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湘教版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：1-4章）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．（2024九上·岳阳期中）反比例函数的图象一定经过的点是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023九上·南开月考）已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·潮南月考）把方程化成的形式，则（　　）
A．17 B．14 C．11 D．7
4．（2024九上·娄底期末）已知，则下列式子不成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·鹿城期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九上·顺德月考）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　）
A．CA平分 B． C． D．
7．（2025九上·海曙期末）Rt 中， ，下列结论：① ；② ；③ ，其中结论正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用 同步练习）在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（　　）.
A．18米 B．16米 C．20米 D．15米
9．（2025九上·台州期末）如图，在中，，，，矩形的一边在上，其余两个顶点分别在边，上．设，，当长度变化时，下列代数式的值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九上·渠县期末）如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分
11．（2021九上·临海期末）关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为　 　.
12．（2024九上·江岸月考）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是　 　．
13．（2025九上·海曙期末）已知abc≠0，且，则k的值为　 　.
14．（2025九上·慈溪期末）如图，在 Rt 中， 。若 ，则 的值是　 　。
15．（2025九上·温州开学考）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数y=（a＞0，x＞0）和y=（b＜0，x＞0）的图象上，且BC∥y轴，若△ABC的面积为6，则a-b的值为　 　.
16．（2025九上·宁波期末）如图，取一张长为 ，宽为 的矩形纸片 ，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边 应满足的条件是　 　．
17．（2023九上·香洲期中）如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边的距离的最小值是　 　．
18．（2024九上·怀化期末）如图，平行四边形ABCD的一边AB在x轴上，长为5，且∠DAB＝60°，反比例函数y＝和y＝分别经过点C，D，则AD＝　 　．
三、解答题：本题共8小题，共66分
19．（2025九上·衡阳开学考） 解下列方程：
（1）；
（2）．
20．（2024九上·昌平期中）如图，A是直线上一点，，过点B作于点D，过点C作于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（2024九上·成都期中）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
22．（2024九上·浦东期中）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：________，________， ________海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
23．（2024九上·张店月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
（3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
24．（2024九上·简阳期末）如图，反比例函数的图象与直线交于点，在射线上取一点，过点作轴的垂线分别交反比例函数的图象和轴于点和点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，
①求点的坐标；
②求的面积．
25．（2024九上·百色期末） 【综合与实践】
如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强p与受力面积S的数据关系如下表所示：
桌面所受压强p（Pa） 250 400 500 800
受力面积S（m2） 0.8 0.5 a 0.25
图① 图②
（1）压强的计算公式是：，根据实验过程及表中数据，你认为在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，哪一个量不变？
（2）求出压强p（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式及a的值；
（3）如图②，将另一长、宽、高分别为60cm，40cm，10cm，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上。若玻璃桌面能承受的最大压强为4000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由.
26．（2023九上·安溪期中）综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中“黄金分割”给人以美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点将线段分成两部分（），若，则称点为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比．
【初步感知】
（1）如图1，若，求黄金比的值．
【类比探究】
（2）如图2，在中，是边上一点，将分割成两个三角形（），若，则称为的黄金分割线．
①求证：点是线段的黄金分割点；
②若的面积为4，求的面积．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，为上的一点（不与，重合），过作，交于，，相交于，连接并延长，与，分别交于，．请问直线是的黄金分割线吗？并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】由得：xy=-10，A：xy=10，图象不经过，故A不符合要求；
B：xy=-10，图象一定经过，故B符合要求；
C：xy=10，图象不经过，故C不符合要求；
D：xy=16，图象不经过，故D不符合要求；
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的解析式可得出xy=-10，所以只需计算各选项横，纵坐标的积，即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据反比例函数的图象可得，反比例函数的图象在二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，且函数值均为正，当x＞0时，y随x的增大而增大，且函数值均为负，
∴当点A、B、C三个点在反比例函数的图象上时，
∵-2＜-1＜2，
∴y2＞y1＞y3；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质判断即可。
3．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故选A．
【分析】根据移项，两边都加上一次项系数的一半的平方，得到完全平方公式解答即可．
4．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】A、∵，∴，∴A正确，不符合题意；
B、∵，∴，∴B不正确，符合题意；
C、∵，∴，∴C正确，不符合题意；
D、∵，∴，∴D正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用比例线段的性质逐项分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；余弦的概念
【解析】【解答】解：如下图所示，连接交于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故选： D．
【分析】由菱形的判定和性质知，AD与EF互相垂直平分，而且AD平分，可直接利用的余弦公式计算 ．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠BAC
A：CA平分，则ACD=∠ACB，即∽，A正确
B：∠DAC=∠ABC，即∽，B正确
C：，不能判断∽，C错误
D：，∽，D正确
故答案为：C
【分析】根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：
由勾股定理，得.
