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2.4函数的奇偶性与对称性考点归纳
考点01 判断函数的奇偶性(共5小题)（重点）
1．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数
3．（24-25高一上·吉林白城·期中）判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)
4．（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1)．
(2)．
5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知.
(1)判断并证明该函数的奇偶性；
(2)画出该函数的图象.
考点02 由函数奇偶性求值（共6小题）
6.（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
7.（23-24高一上·江苏淮安·周考）设是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．1 C． D．
8．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．3
9．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
10．（24-25高一上·北京·期中）设函数，是奇函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．8
11．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，若， .
考点03 最大值+最小值及f(a)+f(-a)（共5小题）（难点）
12．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
13．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为奇函数，若，则 ．
14．（24-25高一上·福建三明·期中）已知函数且，则的值为 ．
15．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ．
16．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则=
考点04 由奇偶性求参数（共9小题）（重点）
17.（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
18.（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．1或2
19．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （ ）
A． B． C． D．
20．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
21．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 .
22．（2024·上海宝山·一模）已知为实数，且函数是偶函数，则 .
23．（24-25高一上·四川巴中·期中）函数为奇函数，则的值为 ．
24．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 .
25．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知函数为奇函数，则等于 ．
考点05 由奇偶性求解析式（共5小题）（重点）
26．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ．
27．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ．
28．（24-25高一上·广东江门·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，.
(1)作出的函数图象；
(2)求函数在R上的解析式；
(3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.
29．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
(1)求出函数的解析式；
(2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间；
(3)根据图象写出使的x的取值集合.
30．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，.
(1)求函数在R上的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围.
考点06 由单调性和奇偶性解不等式(共6小题)（难点）
31．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
32．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数，则使成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
33．（24-25高一下·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
34．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
35．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
36．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
考点07 由单调性和奇偶性比较大小（共2小题）
37．下列函数是上的偶函数，且在上单调递减，则下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
38.（24-25高一上·北京·期中）若偶函数在上是增函数，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
考点08 函数对称性的应用（共4小题）
39.（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数的图象的对称轴为直线，则（ ）
A． B．
C． D．
40.设函数定义在实数集上，，且当时，，则有（ ）．
A． B．
C． D．
41．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（ ）
A． B． C．3 D．4
42．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，函数是定义在上的奇函数，若与的图象的交点分别为，…，，则（ ）
A． B． C．0 D．2
43．（24-25高一上·黑龙江·期末）已知函数为定义在上的奇函数，则 .
44．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是 ，进而求值 ．
45．（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题：
(1)直接写出函数的对称中心；
(2)证明：函数的对称中心为；
(3)若函数的对称中心为，求实数、的值.
考点09 函数对称性与周期性的综合(共4小题)（拓展）
46．（江西省创智协作体2025-2026学年高三上学期9月联合调研考试数学试卷）已知函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．3037 B．3034 C．3035 D．3036
47．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
48．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数的定义域为，，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1014 D．2028
49．（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
考点10 抽象函数的单调性与奇偶性（共5小题）（难点）
50.（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且.
(1)求的值；
(2)令，求证:函数为奇函数；
(3)求的值.
51.（24-25高一上·河南·月考）已知定义域为R的函数满足，，当时，．
(1)用定义法证明：在定义域内单调递增；
(2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论．
52．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足.
(1)求证：；
(2)求证：为偶函数；
(3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减.
53．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，.
(1)求；
(2)证明：为奇函数；
(3)解不等式.
54．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得.
(1)求证：为奇函数；
(2)求证：在R上单调递增；
考点11 与函数奇偶性有关的新定义题（共3小题）（难点）
55．（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）定义（其中表示不小于x的最小整数）为“向上取整函数”.例如.以下描述正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．是上的奇函数
D．若，则
56．（多选）（23-24高一上·广东江门·期中）表示不超过x的最大整数，已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为R； B．的值域为；
C．是偶函数； D．的单调增区间为.
57．（24-25高一上·辽宁·期末）若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数．
(1)若为区间上的方正函数，求实数的值；
(2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由．
2.4函数的奇偶性与对称性考点归纳答案
考点01 判断函数的奇偶性(共5小题)（重点）
1．（25-26高一上·新疆·期中）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由，写出各项对应函数的解析式，利用函数奇偶性的定义依次判断各项对应函数的奇偶性.
【详解】因为，
A：，而，显然不是奇函数，不符；
B：，定义域为，显然不关于原点对称，不符；
C：，其中且定义域为，易知为奇函数；
D：，定义域为，显然不关于原点对称，不符；
故选：C
2．（25-26高一上·全国·课前预习）函数是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数
【答案】B
【分析】由函数奇偶性定义判断.
【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称．
又，
所以是偶函数,而，故不是奇函数，
故选：B.
3．（24-25高一上·吉林白城·期中）判断下列函数的奇偶性．
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)奇函数
(2)既是奇函数又是偶函数．
(3)偶函数
【分析】先求出函数的定义域并判断定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义判断即可.
