资源简介

B
A.22
B.49
C.7
D.√21
8.已知函数了()=sm(2x+p)在xe0写到时满足f()>恒成立，且在区间0，买内，
仅存在三个数X,x,x(任<：，<)，使得f(x)=f(:)=f(x)=m,则+：+
2
()
A沿
o.
c
6
0.3
6
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个
选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数z,=a-i,z2=2+i,其中a∈R,i为虚数单位，则()
A.若a=2,则同=V5
B.若2，+2z2=0,则a=-1
C.若zz2为实数，则a=2
D.若互为纯虚数，则a=-2
2
10.下列说法正确的是()
A.若P(A)+P(B)=1,则事件A与B是对立事件
B.设A,B是两个随机事件，且P(A)=,P(B)=,若P(B)=石，则4，B是相互
独立事件
C.A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小
D.若P(A>0,P(B)>0,则“事件A,B相互独立”与“事件A,B互斥”一定不能同时
成立
11.如图，在正方体ABCD-AB,C,D中，E为DD的中点()
A
B
A.BD∥平面ACE
B.BD⊥AB
C.若正方体的棱长为1，则点B到平面4CE的距离为√
6
D.直线AD与平面4CE所成角的正弦值为y6
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.己知向量a=(2,-1,3),b=(-2,2,1),则向量a在向量b上的投影向量的坐标为一
13.某学校围棋社团组织高一与高二交流赛，双方各挑选业余一段、业余二段、业余三段三
位选手，段位越高水平越高，已知高二每个段位的选手都比高一相应段位选手强一些，比赛
共三局，每局双方各派一名选手出场，且每名选手只赛一局，胜两局或三局的一方获得比赛
胜利，在比赛之前，双方都不知道对方选手的出场顺序则第一局比赛高一获胜的概率
为
14.在四棱锥P-ABCD中，AB=V5,BC=3,AD=2,∠ABC=90°，∠BAD=150°，且PA⊥
平面ABCD,过点A的平面a与侧棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G,若四边形AEFG
为菱形，则PA=
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，
15.(13分)近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威
体重(kg)
胁，国际上常用身体质量指数BM1=
身高m衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的
BMI数值标准是：BMI<18.5为偏瘦：18.5≤BM<23.9为正常：24≤BMI<27.9为偏胖：
BM1≥28为肥胖，下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100个居民体检数据，
将其BM值分成以下五组：[12,16)，[16,20)，[20,24)，[24,28)，[28,32]，得到相应的频
率分布直方图.河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）
2025-2026 学年高二上期 09 月测试（二）
数学答案（物理方向）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C D C A B C C AC BD ABC
2 2 1 1
12 2 15． ,- ,- ÷ 13． 14．
è 3 3 3 3 5
15．(1) a = 0.04； 23
8
(2)
15
【分析】（1）根据频率分步直方图中所有矩形面积和为 1 计算 a的值，根据中位数左边的频
率和为0.5求解中位数即可；
（2）根据分层抽样的定义可求得在 16, 20 ， 24,28 分别抽取 2人和 4人，再利用列举法即
可求得概率.
【详解】（1）根据频率分步直方图可知组距为 4，所有矩形面积和为1，
所以 0.01+ a + 0.1+ 0.08 + 0.02 4 =1，解得a = 0.04；
因为 12,16 ， 16, 20 两组频率之和为 0.01+ 0.04 4 = 0.2，而 20,24 的频率为0.1 4 = 0.4，
故中位数在 20,24 之间，设为 x ，
则0.2 + x - 20 0.1 = 0.5，解得 x = 23，
即该社区居民身体质量指数BMI的样本数据中位数为 23 .
（2）由频率分步直方图可知 16, 20 的频数为100 0.04 4 =16， 24,28 的频数为
100 0.08 4 = 32，
所以两组人数比值为1: 2，
按照分层抽样抽取6 人，则在 16, 20 ， 24,28 分别抽取 2人和 4人，
记 16, 20 这组两个样本编号为1,2， 24,28 这组编号为3,4,5,6 ，
故从6 人随机抽取 2人所有可能样本的构成样本空间：
W = { 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 ,
3,4 , 3,5 , 3,6 , 4,5 , 4,6 , 5,6 }
设事件 A = “从 6 个人中随机抽取两人，抽取到两人的BMI值不在同一组”
则 A = 1,3 , 1,4 , 1,5 , 1,6 , 2,3 , 2,4 , 2,5 , 2,6 ，
P A 8故 = ，即从这 6 个人中随机抽取两人，抽取到两人的BMI值不在同一组的概率为
15
8
.
15
16 (1) 15．
15
4
(2)
3
【分析】（1）根据空间向量的夹角即可求解线线角，
（2）根据空间向量即可求解点面距离.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1 (2,0,2) ,C (0,2,0) ,B(2,2,0) ,E(1,2,2) ,
uuur uuur
所以 A1C =( - 2,2,- 2) ,BE =( - 1,0,2) ,
uuur uuur
uuur uuur A1C×BE 2 +0 - 4
设直线 A1C 与 BE 所成的角为q ，则 cosθ = cos AC,BE uuur uuur = =
15
1 = ，
A1C ×BE 2 3 5 15
uuur uuur
（2）D(0,0,0) ,B(2,2,0) ,F (0,1,2) ,则DB =(2,2,0) ,DF =(0,1,2) ，
ur uuur
设平面DBEF 的法向量为m = x, y, z ，DA = 2,0,0 ,
ur uuur ur uuur ì2x + 2y = 0, ur
由m ^ DB,m ^ DF ,得 í 取 z =1，则m = 2,-2,1y 2z 0, ， + =
uuur ur
DA×m 4
所以点 A到平面 BDFE 的距离为 ur =
m 3
π
17．(1) A =
4
(2) 4 2
【分析】（1）根据二倍角公式化简，结合正弦定理可得角 A；
（2）根据正弦定理进行边角互化，结合三角函数性质可得最值.
【详解】（1）由已知bcos B = 2 sin 2B，
即bcos B = 2 2 sin B cos B，
B 0, π又在VABC

