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第六章《图形的初步知识》提升卷—浙教版数学七年级上册单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，下列四个几何体中，按照有无曲面的分类标准可以分成（　　）
A．①和②③④ B．①②和③④ C．①③和②④ D．①2③和④
【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：①长方体是由平面组成的图形，②圆柱、③圆锥、④球是由曲面组成的图形，
故按照有无曲面的分类标准可以分成①和②③④，
故答案为：A．
【分析】根据几何体的形状分类即可.
2．（2025七上·江北期末）生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（　　）
A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃
C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃
【答案】A
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：A.一支水笔的长度约1拃，估计正确，符合题意；
B. 课桌的高度约2拃，估计错误，不符合题意；
C. 黑板的长度约3拃，估计错误，不符合题意；
D. 试卷的宽度约6拃，估计错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】联系生活实际判断即可解题．
3．（2025七上·宁波期末）在下列现象中，可以用基本事实＂两点之间线段最短＂来解释的是（ ）
A．木板上弹墨线
B．砌墙拉参照线
C．弯曲河道改直
D．射击比赛瞄准
【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短
【解析】【解答】解：A、B、D用到的是两点确定一条直线，不符合题意；
C用到的是两点之间，线段最短，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据线段的性质解答即可.
4．互不重合的A，B，C三点在同一条直线上，已知AB=2a，AC=a+6，BC=3a+1，则这三点的位置关系是 (　　)
A．点A 在B，C 两点之间 B．点B 在A，C 两点之间
C．点C在A，B 两点之间 D．无法确定
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解： AB=2a，AC=a+6，BC=3a+1， A、B、C三点互不重合
∴a>0，
①若点A在B、C之间，
则AB+AC=BC，
即：2a+a+6=3a+1
无解，故此情况不成立；
②若点B在A、C之间，
则BC+AB=AC，
3a+1+2a=a+6，
③若点C在A、B之间，
则BC+AC=AB.
即3a+1+a+6=2a，
，不成立
∴ 点B 在A，C 两点之间
故选：B.
【分析】分类讨论：①若点A在B、C之间；②若点B在A、C之间；③若点C在A、B之间，分别计算只有第二种成立，即可得到答案.
5．如图所示，下列表示角的方法中，错误的是(　　)
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．∠AOC也可用∠O来表示
D．图中共有三个角，分别是∠AOB，∠AOC，∠BOC
【答案】C
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解：A．与表示同一个角，故选项A说法正确，不符合题意；
B．图中共有三个角：，，，故选项B说法正确，不符合题意；
C．不可用来表示，故选项C说法错误，符合题意；
D．，故选项D说法正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据角表示方法、角的和差运算，逐项判断即可．
6． 下列结论中，错误的是(　　)
A．一个角的补角一定大于这个角
B．已知一个角的度数为 则它的补角的度数为 125°48'37"
C．若 则∠2=∠3
D．已知一个角的余角是这个角的2倍，则这个角是30°
【答案】A
【知识点】角的运算；余角；补角
【解析】【解答】解：A、角的补角等于这个角，原说法错误，符合题意；
B、一个角的度数为，则这个角的补角的度数为，原说法正确，不符合题意；
C、若，那么，原说法正确，不符合题意；
D、一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度，原说法正确，不符合题意．
故答案为：A
【分析】根据余角和补角的定义结合角的运算即可求解。
7．七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】七巧板与拼图制作
【解析】【解答】由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形右下角的等腰直角三角形，
这个等腰直角三角形的直角边的长度是正方形边长的一半，即为，
∴，
故答案为：C．
【分析】首先确定阴影部分的三角形在七巧板中所属的部分，再根据这个三角形与正方形边长的关系求出这个三角形的边长，便可以根据三角形的面积公式进行解答.
8． 如图，这是一张跑步示意图，其中的4面小旗表示4个饮水点，跑步者在经过某个饮水点时身体转过的角度最大，这个饮水点是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：如图，经过1，2，3，4饮水点时需要转过的角度为∠1，∠2，∠3，∠4，
观察图形可知，∠1最大，
∴在经过1号饮水点需要改变的方向的角度最大，
故答案为：A.
【分析】根据平角的定义即可得到结论.
9．如图，有下列结论：①以点A为端点的射线共有5条；②以点D为端点的线段共有4条；③射线CD和射线DC是同一条射线；④直线BC和直线EF是同一条直线。其中正确的是 (　　)
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：①以点A为端点的射线有射线AB、射线AC、射线AD、射线AE、射线AF，共有5条，故①正确；
②以点D为端点的线段有DA，DB，DC，DE，DF，共有5条，故②不正确；
③射线CD和射线DC不是同一条射线，故③不正确；
④直线BC和直线EF是同一条直线，故④正确，
综上所述：正确的结论有①④.
故答案为：B.
【分析】根据直线、射线、线段的定义，结合具体的图形逐个进行判断，即可得到答案.
