ABC≌△DEF；
【答案】证明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D.
又∵AF＝CD，
∴AF＋FC＝CD＋FC，即AC＝DF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
【题型2】SAS与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，在和中，，，，，则的长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】解：，，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
．
【举一反三1】如图，，，，，则为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【举一反三2】如图，与相交于点A，，，，若，则的长度是 ．
【答案】6
【解析】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【举一反三3】已知，在如图所示的“风筝”图案中，，则 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，即．
在和中，
，
∴．
∴．
【举一反三4】如图，已知AB＝AD，且AC平分∠BAD.求证：BC＝DC．
【答案】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS），
∴BC＝DC．
【题型3】SAS的实际应用
【典型例题】数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即A，B两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案．数学原理是△ABC和△DEC全等．要用“SAS”判定△ABC≌△DEC，学习小组设计方案的步骤正确的顺序是（　　）
学习小组的设计的画图步骤有：①连接BC，并延长到点E，使CE＝CB；②连接DE，并测量出它的长度，则DE的长度就是A，B两点之间的距离.③先在地上取一个可以直接到达点A，B的点C；④连接AC并延长到点D，使CD＝CA.
A.①②③④ B.①③④② C.③④②① D.④③②①
【答案】C
【解析】由题意知CD＝CA，CE＝CB，
在△DCE和△ABC中，
，
∴△DEC≌△ABC（SAS）．
∴△ABC≌△DEC（SAS）．
故选：C．
【举一反三1】学校美术社团为学生外出写生配备如图所示的折叠凳（图1），图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中登腿和的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，利用你所学的知识求出的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，O是它们的中点，
，
在与中,
，
．
【举一反三2】如图，为了测量一池塘的长，在岸边找到一点，连接，在的延长线上找一点，使得，连接，在的延长线上找一点，使得，测得米．则池塘的长为（ ）
A.80米 B.30米 C.120米 D.60米
【答案】D
【解析】解：∵在和中，
，
∴，
∴（米），
则池塘的宽为60米．
【举一反三3】如图，一个直角三角板的一条直角边经过的顶点，一把直尺经过三角板的直角顶点并且与这条直角边垂直，直尺与的两边分别交于,，当时，与的数量关系为 ．
【答案】
【解析】解：由题意得，
，
在和中，
，
，
，
．
【举一反三4】如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是 .
【答案】SAS
【解析】在△OAB与△OCD中，
，
∴△OAB≌△ODC（SAS）．
故选：SAS．
【举一反三5】如图所示，小阳同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A,D,C,F在同一条直线上，且，．求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴．
【题型4】用ASA判定三角形全等
【典型例题】如图，已知，，添加以下条件中，能用“ASA”使的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：A项，根据，可以推出，故本选项符合题意；
B项，AC=DF，有两边及夹角相等，不符合ASA，故本选项不符合题意；
C项，根据，不能判定三角形全等，故本选项不符合题意；
D项，，有两角及一角的对边对应相等，不符合ASA判定方法，本选项不符合题意.
【举一反三1】在数学课上，老师给出三条边长分别为a，b，c的△ABC，其三个内角的度数如图所示．下面是4名同学用不同方法画出的三角形，则根据图中已知的条件判断，其中用“ASA”判定与△ABC全等的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：选项A中，不符合ASA判定两个三角形全等，本选项不符合题意；
选项B中，根据ASA可以判定两个三角形全等，本选项符合题意；
选项C中，SSA不能判断三角形全等，本选项不符合题意；
选项D中，不符合ASA可以判定两个三角形全等，本选项不符合题意．
故选：B．
【举一反三2】如图，已知∠1＝∠2，在下列条件：①∠B＝∠C；②∠BAD＝∠CAD；③BD＝CD；④AB＝AC中，只补充一个可以用“ASA”判断△ABD≌△ACD的条件是（　　）
A.① B.② C.③ D.④
【答案】B
【解析】解：∵∠1＝∠2，
∴∠ADB＝∠ADC，
A.∠B＝∠C，不符合两角及夹边对应相等的两个三角形全等.
故①不正确；
B.∵∠1＝∠2，
∴∠ADB＝∠ADC，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴△ABD≌△ACD（ASA），故②正确；
C.∵BD＝CD，不符合两角及夹边对应相等的两个三角形全等.故③不正确．
D.边边角不能判定两个三角形全等
∴故选B．
【举一反三3】如图，已知∠ABC=∠BAD，用ASA能判定△ABC≌△BAD的条件是 .
【答案】∠CAB=∠DBA
【解析】解：图中已有一组公共边，AB=BA，又已知∠ABC=∠BAD，只要使∠CAB=∠DBA.
【举一反三4】如图，在和中，，，请你添加一个条件 ，使且满足．

【答案】
【解析】解：在和中，
∴．
【举一反三5】如图，在中，，点，F，分别在边，上，．
求证：．
【答案】证明：∵
∴，
又∵，
∴．
【举一反三6】如图，已知CE∥DF，CE=DF，∠E=∠F，求证：△ACE≌△BDF．
【答案】证明：∵CE∥DF， ∴∠ACE=∠D，
∴在△ACE和△BDF中，∠ACE=∠D，CE=DF，∠E=∠F，
∴△ACE≌△BDF（ASA），
【题型5】ASA与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，在中，，是延长线上的点，，于点，交于点，若，，则的长为（ ）
A. B. C.1 D.
【答案】A
【解析】解：∵，点是延长线上一点，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，，
∴．
【举一反三1】如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】解：如图，延长，交于点，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
平分，
，
在和中，
，
，
．
【举一反三2】如图，D为内一点，平分于点D，交于点E．若，则的长为 ．
【答案】3
【解析】解：∵平分，
，
又，
，
，
．
【举一反三3】如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上．
(1)若，求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，
，
又∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．
【举一反三4】如图1，与相交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，过点O作交于点E，交于点F，求证：；
(3)如图3，若，点E从点A出发，沿方向以的速度运动，点F从点C出发，沿方向以的速度运动，两点同时出发．当点E到达点A时，两点同时停止运动，设点E的运动时间为．连接，当线段恰好经过点O时，求出t的值．
【答案】（1）证明：在与中，
，
，
．
（2）证明：在和中，
，
．
（3）解：由（2）可知，当线段经过点O时，，则，
由（1）得，则，
或，
或，
当或时，线段经过点O．
【题型6】ASA的实际应用
【典型例题】如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A、B两点间的距离，这里判定的理由是（　　）
A.ASA B.AAS C.SSS D.SAS
【答案】A
【解析】在△ABC和△MBC中，
，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故选：A．
【举一反三1】如图，曲晓星站在河边的点A处，在河对面（曲晓星正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了10米到达一棵树C处，接着再向前走了10米到达D处，然后他左转直行，当他看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，的长度就是的长度，他的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据题意，得．
在和中，
∴．
∴．
【举一反三2】如图是某同学测量水池两点，距离的方案，下列说法不正确的是（ ）
①先确定直线，过点作于点；
②在上取，两点，使得 △ ；
③过点作于点；
④ ※ 于点；
⑤测量 ☆ 的长度，即的长．
A.△代表 B.※代表连接 C.☆代表 D.该方案运用的判定方法是
【答案】B
【解析】解：①先确定直线，过点作于点；
②在上取，两点，使得；故A正确，不符合题意；
③过点作于点；
④作射线交于点，故B错误，符合题意
⑤测量的长度，即的长，故C正确，不符合题意；
∵，，∴，
∵，，
∴，
∴，
∴该方案运用的判定方法是，故D正确，不符合题意．
【举一反三3】如图，小李为了测量河的宽度，他先站在河边的点C处，面向河对岸，压低帽檐使视线通过帽檐正好落在河对岸的点A处，然后保持姿势不变原地向后转，正好看见了他所在的岸上的一块石头B，并测得，则河宽AC为 ．
【答案】
【解析】解：由题意得， ，
在和中，
∴，
∴．
【举一反三4】如图，要测量池塘两岸的两地A，B的距离，可在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使点E 与点A，C在一条直线上，测得米，米，米，则 A，B的距离是 米．
【答案】
【解析】解：在和中，
∴，
∴米．
【举一反三5】如图，一艘航船，在水流的作用下，从点航行到点，此时，小明的船在处，看到点在他的正北方，