故①错误；
故②错误；
故③正确；
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理，可用BC表示AB，根据锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案.
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】根据题意得：标杆的高：标杆的影长=旗杆的高：旗杆的影长，
即1.5：2.5=旗杆的高：30，
∴旗杆的高= =18米．
故选A．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；求正切值
【解析】【解答】解∵四边形是矩形，
∴，
如图所示，过点作于点，
∵在中，，，，
设，则
在中，，
在中，，
∴
∴
解得：
∴，
∴
∴，
∴，
又∵
∴
∴
故答案为：D．
【分析】过点作于点，利用勾股定理求出长，然后利用正切的定义可以得到，，再利用矩形的性质得到，求出的关系解答即可．
10．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：直线与双曲线交于两点，
设点A坐标为，则点B坐标为，
点在轴上，，点O是AB的中点，
OC=OA=，
的面积为，
解得：或（舍去），
点A坐标为，
故答案为：A.
【分析】设点A坐标为，则点B坐标为，先利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到OC=OA=，然后利用的面积为建立方程，求出a的值，得出点A的坐标，即可求出k的值.
11．【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，
， ， ，
∴Δ=62-4×1×m=0，
解得m=9，
故答案为：9.
【分析】利用一元二次方程有两个相等的实数根，可得到b2-4ac=0，由此建立关于m的方程，解方程求出m的值.
12．【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：11．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，可得到m+n，mn的值，同时可得到，再将代数式进行转化，然后整体代入求值.
13．【答案】1或
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由已知得，
∴当 时，得
当 时，则
∴k的值为1或
故答案为：1或
【分析】根据已知条件得出( 再把三式相加得出 然后分两种情况讨论， 即可得出k的值.
14．【答案】
【知识点】已知正弦值求边长；求正切值
【解析】【解答】解：∵，
∴设BC=3a，AB=4a，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意设BC=3a，AB=4a，然后利用勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
15．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点B的坐标为，
∵BC∥y轴，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
∴a-b=12，
故答案为：12.
【分析】设点B的坐标为，则点C的坐标为，即可求出BC长，然后根据 △ABC的面积为6， 求出a-b即可.
16．【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：对折两次之后的小矩形纸片，此时的小矩形长为b，宽为。
∵ 小矩形与原矩形相似，∴a：b=b：，其中a＞0，b＞0，
解得a=2b。
故答案为：a=2b。
【分析】本题首先确定，对折两次后得到一张小矩形纸片，这张小纸片的长长为b，宽为。然后根据“ 小矩形与原矩形相似 ”列出相似比，最后化简计算即可。
17．【答案】1.2
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得当PF⊥AB时，则P到边AB的距离最小，此时延长FP与AB交于点D，则FD的长即为点到边的距离的最小值，此时PE∥AB，
∵，，，
∴AB =10，
由翻折的性质可知：，．
，
．
又为定值，
有最小值．
又，，
．
，
即，
解得：．
．
故答案为：1.2
【分析】由勾股定理求得的长，然后依据翻折的性质可知，故此点在以为圆心，以2为半径的圆上，所以当PF⊥AB时，则P到边AB的距离最小，此时延长FP与AB交于点D，则FD的长即为点到边的距离的最小值，据此画出图形，再利用相似三角形的判定与性质求解即可．
18．【答案】2
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设点C（），则点D（），
∴CD＝x﹣（）＝
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，
∴＝5，解得x＝2，
∴D（﹣3，），
作DE⊥AB于E，则DE＝，
∵∠DAB＝60°，
故答案为：2．
【分析】设点C（），则点D（），再利用CD长得到x的值，即可得到点D的坐标，然后在直角三角形ADE中求出AD长即可．
19．【答案】（1）解：
x+3=4或x+3=-4
x=4-3=1或x=-4-3=-7
（2）解：
(x-5)(x-5-2)=0
(x-5)(x-7)=0
x-5=0或x-7=0
x=5或x=7
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）运用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
20．【答案】（1）证明：因为，可得，
又因为，，所以，
因为，所以，
在和中，可得，所以.