10．（2024七上·西湖期末）如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点O向射线旋转，到达后再绕点O逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以4度/秒的速度绕点O向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，有以下t的值：①；②；③；④．其中正确的序号是（　　）
A．③ B．④ C．①②④ D．①②③
【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算
【解析】【解答】解：第一种情况：当从向旋转，在左边时，如图，
则度，度，
∴，
解得：；
第二种情况：当从向旋转，在右边时，如图，
则度，度，
∴，
解得：；
第三种情况：当运动到，又返回时，如图，
则度，度
∴，
解得：，
此时正好与重合，停止运动；
综上所述：或或44，
故答案为：C
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、角的运算．根据题意需要分三种情况：第一种情况：当从向旋转，在左边时；第二种情况：当从向旋转，在右边时；第三种情况：当运动到，又返回时；根据是的2倍可列出方程：，，，解方程可求出t的值，进而可选出答案.
二、填空题（每题3分，共18分）
11．下列说法中，正确的有　 　个
①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角；
④平角等于；⑤周角等于．
【答案】3
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解：①小于的角也可能是，不一定是锐角，原说法错误；
②等于的角是直角，说法正确；③平角大于但不是钝角，原说法错误；
④平角等于，说法正确；⑤周角等于，说法正确，故正确有3个，
故答案为：3．
【分析】根据角的分类逐项判断求解.
12．（2023七上·临海期末）若，，则　 　．（填“”，“”或“=”）
【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用角的单位换算（1°=60'，1'=60''）化简，再比较大小即可.
13．如图，两个正方形的一个顶点互相重合，且重合的顶点在一条直线上，那么∠1的度数为　 　.
【答案】65°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题意得
∴40°+90°+∠2+25°=180°，
∴∠2=25°，
∴∠1=90°-∠2=65°，
故答案为： 65°
【分析】先根据平角结合正方形的性质得到40°+90°+∠2+25°=180°，则∠2=25°，再根据余角即可求解。
14．已知一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数为　 　。
【答案】45°
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，
根据题意得：3（90°﹣x）＝180°﹣x，
解得：x＝45°．
∴这个角的度数为45°．
故答案为：45°．
【分析】首先设这个角的度数为x，则它的补角为180°﹣x，余角为90°﹣x，再根据题意列出方程，
3（90°﹣x）＝180°﹣x，解方程即可．
15．（2024七上·长兴期末）如图，两根木条的长度分别为和，在它们的中点处各打一个小孔M，N（木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离　 　．
【答案】2.5或11.5
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图，设短的木条为，长的木条为，
则：，，
①当B、C两点重合时，
此时；
②当A、C两点重合时，
此时；
综上所述，的长度为或，
故答案为：2.5或11.5．
【分析】本题考查线段的中点问题.设短的木条为，长的木条为，利用中点的性质可得：，，分两种情况：①当B、C两点重合时，②当A、C两点重合时，利用线段的运算可得：或，代入数据可求出MN的长度.
16．（2024七上·西湖期末）杭衢高铁线上，要保证建德、建德南、龙游北、衢江、衢州西、江山这6个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票　 　种．（注：往返的车票不同）
【答案】30
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：如图所示，
往同一个方向（从1站点往6站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有（种）．
∴保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为（种）．
故答案为：30．
【分析】本题考查线段的运用．根据往同一个方向（从1站点往6站点的)，据此可得：线段的条数为：，再进行计算可求出需要印制不同的火车票种类的数量，再根据保证任意两个站点双向都有车票，利用火车票种类的数量乘以2可求出答案.
三、解答题（共8题，共72分）
17．计算：
（1）25°32'57"+37°56'48"。
（2）156°-107°42'。
（3）27°16'34"×6。
（4）31°26'2"÷7。
【答案】（1）解：原式=62°88'105"
=63°29'45"
（2）解：原式=155°60'-107°42'
=48°18'
（3）解：原式=27°×6+16'×6+34"×6
=162°+96'+204"
=163°39'24"
（4）解：原式=28°÷7+203'÷7+182"÷7
=4°+29'+26"
=4°29'26"
【知识点】角度的四则混合运算
【解析】【分析】（1）角度的加法运算，度与度相加，分与分相加，秒与秒相加，满60进1；
（2）角度的减法运算，度与度相减，分与分相减，秒与秒相减，不够减时，借1当60；
（3）在进行角度乘法时，度、分、秒分别乘以乘数，如果分或秒超过60，则需要向上一级单位进位；
（4）在进行角度除法时，度、分、秒分别除以除数，如果分或秒不够除，则需要从上一级单位借位.
18． 如图
（1）如图1，A，B是公路l两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站，使它到A，B两村的距离和最小，试在l上标注出点 P 的位置，并说明理由。
（2）如图2，设A，B，C，D为4个居民小区，现要在四边形ABCD 内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小 请说明理由。
【答案】（1）解：点 P 的位置如图所示。
作法：连结AB交l于点 P，则点 P 为汽车站位置。
理由：两点之间线段最短
（2）解：作法：如图，连结AC，BD交于点O，则点O为购物中心位置。
理由：两点之间线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【分析】(1)计划是通过连接两点，找到与公路的交点，这个交点就是使距离和最小的点；
(2)同样基于两点之间线段最短的概念，通过连接AC，BD，其交点O到四个点的距离之和最小.