两河岸直线，直线之间的距离知道，但小明想知道航线的里程，又不便测量，你能用学习的全等三角形的知识，画图帮他设计吗？并说明你的理由．
【答案】解：
如图设两河岸直线，直线之间的距离为过点作于点，使，过作于点，交的延长线于点，则，测量出的长即得的长，

理由如下:
如图，过点作于点，则，

由作图可知，，，
∴，
∴
∴，
∴
∴，
∴测量的长即可得的长．
【题型7】用AAS判定三角形全等
【典型例题】如图，AD为∠BAC的平分线，添加下列条件后，能用“AAS”证明△ABD≌△ACD的是（　　）
A.∠B＝∠C B.∠BDA＝∠CDA C.BD＝CD D.AB＝AC
【答案】A
【解析】A、由，AAS可得到△ABD≌△ACD，所以A选项不正确；
B、由，ASA可得到△ABD≌△ACD，所以B选项不正确；
C、由BD＝CD，AD＝AD，∠BAD＝∠CAD，SSA不能得到△ABD≌△ACD，所以C选项正确．
D、由，SAS可得到△ABD≌△ACD，所以D选项不正确；
故选：A．
【举一反三1】如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，能用“AAS”使△ABC≌△DEF，这个条件可以是（　　）
A.AB＝DE B.∠B＝∠E C.∠A＝∠D D.AC＝DF
【答案】C
【解析】解：∵BF＝CE，
∴BF+FC＝CE+CF，
∴BC＝EF，
∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
要用AAS判定△ABC≌△DEF，此时，一边一角分别相等，只要使相等的对应边所对的角相等，即可用AAS得到结论.
∴添加的条件是∠A＝∠D.
故选：C．
【举一反三2】如图所示，在中，为的中点，过点分别向，作垂线段，若用“AAS”判定，需要添加的条件是（ ）
A.AB=BC B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵为中点，
∴，
∵由点分别向，作垂线段，，
∴，
在与中，
∴，
∴添加“”,可用“AAS”判定．
【举一反三3】如图，AB与CD相交于点O，，添加条件： ，可得，理由是 （添加一种合适的情况即可）．
【答案】；AAS
【解析】解：添加，利用AAS可得．
【举一反三4】如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．试说明：．
【答案】解：因为D为的中点，
所以．
因为，
所以，．
在和中，
所以．
【举一反三5】如图，已知AD是△BC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要用“AAS”使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______________，并给予证明.
【答案】解：添加条件：∠AED=∠AFD，
证明如下：在△AED与△AFD中，
∵∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD，AD=AD，
∴△AED≌△AFD（AAS）．
【题型8】AAS与全等三角形性质的综合
【典型例题】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（　　）

A.20 B.25 C.30 D.35
【答案】C
【解析】解：点E为的中点，
，
在和中，
，
，，
同理可证 ，
，
，
．
【举一反三1】如图，，垂足分别为．若，则的长（ ）
A.2 B.5 C.8 D.10
【答案】B
【解析】解：，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
．
【举一反三2】如图，在四边形中，，连接，若P是边上一动点，连接，则长的最小值为 ．
【答案】5
【解析】解：如图，过点D作于点E，则当时，最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴在和中，
∵，，
∴(AAS)，
∴，
即的最小值为5．
【举一反三3】如图，，和分别是和的中点，连结，并延长，分别交于，，若四边形的面积为，那么 ．
【答案】24
【解析】解：∵，
∴，
∵和分别是和的中点，
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴．
【举一反三4】如图，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【答案】（1）证明：∵，
，
在和中，
（2）解：由（1）可得，
，，
∵，，
，，
．
【举一反三5】如图，已知，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，，，
∴，
在中
∴(AAS)，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
【题型9】AAS的实际应用
【典型例题】如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60，当淇淇从水平位置垂直上升15时，嘉嘉离地面的高度是（ ）
A.30 B.35 C.40 D.45
【答案】D
【解析】解：如图，由题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴嘉嘉离地面的高度是．
【举一反三1】小华把等腰直角三角板按如图所示的方式立在桌面上，顶点正好落在桌面上，若另外两个顶点分别到桌面的距离，，则两垂足之间的距离的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∴．
【举一反三2】如图，王林拿着老师的等腰直角三角尺，恰能摆放在两摞长方体教具之间，，．已知每个长方体教具高度相等，若，则的长为 ．

【答案】26
【解析】解：∵每个长方体教具高度相等，，
∴每个长方体教具高度是2cm，
∴cm，
由题意得：，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴cm，cm；
∴cm；
故答案为：26．
【举一反三3】丞丞同学在物理课上知道了摆动现象是由杠杆原理，重力作用，动能与势能转换以及阻力的影响共同作用的结果．这一原理在很多领域都有应用，如摆钟，秋千等．为了对其作进一步的探究．丞丞同学自制了一个钟摆球，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置；当丞丞推动小球时，小球从位置摆到位置，此时过点作于点，且测得点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点，，，在同一平面内），过点作于点，测得点到的距离为．
(1)判断与的数量关系，并说明理由；
(2)求两次摆动中的点和点的高度差的长．
【答案】解：（1）．理由如下：
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴，
在和中，
∴(AAS)，∴．
（2）由题意得，
∵，
∴，
∴，
∴两次摆动中点B和C的高度差的长为．
【举一反三4】如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在上取一点，在小山外取一点，连接并延长，使，过点作的平行线，交的延长线于点，那么测量的长就是的长，请你说明其中的道理．
【答案】解：∵，
∴，
在和中，
∴，∴．
【题型10】用SSS判定三角形全等
【典型例题】如图，点B，E，C，F在一条直线上，，.若利用“”得到，则需要添加的条件是（ ）

A. B.EC=AC C. D.
【答案】A
【解析】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴要利用“”得到，还需要添加的条件是．
【举一反三1】如图，已知，，添加以下条件中，能用“SSS”使的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：A项，根据，可以推出，故本选项不符合题意；
B项，根据，可以推出，故本选项符合题意；
C项，根据，不能判定三角形全等，故本选项不符合题意；
D项，根据，不能判定三角形全等，故本选项不符合题意．
【举一反三2】如图，， 要想用“SSS”证明．需要添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵，，，
∴，
∴要想用“SSS”证明．需要添加的条件是．
【举一反三3】如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在三角形利用“SSS”可判定全等．我所添加条件为 ．
【答案】CE=DE（答案不唯一）．
【解析】解：添加CE=DE，理由如下：
在△ACE和△ADE中，
AC=AD，AB=AB，CE=DE
∴△ACE≌△ADE（SSS），
故答案为：CE=DE（答案不唯一）．
【举一反三4】如图，．求证：．
【答案】证明：在与中，
∴．
【题型11】SSS与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，是的中点，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：∵是的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴，，，故选项，，正确，不符合题意；
∵，不是对应边，
∴与不一定相等，故D选项错误，符合题意．
【举一反三1】如图，已知，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【举一反三2】如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，
，
即，
在和中，
，
．
【举一反三3】如图，，，．若，则 ．

