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第六章《图形的初步知识》培优卷—浙教版数学七年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图，已知线段a，b.
求作：线段AB，使得AB=a+2b.
小明给出了四个步骤：
①在射线AM上画线段AP=a.②线段AB=a+2b.③在射线 PM上画PQ=b，QB=b.④画射线AM.你认为正确的顺序是 （　　）
A．①②③④ B．④①③② C．④③①② D．④②①③
【答案】B
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：如图所示，
作图步骤：④画射线AM，①在射线AM上画线段AP=a ，③在射线PM上画PQ=b，QB=b ，②线段AB=a+2b
故答案为：B.
【分析】先作射线AM，再截取然后再截取z则线段AB的长为.
2．如图，某同学的家在A 处，想尽快赶到书店 B去买书，请你帮助他在以下几条路线中，选择一条最近的路线 （　　）
A．A→C→D→B B．A→C→F→B
C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：∵两点之间线段最短
∴ A→C→F→B ＜ A→C→D→B
A→C→F→B ＜ A→C→E→F→B
A→C→F→B ＜ A→C→M→B
故答案为：B.
【分析】根据两点之间线段最短可得结果.
3．如图，下面的说法正确的是（　　）
A．点在直线上
B．可以表示成或
C．直线和相交于点
D．射线和射线表示同一条射线
【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；角的概念及表示；点与线的位置关系
【解析】【解答】解：A、点P不在直线m上，原说法错误，不符合题意；
B、∠1可以表示成∠AOB，不可以表示成∠O，原说法错误，不符合题意；
C、直线m和n相交于点O，原说法正确，符合题意；
D、射线OA和射线AO表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】点和直线存在两种位置关系：①点在直线上，②点在直线外，从图可看出点P在直线m外，据此可判断A选项；从图中可以看出，∠1可以表示为∠AOB，但不能表示为∠O，因为∠O通常表示一个角的顶点，而不是一个具体的角，据此可判断B选项；从图中可以看出，直线m和n有公共点O，据此可判断C选项；射线OA和射线AO表示的是两条不同的射线， 它们的起点和方向不同，据此可判断D选项.
4．（2023七上·金华月考）如图，立方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示立方体上小球的总数，则表达错误的是（　　）
A．12(m-1) B．4m+8(m-2) C．12(m-2)+8 D．12m-16
【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得，当每个棱上的小球数为m时，
正方体小球总数为：
故答案为：A.
【分析】根据正方体的性质可求出共有多少个小球，再根据每个顶点处的小球重复计算两次，进而即可求解.
5．（2024七上·越城期末）已知线段，延长线段到点C，使，M为线段的中点．点P在线段上，且到M点的距离为，现有下列判断：①P为线段或线段的中点；②；③或；④；⑤P为线段的四等分点．则正确判断的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∵M为线段的中点
∴
∴，故②正确；
∵点P在线段上，且到M点的距离为
∴如图所示，当点P在点M右边时，
∴
∴
∴，故④错误；
∴P为线段中点；
∴
∴，即P为线段的四等分点；
如图所示，当点P在点M左边时，
∴
∴，故③正确；
∴P为线段中点，故①正确；
∴，即P为线段的四等分点，故⑤正确．
综上所述，正确判断的个数是4．
故答案为：B．
【分析】先求出BC、AC长，然后由中点的定义可得，再利用线段的和差分两情况讨论解答．
6．有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M-P-N，若该折线 M-P-N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”。已知点D是折线A-C-B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD=6，CE=10，则线段BC的长是(　　)
A．8 B．8或16 C．8或32 D．16或32
【答案】C
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：解：①当点D在AC上时，如图所示，
∵点E为线段AC的中点，
∴AC=2CE=20，
∵CD=6，
∴AD=AC-CD=14，
∵点D是折线A-C-B的“折中点”，
∴AD=CD+BC，
得：BC=AD-CD=14-6=8；
②当点D在BC上时，如图所示，
∵点E为线段AC的中点
∴AC=2CE=20，
∵CD=6，
AC+CD=26.
∵D是折线A-C-B的“折中点”，
∴BD=AC+CD=26，
BC=CD+BD=6+26=32.
综上所述，线段BC的长是8或32.
故答案为：8或32.
故答案为：C.
【分析】分类讨论：①当点D在AC上时，②当点D在BC上时，根据线段中点的定义求出AC的长，再根据”折中点”的定义找到线段之间的关系，从而求出线段BC的长，即可得到答案.
7．以下给出的四个语句：①如果线段AB=BC，则点 B是线段AC的中点；②线段和射线都可看作直线上的一部分；③大于直角的角是钝角；④如图，∠ABD也可用∠B表示.其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】直线、射线、线段；角的概念及表示；线段的中点；角的分类（直角、锐角和钝角）
【解析】【解答】解：①错误，只是其中一种情况，不符合题意；
②正确，线段和射线都可看作直线上的一部分，符合题意；
③错误，大于直角小于平角的角是钝角，不符合题意；
④错误，∠ABD不可以∠B表示，因为顶点B存在多个角，不符合题意；
综上所述，正确的只有1个，
故答案为：A
【分析】根据线段的中点，直线的定义，钝角的定义，角的表示对①②③④逐一分析即可求解。
8．在如图所示的4×4的网格中，若∠ABD=α，∠DEF=β，∠CGH=γ，则 （　　）
A．β<α<γ B．β<γ<α C．α<γ<β D．α<β<γ
【答案】B
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：由图可得 α ＞90°， β ＜90°，
∠HGF=∠CGD=45°，
∴ γ =180°-45°-45°=90°，
∴ β<γ<α
故答案为：B.
【分析】由题意得出α ＞90°， β ＜90°，然后推出 γ =90°，比较大小即可.
9．（2024七上·拱墅期末）如图，点在直线上，在直线的同侧作射线，，若，且和互余作平分，平分，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设
和 互余，
2α
∵OM平分
∵ON平分
.故选项A正确， 符合题意；
故选项B，C，D不符合题意.
故答案为： A.