19． 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察图中几种简单多面体的模型，解答下列问题。
（1）根据上面的多面体模型，得到如下表格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
正方体 8 6 12
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式为　 　。
（2）若一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　 　。
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数是x，八边形的个数是 y，求x+y的值。
【答案】（1）V+F-E=2
（2）20
（3）解：这个多面体的面数是x+y，棱数是 ，根据V+F-E=2，可得24+(x+y)-36=2，所以.x+y=14.
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】（1）关系式为：V+F-E=2；
故答案为：V+F-E=2.
（2）∵一个多面体的面数比顶点数大8，
∴F=V+8，
∵V+F-E=2，E=30，
∴V+8+V-30=2，
解得V = 12.
∴F = 20.
【分析】(1)观察可得顶点数+面数-棱数=2；
(2)代入(1)中的式子即可得到面数；
(3)得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值.
20．（2025七上·鄞州期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，射线与位于直线同侧，平分．
（1）如图，当时，求的度数．
（2）若，通过计算判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）解：
平分，
；
（2）解：设，
，
平分，
，
；
，
，解得，
，
．
【知识点】解一元一次方程；角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据平角得到，然后利用角平分线定义得到，再根据解题即可 ；
（2）设，可以得到然后利用列方程得到的值解题即可．
（1）解：
平分，
；
（2）解：设，
，
平分，
，
；
，
，解得，
，
．
21．如图，已知线段，点与点在线段上，点在线段外．
（1）根据要求画出图形：画直线，画射线，连接；
（2）图中共有　 　条射线；
（3）根据（1）的作图，以点A为端点的线段有　 　条，的理由是　 　；
（4）根据（1）的作图，按图填空：　 　；
（5）若点D为线段的中点，，，则线段的长度为为　 　．
【答案】（1）解：如图，直线，画射线，线段为所作；
（2）6
（3）4；两点之间线段最短
（4）
（5）1
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算；线段的计数问题；射线的计数问题
【解析】【解答】（2）解：图中射线有：，，，，，，共6条；
故答案为：6；
（3）解：以点为端点的线段有、、、，共4条，
的理由是：两点之间线段最短；
故答案为：4，两点之间线段最短；
（4）解：；
故答案为：；
（5）解：，，
，
，
点为线段的中点，
，
．
故答案为：1．
【分析】（1）根据直线没有端点，可以向两个方向无限延伸；射线有一个端点，可以向一个方向无限延伸；连接PC就是作线段PC，而线段有两个端点，不能延伸，作图即可；
（2）射线有一个端点，可以向一个方向无限延伸，据此数出图中射线即可；
（3）根据线段有两个端点，不能延伸，数出以A为端点的线段即可；进而根据连接两点的所有线中，线段最短，即可解释AB＜AP+PB；
（4）结合图形，根据角的构成可得出答案；
（5）由已知易得CB=4，由线段和差得出AB=10，根据线段中点的定义可得，最后根据CD=AC-AD代值计算可得答案.
22．定义：如果两个角的度数的和是45°，那么这两个角互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角.例如：∠α=20°，∠β=25°，因为∠α+∠β=45°，所以∠α和∠β互为半余角.
（1）如果∠α=26°32'，∠β是∠α的半余角，那么∠β的度数是　 　.
（2）如图，已知∠AOB=90°，射线OC在∠AOB的内部，满足(0°<∠BOC<45°，OP 是∠AOC的平分线.
①在∠BOP 的内部画射线OQ，使∠POQ=45°，并写出图中∠POC的半余角.
②若∠COM 是∠BOC 的半余角，当∠COM是∠POM 的 时，求∠BOC 的度数.
【答案】（1）18°28'
（2）解：①射线OQ 如图所示.
则∠POC+∠COQ=∠POQ=45°，
则∠AOP+∠BOQ=∠AOB-∠POQ=45°.
因为 OP 是∠AOC 的平分线，所以∠POC=∠AOP，所以∠POC+∠BOQ=45°，
所以∠POC的半余角有∠COQ，∠BOQ.
故答案为：∠COQ，∠BOQ.
②设∠BOC=α，则∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-α，所以.
因为∠COM是∠BOC的半余角，所以∠COM=45°-∠BOC=45°-α.
当∠COM是∠POM的- 时，∠POM=3∠COM=135°-3a.
如图1所示，若射线OM在∠POC内部，
则∠POM+∠COM=∠POC，
所以 解得
如图2所示，若射线OM在∠POC外部，
则∠POM-∠COM=∠POC，
所以 解得α=30°.
综上，∠BOC的度数为( 或30°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：(1)因为∠α=26°32'，∠β是∠α的半余角，所以∠β=45°-26°32'=18°28'.
故答案为：18°28'.