【答案】
【解析】证明：如图，设交于点，

在和中，
，
，
，,，
．
【举一反三4】填空，完成下列证明过程．
如图，和中，，点A，C，D，F在一条直线上，．求证：．
证明：（已知）
∴①，即②
在和中，
∴（），
⑤ ，
∴（⑥）．
【答案】证明：（已知），
∴，即．
在和中，
∴（），
，
∴（内错角相等，两直线平行）．
【举一反三5】如图，是中边上的中线，是上一点，延长到点，使．连接．是延长线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】（1）证明： 是的中线，
，
在和中，
，
．
（2）证明：由（1）知，
，
，
在和中，
，
【题型12】SSS的实际应用
【典型例题】如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过哪种方法判定三角形全等(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：根据题意，，
又，为公共边，
．
【举一反三1】分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（ ）
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
【答案】D
【解析】解：在和中，
．
【举一反三2】如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：点E，F分别为，中点，
，，
，
，
在和中，
（）．
【举一反三3】如图，在三角形钢架中，，是连接点与中点的支架．若，则的大小为 ．
【答案】
【解析】解：D是的中点，
，
在和中，
，
，
，
．
【举一反三4】如图是雨伞的截面示意图，伞骨，，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且．
（1）与是否全等？ （填“是”或“否”）；
（2）若，，则的度数为 ．
【答案】是　
【解析】解：（1）由已知条件得，
，，分别是，的中点，
，
在和中，
．
（2）由（1）知，，
，，
，
，
在中，
．
【举一反三5】我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．你知道△AED≌△AFD的理由吗？
【答案】解 是边边边公理.
∵E、F为定点，
∴AE=AF，
又∵AD=AD，ED=FD，
∴在△AED和△AFD中，，
∴△AED≌△AFD（SSS）.
【解析】解：
【题型13】作一个角等于已知角
【典型例题】如图，已知与上的点，点，小临同学现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点，直线EA即为所求．他得出结论的根据是（ ）
A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.平行于同一条直线的两直线平行 D.同旁内角互补，两直线平行
【答案】B
【解析】解：根据基本作图，得到，
故，
根据是内错角相等，两直线平行．
【举一反三1】如图，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（ ）
A.以点C为圆心，的长为半径的弧 B.以点C为圆心，的长为半径的弧 C.以点G为圆心，的长为半径的弧 D.以点G为圆心，的长为半径的弧
【答案】A
【解析】解：由作图可知作图步骤为
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于F，E，
②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于G，
③以点G为圆心，以长为半径画弧，交弧于D，
④过点C作射线，
根据同位角相等，两直线平行，可得．
【举一反三2】已知直线，嘉嘉和淇淇想画出的平行线，他们的作法如下（图1和图2）：
下列说法正确的是（ ）
A.嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确 B.嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确 C.嘉嘉和淇淇的作法都正确 D.嘉嘉和淇淇的作法都不正确
【答案】C
【解析】解：嘉嘉： 斜边与量角器的刻度线重合，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
则嘉嘉的作法正确，
淇淇：∵，
∴，
则淇淇的作法正确．
【举一反三3】尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是 .
【答案】SSS
【解析】解：根据作法可知：AC＝BE，AD＝BF，CD＝EF，
∴△ACD≌△BEF（SSS），
∴∠MBN＝∠PAQ，
故选：SSS．
【举一反三4】（1）在如图所示的中，过点C画出直线的垂线，并量出三角形顶点C到直线的距离；（精确到）
（2）如图，已知，利用尺规作图作一个角等于该角的补角．
【答案】解：（1）过作，交的延长线于点，则即为所求，如图，
由图可知，量出顶点C到直线的距离长为．
（2）作直线，在上取一点，作，即即为所求，如图，
∵，，
∴为的补角．
【举一反三5】下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．
求作：一个角，使它等于．
作法：如图2．①在的两边上分别任取点D，E；
②以点D为圆心，长为半径画弧；以点E为圆心，长为半径画弧；两弧交于点F；
③连接，，即为所求作的角．
(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据．
证明：连接．
______，
在和中，
∴（______），
∴（______）．
【答案】（1）解：补全图2中的图形，如图．
（2）证明：连接．
，
在和中，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等）．
【题型14】作三角形
【典型例题】如图，已知△ABC，尺规作图的方法作出了△ABC≌△DEF，请根据作图痕迹判断△ABC≌△DEF的理论依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.过一点有无数条直线 D.两点之间，线段最短
【答案】A
【解析】由作图可知，AC＝DF，∠A＝∠D，AB＝DE，故△ABC≌△DEF（SAS）．
故选：A．
【举一反三1】根据下列已知条件，能画出唯一的是（ ）
A.，， B.，， C.， D.，，
【答案】D
【解析】解：，，，两边及其中一边的对角不能画出唯一，故A不符合题意；
∵，，，
∴，故B不符合题意；
，，一边一角不能画出唯一，故C不符合题意；
当，，时，根据“”可判断的唯一性．故D符合题意．
【举一反三2】已知线段a，c，，求作：，使，，．
以下是排乱的作图步骤：
正确作图步骤的顺序是（ ）
A.①②③④ B.①③②④ C.①③④② D.①②④③
【答案】B
【解析】解：由作图步骤：先作射线并在射线上截取，再作，接着在上截取，最后连接，
则正确作图步骤的顺序是①③②④．
【举一反三3】如图，已知线段a，b和，按要求尺规作图（不必写作法，保留作图痕迹）．

求作，使，
；
作图依据是 ．
【答案】
【解析】解：根据题意可得作图的依据是．
【举一反三4】如图，已知，线段，求作，使得．
作法：
（1）作线段 ；
（2）在的同旁，作 ，作 ，与交于点 ，故就是所求作的三角形．
【答案】c　
【解析】解：先在射线上截取，在的同旁，作，作，与交于点C，故就是所求作的三角形．
【举一反三5】在中，若，，为的中线．
(1)写出长的取值范围：__________；
(2)如图，已知线段，．用直尺和圆规作，使得，，．
【答案】解：（1）如图所示，延长使得，连接，
∵为的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴ ，
在中，，
即，
∴，
∴．
（2）如图所示即为所求．
【举一反三6】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
一个缺角的三角形残片如图所示，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形．并说出作图依据．
【答案】解：如图所示，即为所求．
根据作图可得，，
∴是和原三角形全等的三角形．
依据的是．
【题型15】用HL判定直角三角形全等
【典型例题】如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在与中，
∴．
【举一反三1】在和中，，下列条件中能判定的个数为（　　）
①，；
②，；
③，；
④，．
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】解：①，，加上，可利用“”证明；
②，，可利用“”证明；
③，，加上，可利用“”证明；
④，，加上，可利用“”证明．
所以正确的个数是4．
【举一反三2】如图，在和中，点B，D，C，E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由题意知，添加的条件为，
∵，，
∴．
【举一反三3】如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是 .
【答案】
【解析】解：和有一条公共直角边，
根据“”证明，应添加的直接条件是．
【举一反三4】如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为 .
【答案】HL
【解析】解：∵AB⊥CF，AB∥DE，∴△ABC和△DEF都是直角三角形．∵CE=FB，CE为公共部分，∴CB=EF，又∵AC=DF，∴由HL定理可判定△ABC≌△DEF．故填HL．
【举一反三5】如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知．
求证：．
【答案】证明：
∵点是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【题型16】HL与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，，
，
，，
，
，
，，
，
．
【举一反三1】如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（　　）
A.40° B.50° C.60° D.75°
【答案】B
【解析】解：∵∠B=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△ADC中 ， ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）， ∴∠2=∠ACB=90°-∠1=50°．故选B．
【举一反三2】如图，，，于点，于点，，，则的长是 ．
【答案】
【解析】解：∵于点，于点，
∴，
在和中，
∵
∴，
∴，，
∴．
【举一反三3】如图，在中，为的中点，于点于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，，
∵D为的中点，
∴，
在和中，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵为的中线，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【题型17】HL的实际应用
【典型例题】在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（ ）
A.小赵同学作图判定的依据是
B.小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C.小刘同学作图判定的依据是
D.小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
【答案】D
【解析】解：由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为；
小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为．
【举一反三1】用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，则平分.做法中用到证明与全等的判定方法是（　　）
A.SAS B.SSS C.ASA D.HL
【答案】D
【解析】解：在和中，
，
．
【举一反三2】如图是标准跷跷板的示意图，横板的中点过支撑点，且绕点只能上下转动．如果，，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为（ ）
A.15° B.20° C.30° D.40°
【答案】C
【解析】过点O作线段A′B′，如图，∠AOA′即为跷跷板可以转动的最大角度
在Rt△OCA和Rt△OCB′中
∵OA＝OB′，OC＝OC
∴△OCA≌△OCB′（HL）
∴∠OB′C＝∠OAC＝15°
∵∠AOA′＝∠OB′C＋∠OAC＝15＋15°＝30°
∴跷跷板可以转动的最大角度为30°
故选：C
【举一反三3】如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则 ．
【答案】
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【举一反三4】如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度相等，当，，时，求的长度．
【答案】解：根据题意，得，，，
∴，
∴，
∴．
【举一反三5】如图，两人从路段上一点同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达两地．且，．若线段相等，则点是路段的中点吗？为什么？
【答案】解：点是路段的中点，理由如下：
∵两人从点同时出发，以相同的速度同时到达两地，
∴，
∵，，∴，
又∵，
∴，∴，
∴点是路段的中点．
【题型18】灵活选择三角形全等的判定方法证全等
【典型例题】一天老师带小明测操场上一棵树的高度，如图1 所示，他告诉小明，我在距树底端B 点a米的C处，使用测角仪测得，你能测出旗杆的高度吗？ 小明经过一番思考：“我若将放倒在操场上不就可以测量了吗！ ”于是他在操场上选取了一个合适的地方， 画出一个直角， 如图2， 使米，
小明说，只要量出的长度就知道旗杆的高度了．
同学甲： 小明的做法正确， 是根据“”得得到的；
同学乙： 小明的做法正确， 是根据“”得得到的；
同学丙： 小明的做法正确， 是根据“”得得到的；
同学丁：小明的做法不正确，由他的做法不能判断． 你认为 ( )
A.甲、乙、丙的判断都正确 B.只有乙的判断正确 C.只有丁的判断正确 D.乙、丙的判断正确
【答案】B
【解析】解：根据题意得，，，
∴，
∴只有乙的判断正确．
【举一反三1】按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意；
B、，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故B不符合题意；
C、，符合，能画出形状、大小确定的三角形，故符合题意；
D、，，，不符合三角形全等的条件，所以不能画出形状、大小确定的三角形，故不符合题意；
故选：．
【举一反三2】如图，四边形中，对角线，相交于点，如果，，那么图中一共有 对全等的三角形．
【答案】4
【解析】解：①，
∵，，，
∴；
②，
∵，，，
∴；
③，
∵，，
∴， ，
∵，
∴；
④,
∵，，
∵，
∴，
因此，图中一共有4对全等的三角形．
【举一反三3】如图所示，在和中，给出以下4个论断：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，另一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个正确的命题，并写出证明过程．
已知：________；
求证：________．