（2）解：在中，，
由勾股定理得，，
因为，可得，即，解得.
【知识点】勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质，证得和，结合相似三角形的判定方法，即可证得；
（2）在中，利用勾股定理求得，再结合相似三角形的性质得出比例式，代入相关数值计算，即可求解.
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴
（2）在中，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴
∴
21．【答案】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
根据题意，得，
解得：，（舍去），
∴该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
根据题意，得，
整理得：，
解得：，
当时，售价为，
∴，
∴购买的这种健身器材的套数为200套．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据“从2021年的32万人增加到2023年的50万人“可列出关于的一元二次方程，解方程且取符合题意的值即可；
（2）先求出购买的这种健身器材的套数大于100套，然后设购买的这种健身器材的套数为套，根据”购买不超过100套，每套售价1600元，超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元以及市政府向该公司支付货款24万元“列出关于的一元二次方程，解方程并取符合题意的值即可．
（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
22．【答案】（1）30；75；5
（2）解：设海里，在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】（1）解：如图所示，过点P作于D，则∠ADP=90°，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
故答案为：30；75；5；
【分析】（1）过点P作于D，则∠ADP=90°，根据方位角的描述得出∠APD=60°，∠BPD=45°，∠CPD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠PAB的度数；然后根据角的构成，由∠APC=∠APD+∠CPD可算出∠PAB的度数，最后根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段AB的长度；
（2）设海里，由正切函数的定义及特殊锐角三角形函数值得到，由∠A的正切函数及特殊锐角三角函数值得到海里，由∠A的正弦函数及特殊锐角三角函数值求得AP=2x海里，根据AD=AB+BD建立方程求解可得AP的长；由三角形内角和定理证明，由等角对等边得海里，再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论．
（1）解：如图所示，过点P作于D，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
（2）解：设海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
23．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴一次函数解析式为，
把代入，得，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立，
解得：或，
∴，
设，
由题意得，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先求出，得到，解直角三角形得到，则，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，从而求出点的坐标，进而再利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）联立两函数的解析式得到方程组并解之可求出点的坐标，然后设，由题意得，可利用勾股定理建立方程求出点的坐标，最后根据，结合三角形面积公式即可求解；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立
解得或，
∴；
设，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
24．【答案】（1）解：把代入中，，
把代入得，，
反比例函数的解析式为
（2）解：①过点作，垂足为；，
，，，点
②设点，，，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将求得k的值，即可求解；
（2）①过点作，垂足为；，根据平行线分线段成比例得到，结合已知条件求得AC=3，即可得到点A的坐标；②设点， 根据反比例函数图象上的点的坐标特点求得n的值，得到点B的坐标，再根据结合AB的值即可求解.
25．【答案】（1）解：压力（F）不变；
（2）解：把（0.5，400）带入，得，
解得，
∴
把（a，500）代入，得，
解得
（3）解：这种摆放方式不安全.