【分析】（1）根据半余角的定义计算即可；
（2）①画图，然后根据半余角的定义判断即可；②分为射线OM在∠POC内部和射线OM在∠POC外部两种情况列方程解题即可.
23．（2023七上·镇海区期末）学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题.
信息1 如下图所示为小明设计的个性手表，时针OP，分针OQ只在右半表盘来回转动（顺时针转至6的位置再逆时针旋转至12，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示）
信息2 学校作息 时间表 第一节 8： 00～8：40 第五节 13：00～13：40
第二节 8：50~9：30 第六节 13：50~14： 35
大课间 9：30~10： 00 第七节 14：45~15： 25
第三节 10： 00~10： 40 第八节 15：35~16： 15
第四节 10：50~11：35 体活课 16： 25~16：55
（1）如图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为　 　度.
（2）已知某天上午第一节为数学课.
请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为 .
若在这节数学课中，小明发现某一时刻，时针与分针刚好垂直，则这个时刻左边电子表盘上显示的时间是什么时候？
（3）若右半表面有一光线 O M， O M 始终保持平分 . 若在某一时刻射线 O M 刚好指向刻度 2 的位置， 此时 O M 的位置记为 ， 经过一个小时， 射线 O M 的位置记为 . 若 ，请直接写出当 O M 在 处时， 电子表盘所显示的时间.
【答案】（1）105
（2）解：①3：20（或15：20）；
②解：设时针与分针垂直时，显示的时间是8时x分.则0.5x+ 6x＋90= 120
解得x =
依题电子表盘面不足一分钟的部分不显示，
所以显示的时间是8时04分
（3）解：一小时后，分钟的位置不变，时针不经过拐点时会向前转动30°，
若要∠M1OM2<15°，则时针在一小时后会经过刻度12或刻度6并反向运动；
若时针一开始在刻度5-6之间，与分针所成角的平分线不可能在刻度2 的位置；
故时针开始的位置在刻度11~12之间，
设显示的时间是 11 时 a分，
当 a<30 时，
，
∴a=；
当 a>30 时，
，
∴a=；
故显示的时间的为11时分或11时分，
表盘不足一分钟的时间不显示，
故显示的时间的为11时16分或11时41分.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：（1）表盘上一大格的度数是 360°×=30°，
由题意得：
大课间开始时间为 9：30，此时时针和分针中间有三个半大格，
所以其所成的夹角为3×30°+30×0.5°=105°；
故答案为：105.
（2）如图可知：3：20（或15：20）；
故答案为：3：20（或15：20）；
【分析】(1)根据时针和分针中间有三个半大格，计算即可；
(2)①根据题意画出图形，根据钟表读出时间即可求解；
②)设时针与分针垂直时，显示的时间是8时x分，根据角度的和差进行计算即可求解；
(3)根据题意，分别画出图形，建立方程，即可求解.
24．（2025七上·浦江期末）问题研究：
如图1，已知点、（点在左边）在线段（点在左边）上，点、分别是线段的中点．若，求线段的长．
拓展学习：
如图2，直线l上有线段（点在左边）和线段（点在左边），且线段在线段外移动，点、分别是线段的中点．若，那么在线段移动过程中，线段的长是否会发生变化，若不变化，请用含、的代数式表示的长．若发生变化请说明理由．
类比学习
如图3，已知（度）在（度）左侧，若射线分别满足，求的值（用含、的代数式表示）．
【答案】解：（1）∵点、分别是线段的中点，，
，
，
，
；
（2）∵点、分别是线段的中点，
，
，
，
的长不会发生变化；
（3）设（度），则度，度；
，
则度，度，
则度．
【知识点】角的运算；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先根据线段的中点得到的长，然后根据解题即可；
（2）先根据线段的中点得到的长，然后根据解题即可；
（3）设（度），即可得到，然后根据解题即可．
1 / 1第六章《图形的初步知识》提升卷—浙教版数学七年级上册单元分层测
一、选择题（每题3分，共30分）
1．如图，下列四个几何体中，按照有无曲面的分类标准可以分成（　　）
A．①和②③④ B．①②和③④ C．①③和②④ D．①2③和④
2．（2025七上·江北期末）生活中，我们可以用身体中的“尺子”来估计长度，其中一拃是张开的大拇指尖和中指尖之间的最大距离（如图所示）． 以下估计正确的是（　　）
A．一支水笔的长度约1拃 B．课桌的高度约2拃
C．黑板的长度约3拃 D．试卷的宽度约6拃
3．（2025七上·宁波期末）在下列现象中，可以用基本事实＂两点之间线段最短＂来解释的是（ ）
A．木板上弹墨线
B．砌墙拉参照线
C．弯曲河道改直
D．射击比赛瞄准
4．互不重合的A，B，C三点在同一条直线上，已知AB=2a，AC=a+6，BC=3a+1，则这三点的位置关系是 (　　)
A．点A 在B，C 两点之间 B．点B 在A，C 两点之间
C．点C在A，B 两点之间 D．无法确定
5．如图所示，下列表示角的方法中，错误的是(　　)
A．∠1与∠AOB表示同一个角