【详解】（1）因为，所以．
又因为，
所以为奇函数．
（2）因为函数的定义域为，关于原点对称，且，
所以．
所以既是奇函数又是偶函数．
（3）的定义域是，
对，都有．
当时，，；
当时，，．
综上可知，对于，都有，故为偶函数．
4．（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：
(1)．
(2)．
【答案】(1)偶函数
(2)既是奇函数又是偶函数
【分析】（1）（2）先求函数的定义域，再求与的关系即可判断函数的奇偶性；
【详解】（1）令，，
，
所以，
所以函数为偶函数.
（2）令，
，解得或，
所以，所以既有，又有，
所以函数既是奇函数又是偶函数.
5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知.
(1)判断并证明该函数的奇偶性；
(2)画出该函数的图象.
【答案】(1)为偶函数，证明见解析
(2)函数图象见解析
【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可；
（2）根据函数解析式画出函数图象.
【详解】（1）为偶函数，证明如下：
因为，定义域为，
当时，，则；
当时，，则；
又，综上可得对任意的，均有，
所以为偶函数；
（2）由可得的图象如下所示：
考点02 由函数奇偶性求值（共6小题）
6.（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数是奇函数，当时，，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】因为函数为奇函数，当时，,
则.
故选：B.
7.（23-24高一上·江苏淮安·周考）设是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义可得，求出即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，且当时，，
所以.
故选：D
8．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数，若，则（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质即可求解.
【详解】，
则为奇函数，即，
故选:C.
9．（24-25高一上·黑龙江佳木斯·期末）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由即可求解.
【详解】依题意，函数是定义域为的奇函数，
所以.
故选：D
10．（24-25高一上·北京·期中）设函数，是奇函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．8
【答案】A
【分析】由是奇函数，得，代入即可求.
【详解】因为是奇函数，
所以，
所以.
故选：A
11．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数，若，则 .
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性计算即可.
【详解】易知，即为奇函数，
所以.
故答案为：.
考点03 最大值+最小值及f(a)+f(-a)（共5小题）（难点）
12．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数的最大值为M，最小值为m，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】构造函数，由奇偶性定义可知为奇函数，知，由此可求得结果.
【详解】，
设，定义域为，
则，所以函数为奇函数，
所以，则，即.
故选：C.
13．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知函数，其中，为奇函数，若，则 ．
【答案】
【分析】根据奇偶性可得到结果.
【详解】因为为奇函数，则，所以
则，即，
，
14．（24-25高一上·福建三明·期中）已知函数且，则的值为 ．
【答案】
【分析】构造函数，根据的奇偶性计算出的值.
【详解】令，定义域为且关于原点对称，
因为，所以为奇函数，
所以，所以，
代入，可得，
15．（24-25高一上·贵州·期中）已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】4
【分析】构造函数，根据奇偶性定义可知为奇函数，从而代入运算即可.
【详解】是定义在上的奇函数，则有，
，
设，函数定义域为，
，为奇函数，
则有，即，所以.
16．（24-25高一上·重庆·期中）设函数（）的最大值为，最小值为，则=
【答案】4048
【分析】将函数（），化简为（），构造函数（），判断奇偶性，根据奇函数的性质，即可求得答案.
【详解】由题意得
，
令，（）
则，即为奇函数，
则，
又函数，（）的最大值为，最小值为，
得，则，
考点04 由奇偶性求参数（共9小题）（重点）
17.（24-25高一上·河南漯河·期末）已知是定义在上的偶函数，那么的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用偶函数的定义域关于原点对称可求得的值，由偶函数的定义可得，可求的值，进而可求得结论.
【详解】因为是定义在上的偶函数，
所以，解得，所以定义域为
又，所以，所以，
又，所以，所以.
故选：D.
18.（24-25高一下·安徽·开学考试）已知是奇函数，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．1或2
【答案】A
【分析】由奇函数的定义构造等式求解即可；
【详解】易知的定义域为，
由奇函数的定义可知，，
则，
整理得恒成立，
所以，解得.
故选：A
19．（24-25高一上·重庆·期中）设是偶函数，且定义域为，，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性可得，，，解出，进而得出答案．
【详解】由偶函数的定义域是关于原点对称的，所以，
显然，，所以．
故选：B．
20．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数，若为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】的对称中心为，根据为奇函数得到关于对称即可得解；
【详解】，
因为，
所以的对称中心为，
由题意得函数为奇函数关于对称，
则关于对称，
解得，
故选：A.
21．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 .
【答案】2
【分析】根据奇函数性质得到，代入化简得到答案.
【详解】若函数为奇函数，
则，
解得：.
22．（2024·上海宝山·一模）已知为实数，且函数是偶函数，则 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性与二次函数的对称性即可得的值，从而得所求.