【分析】设 由 和 互余得 则 再由OM平分 得 进而得 然后由. 得 ，再由ON平分 得 进而得 由此得 ，据此即可得出答案.
10． 如图，已知∠AOB=90°，∠COD 在∠AOB内部且∠COD=45°。下列说法：①如果∠AOC=∠BOD，则图中有两对互余的角；②如果作 OE 平分∠BOC，则∠AOC=2∠DOE；③如果作 OM 平分∠AOC，ON 在∠AOB内部，且∠MON=45°，则OD平分∠BON；④如果 在 ∠AOB 外部分别作∠AOC，∠BOD 的余角∠AOP，∠BOQ，则∠AOP+∠BOQ=3∠COD。其中正确的个数是 （　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】角的运算；余角；补角
【解析】【解答】解：因为∠AOB=90°，∠COD=45°，
所以∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=45°。
①因为∠AOC=∠BOD，∠AOC+∠BOD=45°，
所以∠AOC=∠BOD=22.5°，
所以∠AOD=∠COB=67.5°，
所以∠AOD+∠DOB=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠AOC+∠AOD=90°，∠BOD+∠BOC=90°，
所以图中有4对互余的角，故①错误；
②设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，
所以∠BOC=∠BOD+∠COD=45°-x+45°=90°-x。
因为OE平分∠BOC，
所以 ，
所以
所以∠AOC=2∠DOE，故②正确；
③设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，
因为OM平分∠AOC，
所以
所以 ，
所以 =x，
所以∠BOD不一定等于∠DON，
即 OD 不一定是∠BON 的平分线，故③错误；
④设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，∠AOP=90°-x，
所以 因为∠COD=45°，所以∠AOP+∠BOQ=3∠COD，故④正确.
故答案为：B.
【分析】先求出∠AOC=∠BOD=22.5°，①根据题意可知∠AOD=∠COB=67.5°，再根据互余的定义即可判断①错误；
②∠AOC=x，根据角的和差关系和角平分线定义，则可以求出∠AOC=2∠DOE即可判断②正确；
③设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，根据角平分线的定义得到，求得=x，得到∠BOD不一定等于∠DON，即可③错误；
④设∠AOC=x，根据角的和差可得∠BOD=45°-x，∠AOP=90°-x，∠BOQ=45°，则可以得到等量关系∠AOP+∠BOQ=3∠COD，故④正确.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．如图，在从同一点出发的七条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG 组成的图形中，共有　 　个锐角。
【答案】21
【知识点】角的计数问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
以OA为始边的角有6个
以OB为始边的角有5个
以OC为始边的角有4个
以OD为始边的角有3个
以OE为始边的角有2个
以OF为始边的角有1个
故共有锐角：6+5+4+3+2+1=21个
故答案为：21
【分析】根据题意分别求出以OA，OB，OC，OD，OE，OF为始边的角，相加即可求出答案.
12．（2025七上·宁波期末）定义：若点 为直线 上的一点，且满足 ，则称点 是线段 的＂巧分点＂．现已知 ，点 是线段 的＂巧分点＂，则 　 　．
【答案】2或6
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：因为点C的位置不确定，所以分两种情况：
①当点C在线段AB上时，
∵AC=2BC，AB=6，
∴；
②当点C在线段AB的延长线上时，
∵AC=2BC，AB=6，
∴BC=AB=6；
故答案为：2或6.
【分析】根据题意，分两种情况讨论：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，分别求出BC的长即可.
13．如图，在一个由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O均在格点(网格线交点)上，那么∠AOC　 　∠BOD．(填“>”“<”或“=”)
【答案】<
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BOD=∠AOE，∠AOC<∠AOE，
∴∠AOC<∠BOD，
故答案为：<.
【分析】根据叠合法比较角的大小即可得出答案.
14．已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么　 　．
【答案】或
【知识点】一元一次方程的解；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：整理得
关于x的方程有无数多个解
，
解得
1.当OC在内部时，如图平分，
设，则，，
∴，
解得
2.当C在外部时，如图 平分，
设，则，，
∴，
解得
∴
综上所述：或．
故答案为：或．
【分析】首先将方程整理成一般形式，由方程有无数个解可得关于字母m、n的方程组，求解得出m、n的值；然后分OC在∠AOB内部与外部两种情况，由角平分线的定义及已知设参列方程求解即可.
15．（2023七上·龙湾期中）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为 　 　（取1.4）．
【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：如图：
∵七巧板里面的各个三角形均为等腰直角三角形，
∴所有锐角都等于45°，
∵方格图中的小正方形边长为1，
∴，
∴，
；
如图，当七巧板拼成“衣服型”时，
则“衣服型”的周长为：．
故答案为：．
【分析】先求出原七巧板里面的各个图形的边长，然后根据构成“衣服型”图形的每个图形的的边长计算其周长即可．
16．（2021七上·西湖期末）从起始站A市坐火车到终点站G市中途共停靠5次，各站点到A市距离如下：
站点 B C D E F G
到A市距离（千米） 445 805 1135 1495 1825 2270
若火车车票的价格由路程决定，则沿途总共有不同的票价　 　种.
【答案】14
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：①从A分别到B、C、D、E、F、G共6种票价，如图：
BC＝805﹣445＝360，
CD＝1135﹣805＝330，
DE＝1495﹣1135＝360，
EF＝1825﹣1495＝330，
FG＝2270﹣1825＝445，
即AB＝FG，BC＝DE，CD＝EF，
②∵BC＝360，BD＝690，BE＝1050，BF＝1380，BG＝1825＝AF，
∴从B出发的有4种票价，有BC、BD、BE、BF，4种；
③∵CD＝330，CE＝690＝BD，CF＝1020，CG＝1465，
∴从C出发的（除去路程相同的）有3种票价，有CD，CF，CG，3种；
④∵DE＝360＝BC，DF＝690＝BD，DG＝1135＝AD，
∴从D出发的（除去路程相同的）有0种票价；
⑤∵EF＝330＝CD，EG＝775，
∴从E出发的（除去路程相同的）有1种票价，有EG，1种；
⑥∵FG＝445＝AB，
∴从F出发的（除去路程相同的）有0种票价；
∴6+4+3+0+1+0＝14.