B．∠β表示的是∠BOC
C．∠AOC也可用∠O来表示
D．图中共有三个角，分别是∠AOB，∠AOC，∠BOC
6． 下列结论中，错误的是(　　)
A．一个角的补角一定大于这个角
B．已知一个角的度数为 则它的补角的度数为 125°48'37"
C．若 则∠2=∠3
D．已知一个角的余角是这个角的2倍，则这个角是30°
7．七巧板被西方人称为“东方魔板”．如图的两幅图是由同一副七巧板拼成的．已知七巧板拼成的正方形的边长为，则“一帆风顺”图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8． 如图，这是一张跑步示意图，其中的4面小旗表示4个饮水点，跑步者在经过某个饮水点时身体转过的角度最大，这个饮水点是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，有下列结论：①以点A为端点的射线共有5条；②以点D为端点的线段共有4条；③射线CD和射线DC是同一条射线；④直线BC和直线EF是同一条直线。其中正确的是 (　　)
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
10．（2024七上·西湖期末）如图，是平角，射线从开始，先顺时针绕点O向射线旋转，到达后再绕点O逆时针向射线旋转，速度为6度/秒．射线从开始，以4度/秒的速度绕点O向旋转，到当到达时，射线与都停止运动．当时，有以下t的值：①；②；③；④．其中正确的序号是（　　）
A．③ B．④ C．①②④ D．①②③
二、填空题（每题3分，共18分）
11．下列说法中，正确的有　 　个
①小于的角是锐角；②等于的角是直角；③大于的角是钝角；
④平角等于；⑤周角等于．
12．（2023七上·临海期末）若，，则　 　．（填“”，“”或“=”）
13．如图，两个正方形的一个顶点互相重合，且重合的顶点在一条直线上，那么∠1的度数为　 　.
14．已知一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数为　 　。
15．（2024七上·长兴期末）如图，两根木条的长度分别为和，在它们的中点处各打一个小孔M，N（木条的厚度，宽度以及小孔大小均忽略不计）．将这两根木条的一端重合并放置在同一条直线上，则两小孔间的距离　 　．
16．（2024七上·西湖期末）杭衢高铁线上，要保证建德、建德南、龙游北、衢江、衢州西、江山这6个站点之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票　 　种．（注：往返的车票不同）
三、解答题（共8题，共72分）
17．计算：
（1）25°32'57"+37°56'48"。
（2）156°-107°42'。
（3）27°16'34"×6。
（4）31°26'2"÷7。
18． 如图
（1）如图1，A，B是公路l两旁的两个村庄，若两村要在公路上合修一个汽车站，使它到A，B两村的距离和最小，试在l上标注出点 P 的位置，并说明理由。
（2）如图2，设A，B，C，D为4个居民小区，现要在四边形ABCD 内建一个购物中心，试问应把购物中心建在何处，才能使4个居民小区到购物中心的距离之和最小 请说明理由。
19． 十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察图中几种简单多面体的模型，解答下列问题。
（1）根据上面的多面体模型，得到如下表格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
正方体 8 6 12
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式为　 　。
（2）若一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是　 　。
（3）某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱.设该多面体外表面三角形的个数是x，八边形的个数是 y，求x+y的值。
20．（2025七上·鄞州期末）如图，点为直线上一点，过点作射线，使，射线与位于直线同侧，平分．
（1）如图，当时，求的度数．
（2）若，通过计算判断与的大小关系，并说明理由．
21．如图，已知线段，点与点在线段上，点在线段外．
（1）根据要求画出图形：画直线，画射线，连接；
（2）图中共有　 　条射线；
（3）根据（1）的作图，以点A为端点的线段有　 　条，的理由是　 　；
（4）根据（1）的作图，按图填空：　 　；
（5）若点D为线段的中点，，，则线段的长度为为　 　．
22．定义：如果两个角的度数的和是45°，那么这两个角互为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角.例如：∠α=20°，∠β=25°，因为∠α+∠β=45°，所以∠α和∠β互为半余角.
（1）如果∠α=26°32'，∠β是∠α的半余角，那么∠β的度数是　 　.
（2）如图，已知∠AOB=90°，射线OC在∠AOB的内部，满足(0°<∠BOC<45°，OP 是∠AOC的平分线.
①在∠BOP 的内部画射线OQ，使∠POQ=45°，并写出图中∠POC的半余角.
②若∠COM 是∠BOC 的半余角，当∠COM是∠POM 的 时，求∠BOC 的度数.
23．（2023七上·镇海区期末）学校进行了创意设计大赛，请根据表格中提供的信息答题.