【答案】解：已知：，，，
求证：．
证明：在和中，
，
，
即，
则
【题型19】添加适当条件判定三角形全等
【典型例题】如图，于，，增加下列一个条件：(1)；(2)；(3)，其中能判定的条件有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】D
【解析】解：∵于P，，
又∵，
∴，
同理，增加的条件或也可判定．
∴能判定的条件有3个．
【举一反三1】如图所示，，，要使，需添加条件（　　）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：，，
要使，需添加的条件为，
又，
即，
可添加的条件为或．
综合各选项，D选项符合．
故选：D．
【举一反三2】在与中，已知，，分别补充下列条件中的一个条件： ； ； ； ，其中能判定的有( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：添加，根据能推出，符合题意；
添加，根据能推出，符合题意；
添加，根据能推出，符合题意；
添加，根据，，不能推出，不符合题意，
综上，能判定的有．
【举一反三3】如图，，，若添加一个条件可得，则添加的条件可以是 ．(写出一个满足条件的答案)
【答案】(或)
【解析】解：由题意可得，，
添加，根据可得；
添加，根据可得．
【举一反三4】如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，，请你再添加一个条件使得，并说明理由．
【答案】解：添加的条件为，理由如下：
因为，
所以，
即，
在和中，
所以．
【题型20】全等三角形的性质与判定的综合
【典型例题】下列条件中一定能确定的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：如图，
A项，根据不能判定，故本选项错误；
B项，的对应角应该是，故不能判断，故本选项错误；
C项，根据能判定，故本选项正确；
D项，没有边对应相等，不能判定，故本选项错误．
【举一反三1】下列条件中能判定的是( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
【答案】D
【解析】解：A项，边边角不能证明两个三角形全等，故A错误，不符合题意；
B项，边边角不能证明两个三角形全等，故B错误，不符合题意；
C项，边边角不能证明两个三角形全等，故C错误，不符合题意；
D项，，，，符合，故D正确，符合题意．
【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DE⊥BC于点E，且BE＝AB．若AB＝，则的值为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：连接BD，如图，
∵AD⊥DC，DE⊥BC，
∴∠ADC＝90°，∠DEB＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝90°，
在Rt△DAB和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DAB≌Rt△DEB（HL），
∴∠DBA＝∠DBE，
∵AB∥CD，
∴∠CDB＝∠DBA，
∴∠DBE＝∠CDB，
∴CB＝CD，
∵AB＝，
∴BE＝CB，
∴BE＝CE，
即＝．
故选：B．
【举一反三3】如图，用纸板挡住三角形的一部分后，仍能画出与此三角形全等的三角形，其全等的依据是 ．
【答案】角边角(或填)
【解析】解：由图得遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边，
全等的依据为角边角．
【举一反三4】学习全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：．” 老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是： ．
【答案】或
【解析】解：在与中，
∴，
可以去掉；
在与中，
∴，
可以去掉．
【举一反三5】在中，是的中点．
(1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：；
(2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：．
【答案】解：(1)是的中点，
．
，
，
，
．
(2)如图，过点作交延长线于点，连接．
由(1)知．
．
，
，
．
在中，，
．
【题型21】全等三角形与动点问题
【典型例题】如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为(　　)时，在某一时刻，三点构成的三角形与三点构成的三角形全等．
A.1或 B.1或 C.2或 D.1
【答案】A
【解析】解：设点的运动速度是，
∵，
∴三点构成的三角形与三点构成的三角形全等，有两种情况：
①，则，
解得，
则，
解得；
②，，
则，
解得．
【举一反三1】如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，每分钟走，Q点从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动（　　）分钟后与全等．

A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】解：设运动t分钟后，两个三角形全等，由题意可得，
，，
∴，
∵，，
∴，
∵与全等
∴时，，
故选：C；
【举一反三2】如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动(即沿运动)，当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足分别为，．设运动的时间为，当以，，三点为顶点的三角形与全等时，t的值为( )s．
A.1 B.1或3 C.2或4 D.1或4
【答案】B
【解析】解：当点在上，点在上时，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
；
当点在上，点第一次从点返回时，
以，，为顶点的三角形与全等，
，
，
，
综上所述，的值为1或3．
【举一反三3】现有一个如图所示的多边形，经测量，，米， 米，米，点E是边的中点．点P从点B出发以2米/秒的速度沿向点C运动，同时点Q从点C出发沿向点D运动．当点Q的速度为 米/秒时，能够在某一时刻使与全等．
【答案】2或
【解析】解：设点P运动的时间为t 秒，则 米，米，
，
①当米，时，，
，解得，
米，
此时，点Q的运动速度为(米/秒)；
②当米，时，，
，解得，
此时，点Q的运动速度为(米/秒)．
【举一反三4】如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，求点F的运动速度．
【答案】解：设点的运动速度为，则，
，
∴当时，根据“”判断，
即，解得；
当时，根据“”判断，
即，解得，
综上所述，点的运动速度为1或．
【举一反三5】在平面直角坐标中，点A坐标（0，4），点C坐标（6，0），点B在x轴负半轴上，点P从点C出发，以1个单位/秒的速度沿x轴负方向运动，且S△AOC=3S△AOB．
（1）求点B的坐标；
（2）点P的运动时间为t，三角形AOP的面积为S，用含t的代数式表示S；
（3）若点D在y轴上，是否存在点P，使以D、O、P为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵点C坐标（6，0），S△AOC=3S△AOB．∴B（﹣2，0）；
（2）∵点P从点C出发，以1个单位/秒的速度沿x轴负方向运动，
∴点P的运动时间为t时，PO=6﹣t，
∵点A坐标（0，4），
∴三角形AOP的面积S=×4×（6﹣t）=12﹣2t；
（3）存在，
①当OP=OA时，D（0，2），（0，﹣2），
②当PO=BO时，D（0，4），（0，﹣4）．
【题型22】倍长中线法
【典型例题】在中，，中线，则边的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，延长至，使，
∵是的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
∴．
【举一反三1】在中，，是边上的中线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：如图，延长到E，使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，在中，，
∴，
∴．
【举一反三2】在学完《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．
小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高的比为1∶2∶3．”
小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其它两边和的一半．”
下面对于小峰和小慧的说法，判断正确的是( )
A.小峰和小慧均正确 B.小峰和小慧均错误 C.小峰正确，小慧错误 D.小峰错误，小慧正确
【答案】B
【解析】解：如果三角形三条高的比是，根据等积法得到此三角形三边比为，这与三角形三边关系相矛盾，故小峰说法错误；
倍长中线后利用三角形全等，可得到三角形中线的2倍小于其它两边和，即其一边上的中线小于其他两边和的一半，故小慧说法错误，
故两人都不正确．
【举一反三3】已知，在中，，，为的中点，则中线的取值范围为 ．
【答案】
【解析】解：如图，延长到点E，使，连接，
∵D为的中点，
∴，
在和中，
∵
∴ )，
∴，
在中，由三角形三边关系可得，
即，
∴，
∴，
∴．
【举一反三4】如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】解：如图，延长到，使得，连接，．
是边的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
．
【举一反三5】阅读材料并解答下列问题．
（1）在△ABC中，若AB＝10，AC＝14，则BC边上的中线AD的取值范围是 　 　．
（2）如图①，在△ABC中，点D是BC边上的中点，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，若EF＝4，EC＝6，求线段BF的长度．（请根据阅读材料添加辅助线，并加以说明）
（3）如图②，在△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和△ACD，点M是BC的中点，联结AM、DE，当AM＝15时，DE＝　 　．
（提示：在同一个三角形中，相等的角所对的边相等.）
【答案】解：（1）在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴AC＝BE＝14，
∵BE﹣AB＜AE＜AB+BE，AB＝10，
4＜AE＜24，
∴2＜AD＜12，
故答案为：2＜AD＜12；
（2）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，如图①，
∵AD是△ABC中线，
∴BD＝DC，
在△ADC和△MDB中，
，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM＝AC＝10，∠CAD＝∠M，
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠CAD＝∠M，
∴BF＝BM＝AC，
即AC＝BF＝10；
（3）如图2，延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN，
由（1）知，△BMN≌△CMA（SAS），
∴BN＝CA，∠BNM＝∠CAM，
∴AC∥BN，
∵AC＝AD，
∴BN＝AD，
∵AC∥BN，
∴∠BAC+∠ABN＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，
∴∠ABN＝∠EAD，
在△ABN和△EAD中，
，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴AN＝DE，
∵MN＝AM，
∴DE＝AN＝2AM，
∵AM＝15，
∴DE＝2AM＝30．
故答案为：30．
【举一反三6】阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至点E，使，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
∴(依据1)，
∴，
在中，(依据2)，
∴．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______________；依据2：________________；
(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ；
A． B． C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4，中，，D为中点，求证：．
【答案】解：(1)依据1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(或“边角边”或“”)；
依据2：三角形两边的和大于第三边．
(2)如图，延长至点，使，连接．
是的中线，
，
在与中，
，
，
在中，，
即，
．
(3)证明：如图4，延长至点F，使连接，
是的中点，
∴，
又 ，
∴ ，
，，
∵，
∴，
，
即，
又∵，
∴ ，
∴，
∴．
【题型23】全等三角形与垂线问题
【典型例题】已知：如图，在平面上，将等腰直角三角板的直角顶点C放在直线上，点A，B位于直线的两侧，作于点D，于点E，点E在点D的左侧、求证：．嘉淇给出了证明过程：
证明：∵，，
∴．
∵，，
∴（①___），
∴，②___．
又，
∴．
如果嘉淇的证明过程正确，那么①②分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴，．
又，
∴．
故选：A．
【举一反三1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】A
【解析】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEH=90°，
∵∠AHE=∠CHD，
∴∠BAD=∠BCE，
∵在△HEA和△BEC中，
∠BAD＝∠BCE，∠AEH＝∠BEC＝90°，EH＝EB，
∴△HEA≌△BEC（AAS），
∴AE=EC=4，
则CH=EC-EH=AE-EH=4-3=1．
故选A.
【举一反三2】如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 ．