故答案为：14.
【分析】从A市、从B市、从C市、从D市、从E市、从F市出发的不同的票价，然后相加即可.
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024七上·余姚期末）如图，平面内有四点，请用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）．
（1）作射线，直线．
（2）连结并延长到点，使得．
（3）四点分别代表四个居民小区，现准备建一个志愿者岗亭，使它到四个小区的距离之和最小，请在图中画出岗亭的位置．
【答案】（1）解：如图，射线，直线即为所求：
（2）解：如图，点即为所求：
（3）解：如图，点P即为所求：
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据射线和直线的定义作图即可；
（2）利用线段的定义解答即可；
（3）连接交BD于点P，点P即为所作．
（1）解：如图，射线，直线即为所求：
（2）解：如图，点即为所求：
（3）解：如图，点P即为所求：
18．
（1）【试验观察】如图，如果每过两点可以画一条直线，那么第①组最多可以画　 　条直线，第②组最多可以画　 　条直线，第③组最多可以画　 　条直线。
（2）【探索归纳】如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么最多可以画　 　条直线。(用含n 的代数式表示)
（3）【解决问题】某班45名同学在一次聚会中，若每两人握1 次手问好，则一共要握多少次
【答案】（1）3；6；10
（2）
（3）一共要握 990(次)
【知识点】直线、射线、线段；线段的计数问题
【解析】【解答】解：（1）如图所示：
第①组最多可以画3条直线，3=1+2；
第②组最多可以画6条直线，6=1+2+3；
第③组最多可以画10条直线，10=1+2+3+4，
故答案为：3，6，10.
（2）如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么最多可以画 条直线，
故答案为： .
【分析】(1)根据两点确定一条直线，即可求出答案；
(2)根据(1)的结果，归纳总结得到一般性规律，即可得到结果；
(3)把45看作平面上的点，每人与其他人握手一次，看作两点确定一条直线，代入公式即可求解.
19． 如图所示，若将类似于a，b，c，d四个图的图形称为平面图，则其顶点数、边数与区域数之间存在某种关系.观察图 b和表中对应的数值，探究计数的方法并作答.
（1）数一数每个图中各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域，并填表：
图 a b C d
顶点数（S） 　 7 　 　
边数（M） 　 9 　 　
区域数（N） 　 3 　 　
（2）根据表中数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的一种关系；
（3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）中得出的关系可知这个平面图有　 　条边.
【答案】（1）解：如下表：
图 a b c d
顶点数(S) 4 7 8 10
边数(M) 6 9 12 15
区域数(N) 3 3 5 6
（2）解：观察表中数据可得：4+3-6=1，7+3-9=1，8+5-12=1，10+6-15=1，
所以S+N-M=1(或顶点数+区域数-边数=1).
（3）30
【知识点】平面图形的初步认识；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由（2）得：
边数=顶点数+区域数-1=20+11-1=30
故答案为：30
【分析】（1）根据题意数出相应值即可求出答案.
（2）根据各数之间的关系观察规律即可求出答案.
（3）根据（2）中规律即可求出答案.
20．如图1，已知点M是定长线段AB上一定点，C，D两点分别从点M，B出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA运动，点C在线段AM上，点D在线段BM上.
（1）若，当点C，D运动了1s，求AC+MD的值.
（2）若点C，D运动时，总有MD=3AC，则AM=　 　BM.(写答案即可)
（3）在(2)的条件下，点N是直线AB上一点，且AN-BN=MN，求的值.
【答案】（1）解：当点C，D运动了1s时，CM=1cm，BD=3cm，
∵AB=11cm，CM=1cm，BD=3cm，
∴AC+MD=AB-CM-BD=11-1-3=7cm.
（2）
（3）解：当点N在线段AB上时，如图，
∵AN-BN=MN，AN-AM=MN，
即
当点N在线段AB的延长线上时，如图，
∵AN-BN=MN，AN-BN=AB，
∴MN=AB，
即
综上所述或
【知识点】整式的加减运算；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（2）设运动时间为t，
则CM=t，BD=3t，
∵AC=AM-t，MD=BM-3t，
又MD=3AC，
∴BM-3t=3AM-3t，
即BM=3AM，
∵BM=AB-AM，
∴AB-AM=3AM，
故答案为：
【分析】（1）先根据题意得到CM=1cm，BD=3cm，进而根据线段的运算结合AC+MD=AB-CM-BD即可求解；
（2）设运动时间为t，则CM=t，BD=3t，根据整式的加减运算结合点的运动得到AC=AM-t，MD=BM-3t，根据MD=3AC即可得到BM-3t=3AM-3t，即BM=3AM，再进行线段的运算得到AB-AM=3AM，即，等量代换即可求解；
（3）根据题意分类讨论：当点N在线段AB上时，当点N在线段AB的延长线上时，再根据线段的运算得到MN和AB的关系，从而即可求解。
21．（2025七上·镇海区期末）定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角．
（1）在图中，的优角有______个．
（2）如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．
①当旋转的角度为何值时，与互为优角？
②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：①由（）得，，由旋转得，
∴，
当与互为优角时，可列出方程：
，
∴或，
解得或；
②∵，作的角平分线，
∴，，
根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．
当时，
（）
解得．
（）
解得（舍）或（舍）．
当时，
（）
解得．
（）
解得或（舍）．
综上所述，，或．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，，，，
∴，，，
∴的优角为或，
∴、、是的优角，其他角不是的优角，
∴在图中，的优角有个，
故答案为：；
【分析】（1）求出图中的各个角的度数，然后根据优角定义解题即可；
（2）①根据（）可得，，即可得到，然后利用优角的定义列方程解题接口；
②根据角平分线的定义可得，，再利用优角的定义可得，同角的优角相等或相差．即可氛围和两种情况根据优角定义列方程解题．
（1）解：由题意可得，，，，
∴，，，
∴的优角为或，
∴、、是的优角，其他角不是的优角，
∴在图中，的优角有个，
故答案为：；
（2）解：①由（）得，，
由旋转得，
∴，
当与互为优角时，可列出方程：
，
∴或，
解得或；
②∵，作的角平分线，
∴，，
根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．
当时，
（）
解得．
（）
解得（舍）或（舍）．
当时，
（）
解得．
（）
解得或（舍）．
综上所述，，或．
22．（2024七上·拱墅期末）综合与实践．
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题．
（1）问题：已知，平分，平分，则　 　．
问题：已知，点是的中点，点是的中点，则　 　．
（2）【深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系．】
老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题．
如图，点在直线上，在直线同侧，，分别平分，求的度数无需作答．
完成下列问题的解答：
“运河小组”提出问题：如图，线段，点，在线段上，，点，分别是线段，的中点，求的长．
“武林小组”提出问题：如图，点在直线上，在直线两侧，，分别平分，求的度数．
【答案】（1）15°；15
（2）解：线段，点，在线段上，，
，
点，分别是线段，的中点，
，，
，
；
设，
点在直线上，
，，
，分别平分，，
，，
，
．
【知识点】角的运算；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)问题1： 根据OC平分 得再根据OD平分 可得出 的度数；
问题2：根据点C是AB的中点得 ，再根据点D是AC的中点可得出AD的长度；
(2)①先求出 再根据线段中点的定义得 进而得据此可求出EF的长；
②设根据垂直的定义及平角的定义得 ，再根据角平分线的定义得 由此得 据此可求出 的度数.