信息1 如下图所示为小明设计的个性手表，时针OP，分针OQ只在右半表盘来回转动（顺时针转至6的位置再逆时针旋转至12，来回旋转，转动速度与普通手表一致），左半表盘显示对应的时间．（不足一分钟的部分不显示）
信息2 学校作息 时间表 第一节 8： 00～8：40 第五节 13：00～13：40
第二节 8：50~9：30 第六节 13：50~14： 35
大课间 9：30~10： 00 第七节 14：45~15： 25
第三节 10： 00~10： 40 第八节 15：35~16： 15
第四节 10：50~11：35 体活课 16： 25~16：55
（1）如图1为学校大课间开始时手表盘面的示意图，此时时针和分钟所成的夹角为　 　度.
（2）已知某天上午第一节为数学课.
请在图3中画出该节数学课下课时，时针与分针的位置．该位置与当天上课期间另一时刻时针和分针的位置都一致，这个时刻对应的时间为 .
若在这节数学课中，小明发现某一时刻，时针与分针刚好垂直，则这个时刻左边电子表盘上显示的时间是什么时候？
（3）若右半表面有一光线 O M， O M 始终保持平分 . 若在某一时刻射线 O M 刚好指向刻度 2 的位置， 此时 O M 的位置记为 ， 经过一个小时， 射线 O M 的位置记为 . 若 ，请直接写出当 O M 在 处时， 电子表盘所显示的时间.
24．（2025七上·浦江期末）问题研究：
如图1，已知点、（点在左边）在线段（点在左边）上，点、分别是线段的中点．若，求线段的长．
拓展学习：
如图2，直线l上有线段（点在左边）和线段（点在左边），且线段在线段外移动，点、分别是线段的中点．若，那么在线段移动过程中，线段的长是否会发生变化，若不变化，请用含、的代数式表示的长．若发生变化请说明理由．
类比学习
如图3，已知（度）在（度）左侧，若射线分别满足，求的值（用含、的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】解：①长方体是由平面组成的图形，②圆柱、③圆锥、④球是由曲面组成的图形，
故按照有无曲面的分类标准可以分成①和②③④，
故答案为：A．
【分析】根据几何体的形状分类即可.
2．【答案】A
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：A.一支水笔的长度约1拃，估计正确，符合题意；
B. 课桌的高度约2拃，估计错误，不符合题意；
C. 黑板的长度约3拃，估计错误，不符合题意；
D. 试卷的宽度约6拃，估计错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】联系生活实际判断即可解题．
3．【答案】C
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短
【解析】【解答】解：A、B、D用到的是两点确定一条直线，不符合题意；
C用到的是两点之间，线段最短，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据线段的性质解答即可.
4．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解： AB=2a，AC=a+6，BC=3a+1， A、B、C三点互不重合
∴a>0，
①若点A在B、C之间，
则AB+AC=BC，
即：2a+a+6=3a+1
无解，故此情况不成立；
②若点B在A、C之间，
则BC+AB=AC，
3a+1+2a=a+6，
③若点C在A、B之间，
则BC+AC=AB.
即3a+1+a+6=2a，
，不成立
∴ 点B 在A，C 两点之间
故选：B.
【分析】分类讨论：①若点A在B、C之间；②若点B在A、C之间；③若点C在A、B之间，分别计算只有第二种成立，即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解：A．与表示同一个角，故选项A说法正确，不符合题意；
B．图中共有三个角：，，，故选项B说法正确，不符合题意；
C．不可用来表示，故选项C说法错误，符合题意；
D．，故选项D说法正确，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据角表示方法、角的和差运算，逐项判断即可．
6．【答案】A
【知识点】角的运算；余角；补角
【解析】【解答】解：A、角的补角等于这个角，原说法错误，符合题意；
B、一个角的度数为，则这个角的补角的度数为，原说法正确，不符合题意；
C、若，那么，原说法正确，不符合题意；
D、一个角的余角是这个角的2倍，那么这个角是30度，原说法正确，不符合题意．
故答案为：A
【分析】根据余角和补角的定义结合角的运算即可求解。
7．【答案】C
【知识点】七巧板与拼图制作
【解析】【解答】由图可知“一帆风顺”图中阴影部分是正方形右下角的等腰直角三角形，
这个等腰直角三角形的直角边的长度是正方形边长的一半，即为，
∴，
故答案为：C．
【分析】首先确定阴影部分的三角形在七巧板中所属的部分，再根据这个三角形与正方形边长的关系求出这个三角形的边长，便可以根据三角形的面积公式进行解答.
8．【答案】A
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：如图，经过1，2，3，4饮水点时需要转过的角度为∠1，∠2，∠3，∠4，
观察图形可知，∠1最大，
∴在经过1号饮水点需要改变的方向的角度最大，
故答案为：A.
【分析】根据平角的定义即可得到结论.
9．【答案】B
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：①以点A为端点的射线有射线AB、射线AC、射线AD、射线AE、射线AF，共有5条，故①正确；
②以点D为端点的线段有DA，DB，DC，DE，DF，共有5条，故②不正确；
③射线CD和射线DC不是同一条射线，故③不正确；
④直线BC和直线EF是同一条直线，故④正确，
综上所述：正确的结论有①④.
故答案为：B.