中， ，
è 2 ÷
则 cos B > 0，
b
可得b = 2 2 sin B，即 = 2 2 ，sin B
a b c
又由正弦定理可知 = = = 2 2 ，
sin A sin B sin C
即 sin A
a 2
= = ，
2 2 2
π
又 A 0, 2 ÷
，
è
π
所以 A = ；
4
（2）由（1）可得b = 2 2 sin B， c = 2 2 sin C ，
则 3 -1 b + 2c = 2 6 - 2 sin B + 4sin C ，
又在VABC 中， sin C = sin A + B = sin Acos B + cos Asin B 2= sin B 2+ cos B，
2 2
即 3 -1 b + 2c = 2 6 - 2 sin B + 2 2 sin B + 2 2 cos B
= 2 6 sin B + 2 2 cos B = 4 2 sin B π+ ÷，
è 6
ì
0 < B
π
<
2 π π π 5π 2π
由 í ， < B <3π π ，则
B +
4 2 6
, ÷，
0 12 3< - B < è
4 2
π π π π
所以当B + = ，即 B = 时， 3 -1 b + 2c = 4 2 sin B +6 2 3 6 ÷取最大值为4 2 .è
18 (1) 2 5．
5
(2) 1存在， 2
【分析】（1）首先求得CD, BC,OA，然后建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线CD和
平面 ABC 所成角的正弦值.
uuur uuur
（2）设 AE = l AD 0 l 1 ，利用二面角E - BC - D的大小列方程，求得l ，进而求得
AE
.
DE
【详解】（1）分别取 CB、CD 的中点为 F、G，连结 OF、OG，
∵ O为BD的中点，VOCD是边长为 1 的等边三角形，∴△BCD是直角三角形，
BD = 2OD = 2 ，CD =1，BC = BD 2 - CD 2 = 3 ，
∵CB、CD 的中点为 F、G， ∴ OF //CD ，OG//BC ，OF ^ OG，
∵ AB = AD ，O为BD的中点，∴ OA ^ BD，
又∵平面 ABD ^平面BCD，平面 ABD 平面BCD = BD，OA 平面 ABD，
∴ OA ^ 平面BCD，OA是三棱锥 A - BCD底面BCD的高，VAOB 是直角三角形
∵V 1 1 1 3A-BCD = OA S3 VBCD
= OA 2 3 = ，∴ OA =1，
3 4 6
以 O 点为坐标原点，分别以 OF、OG、OA 所在的直线为 x, y, z轴，如图建立空间直角坐标
系，
则O(0,0,0)
1
，F ( ,0,0) ，G(0, 3 ,0) ，A(0,0,1) B(1 , 3， - ,0) 1 3，C(1 , 3 ,0)，2 D(- , ,0)
，
2 2 2 2 2 2 2
uuur uuur uuur
∴ CD = (-1,0,0) ，BC = (0, 3,0) AB 1 3， = ( , - ,-1)，
2 2
ur
设 n1 = (x1, y1, z1)是平面 ABC 的一个法向量，
ur uuur
ì ì n1 × BC = 0
3y1 = 0
则 íur uuur