23．如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转．
（1）如图2，、、三点共线，点、重合，，则　 　；
（2）如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小；
（3）第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 　 　；
（4）第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）
①运动停止时，　 　；②请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为　 　．
【答案】（1）90
（2）解：∵，
∴设，
∵平分，
∴，
∵、O、三点共线，则，
∴，
解得：，
∴；
（3）
（4）；当时，；当时，
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，，三点共线，∴，
∵，∴，
故答案为：；
（3）这个定值是，理由，
∵，设，则，
∴，，
∴，
∴小田的发现是正确的，这个定值是；
故答案为：60°；
（4）∵，
∴，，
设运动时间为，则，则，
①运动停止时，即时，旋转的角度为，
∴，
故答案为：；
②当点，，三点共线时，；
∴当时，，，
∴；
当时，，，
∴，
综上，当时，；当时，．
故答案为：当时，；当时，
【分析】（1）由A、 O、B三点共线，可得出∠AOC+∠BOD=180°，再由∠AOC=∠BOD，即可求出∠AOC=90°；
（2）由已知可设∠AOC=3x，∠BOC=2x，由角平分线定义得出∠BOD=∠COD=x；根据A、O、B 三点共线，则∠AOC+∠BOC=180°，据此列出方程可求出x的值，最后由∠AOD=∠AOC+∠COD=4x即可求解；
（3）由已知可设∠AOD=3a，则∠BOC=2a，根据图形及角的和差分别用含a的式子表示出∠AOC与∠BOD，再代入待求式子即可求解；
（4）①算出运动停止时间，求出OA运动的角度，进而求出∠AOD度数；②由OA的运动过程可知，需要分类讨论，在点C、O、A三点共线前和点C、O、A三点共线后，分别求解即可.
24．项目化学习：设置限速标识.
如图①所示为某型汽车道闸栏杆，它由一根立柱AB 和一根可转动的横杆CD 组成，点C 在直线AB 上(如图②).道闸关闭时，，此时车辆无法通行；当 时，道闸完全开启.
素材 任务
素材1：对于不同型号的车型，可通行的最小角度如下表所示： 车辆 类型安全通行最 小角度(∠BCD)A170°B150°C135° ⑴任务1：当∠ACD=32°时，能安全通过的车辆类型是 .
素材2：当车辆开到道闸前方8m时，道闸横杆CD以每秒30°的速度匀速抬起.为了让所有车辆安全通过，需要设置一个限速标志(时速为5 的正整数倍，单位为km/h). ⑵任务2：①横杆从关闭状态到能让所有车型安全通过，至少需要 s. ②在保证车辆(匀速行驶)快速通过的情况下，设置时速为多大的限速标志较为合适 请计算说明.
【答案】⑴C
⑵解：①；
②最大速度
∵限速标志是时速为5的正整数倍，
∴设置时速为 10 km/h的限速标志较为合适
【知识点】角的运算；补角
【解析】【解答】解：（1）当时，
∵
∴能安全通过的车辆类型是C，
故答案为：C.
（2）①横杆从关闭状态到能让所有车型安全通过，需要旋转的度数为：
∴横杆从关闭状态到能让所有车型安全通过，至少需要：
故答案为：.
【分析】（1）根据题意求出∠BCD的度数，最后进行比较即可；
（2）①先得到横杆从关闭状态到能让所有车型安全通过，需要旋转的度数为：进而计算即可；
②结合①求出最大速度，进而即可求解.
1 / 1第六章《图形的初步知识》培优卷—浙教版数学七年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图，已知线段a，b.
求作：线段AB，使得AB=a+2b.