理由：由已知，
此时，
∴这种摆放方式不安全.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据公式结合题意即可得到常量；
（2）先根据待定系数法求出F，进而根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可求解；
（3）根据题意得到S，进而即可求出P，再比较即可求解。
26．【答案】解：（1）设，则，
由题意，，
∴，整理得，
解得，（不合题意，舍去）
∴，
∴．
（2）①解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴点是的黄金分割点．
②（方法一）解：∵的面积为4， 设的面积为，
∴的面积为，
∵，
∴，整理得，
解得，（不合题意，舍去）
∴的面积为．
（方法二）解：由（1）得，
∵，
∴，
∴．
（3）解：直线不是的黄金分割线．理由如下：
∵，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴直线不是的黄金分割线．
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【分析】（1）设，则，由题意，，即，整理得，计算求出满足要求的解，然后代入求黄金分割比即可；
（2）①设中边上的高为，可得，即，进而可得点是的黄金分割点；②（方法一）解：设的面积为，则的面积为，根据，可得，整理得，计算求出满足要求的解即可；（方法二）由（1）得，求的值，根据，计算求解即可；
（3）由，可得，，，，则，，运算可得，即，则，，然后作答即可．
1 / 1湘教版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷二（范围：1-4章）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分
1．（2024九上·岳阳期中）反比例函数的图象一定经过的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】由得：xy=-10，A：xy=10，图象不经过，故A不符合要求；
B：xy=-10，图象一定经过，故B符合要求；
C：xy=10，图象不经过，故C不符合要求；
D：xy=16，图象不经过，故D不符合要求；
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的解析式可得出xy=-10，所以只需计算各选项横，纵坐标的积，即可得出答案。
2．（2023九上·南开月考）已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据反比例函数的图象可得，反比例函数的图象在二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，且函数值均为正，当x＞0时，y随x的增大而增大，且函数值均为负，
∴当点A、B、C三个点在反比例函数的图象上时，
∵-2＜-1＜2，
∴y2＞y1＞y3；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质判断即可。
3．（2024九上·潮南月考）把方程化成的形式，则（　　）
A．17 B．14 C．11 D．7
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
，
故选A．
【分析】根据移项，两边都加上一次项系数的一半的平方，得到完全平方公式解答即可．
4．（2024九上·娄底期末）已知，则下列式子不成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】A、∵，∴，∴A正确，不符合题意；
B、∵，∴，∴B不正确，符合题意；
C、∵，∴，∴C正确，不符合题意；
D、∵，∴，∴D正确，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用比例线段的性质逐项分析判断即可.
5．（2025九上·鹿城期末）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点在伞柄上，，则的长度可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的判定与性质；余弦的概念
【解析】【解答】解：如下图所示，连接交于点，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
在中，，
，
，
．
故选： D．
【分析】由菱形的判定和性质知，AD与EF互相垂直平分，而且AD平分，可直接利用的余弦公式计算 ．
6．（2025九上·顺德月考）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　）
A．CA平分 B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠BAC
A：CA平分，则ACD=∠ACB，即∽，A正确
B：∠DAC=∠ABC，即∽，B正确
C：，不能判断∽，C错误
D：，∽，D正确
故答案为：C
【分析】根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2025九上·海曙期末）Rt 中， ，下列结论：① ；② ；③ ，其中结论正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：
由勾股定理，得.
故①错误；
故②错误；
故③正确；
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理，可用BC表示AB，根据锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案.
8．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用 同步练习）在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（　　）.
A．18米 B．16米 C．20米 D．15米
【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】根据题意得：标杆的高：标杆的影长=旗杆的高：旗杆的影长，
即1.5：2.5=旗杆的高：30，
∴旗杆的高= =18米．
故选A．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
9．（2025九上·台州期末）如图，在中，，，，矩形的一边在上，其余两个顶点分别在边，上．设，，当长度变化时，下列代数式的值为定值的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的性质；求正切值
【解析】【解答】解∵四边形是矩形，
∴，
如图所示，过点作于点，
∵在中，，，，
设，则
在中，，
在中，，
∴
∴
解得：
∴，
∴
∴，
∴，
又∵
∴
∴
故答案为：D．
【分析】过点作于点，利用勾股定理求出长，然后利用正切的定义可以得到，，再利用矩形的性质得到，求出的关系解答即可．
10．（2024九上·渠县期末）如图，直线与双曲线交于两点，点在轴上，连接，且，已知的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：直线与双曲线交于两点，
设点A坐标为，则点B坐标为，
点在轴上，，点O是AB的中点，
OC=OA=，
的面积为，
解得：或（舍去），
点A坐标为，
故答案为：A.