【答案】4cm.
【解析】解：过点E作EF⊥AN于F，如图所示

∵AN⊥AB，△BCE和△ACD为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE =90°，BC=CE，AC=CD
∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB =90°，
∴∠ABC =∠FCE，
在△ABC和△FCE中
∴△ABC≌△FCE
∴AB=FC=8cm，AC=FE
∴CD= FE
在△DCM和△EFM中
∴△DCM≌△EFM
∴CM=FM=FC=4cm.
故答案为：4cm.
【举一反三3】如图，在平面直角坐标系内，OA⊥OC ，OA=OC，若点A的坐标为(4，1)，则点C的坐标为 .
【答案】（-1，4）
【解析】解：过点A和点C作x轴的垂线，垂足为D，E，
∵∠AOC=90°，
∴∠COE+∠AOD=90°，
又∠CEO=90°，
则∠COE+∠OCE=90°，
∴∠OCE=∠AOD，
在△COE与△OAD中，
，
∴△COE≌△OAD（AAS），
∴OE=AD，CE=OD，
∵点A的坐标为（4，1），
∴OD=4，AD=1，
∴CE=OD=4，OE=AD=1，
∴点C的坐标为（-1，4），
故答案为：（-1，4）．
【举一反三4】如图①，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P(4，4)处，两直角边与坐标轴交于点A和点B．
（1）求OA+OB的值；
（2）如图②，将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA-OB的值．
【答案】解：（1）如图1，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
则∠PNB=∠PMA=90°，∠NPM=90°，
∵∠BPA=90°，
∴∠NPB=∠MPA=90°-∠BPM，
∵P（4，4），
∴PM=PN=ON=OM=4，
在△PBN和△PAM中，
∴△PBN≌△PAM（ASA），
∴PA=PB，BN=AM，
∴OA+OB=OM+AM+OB=OM+OB+ON=4+4=8；
（2）如图2，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，
则∠PNB=∠PMA=90°，∠NPM=90°，
∵∠BPA=90°，
∴∠NPB=∠MPA=90°-∠BPM，
∵P（4，4），
∴PM=PN=4，
在△PBN和△PAM中，
∴△PBN≌△PAM（ASA），
∴PA=PB，AM=BN，
∴OA-OB=(OM+AM)-(BN-ON)=OM+ON=4+4=8．
【题型24】与尺规作图相关的全等三角形问题
【典型例题】如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是( )

A.两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B.两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C.两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D.两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【答案】C
【解析】解：根据作图可知：两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，其中角的对边不确定，可能有两种情况，故三角形不能确定，
所以两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等．
【举一反三1】用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是( )

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由作图得，，
在和中，
∴，
∴能得到的依据是．
【举一反三2】如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；再以点O为圆心，大于OC为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F；连接CF，DE，则△EOD≌△FOC，其全等的依据 .
【答案】SAS
【解析】由作图步骤可知，OC=OD，OE=OF，
在△COF和△DOE中，OC=OD，∠O=∠O，OF=OE
∴△EOD≌△FOC（SAS），
故选：SAS．
【举一反三3】已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AC上一点，连接BD，AF⊥BD交BD于点E，交BC于F．
（1）使用尺规完成基本作图：作∠BAC的角平分线交BD于点G，交BC于点M．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：AG＝CF．
【答案】（1）解：如图，AM即为所求．
（2）证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝BAC＝45°．
∴∠C＝∠BAG，
∵AF⊥BD，
∴∠AEB＝∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠BAE＝∠FAC+∠BAE＝90°，
∴∠ABE＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
在△ABG和△CAF中，
，
∴△ABG≌△CAF（ASA）．
∴AG＝CF．
【举一反三4】如图，已知．

(1)尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如果，，的面积为12，求的面积．
【答案】解：（1）如图所示，即为所求；