小明给出了四个步骤：
①在射线AM上画线段AP=a.②线段AB=a+2b.③在射线 PM上画PQ=b，QB=b.④画射线AM.你认为正确的顺序是 （　　）
A．①②③④ B．④①③② C．④③①② D．④②①③
2．如图，某同学的家在A 处，想尽快赶到书店 B去买书，请你帮助他在以下几条路线中，选择一条最近的路线 （　　）
A．A→C→D→B B．A→C→F→B
C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B
3．如图，下面的说法正确的是（　　）
A．点在直线上
B．可以表示成或
C．直线和相交于点
D．射线和射线表示同一条射线
4．（2023七上·金华月考）如图，立方体的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为m，下列代数式表示立方体上小球的总数，则表达错误的是（　　）
A．12(m-1) B．4m+8(m-2) C．12(m-2)+8 D．12m-16
5．（2024七上·越城期末）已知线段，延长线段到点C，使，M为线段的中点．点P在线段上，且到M点的距离为，现有下列判断：①P为线段或线段的中点；②；③或；④；⑤P为线段的四等分点．则正确判断的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M-P-N，若该折线 M-P-N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”。已知点D是折线A-C-B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD=6，CE=10，则线段BC的长是(　　)
A．8 B．8或16 C．8或32 D．16或32
7．以下给出的四个语句：①如果线段AB=BC，则点 B是线段AC的中点；②线段和射线都可看作直线上的一部分；③大于直角的角是钝角；④如图，∠ABD也可用∠B表示.其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．在如图所示的4×4的网格中，若∠ABD=α，∠DEF=β，∠CGH=γ，则 （　　）
A．β<α<γ B．β<γ<α C．α<γ<β D．α<β<γ
9．（2024七上·拱墅期末）如图，点在直线上，在直线的同侧作射线，，若，且和互余作平分，平分，则（　　）
A． B．
C． D．
10． 如图，已知∠AOB=90°，∠COD 在∠AOB内部且∠COD=45°。下列说法：①如果∠AOC=∠BOD，则图中有两对互余的角；②如果作 OE 平分∠BOC，则∠AOC=2∠DOE；③如果作 OM 平分∠AOC，ON 在∠AOB内部，且∠MON=45°，则OD平分∠BON；④如果 在 ∠AOB 外部分别作∠AOC，∠BOD 的余角∠AOP，∠BOQ，则∠AOP+∠BOQ=3∠COD。其中正确的个数是 （　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．如图，在从同一点出发的七条射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，OG 组成的图形中，共有　 　个锐角。
12．（2025七上·宁波期末）定义：若点 为直线 上的一点，且满足 ，则称点 是线段 的＂巧分点＂．现已知 ，点 是线段 的＂巧分点＂，则 　 　．
13．如图，在一个由小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O均在格点(网格线交点)上，那么∠AOC　 　∠BOD．(填“>”“<”或“=”)
14．已知：，过点O作射线，平分，如果，且关于x的方程有无数多个解，那么　 　．
15．（2023七上·龙湾期中）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为 　 　（取1.4）．
16．（2021七上·西湖期末）从起始站A市坐火车到终点站G市中途共停靠5次，各站点到A市距离如下：
站点 B C D E F G
到A市距离（千米） 445 805 1135 1495 1825 2270
若火车车票的价格由路程决定，则沿途总共有不同的票价　 　种.
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024七上·余姚期末）如图，平面内有四点，请用直尺和圆规作图（保留作图痕迹）．
（1）作射线，直线．
（2）连结并延长到点，使得．
（3）四点分别代表四个居民小区，现准备建一个志愿者岗亭，使它到四个小区的距离之和最小，请在图中画出岗亭的位置．
18．
（1）【试验观察】如图，如果每过两点可以画一条直线，那么第①组最多可以画　 　条直线，第②组最多可以画　 　条直线，第③组最多可以画　 　条直线。
（2）【探索归纳】如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么最多可以画　 　条直线。(用含n 的代数式表示)
（3）【解决问题】某班45名同学在一次聚会中，若每两人握1 次手问好，则一共要握多少次
19． 如图所示，若将类似于a，b，c，d四个图的图形称为平面图，则其顶点数、边数与区域数之间存在某种关系.观察图 b和表中对应的数值，探究计数的方法并作答.
（1）数一数每个图中各有多少个顶点、多少条边，这些边围出多少个区域，并填表：
图 a b C d
顶点数（S） 　 7 　 　
边数（M） 　 9 　 　
区域数（N） 　 3 　 　
（2）根据表中数值，写出平面图的顶点数、边数、区域数之间的一种关系；
（3）如果一个平面图有20个顶点和11个区域，那么利用（2）中得出的关系可知这个平面图有　 　条边.
20．如图1，已知点M是定长线段AB上一定点，C，D两点分别从点M，B出发以1cm/s，3cm/s的速度沿直线BA运动，点C在线段AM上，点D在线段BM上.
（1）若，当点C，D运动了1s，求AC+MD的值.
（2）若点C，D运动时，总有MD=3AC，则AM=　 　BM.(写答案即可)
（3）在(2)的条件下，点N是直线AB上一点，且AN-BN=MN，求的值.
21．（2025七上·镇海区期末）定义：如果两个角相差，则称这两个角互为“优角”，也可以说一个角是另一个角的优角．现有一副三角板按图所示摆放，其中、、三点共线，我们可以说和都是的优角．
（1）在图中，的优角有______个．
（2）如图，将绕点按顺时针方向旋转一个角度至．
①当旋转的角度为何值时，与互为优角？
②如图，作的角平分线，是否存在这样的，使得，这两个角都是同一个角的优角．若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由．
22．（2024七上·拱墅期末）综合与实践．
问题情境：“综合与实践”课上，老师请同学们观察两个问题．
（1）问题：已知，平分，平分，则　 　．
问题：已知，点是的中点，点是的中点，则　 　．
（2）【深入探究：同学们通过观察，发现了这两个问题的联系．】
老师请同学们继续思考下面的问题，并提出一个与它有联系的问题．
如图，点在直线上，在直线同侧，，分别平分，求的度数无需作答．
完成下列问题的解答：
“运河小组”提出问题：如图，线段，点，在线段上，，点，分别是线段，的中点，求的长．
“武林小组”提出问题：如图，点在直线上，在直线两侧，，分别平分，求的度数．
23．如图1，大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美，洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何能让班级同学们的广播操做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图2，为方便研究，定义两手手心位置分别为、两点，两脚脚跟位置分别为、两点，定义、、、平面内为定点，将手脚运动看作绕点进行旋转．
（1）如图2，、、三点共线，点、重合，，则　 　；
（2）如图3，、、三点共线，且，平分，求的大小；
（3）第三节腿部运动中，如图4，洋洋发现，虽然、、三点共线，却不在水平方向上，且，他经过计算发现，的值为定值，请写出这个定值为 　 　；
（4）第四节体侧运动中，如图5，乐乐发现，两腿左右等距张开，使竖直方向的射线平分，且，开始运动前、、三点在同一水平线上，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止（是竖直方向的一条射线）
①运动停止时，　 　；②请帮助乐乐写出运动过程中与的数量关系为　 　．
24．项目化学习：设置限速标识.