【分析】设点A坐标为，则点B坐标为，先利用勾股定理求出OA的长，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到OC=OA=，然后利用的面积为建立方程，求出a的值，得出点A的坐标，即可求出k的值.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分
11．（2021九上·临海期末）关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则m的值为　 　.
【答案】9
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，
， ， ，
∴Δ=62-4×1×m=0，
解得m=9，
故答案为：9.
【分析】利用一元二次方程有两个相等的实数根，可得到b2-4ac=0，由此建立关于m的方程，解方程求出m的值.
12．（2024九上·江岸月考）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是　 　．
【答案】11
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得：，，，
∴，
∴，
故答案为：11．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，可得到m+n，mn的值，同时可得到，再将代数式进行转化，然后整体代入求值.
13．（2025九上·海曙期末）已知abc≠0，且，则k的值为　 　.
【答案】1或
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由已知得，
∴当 时，得
当 时，则
∴k的值为1或
故答案为：1或
【分析】根据已知条件得出( 再把三式相加得出 然后分两种情况讨论， 即可得出k的值.
14．（2025九上·慈溪期末）如图，在 Rt 中， 。若 ，则 的值是　 　。
【答案】
【知识点】已知正弦值求边长；求正切值
【解析】【解答】解：∵，
∴设BC=3a，AB=4a，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】根据题意设BC=3a，AB=4a，然后利用勾股定理求出AC，最后根据锐角三角函数的定义进行计算即可解答.
15．（2025九上·温州开学考）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数y=（a＞0，x＞0）和y=（b＜0，x＞0）的图象上，且BC∥y轴，若△ABC的面积为6，则a-b的值为　 　.
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点B的坐标为，
∵BC∥y轴，
∴点C的坐标为，
∴，
∴，
∴a-b=12，
故答案为：12.
【分析】设点B的坐标为，则点C的坐标为，即可求出BC长，然后根据 △ABC的面积为6， 求出a-b即可.
16．（2025九上·宁波期末）如图，取一张长为 ，宽为 的矩形纸片 ，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边 应满足的条件是　 　．
【答案】
【知识点】相似多边形
【解析】【解答】解：对折两次之后的小矩形纸片，此时的小矩形长为b，宽为。
∵ 小矩形与原矩形相似，∴a：b=b：，其中a＞0，b＞0，
解得a=2b。
故答案为：a=2b。
【分析】本题首先确定，对折两次后得到一张小矩形纸片，这张小纸片的长长为b，宽为。然后根据“ 小矩形与原矩形相似 ”列出相似比，最后化简计算即可。
17．（2023九上·香洲期中）如图，在中，，，，点在边上，并且，点为边上的动点，将沿直线翻折，点落在点处，则点到边的距离的最小值是　 　．
【答案】1.2
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，由题意得当PF⊥AB时，则P到边AB的距离最小，此时延长FP与AB交于点D，则FD的长即为点到边的距离的最小值，此时PE∥AB，
∵，，，
∴AB =10，
由翻折的性质可知：，．
，
．
又为定值，
有最小值．
又，，
．
，
即，
解得：．
．
故答案为：1.2
【分析】由勾股定理求得的长，然后依据翻折的性质可知，故此点在以为圆心，以2为半径的圆上，所以当PF⊥AB时，则P到边AB的距离最小，此时延长FP与AB交于点D，则FD的长即为点到边的距离的最小值，据此画出图形，再利用相似三角形的判定与性质求解即可．
18．（2024九上·怀化期末）如图，平行四边形ABCD的一边AB在x轴上，长为5，且∠DAB＝60°，反比例函数y＝和y＝分别经过点C，D，则AD＝　 　．
【答案】2
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：设点C（），则点D（），
∴CD＝x﹣（）＝
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝5，
∴＝5，解得x＝2，
∴D（﹣3，），
作DE⊥AB于E，则DE＝，
∵∠DAB＝60°，
故答案为：2．
【分析】设点C（），则点D（），再利用CD长得到x的值，即可得到点D的坐标，然后在直角三角形ADE中求出AD长即可．
三、解答题：本题共8小题，共66分
19．（2025九上·衡阳开学考） 解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
x+3=4或x+3=-4
x=4-3=1或x=-4-3=-7
（2）解：
(x-5)(x-5-2)=0
(x-5)(x-7)=0
x-5=0或x-7=0
x=5或x=7
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）运用直接开平方法解一元二次方程即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可.