【分析】根据直线、射线、线段的定义，结合具体的图形逐个进行判断，即可得到答案.
10．【答案】C
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算
【解析】【解答】解：第一种情况：当从向旋转，在左边时，如图，
则度，度，
∴，
解得：；
第二种情况：当从向旋转，在右边时，如图，
则度，度，
∴，
解得：；
第三种情况：当运动到，又返回时，如图，
则度，度
∴，
解得：，
此时正好与重合，停止运动；
综上所述：或或44，
故答案为：C
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、角的运算．根据题意需要分三种情况：第一种情况：当从向旋转，在左边时；第二种情况：当从向旋转，在右边时；第三种情况：当运动到，又返回时；根据是的2倍可列出方程：，，，解方程可求出t的值，进而可选出答案.
11．【答案】3
【知识点】角的概念及表示
【解析】【解答】解：①小于的角也可能是，不一定是锐角，原说法错误；
②等于的角是直角，说法正确；③平角大于但不是钝角，原说法错误；
④平角等于，说法正确；⑤周角等于，说法正确，故正确有3个，
故答案为：3．
【分析】根据角的分类逐项判断求解.
12．【答案】
【知识点】常用角的度量单位及换算；角的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用角的单位换算（1°=60'，1'=60''）化简，再比较大小即可.
13．【答案】65°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：由题意得
∴40°+90°+∠2+25°=180°，
∴∠2=25°，
∴∠1=90°-∠2=65°，
故答案为： 65°
【分析】先根据平角结合正方形的性质得到40°+90°+∠2+25°=180°，则∠2=25°，再根据余角即可求解。
14．【答案】45°
【知识点】余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，
根据题意得：3（90°﹣x）＝180°﹣x，
解得：x＝45°．
∴这个角的度数为45°．
故答案为：45°．
【分析】首先设这个角的度数为x，则它的补角为180°﹣x，余角为90°﹣x，再根据题意列出方程，
3（90°﹣x）＝180°﹣x，解方程即可．
15．【答案】2.5或11.5
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：如图，设短的木条为，长的木条为，
则：，，
①当B、C两点重合时，
此时；
②当A、C两点重合时，
此时；
综上所述，的长度为或，
故答案为：2.5或11.5．
【分析】本题考查线段的中点问题.设短的木条为，长的木条为，利用中点的性质可得：，，分两种情况：①当B、C两点重合时，②当A、C两点重合时，利用线段的运算可得：或，代入数据可求出MN的长度.
16．【答案】30
【知识点】线段的计数问题
【解析】【解答】解：如图所示，
往同一个方向（从1站点往6站点的方向），需要印制不同的火车票种类的数量有（种）．
∴保证任意两个站点双向都有车票，需要印制车票种类的数量为（种）．
故答案为：30．
【分析】本题考查线段的运用．根据往同一个方向（从1站点往6站点的)，据此可得：线段的条数为：，再进行计算可求出需要印制不同的火车票种类的数量，再根据保证任意两个站点双向都有车票，利用火车票种类的数量乘以2可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式=62°88'105"
=63°29'45"
（2）解：原式=155°60'-107°42'
=48°18'
（3）解：原式=27°×6+16'×6+34"×6
=162°+96'+204"
=163°39'24"
（4）解：原式=28°÷7+203'÷7+182"÷7
=4°+29'+26"
=4°29'26"
【知识点】角度的四则混合运算
【解析】【分析】（1）角度的加法运算，度与度相加，分与分相加，秒与秒相加，满60进1；
（2）角度的减法运算，度与度相减，分与分相减，秒与秒相减，不够减时，借1当60；
（3）在进行角度乘法时，度、分、秒分别乘以乘数，如果分或秒超过60，则需要向上一级单位进位；
（4）在进行角度除法时，度、分、秒分别除以除数，如果分或秒不够除，则需要从上一级单位借位.
18．【答案】（1）解：点 P 的位置如图所示。
作法：连结AB交l于点 P，则点 P 为汽车站位置。
理由：两点之间线段最短
（2）解：作法：如图，连结AC，BD交于点O，则点O为购物中心位置。
理由：两点之间线段最短
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【分析】(1)计划是通过连接两点，找到与公路的交点，这个交点就是使距离和最小的点；
(2)同样基于两点之间线段最短的概念，通过连接AC，BD，其交点O到四个点的距离之和最小.
19．【答案】（1）V+F-E=2
（2）20
（3）解：这个多面体的面数是x+y，棱数是 ，根据V+F-E=2，可得24+(x+y)-36=2，所以.x+y=14.
【知识点】立体图形的概念与分类
【解析】【解答】（1）关系式为：V+F-E=2；
故答案为：V+F-E=2.
（2）∵一个多面体的面数比顶点数大8，
∴F=V+8，
∵V+F-E=2，E=30，
∴V+8+V-30=2，
解得V = 12.
∴F = 20.
【分析】(1)观察可得顶点数+面数-棱数=2；
(2)代入(1)中的式子即可得到面数；
(3)得到多面体的棱数，求得面数即为x+y的值.