如图①所示为某型汽车道闸栏杆，它由一根立柱AB 和一根可转动的横杆CD 组成，点C 在直线AB 上(如图②).道闸关闭时，，此时车辆无法通行；当 时，道闸完全开启.
素材 任务
素材1：对于不同型号的车型，可通行的最小角度如下表所示： 车辆 类型安全通行最 小角度(∠BCD)A170°B150°C135° ⑴任务1：当∠ACD=32°时，能安全通过的车辆类型是 .
素材2：当车辆开到道闸前方8m时，道闸横杆CD以每秒30°的速度匀速抬起.为了让所有车辆安全通过，需要设置一个限速标志(时速为5 的正整数倍，单位为km/h). ⑵任务2：①横杆从关闭状态到能让所有车型安全通过，至少需要 s. ②在保证车辆(匀速行驶)快速通过的情况下，设置时速为多大的限速标志较为合适 请计算说明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：如图所示，
作图步骤：④画射线AM，①在射线AM上画线段AP=a ，③在射线PM上画PQ=b，QB=b ，②线段AB=a+2b
故答案为：B.
【分析】先作射线AM，再截取然后再截取z则线段AB的长为.
2．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短
【解析】【解答】解：∵两点之间线段最短
∴ A→C→F→B ＜ A→C→D→B
A→C→F→B ＜ A→C→E→F→B
A→C→F→B ＜ A→C→M→B
故答案为：B.
【分析】根据两点之间线段最短可得结果.
3．【答案】C
【知识点】直线、射线、线段；角的概念及表示；点与线的位置关系
【解析】【解答】解：A、点P不在直线m上，原说法错误，不符合题意；
B、∠1可以表示成∠AOB，不可以表示成∠O，原说法错误，不符合题意；
C、直线m和n相交于点O，原说法正确，符合题意；
D、射线OA和射线AO表示的不是同一条射线，原说法错误，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】点和直线存在两种位置关系：①点在直线上，②点在直线外，从图可看出点P在直线m外，据此可判断A选项；从图中可以看出，∠1可以表示为∠AOB，但不能表示为∠O，因为∠O通常表示一个角的顶点，而不是一个具体的角，据此可判断B选项；从图中可以看出，直线m和n有公共点O，据此可判断C选项；射线OA和射线AO表示的是两条不同的射线， 它们的起点和方向不同，据此可判断D选项.
4．【答案】A
【知识点】立体图形的概念与分类；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由题意得，当每个棱上的小球数为m时，
正方体小球总数为：
故答案为：A.
【分析】根据正方体的性质可求出共有多少个小球，再根据每个顶点处的小球重复计算两次，进而即可求解.
5．【答案】B
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵，
∴
∴
∵M为线段的中点
∴
∴，故②正确；
∵点P在线段上，且到M点的距离为
∴如图所示，当点P在点M右边时，
∴
∴
∴，故④错误；
∴P为线段中点；
∴
∴，即P为线段的四等分点；
如图所示，当点P在点M左边时，
∴
∴，故③正确；
∴P为线段中点，故①正确；
∴，即P为线段的四等分点，故⑤正确．
综上所述，正确判断的个数是4．
故答案为：B．
【分析】先求出BC、AC长，然后由中点的定义可得，再利用线段的和差分两情况讨论解答．
6．【答案】C
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：解：①当点D在AC上时，如图所示，
∵点E为线段AC的中点，
∴AC=2CE=20，
∵CD=6，
∴AD=AC-CD=14，
∵点D是折线A-C-B的“折中点”，
∴AD=CD+BC，
得：BC=AD-CD=14-6=8；
②当点D在BC上时，如图所示，
∵点E为线段AC的中点
∴AC=2CE=20，
∵CD=6，
AC+CD=26.
∵D是折线A-C-B的“折中点”，
∴BD=AC+CD=26，
BC=CD+BD=6+26=32.
综上所述，线段BC的长是8或32.
故答案为：8或32.
故答案为：C.
【分析】分类讨论：①当点D在AC上时，②当点D在BC上时，根据线段中点的定义求出AC的长，再根据”折中点”的定义找到线段之间的关系，从而求出线段BC的长，即可得到答案.
7．【答案】A
【知识点】直线、射线、线段；角的概念及表示；线段的中点；角的分类（直角、锐角和钝角）
【解析】【解答】解：①错误，只是其中一种情况，不符合题意；
②正确，线段和射线都可看作直线上的一部分，符合题意；
③错误，大于直角小于平角的角是钝角，不符合题意；
④错误，∠ABD不可以∠B表示，因为顶点B存在多个角，不符合题意；
综上所述，正确的只有1个，
故答案为：A
【分析】根据线段的中点，直线的定义，钝角的定义，角的表示对①②③④逐一分析即可求解。
8．【答案】B
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：由图可得 α ＞90°， β ＜90°，
∠HGF=∠CGD=45°，
∴ γ =180°-45°-45°=90°，
∴ β<γ<α
故答案为：B.
【分析】由题意得出α ＞90°， β ＜90°，然后推出 γ =90°，比较大小即可.
9．【答案】A
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：设
和 互余，
2α
∵OM平分
∵ON平分
.故选项A正确， 符合题意；
故选项B，C，D不符合题意.
故答案为： A.
【分析】设 由 和 互余得 则 再由OM平分 得 进而得 然后由. 得 ，再由ON平分 得 进而得 由此得 ，据此即可得出答案.
10．【答案】B
【知识点】角的运算；余角；补角
【解析】【解答】解：因为∠AOB=90°，∠COD=45°，
所以∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=45°。
①因为∠AOC=∠BOD，∠AOC+∠BOD=45°，
所以∠AOC=∠BOD=22.5°，
所以∠AOD=∠COB=67.5°，
所以∠AOD+∠DOB=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠AOC+∠AOD=90°，∠BOD+∠BOC=90°，
所以图中有4对互余的角，故①错误；
②设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，
所以∠BOC=∠BOD+∠COD=45°-x+45°=90°-x。
因为OE平分∠BOC，
所以 ，
所以
所以∠AOC=2∠DOE，故②正确；
③设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，
因为OM平分∠AOC，
所以
所以 ，
所以 =x，
所以∠BOD不一定等于∠DON，
即 OD 不一定是∠BON 的平分线，故③错误；
④设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，∠AOP=90°-x，
所以 因为∠COD=45°，所以∠AOP+∠BOQ=3∠COD，故④正确.