20．（2024九上·昌平期中）如图，A是直线上一点，，过点B作于点D，过点C作于点E．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：因为，可得，
又因为，，所以，
因为，所以，
在和中，可得，所以.
（2）解：在中，，
由勾股定理得，，
因为，可得，即，解得.
【知识点】勾股定理的应用；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质，证得和，结合相似三角形的判定方法，即可证得；
（2）在中，利用勾股定理求得，再结合相似三角形的性质得出比例式，代入相关数值计算，即可求解.
（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴
（2）在中，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
∴
∴
21．（2024九上·成都期中）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人．
（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；
（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数．
【答案】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
根据题意，得，
解得：，（舍去），
∴该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
根据题意，得，
整理得：，
解得：，
当时，售价为，
∴，
∴购买的这种健身器材的套数为200套．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据“从2021年的32万人增加到2023年的50万人“可列出关于的一元二次方程，解方程且取符合题意的值即可；
（2）先求出购买的这种健身器材的套数大于100套，然后设购买的这种健身器材的套数为套，根据”购买不超过100套，每套售价1600元，超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元以及市政府向该公司支付货款24万元“列出关于的一元二次方程，解方程并取符合题意的值即可．
（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，
由题意得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：该市参加健身运动人数的年均增长率为；
（2）解：∵元，
∴购买的这种健身器材的套数大于100套，
设购买的这种健身器材的套数为套，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，售价元（不符合题意，故舍去），
答：购买的这种健身器材的套数为200套．
22．（2024九上·浦东期中）木兰灯塔是亚洲最高、世界第二高的航标灯塔，位于海南岛的最北端，是海南岛东北部最重要的航标．某天，一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，如图所示．
航行记录 记录一：上午8时，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的A处． 记录二：上午8时30分，渔船到达木兰灯塔P北偏西方向上的B处． 记录三：根据气象观测，当天凌晨4时到上午9时，受天文大潮和天气影响，琼州海峡C点周围5海里内，会出现异常海况，点C位于木兰灯塔P北偏东方向．
请你根据以上信息解决下列问题：
（1）填空：________，________， ________海里；
（2）若该渔船不改变航线与速度，是否会进入“海况异常”区，请计算说明．
（参考数据：）
【答案】（1）30；75；5
（2）解：设海里，在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】（1）解：如图所示，过点P作于D，则∠ADP=90°，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
故答案为：30；75；5；
【分析】（1）过点P作于D，则∠ADP=90°，根据方位角的描述得出∠APD=60°，∠BPD=45°，∠CPD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠PAB的度数；然后根据角的构成，由∠APC=∠APD+∠CPD可算出∠PAB的度数，最后根据路程等于速度乘以时间可以计算出对应线段AB的长度；
（2）设海里，由正切函数的定义及特殊锐角三角形函数值得到，由∠A的正切函数及特殊锐角三角函数值得到海里，由∠A的正弦函数及特殊锐角三角函数值求得AP=2x海里，根据AD=AB+BD建立方程求解可得AP的长；由三角形内角和定理证明，由等角对等边得海里，再求出上午9时时船与C点的距离即可得到结论．
（1）解：如图所示，过点P作于D，
由题意得， ，
∴；
∵一艘渔船自西向东（沿方向）以每小时10海里的速度在琼州海峡航行，上午8时从A出发到上午8时30分到达B，
∴海里．
（2）解：设海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9时时，船距离A的距离为海里，
∵，
∴该渔船不改变航线与速度，会进入“海况异常”区．
23．（2024九上·张店月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
（3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴一次函数解析式为，
把代入，得，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立，
解得：或，
∴，
设，
由题意得，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先求出，得到，解直角三角形得到，则，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，从而求出点的坐标，进而再利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）联立两函数的解析式得到方程组并解之可求出点的坐标，然后设，由题意得，可利用勾股定理建立方程求出点的坐标，最后根据，结合三角形面积公式即可求解；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立
解得或，
∴；
设，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
24．（2024九上·简阳期末）如图，反比例函数的图象与直线交于点，在射线上取一点，过点作轴的垂线分别交反比例函数的图象和轴于点和点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，
①求点的坐标；
②求的面积．
【答案】（1）解：把代入中，，
把代入得，，
反比例函数的解析式为
（2）解：①过点作，垂足为；，
，，，点
②设点，，，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）利用待定系数法将求得k的值，即可求解；
（2）①过点作，垂足为；，根据平行线分线段成比例得到，结合已知条件求得AC=3，即可得到点A的坐标；②设点， 根据反比例函数图象上的点的坐标特点求得n的值，得到点B的坐标，再根据结合AB的值即可求解.