（2）设点到的距离为，则：点到的距离也为，
∵，
∴，
∴．14.2三角形全等的判定
【知识点1】全等三角形的判定 2
【知识点2】直角三角形全等的判定 2
【知识点3】全等三角形的判定与性质 3
【题型1】用SAS判定三角形全等 4
【题型2】SAS与全等三角形性质的综合 5
【题型3】SAS的实际应用 6
【题型4】用ASA判定三角形全等 8
【题型5】ASA与全等三角形性质的综合 9
【题型6】ASA的实际应用 10
【题型7】用AAS判定三角形全等 12
【题型8】AAS与全等三角形性质的综合 14
【题型9】AAS的实际应用 15
【题型10】用SSS判定三角形全等 16
【题型11】SSS与全等三角形性质的综合 17
【题型12】SSS的实际应用 19
【题型13】作一个角等于已知角 21
【题型14】作三角形 23
【题型15】用HL判定直角三角形全等 25
【题型16】HL与全等三角形性质的综合 26
【题型17】HL的实际应用 27
【题型18】灵活选择三角形全等的判定方法证全等 29
【题型19】添加适当条件判定三角形全等 30
【题型20】全等三角形的性质与判定的综合 31
【题型21】全等三角形与动点问题 33
【题型22】倍长中线法 35
【题型23】全等三角形与垂线问题 38
【题型24】与尺规作图相关的全等三角形问题 40
【知识点1】全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．
（2）判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（3）判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．
（4）判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．
（5）判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．
方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 1.（2024秋 宝应县期末）如图，∠C=∠D=90°，BC=BD．可以判定△ABC≌△ABD的依据是（　　） A．HLB．ASAC．SASD．AAS
2.（2024秋 汕头期末）如图，点B，F，E，D共线，∠B=∠D，BE=DF，添加一个条件，不能判定△ABF≌△CDE的是（　　） A．AF∥CEB．∠A=∠CC．AF=CED．AB=CD
【知识点2】直角三角形全等的判定 1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件． 1.（2024秋 南关区期中）下列可使两个直角三角形全等的条件是（　　） A．一条边对应相等B．两条直角边对应相等C．一个锐角对应相等D．两个锐角对应相等
2.（2023秋 贵池区期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是（　　） A．斜边和一直角边对应相等B．两个锐角对应相等C．一锐角和斜边对应相等D．两条直角边对应相等
【知识点3】全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 1.（2024秋 淮北期末）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE=∠B，CD=3BD，则AE等于（　　） A．7B．8C．9D．10
2.（2024秋 兴隆县期末）如图，点P在线段AB外，且PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，三位同学辅助线的作法如下：
甲：作∠APB的平分线PC交AB于点C．
乙：过点P作PC⊥AB，垂足为C．
丙：过点P作PC⊥AB于点C，且AC=BC．
其中，正确的是（　　） A．甲和乙B．甲和丙C．乙和丙D．全对
【题型1】用SAS判定三角形全等
【典型例题】如图，已知AD∥BC，欲用“边角边”证明△ABC≌△CDA，需补充条件（　　）
A.AB＝CD B.∠B＝∠D C.AD＝CB D.∠BAC＝∠DCA
【举一反三1】如图，已知在△ABC和△DEF中，∠1＝∠2，BF＝CE．则添加下列条件能用“SAS”使△ABC和△DEF全等的是（　　）
A.AC＝DF B.AB＝DE C.∠A＝∠D D.∠B＝∠E
【举一反三2】如图，已知，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D；再以点O为圆心，大于为半径画弧，分别交，于点E，F；连接，，则，其全等的依据是 .
【举一反三3】如图，，若不添加辅助线并利用“”判定，则可以添加的条件是 （填写一个条件即可）．
【举一反三4】如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，且BD=CE．
求证：△ABE≌△ACD．
【举一反三5】如图所示，A，F，C，D四点同在一直线上，AF＝CD，AB∥DE，且AB＝DE.求证：
△ABC≌△DEF；
【题型2】SAS与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，在和中，，，，，则的长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】如图，，，，，则为（ ）

A. B. C. D.
【举一反三2】如图，与相交于点A，，，，若，则的长度是 ．
【举一反三3】已知，在如图所示的“风筝”图案中，，则 ．
【举一反三4】如图，已知AB＝AD，且AC平分∠BAD.求证：BC＝DC．
【题型3】SAS的实际应用
【典型例题】数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即A，B两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案．数学原理是△ABC和△DEC全等．要用“SAS”判定△ABC≌△DEC，学习小组设计方案的步骤正确的顺序是（　　）
学习小组的设计的画图步骤有：①连接BC，并延长到点E，使CE＝CB；②连接DE，并测量出它的长度，则DE的长度就是A，B两点之间的距离.③先在地上取一个可以直接到达点A，B的点C；④连接AC并延长到点D，使CD＝CA.
A.①②③④ B.①③④② C.③④②① D.④③②①
【举一反三1】学校美术社团为学生外出写生配备如图所示的折叠凳（图1），图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中登腿和的长度相等，O是它们的中点，为了使折叠凳坐得舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，利用你所学的知识求出的长度是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，为了测量一池塘的长，在岸边找到一点，连接，在的延长线上找一点，使得，连接，在的延长线上找一点，使得，测得米．则池塘的长为（ ）
A.80米 B.30米 C.120米 D.60米
【举一反三3】如图，一个直角三角板的一条直角边经过的顶点，一把直尺经过三角板的直角顶点并且与这条直角边垂直，直尺与的两边分别交于,，当时，与的数量关系为 ．
【举一反三4】如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是 .
【举一反三5】如图所示，小阳同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A,D,C,F在同一条直线上，且，．求证：．
【题型4】用ASA判定三角形全等
【典型例题】如图，已知，，添加以下条件中，能用“ASA”使的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在数学课上，老师给出三条边长分别为a，b，c的△ABC，其三个内角的度数如图所示．下面是4名同学用不同方法画出的三角形，则根据图中已知的条件判断，其中用“ASA”判定与△ABC全等的是（　　）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，已知∠1＝∠2，在下列条件：①∠B＝∠C；②∠BAD＝∠CAD；③BD＝CD；④AB＝AC中，只补充一个可以用“ASA”判断△ABD≌△ACD的条件是（　　）
A.① B.② C.③ D.④
【举一反三3】如图，已知∠ABC=∠BAD，用ASA能判定△ABC≌△BAD的条件是 .
【举一反三4】如图，在和中，，，请你添加一个条件 ，使且满足．

【举一反三5】如图，在中，，点，F，分别在边，上，．
求证：．
【举一反三6】如图，已知CE∥DF，CE=DF，∠E=∠F，求证：△ACE≌△BDF．
【题型5】ASA与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，在中，，是延长线上的点，，于点，交于点，若，，则的长为（ ）
A. B. C.1 D.
【举一反三1】如图，在中，，，的平分线交于点D，，交的延长线于点E，若，则长为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】如图，D为内一点，平分于点D，交于点E．若，则的长为 ．
【举一反三3】如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上．
(1)若，求证：；
(2)若，，求的度数．
【举一反三4】如图1，与相交于点．
(1)求证：；
(2)如图2，过点O作交于点E，交于点F，求证：；
(3)如图3，若，点E从点A出发，沿方向以的速度运动，点F从点C出发，沿方向以的速度运动，两点同时出发．当点E到达点A时，两点同时停止运动，设点E的运动时间为．连接，当线段恰好经过点O时，求出t的值．
【题型6】ASA的实际应用
【典型例题】如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A、B两点间的距离，这里判定的理由是（　　）
A.ASA B.AAS C.SSS D.SAS
【举一反三1】如图，曲晓星站在河边的点A处，在河对面（曲晓星正北方向）的点B处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了10米到达一棵树C处，接着再向前走了10米到达D处，然后他左转直行，当他看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时，的长度就是的长度，他的依据是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图是某同学测量水池两点，距离的方案，下列说法不正确的是（ ）
①先确定直线，过点作于点；
②在上取，两点，使得 △ ；
③过点作于点；
④ ※ 于点；
⑤测量 ☆ 的长度，即的长．
A.△代表 B.※代表连接 C.☆代表 D.该方案运用的判定方法是
【举一反三3】如图，小李为了测量河的宽度，他先站在河边的点C处，面向河对岸，压低帽檐使视线通过帽檐正好落在河对岸的点A处，然后保持姿势不变原地向后转，正好看见了他所在的岸上的一块石头B，并测得，则河宽AC为 ．
【举一反三4】如图，要测量池塘两岸的两地A，B的距离，可在池塘外取的垂线上的两点C，D，使，再画出的垂线，使点E 与点A，C在一条直线上，测得米，米，米，则 A，B的距离是 米．
【举一反三5】如图，一艘航船，在水流的作用下，从点航行到点，此时，小明的船在处，看到点在他的正北方，

两河岸直线，直线之间的距离知道，但小明想知道航线的里程，又不便测量，你能用学习的全等三角形的知识，画图帮他设计吗？并说明你的理由．
【题型7】用AAS判定三角形全等
【典型例题】如图，AD为∠BAC的平分线，添加下列条件后，能用“AAS”证明△ABD≌△ACD的是（　　）
A.∠B＝∠C B.∠BDA＝∠CDA C.BD＝CD D.AB＝AC
【举一反三1】如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF＝CE，AC∥DF，请添加一个条件，能用“AAS”使△ABC≌△DEF，这个条件可以是（　　）
A.AB＝DE B.∠B＝∠E C.∠A＝∠D D.AC＝DF
【举一反三2】如图所示，在中，为的中点，过点分别向，作垂线段，若用“AAS”判定，需要添加的条件是（ ）
A.AB=BC B. C. D.
【举一反三3】如图，AB与CD相交于点O，，添加条件： ，可得，理由是 （添加一种合适的情况即可）．
【举一反三4】如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．试说明：．
【举一反三5】如图，已知AD是△BC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要用“AAS”使△AED≌△AFD，需添加一个条件是：_______________，并给予证明.
【题型8】AAS与全等三角形性质的综合
【典型例题】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．如图，在中，分别取的中点D，E，连接，过点A作，垂足为F，将分割后拼接成长方形．若，，则的面积是（　　）