故答案为：B.
【分析】先求出∠AOC=∠BOD=22.5°，①根据题意可知∠AOD=∠COB=67.5°，再根据互余的定义即可判断①错误；
②∠AOC=x，根据角的和差关系和角平分线定义，则可以求出∠AOC=2∠DOE即可判断②正确；
③设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，根据角平分线的定义得到，求得=x，得到∠BOD不一定等于∠DON，即可③错误；
④设∠AOC=x，根据角的和差可得∠BOD=45°-x，∠AOP=90°-x，∠BOQ=45°，则可以得到等量关系∠AOP+∠BOQ=3∠COD，故④正确.
11．【答案】21
【知识点】角的计数问题
【解析】【解答】解：由题意可得：
以OA为始边的角有6个
以OB为始边的角有5个
以OC为始边的角有4个
以OD为始边的角有3个
以OE为始边的角有2个
以OF为始边的角有1个
故共有锐角：6+5+4+3+2+1=21个
故答案为：21
【分析】根据题意分别求出以OA，OB，OC，OD，OE，OF为始边的角，相加即可求出答案.
12．【答案】2或6
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：因为点C的位置不确定，所以分两种情况：
①当点C在线段AB上时，
∵AC=2BC，AB=6，
∴；
②当点C在线段AB的延长线上时，
∵AC=2BC，AB=6，
∴BC=AB=6；
故答案为：2或6.
【分析】根据题意，分两种情况讨论：①当点C在线段AB上时，②当点C在线段AB的延长线上时，分别求出BC的长即可.
13．【答案】<
【知识点】角的大小比较
【解析】【解答】解：如图，
∵∠BOD=∠AOE，∠AOC<∠AOE，
∴∠AOC<∠BOD，
故答案为：<.
【分析】根据叠合法比较角的大小即可得出答案.
14．【答案】或
【知识点】一元一次方程的解；角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解：整理得
关于x的方程有无数多个解
，
解得
1.当OC在内部时，如图平分，
设，则，，
∴，
解得
2.当C在外部时，如图 平分，
设，则，，
∴，
解得
∴
综上所述：或．
故答案为：或．
【分析】首先将方程整理成一般形式，由方程有无数个解可得关于字母m、n的方程组，求解得出m、n的值；然后分OC在∠AOB内部与外部两种情况，由角平分线的定义及已知设参列方程求解即可.
15．【答案】
【知识点】七巧板与拼图制作
【解析】【解答】解：如图：
∵七巧板里面的各个三角形均为等腰直角三角形，
∴所有锐角都等于45°，
∵方格图中的小正方形边长为1，
∴，
∴，
；
如图，当七巧板拼成“衣服型”时，
则“衣服型”的周长为：．
故答案为：．
【分析】先求出原七巧板里面的各个图形的边长，然后根据构成“衣服型”图形的每个图形的的边长计算其周长即可．
16．【答案】14
【知识点】直线、射线、线段
【解析】【解答】解：①从A分别到B、C、D、E、F、G共6种票价，如图：
BC＝805﹣445＝360，
CD＝1135﹣805＝330，
DE＝1495﹣1135＝360，
EF＝1825﹣1495＝330，
FG＝2270﹣1825＝445，
即AB＝FG，BC＝DE，CD＝EF，
②∵BC＝360，BD＝690，BE＝1050，BF＝1380，BG＝1825＝AF，
∴从B出发的有4种票价，有BC、BD、BE、BF，4种；
③∵CD＝330，CE＝690＝BD，CF＝1020，CG＝1465，
∴从C出发的（除去路程相同的）有3种票价，有CD，CF，CG，3种；
④∵DE＝360＝BC，DF＝690＝BD，DG＝1135＝AD，
∴从D出发的（除去路程相同的）有0种票价；
⑤∵EF＝330＝CD，EG＝775，
∴从E出发的（除去路程相同的）有1种票价，有EG，1种；
⑥∵FG＝445＝AB，
∴从F出发的（除去路程相同的）有0种票价；
∴6+4+3+0+1+0＝14.
故答案为：14.
【分析】从A市、从B市、从C市、从D市、从E市、从F市出发的不同的票价，然后相加即可.
17．【答案】（1）解：如图，射线，直线即为所求：
（2）解：如图，点即为所求：
（3）解：如图，点P即为所求：
【知识点】两点之间线段最短；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）根据射线和直线的定义作图即可；
（2）利用线段的定义解答即可；
（3）连接交BD于点P，点P即为所作．
（1）解：如图，射线，直线即为所求：
（2）解：如图，点即为所求：
（3）解：如图，点P即为所求：
18．【答案】（1）3；6；10
（2）
（3）一共要握 990(次)
【知识点】直线、射线、线段；线段的计数问题
【解析】【解答】解：（1）如图所示：
第①组最多可以画3条直线，3=1+2；
第②组最多可以画6条直线，6=1+2+3；
第③组最多可以画10条直线，10=1+2+3+4，
故答案为：3，6，10.
（2）如果平面上有n(n≥3)个点，且每3个点均不在同一条直线上，那么最多可以画 条直线，
故答案为： .
【分析】(1)根据两点确定一条直线，即可求出答案；
(2)根据(1)的结果，归纳总结得到一般性规律，即可得到结果；
(3)把45看作平面上的点，每人与其他人握手一次，看作两点确定一条直线，代入公式即可求解.
19．【答案】（1）解：如下表：
图 a b c d
顶点数(S) 4 7 8 10
边数(M) 6 9 12 15
区域数(N) 3 3 5 6
（2）解：观察表中数据可得：4+3-6=1，7+3-9=1，8+5-12=1，10+6-15=1，
所以S+N-M=1(或顶点数+区域数-边数=1).