25．（2024九上·百色期末） 【综合与实践】
如图①，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放实验，记录了桌面所受压强p与受力面积S的数据关系如下表所示：
桌面所受压强p（Pa） 250 400 500 800
受力面积S（m2） 0.8 0.5 a 0.25
图① 图②
（1）压强的计算公式是：，根据实验过程及表中数据，你认为在压强（P）、压力（F）和受力面积（S）中，哪一个量不变？
（2）求出压强p（Pa）关于受力面积S（m2）的函数表达式及a的值；
（3）如图②，将另一长、宽、高分别为60cm，40cm，10cm，且与原长方体相同质量的长方体放置于该水平玻璃桌面上。若玻璃桌面能承受的最大压强为4000Pa，问：这种摆放方式是否安全？请判断并说明理由.
【答案】（1）解：压力（F）不变；
（2）解：把（0.5，400）带入，得，
解得，
∴
把（a，500）代入，得，
解得
（3）解：这种摆放方式不安全.
理由：由已知，
此时，
∴这种摆放方式不安全.
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）根据公式结合题意即可得到常量；
（2）先根据待定系数法求出F，进而根据反比例函数图象上的点的坐标特征即可求解；
（3）根据题意得到S，进而即可求出P，再比较即可求解。
26．（2023九上·安溪期中）综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中“黄金分割”给人以美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点将线段分成两部分（），若，则称点为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比．
【初步感知】
（1）如图1，若，求黄金比的值．
【类比探究】
（2）如图2，在中，是边上一点，将分割成两个三角形（），若，则称为的黄金分割线．
①求证：点是线段的黄金分割点；
②若的面积为4，求的面积．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，为上的一点（不与，重合），过作，交于，，相交于，连接并延长，与，分别交于，．请问直线是的黄金分割线吗？并说明理由．
【答案】解：（1）设，则，
由题意，，
∴，整理得，
解得，（不合题意，舍去）
∴，
∴．
（2）①解：过点A作AE⊥BC于点E，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∴点是的黄金分割点．
②（方法一）解：∵的面积为4， 设的面积为，
∴的面积为，
∵，
∴，整理得，
解得，（不合题意，舍去）
∴的面积为．
（方法二）解：由（1）得，
∵，
∴，
∴．
（3）解：直线不是的黄金分割线．理由如下：
∵，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∴直线不是的黄金分割线．
【知识点】公式法解一元二次方程；黄金分割
【解析】【分析】（1）设，则，由题意，，即，整理得，计算求出满足要求的解，然后代入求黄金分割比即可；
（2）①设中边上的高为，可得，即，进而可得点是的黄金分割点；②（方法一）解：设的面积为，则的面积为，根据，可得，整理得，计算求出满足要求的解即可；（方法二）由（1）得，求的值，根据，计算求解即可；
（3）由，可得，，，，则，，运算可得，即，则，，然后作答即可．
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