，即 í
n × AB = 0 1 3
，
1 x1 - y1 - z1 = 0 2 2
ur ur uuur
令 z1 =1，则 x1 = 2， n1 = (2,0,1)， n1 = 5， CD =1，
ur uuur ur uuur
cos n ,CD nur1 ×CD 2 51 = uuur = -
n CD 5 ，1
∴ 2 5直线CD和平面 ABC 所成角的正弦值等于 ；
5
（2）在棱 AD 上存在点E ，使二面角E - BC - D的大小为 45° .
uuur uuur
设 AE = l AD 0 l 1
uuur uuur
由（1）知，BC = (0, 3,0) 1 3， AB = ( , - ,-1)
2 2
uuur 1 3 uuur uuur AD = - , , -1÷÷， AE = l AD
1 3
=
2 2
- l, l, -l
2 2 ÷÷è è
uuur uuur uuur 3 l +1
BE AE AB 1 3= - = - l, l,
1 3 l +1
-l
2 2 ÷÷
- , - , -1 =
è è 2 2 ÷
÷

- , , -l +1÷
è 2 2 ÷
uuur
OA = 0,0,1 是平面BCD的一个法向量，
uur uuur
uur ìn × BC = 0
设 n2 = (x2 , y2 , z2 )

是平面BCE 2的一个法向量，则 íuur uuur ，
n2 × BE = 0
ì l +1 3 l +1
- x

2 + y2 + -l +1 z2 = 0
即 í 2 2 ，

3y2 = 0
uur
取 x2 = 2 l -1 ， z2 = -l -1， n2 = 2l - 2,0, -l -1 ，
∵二面角E - BC - D的大小为 45°，
uur uuur uur uuur
cos n ,OA n ×O∴ 2 = uur2 uu
Aur 2= ，
n2 OA 2
l +1 2
即 = ，
2l - 2 2 + l +1 2 2
1
整理得，3l 2 -10l + 3 = 0，解得，l = 或l = 3（舍去），
3
uuur 1 uuur
所以， AE = AD ， AE
1
= AD，
3 3
AE 1
所以，在棱 AD 上存在点E ，使二面角E - BC - D的大小为 45°， = .
DE 2
é 2 ù
19．(1) ê- ,12 ú
1 1
(2)① -2,0 2 2 - 2 ；② + 2 2,+ a b
【分析】（1）根据题意，分 x 0,1 与 x -1,0 代入计算，求解不等式，即可得到结果；
（2）（ⅰ）将问题转化为h x = ax + 2 2 2的实根个数问题，然后求得-1 x - 与- x 1
2 2
时，根的个数，从而可得 a的范围，即可得到结果；（ⅱ）结合（ⅰ）中的结论可得
1 1 3
+ = a 1+ +1,a 0,2 2 - 2
a b 4 a ，再由对勾函数的单调性，即可得到结果.
【详解】（1）由题意得函数 g x 的定义域为 -1,1 ．
当 x 0,1 时，不等式 f x g x 等价于 x2 -1 2 1- x2 ，显然满足条件；
当 x -1,0 时，不等式 f x g x 等价于-2x 2 1- x2 ，即2x2 1，
2
解得- x < 0 ．
2
é ù
综上， f x g x 2 的解集为 ê- ,1 ，
2
ú

é
x 2
ù
即当 的取值范围为 ê- ,1ú时， f x g x 成立．
2
ì
f x ,-1 x
2
< - ,

（2）（ⅰ）令h x = max f x , g x = 2í

g x ,
2
- x 1,
2
原题可转化为h x = ax + 2的实根个数问题（二重根为一个零点）．
2
当-1 x - 时，即为 f x = ax + 2，所以-2x = ax + 2至多一个实根①；
2
2
当- x 1时，即为 g x = ax + 2，所以2 1- x2 = ax + 2至多两个实根②．
2
-2 éx 1, 2由①知， = ê- - )，所以0 a < 2 2 - 2，此时①有一解；a + 2 2

由②知， 2 1- x2
2
= ax + 2 - x 1÷÷ ,所以即求2 y = 2 1- x
2，y = ax + 2 的交点个数，
è
y2 2 2 y = 2 1- x2 即 + x =1, - x 1, y 0÷÷，为椭圆的一部分，y = ax + 2过椭圆的上顶点4 è 2
0,2 ，

y ax 2 2

当 = + 过点 - , 22 ÷÷
时，a = 2 2 - 2；当 y = ax + 2过点 1,0 时，a = -2；
è
所以当若a = 0或a > 2 2 - 2或 a < -2时，②有一个根或两个相等的根；若0 < a 2 2 - 2或
0 > a -2时，②有两个根；
综上所述，当 k = 2时， a的取值范围为 -2,0 2 2 - 2 .
-2 -4a
（ⅱ）由（ⅰ）得当 k = 3时，0 < a < 2 2 - 2，且三个零点分别为 , ,0，a + 2 a2 + 4
1 1 3 1
显然a , b 0，所以 + = a + +1,a 0,2 2 - 2a b 4 a ．
3 1 3 1
易得函数 y = a + +1在 0,2 2 - 2 上单调递减，所以 y = a + +1 > 2 2 ，4 a 4 a
1 1
所以 + 2 2, + a b ．
【点睛】关键点点睛：本题关键是分段讨论零点个数.

展开更多......

收起↑