（3）30
【知识点】平面图形的初步认识；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：由（2）得：
边数=顶点数+区域数-1=20+11-1=30
故答案为：30
【分析】（1）根据题意数出相应值即可求出答案.
（2）根据各数之间的关系观察规律即可求出答案.
（3）根据（2）中规律即可求出答案.
20．【答案】（1）解：当点C，D运动了1s时，CM=1cm，BD=3cm，
∵AB=11cm，CM=1cm，BD=3cm，
∴AC+MD=AB-CM-BD=11-1-3=7cm.
（2）
（3）解：当点N在线段AB上时，如图，
∵AN-BN=MN，AN-AM=MN，
即
当点N在线段AB的延长线上时，如图，
∵AN-BN=MN，AN-BN=AB，
∴MN=AB，
即
综上所述或
【知识点】整式的加减运算；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：（2）设运动时间为t，
则CM=t，BD=3t，
∵AC=AM-t，MD=BM-3t，
又MD=3AC，
∴BM-3t=3AM-3t，
即BM=3AM，
∵BM=AB-AM，
∴AB-AM=3AM，
故答案为：
【分析】（1）先根据题意得到CM=1cm，BD=3cm，进而根据线段的运算结合AC+MD=AB-CM-BD即可求解；
（2）设运动时间为t，则CM=t，BD=3t，根据整式的加减运算结合点的运动得到AC=AM-t，MD=BM-3t，根据MD=3AC即可得到BM-3t=3AM-3t，即BM=3AM，再进行线段的运算得到AB-AM=3AM，即，等量代换即可求解；
（3）根据题意分类讨论：当点N在线段AB上时，当点N在线段AB的延长线上时，再根据线段的运算得到MN和AB的关系，从而即可求解。
21．【答案】（1）
（2）解：①由（）得，，由旋转得，
∴，
当与互为优角时，可列出方程：
，
∴或，
解得或；
②∵，作的角平分线，
∴，，
根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．
当时，
（）
解得．
（）
解得（舍）或（舍）．
当时，
（）
解得．
（）
解得或（舍）．
综上所述，，或．
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）由题意可得，，，，
∴，，，
∴的优角为或，
∴、、是的优角，其他角不是的优角，
∴在图中，的优角有个，
故答案为：；
【分析】（1）求出图中的各个角的度数，然后根据优角定义解题即可；
（2）①根据（）可得，，即可得到，然后利用优角的定义列方程解题接口；
②根据角平分线的定义可得，，再利用优角的定义可得，同角的优角相等或相差．即可氛围和两种情况根据优角定义列方程解题．
（1）解：由题意可得，，，，
∴，，，
∴的优角为或，
∴、、是的优角，其他角不是的优角，
∴在图中，的优角有个，
故答案为：；
（2）解：①由（）得，，
由旋转得，
∴，
当与互为优角时，可列出方程：
，
∴或，
解得或；
②∵，作的角平分线，
∴，，
根据优角的定义可得，同角的优角要么相等，要么相差．
当时，
（）
解得．
（）
解得（舍）或（舍）．
当时，
（）
解得．
（）
解得或（舍）．
综上所述，，或．
22．【答案】（1）15°；15
（2）解：线段，点，在线段上，，
，
点，分别是线段，的中点，
，，
，
；
设，
点在直线上，
，，
，分别平分，，
，，
，
．
【知识点】角的运算；线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)问题1： 根据OC平分 得再根据OD平分 可得出 的度数；
问题2：根据点C是AB的中点得 ，再根据点D是AC的中点可得出AD的长度；
(2)①先求出 再根据线段中点的定义得 进而得据此可求出EF的长；
②设根据垂直的定义及平角的定义得 ，再根据角平分线的定义得 由此得 据此可求出 的度数.
23．【答案】（1）90
（2）解：∵，
∴设，
∵平分，
∴，
∵、O、三点共线，则，
∴，
解得：，
∴；
（3）
（4）；当时，；当时，
【知识点】角的运算；一元一次方程的实际应用-行程问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）∵，，三点共线，∴，
∵，∴，
故答案为：；
（3）这个定值是，理由，
∵，设，则，
∴，，
∴，
∴小田的发现是正确的，这个定值是；
故答案为：60°；
（4）∵，
∴，，
设运动时间为，则，则，
①运动停止时，即时，旋转的角度为，
∴，
故答案为：；
②当点，，三点共线时，；
∴当时，，，
∴；
当时，，，
∴，
综上，当时，；当时，．
故答案为：当时，；当时，
【分析】（1）由A、 O、B三点共线，可得出∠AOC+∠BOD=180°，再由∠AOC=∠BOD，即可求出∠AOC=90°；
（2）由已知可设∠AOC=3x，∠BOC=2x，由角平分线定义得出∠BOD=∠COD=x；根据A、O、B 三点共线，则∠AOC+∠BOC=180°，据此列出方程可求出x的值，最后由∠AOD=∠AOC+∠COD=4x即可求解；
（3）由已知可设∠AOD=3a，则∠BOC=2a，根据图形及角的和差分别用含a的式子表示出∠AOC与∠BOD，再代入待求式子即可求解；
（4）①算出运动停止时间，求出OA运动的角度，进而求出∠AOD度数；②由OA的运动过程可知，需要分类讨论，在点C、O、A三点共线前和点C、O、A三点共线后，分别求解即可.
24．【答案】⑴C
⑵解：①；
②最大速度
∵限速标志是时速为5的正整数倍，
∴设置时速为 10 km/h的限速标志较为合适
【知识点】角的运算；补角
【解析】【解答】解：（1）当时，
∵
∴能安全通过的车辆类型是C，
故答案为：C.
（2）①横杆从关闭状态到能让所有车型安全通过，需要旋转的度数为：
∴横杆从关闭状态到能让所有车型安全通过，至少需要：
故答案为：.
【分析】（1）根据题意求出∠BCD的度数，最后进行比较即可；
（2）①先得到横杆从关闭状态到能让所有车型安全通过，需要旋转的度数为：进而计算即可；
②结合①求出最大速度，进而即可求解.
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