A.20 B.25 C.30 D.35
【举一反三1】如图，，垂足分别为．若，则的长（ ）
A.2 B.5 C.8 D.10
【举一反三2】如图，在四边形中，，连接，若P是边上一动点，连接，则长的最小值为 ．
【举一反三3】如图，，和分别是和的中点，连结，并延长，分别交于，，若四边形的面积为，那么 ．
【举一反三4】如图，且，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
【举一反三5】如图，已知，．
(1)求证：；
(2)已知，，求的度数．
【题型9】AAS的实际应用
【典型例题】如图，嘉嘉与淇淇玩跷跷板游戏，跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）到地面的距离是60，当淇淇从水平位置垂直上升15时，嘉嘉离地面的高度是（ ）
A.30 B.35 C.40 D.45
【举一反三1】小华把等腰直角三角板按如图所示的方式立在桌面上，顶点正好落在桌面上，若另外两个顶点分别到桌面的距离，，则两垂足之间的距离的长为（ ）

A. B. C. D.
【举一反三2】如图，王林拿着老师的等腰直角三角尺，恰能摆放在两摞长方体教具之间，，．已知每个长方体教具高度相等，若，则的长为 ．

【举一反三3】丞丞同学在物理课上知道了摆动现象是由杠杆原理，重力作用，动能与势能转换以及阻力的影响共同作用的结果．这一原理在很多领域都有应用，如摆钟，秋千等．为了对其作进一步的探究．丞丞同学自制了一个钟摆球，在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置；当丞丞推动小球时，小球从位置摆到位置，此时过点作于点，且测得点到的距离为；当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的点，，，在同一平面内），过点作于点，测得点到的距离为．
(1)判断与的数量关系，并说明理由；
(2)求两次摆动中的点和点的高度差的长．
【举一反三4】如图，沿方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在上取一点，在小山外取一点，连接并延长，使，过点作的平行线，交的延长线于点，那么测量的长就是的长，请你说明其中的道理．
【题型10】用SSS判定三角形全等
【典型例题】如图，点B，E，C，F在一条直线上，，.若利用“”得到，则需要添加的条件是（ ）

A. B.EC=AC C. D.
【举一反三1】如图，已知，，添加以下条件中，能用“SSS”使的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，， 要想用“SSS”证明．需要添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在三角形利用“SSS”可判定全等．我所添加条件为 ．
【举一反三4】如图，．求证：．
【题型11】SSS与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，是的中点，，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，已知，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，，则（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，，，．若，则 ．

【举一反三4】填空，完成下列证明过程．
如图，和中，，点A，C，D，F在一条直线上，．求证：．
证明：（已知）
∴①，即②
在和中，
∴（），
⑤ ，
∴（⑥）．
【举一反三5】如图，是中边上的中线，是上一点，延长到点，使．连接．是延长线上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【题型12】SSS的实际应用
【典型例题】如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．以上作图原理主要是通过哪种方法判定三角形全等(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】分水油纸伞是泸州市江阳区分水岭镇特产，中国国家地理标志产品，国家级非物质文化遗产．油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着许多数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，，，则的判定依据是（ ）
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
【举一反三2】如图1是一乐谱架，利用立杆可进行高度调节，图2是底座部分的平面图，其中支撑杆，点E，F分别为，中点，，是连接立杆和支撑杆的支架，且．立杆在伸缩过程中，总有，其判定依据是（ ）

A. B. C. D.
【举一反三3】如图，在三角形钢架中，，是连接点与中点的支架．若，则的大小为 ．
【举一反三4】如图是雨伞的截面示意图，伞骨，，分别是，的中点，，是连接弹簧和伞骨的支架，且．
（1）与是否全等？ （填“是”或“否”）；
（2）若，，则的度数为 ．
【举一反三5】我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．你知道△AED≌△AFD的理由吗？
【题型13】作一个角等于已知角
【典型例题】如图，已知与上的点，点，小临同学现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点，直线EA即为所求．他得出结论的根据是（ ）
A.同位角相等，两直线平行 B.内错角相等，两直线平行 C.平行于同一条直线的两直线平行 D.同旁内角互补，两直线平行
【举一反三1】如图，用尺规作出了，作图痕迹中，弧是（ ）
A.以点C为圆心，的长为半径的弧 B.以点C为圆心，的长为半径的弧 C.以点G为圆心，的长为半径的弧 D.以点G为圆心，的长为半径的弧
【举一反三2】已知直线，嘉嘉和淇淇想画出的平行线，他们的作法如下（图1和图2）：
下列说法正确的是（ ）
A.嘉嘉的作法正确，淇淇的作法不正确 B.嘉嘉的作法不正确，淇淇的作法正确 C.嘉嘉和淇淇的作法都正确 D.嘉嘉和淇淇的作法都不正确
【举一反三3】尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到∠MBN＝∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD≌△BEF的依据是 .
【举一反三4】（1）在如图所示的中，过点C画出直线的垂线，并量出三角形顶点C到直线的距离；（精确到）
（2）如图，已知，利用尺规作图作一个角等于该角的补角．
【举一反三5】下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图的过程．
已知：如图1，．
求作：一个角，使它等于．
作法：如图2．①在的两边上分别任取点D，E；
②以点D为圆心，长为半径画弧；以点E为圆心，长为半径画弧；两弧交于点F；
③连接，，即为所求作的角．
(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面证明的过程，并在括号内补全推理依据．
证明：连接．
______，
在和中，
∴（______），
∴（______）．
【题型14】作三角形
【典型例题】如图，已知△ABC，尺规作图的方法作出了△ABC≌△DEF，请根据作图痕迹判断△ABC≌△DEF的理论依据是（　　）
A.SSS B.SAS C.过一点有无数条直线 D.两点之间，线段最短
【举一反三1】根据下列已知条件，能画出唯一的是（ ）
A.，， B.，， C.， D.，，
【举一反三2】已知线段a，c，，求作：，使，，．
以下是排乱的作图步骤：
正确作图步骤的顺序是（ ）
A.①②③④ B.①③②④ C.①③④② D.①②④③
【举一反三3】如图，已知线段a，b和，按要求尺规作图（不必写作法，保留作图痕迹）．