20．【答案】（1）解：
平分，
；
（2）解：设，
，
平分，
，
；
，
，解得，
，
．
【知识点】解一元一次方程；角的运算；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据平角得到，然后利用角平分线定义得到，再根据解题即可 ；
（2）设，可以得到然后利用列方程得到的值解题即可．
（1）解：
平分，
；
（2）解：设，
，
平分，
，
；
，
，解得，
，
．
21．【答案】（1）解：如图，直线，画射线，线段为所作；
（2）6
（3）4；两点之间线段最短
（4）
（5）1
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算；线段的计数问题；射线的计数问题
【解析】【解答】（2）解：图中射线有：，，，，，，共6条；
故答案为：6；
（3）解：以点为端点的线段有、、、，共4条，
的理由是：两点之间线段最短；
故答案为：4，两点之间线段最短；
（4）解：；
故答案为：；
（5）解：，，
，
，
点为线段的中点，
，
．
故答案为：1．
【分析】（1）根据直线没有端点，可以向两个方向无限延伸；射线有一个端点，可以向一个方向无限延伸；连接PC就是作线段PC，而线段有两个端点，不能延伸，作图即可；
（2）射线有一个端点，可以向一个方向无限延伸，据此数出图中射线即可；
（3）根据线段有两个端点，不能延伸，数出以A为端点的线段即可；进而根据连接两点的所有线中，线段最短，即可解释AB＜AP+PB；
（4）结合图形，根据角的构成可得出答案；
（5）由已知易得CB=4，由线段和差得出AB=10，根据线段中点的定义可得，最后根据CD=AC-AD代值计算可得答案.
22．【答案】（1）18°28'
（2）解：①射线OQ 如图所示.
则∠POC+∠COQ=∠POQ=45°，
则∠AOP+∠BOQ=∠AOB-∠POQ=45°.
因为 OP 是∠AOC 的平分线，所以∠POC=∠AOP，所以∠POC+∠BOQ=45°，
所以∠POC的半余角有∠COQ，∠BOQ.
故答案为：∠COQ，∠BOQ.
②设∠BOC=α，则∠AOC=∠AOB-∠BOC=90°-α，所以.
因为∠COM是∠BOC的半余角，所以∠COM=45°-∠BOC=45°-α.
当∠COM是∠POM的- 时，∠POM=3∠COM=135°-3a.
如图1所示，若射线OM在∠POC内部，
则∠POM+∠COM=∠POC，
所以 解得
如图2所示，若射线OM在∠POC外部，
则∠POM-∠COM=∠POC，
所以 解得α=30°.
综上，∠BOC的度数为( 或30°
【知识点】角的运算
【解析】【解答】解：(1)因为∠α=26°32'，∠β是∠α的半余角，所以∠β=45°-26°32'=18°28'.
故答案为：18°28'.
【分析】（1）根据半余角的定义计算即可；
（2）①画图，然后根据半余角的定义判断即可；②分为射线OM在∠POC内部和射线OM在∠POC外部两种情况列方程解题即可.
23．【答案】（1）105
（2）解：①3：20（或15：20）；
②解：设时针与分针垂直时，显示的时间是8时x分.则0.5x+ 6x＋90= 120
解得x =
依题电子表盘面不足一分钟的部分不显示，
所以显示的时间是8时04分
（3）解：一小时后，分钟的位置不变，时针不经过拐点时会向前转动30°，
若要∠M1OM2<15°，则时针在一小时后会经过刻度12或刻度6并反向运动；
若时针一开始在刻度5-6之间，与分针所成角的平分线不可能在刻度2 的位置；
故时针开始的位置在刻度11~12之间，
设显示的时间是 11 时 a分，
当 a<30 时，
，
∴a=；
当 a>30 时，
，
∴a=；
故显示的时间的为11时分或11时分，
表盘不足一分钟的时间不显示，
故显示的时间的为11时16分或11时41分.
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解：（1）表盘上一大格的度数是 360°×=30°，
由题意得：
大课间开始时间为 9：30，此时时针和分针中间有三个半大格，
所以其所成的夹角为3×30°+30×0.5°=105°；
故答案为：105.
（2）如图可知：3：20（或15：20）；
故答案为：3：20（或15：20）；
【分析】(1)根据时针和分针中间有三个半大格，计算即可；
(2)①根据题意画出图形，根据钟表读出时间即可求解；
②)设时针与分针垂直时，显示的时间是8时x分，根据角度的和差进行计算即可求解；
(3)根据题意，分别画出图形，建立方程，即可求解.
24．【答案】解：（1）∵点、分别是线段的中点，，
，
，
，
；
（2）∵点、分别是线段的中点，
，
，
，
的长不会发生变化；
（3）设（度），则度，度；
，
则度，度，
则度．
【知识点】角的运算；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先根据线段的中点得到的长，然后根据解题即可；
（2）先根据线段的中点得到的长，然后根据解题即可；
（3）设（度），即可得到，然后根据解题即可．
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