求作，使，
；
作图依据是 ．
【举一反三4】如图，已知，线段，求作，使得．
作法：
（1）作线段 ；
（2）在的同旁，作 ，作 ，与交于点 ，故就是所求作的三角形．
【举一反三5】在中，若，，为的中线．
(1)写出长的取值范围：__________；
(2)如图，已知线段，．用直尺和圆规作，使得，，．
【举一反三6】用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
一个缺角的三角形残片如图所示，请你利用尺规作一个和原三角形全等的三角形．并说出作图依据．
【题型15】用HL判定直角三角形全等
【典型例题】如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】在和中，，下列条件中能判定的个数为（　　）
①，；
②，；
③，；
④，．
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】如图，在和中，点B，D，C，E在同一条直线上，点C和点E重合．，，若添加一个条件后可用“”定理证明，添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是 .
【举一反三4】如图，AB⊥CF，垂足为B，AB∥DE，点E在CF上，CE=FB，AC=DF，依据以上条件可以判定△ABC≌△DEF，这种判定三角形全等的方法，可以简写为 .
【举一反三5】如图，点是线段的中点，在线段的同侧作，，过点作于点，过点作于点，已知．
求证：．
【题型16】HL与全等三角形性质的综合
【典型例题】如图，已知于点，交于点，于点，且．若，则的大小为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，∠1=40°，则∠2=（　　）
A.40° B.50° C.60° D.75°
【举一反三2】如图，，，于点，于点，，，则的长是 ．
【举一反三3】如图，在中，为的中点，于点于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的面积．
【题型17】HL的实际应用
【典型例题】在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（ ）
A.小赵同学作图判定的依据是
B.小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
C.小刘同学作图判定的依据是
D.小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长
【举一反三1】用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M，N作，的垂线，交点为P，画射线，则平分.做法中用到证明与全等的判定方法是（　　）
A.SAS B.SSS C.ASA D.HL
【举一反三2】如图是标准跷跷板的示意图，横板的中点过支撑点，且绕点只能上下转动．如果，，则小孩玩耍时，跷跷板可以转动的最大角度为（ ）
A.15° B.20° C.30° D.40°
【举一反三3】如图，幼儿园的滑梯中有两个长度相等的梯子，且，已知，，则 ．
【举一反三4】如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度相等，当，，时，求的长度．
【举一反三5】如图，两人从路段上一点同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达两地．且，．若线段相等，则点是路段的中点吗？为什么？
【题型18】灵活选择三角形全等的判定方法证全等
【典型例题】一天老师带小明测操场上一棵树的高度，如图1 所示，他告诉小明，我在距树底端B 点a米的C处，使用测角仪测得，你能测出旗杆的高度吗？ 小明经过一番思考：“我若将放倒在操场上不就可以测量了吗！ ”于是他在操场上选取了一个合适的地方， 画出一个直角， 如图2， 使米，
小明说，只要量出的长度就知道旗杆的高度了．
同学甲： 小明的做法正确， 是根据“”得得到的；
同学乙： 小明的做法正确， 是根据“”得得到的；
同学丙： 小明的做法正确， 是根据“”得得到的；
同学丁：小明的做法不正确，由他的做法不能判断． 你认为 ( )
A.甲、乙、丙的判断都正确 B.只有乙的判断正确 C.只有丁的判断正确 D.乙、丙的判断正确
【举一反三1】按下列给出的各条件，能画出大小、形状固定的的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】如图，四边形中，对角线，相交于点，如果，，那么图中一共有 对全等的三角形．
【举一反三3】如图所示，在和中，给出以下4个论断：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，另一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个正确的命题，并写出证明过程．
已知：________；
求证：________．

【题型19】添加适当条件判定三角形全等
【典型例题】如图，于，，增加下列一个条件：(1)；(2)；(3)，其中能判定的条件有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三1】如图所示，，，要使，需添加条件（　　）

A. B. C. D.
【举一反三2】在与中，已知，，分别补充下列条件中的一个条件： ； ； ； ，其中能判定的有( )

A. B. C. D.
【举一反三3】如图，，，若添加一个条件可得，则添加的条件可以是 ．(写出一个满足条件的答案)
【举一反三4】如图，点A，E，F，C在同一条直线上，，，请你再添加一个条件使得，并说明理由．
【题型20】全等三角形的性质与判定的综合
【典型例题】下列条件中一定能确定的是( )
A.
B.
C.
D.
【举一反三1】下列条件中能判定的是( )
A.，，
B.，，
C.，，
D.，，
【举一反三2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，DE⊥BC于点E，且BE＝AB．若AB＝，则的值为（　　）
A. B. C. D.
【举一反三3】如图，用纸板挡住三角形的一部分后，仍能画出与此三角形全等的三角形，其全等的依据是 ．
【举一反三4】学习全等三角形的判定后，小明编了这样一个题目：“已知：如图，，，，求证：．” 老师说他的已知条件给多了，那么可以去掉的一个已知条件是： ．
【举一反三5】在中，是的中点．
(1)如图1，在边上取一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：；
(2)如图2，将一直角三角板的直角顶点与点重合，另两边分别与相交于点，，求证：．
【题型21】全等三角形与动点问题
【典型例题】如图，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为(　　)时，在某一时刻，三点构成的三角形与三点构成的三角形全等．
A.1或 B.1或 C.2或 D.1
【举一反三1】如图，，于A，于B，且，P点从B向A运动，每分钟走，Q点从B向D运动，每分钟走，P、Q两点同时出发，运动（　　）分钟后与全等．

A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】如图，点在线段上，于点，于点，，且，，点从点开始以速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动(即沿运动)，当点到达终点时，，同时停止运动．过，分别作的垂线，垂足分别为，．设运动的时间为，当以，，三点为顶点的三角形与全等时，t的值为( )s．
A.1 B.1或3 C.2或4 D.1或4
【举一反三3】现有一个如图所示的多边形，经测量，，米， 米，米，点E是边的中点．点P从点B出发以2米/秒的速度沿向点C运动，同时点Q从点C出发沿向点D运动．当点Q的速度为 米/秒时，能够在某一时刻使与全等．
【举一反三4】如图，在四边形中，，，，点E在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段上由点B向点C运动，设运动时间为，当与以B，E，F为顶点的三角形全等时，求点F的运动速度．
【举一反三5】在平面直角坐标中，点A坐标（0，4），点C坐标（6，0），点B在x轴负半轴上，点P从点C出发，以1个单位/秒的速度沿x轴负方向运动，且S△AOC=3S△AOB．
（1）求点B的坐标；
（2）点P的运动时间为t，三角形AOP的面积为S，用含t的代数式表示S；
（3）若点D在y轴上，是否存在点P，使以D、O、P为顶点的三角形与△AOB全等？若存在，直接写出点D坐标；若不存在，请说明理由．
【题型22】倍长中线法
【典型例题】在中，，中线，则边的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
【举一反三1】在中，，是边上的中线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【举一反三2】在学完《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．
小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高的比为1∶2∶3．”
小慧说：“存在这样的三角形，其一边上的中线不小于其它两边和的一半．”
下面对于小峰和小慧的说法，判断正确的是( )
A.小峰和小慧均正确 B.小峰和小慧均错误 C.小峰正确，小慧错误 D.小峰错误，小慧正确
【举一反三3】已知，在中，，，为的中点，则中线的取值范围为 ．
【举一反三4】如图，在中，D是边的中点，，则的取值范围是 .
【举一反三5】阅读材料并解答下列问题．
（1）在△ABC中，若AB＝10，AC＝14，则BC边上的中线AD的取值范围是 　 　．
（2）如图①，在△ABC中，点D是BC边上的中点，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE＝EF，若EF＝4，EC＝6，求线段BF的长度．（请根据阅读材料添加辅助线，并加以说明）
（3）如图②，在△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和△ACD，点M是BC的中点，联结AM、DE，当AM＝15时，DE＝　 　．
（提示：在同一个三角形中，相等的角所对的边相等.）
【举一反三6】阅读下列材料，完成相应任务．
数学活动课上，老师提出了如下问题：
如图1，已知中，是边上的中线．求证：
智慧小组的证法如下：
证明：如图2，延长至点E，使，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
∴(依据1)，
∴，
在中，(依据2)，
∴．
(1)任务一：上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：______________；依据2：________________；
(2)任务二：如图3，，，则的取值范围是 ；
A． B． C．
(3)任务三：利用“倍长中线法”，解决下列问题．
如图4，中，，D为中点，求证：．
【题型23】全等三角形与垂线问题
【典型例题】已知：如图，在平面上，将等腰直角三角板的直角顶点C放在直线上，点A，B位于直线的两侧，作于点D，于点E，点E在点D的左侧、求证：．嘉淇给出了证明过程：
证明：∵，，
∴．
∵，，
∴（①___），
∴，②___．
又，
∴．
如果嘉淇的证明过程正确，那么①②分别为（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，则CH的长是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【举一反三2】如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为 ．

【举一反三3】如图，在平面直角坐标系内，OA⊥OC ，OA=OC，若点A的坐标为(4，1)，则点C的坐标为 .
【举一反三4】如图①，在平面直角坐标系中，将直角三角形的直角顶点放在点P(4，4)处，两直角边与坐标轴交于点A和点B．
（1）求OA+OB的值；
（2）如图②，将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，求OA-OB的值．
【题型24】与尺规作图相关的全等三角形问题
【典型例题】如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是( )

A.两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B.两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C.两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D.两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
【举一反三1】用直尺和圆规作两个全等三角形，如图，能得到的依据是( )

A. B. C. D.
【举一反三2】如图，已知∠AOB，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；再以点O为圆心，大于OC为半径画弧，分别交OA，OB于点E，F；连接CF，DE，则△EOD≌△FOC，其全等的依据 .
【举一反三3】已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为AC上一点，连接BD，AF⊥BD交BD于点E，交BC于F．
（1）使用尺规完成基本作图：作∠BAC的角平分线交BD于点G，交BC于点M．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：AG＝CF．
【举一反三4】如图，已知．

(1)尺规作图：作的角平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)如果，，的面积为12，求的面积．

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