【详解】因为函数是偶函数，
所以函数定义域关于原点对称，且函数图象关于你轴对称，
所以，且，
所以.
23．（24-25高一上·四川巴中·期中）函数为奇函数，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据奇函数定义，由恒成立求解即可.
【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
因为为奇函数，所以对任意，
都有.
则，
所以.
24．（24-25高一上·广东汕头·期中）设函数，且为奇函数，则 .
【答案】2
【分析】根据奇函数性质得到，代入化简得到答案.
【详解】若函数为奇函数，
则，
解得：.
故答案为：.
25．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知函数为奇函数，则等于 ．
【答案】
【分析】根据奇函数求出时的解析式，对照所给解析式得出a，b即可得解．
【详解】设，则，所以，
所以，
又当时，，所以，，故，
考点05 由奇偶性求解析式（共5小题）（重点）
26．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数是偶函数，当时，，则当时， ．
【答案】
【分析】根据偶函数的性质求解即可.
【详解】若，则，
当时，，所以，
又因函数是偶函数，所以
所以当时，，
故答案为：
27．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，由函数解析式和奇偶性可得，，从而由可得，综合可得的解析式．
【详解】函数为奇函数，则，
为偶函数，则，
因为①，则，
所以②，
则由①-②可得.
故答案为：．
28．（24-25高一上·广东江门·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，.
(1)作出的函数图象；
(2)求函数在R上的解析式；
(3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.
【答案】(1)作图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据解析式及奇函数的图象特征可作出函数图象；
（2）根据奇函数的性质求解即可；
（3）根据函数图象，得出函数的单调递减区间，进而求解即可.
【详解】（1）如下图所示：
.
（2）因为为R上的奇函数，所以.
当时，则，
又因为为奇函数， 所以，
所以当时，，
所以.
（3）由（1）知，的单调递减区间为，
因为在上单调递减， 所以.
所以，解得，故实数的取值范围是.
29．（24-25高一上·广东湛江·期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，.
(1)求出函数的解析式；
(2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间；
(3)根据图象写出使的x的取值集合.
【答案】(1)
(2)图象见解析；单调递增区间为，单调递减区间为，
(3)或.
【分析】（1）令，则求出，再根据即可求出；
（2）画出分段函数的图象，即可写出单调区间；
（3）结合图象写出的解集即可.
【详解】（1）当时，，则.
因为为奇函数，所以.
所以；
（2）
由图可知，单调递增区间为，单调递减区间为，.
（3）由图可知，使的的取值集合为或.
30．（24-25高一下·福建·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，.
(1)求函数在R上的解析式；
(2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数是偶函数结合分段函数解析式求解；
（2）根据函数单调性列不等式计算求参.
【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数，当时，.
故当时，，
故函数在R上的解析式为；
（2）作出函数的图象如图：
结合图象可得，若函数在区间上单调递增，
需满足，即.
考点06 由单调性和奇偶性解不等式(共6小题)（难点）
31．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用函数的性质求解不等式.
【详解】对于且， 不等式恒成立，
得在上单调递增，又是定义在上的奇函数，
且，则在上单调递增且，
解不等式，得或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
32．（24-25高一下·湖南·期中）已知函数，则使成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先判断函数为偶函数，再由换元法令结合对勾函数的单调性计算可得.
【详解】易知是偶函数，
当时，令，则可转化为，
因为函数在上单调递增，函数是上的增函数，
所以在上单调递增．
由，得，解得．
故选：D
33．（24-25高一下·上海·期中）已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由条件构造函数，依次判断函数的单调性和奇偶性，将待解不等式转化为，再利用，将其化成，即可利用单调性和奇偶性解决.
【详解】由可得，即，
设，则有，因，则在上单调递增，
又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数.
由可得，
而，即，
由函数的单调性和奇偶性，可得，解得.
故选：A.
34．（24-25高一下·云南昭通·期中）已知函数是定义在上的奇函数，对任意，且，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对任意，且，都有，可知在上单调递减，然后由函数的奇偶性求解不等式即可.
【详解】由，且，都有，
则在上单调递减．
又函数是定义在上的奇函数，
则在上单调递减，由，则，且，
故或时，或时，，
所以的解集为，
故选：D．
35．（2025·河南·三模）已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的性质得在上单调递减，再根据奇函数性质将化为，结合定义域利用单调性得，解不等式组即可解答.
【详解】因为是奇函数，则可化为．
又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减．
则，解得或，
即实数a的取值范围是．
故选：C
36．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知奇函数满足 ，且在上单调递减，则的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇函数性质得到，又，在上单调递减，推出，在上单调递减，故和时，满足要求，得到答案.
【详解】为奇函数，故，
，
又，在上单调递减，
故当时，，此时，不合要求，
当时，，此时，满足要求，
由对称性可知，在上单调递减，
故当时，，此时，满足要求，
当时，，此时，不合要求，
综上，的解集为.
故选：B.
考点07 由单调性和奇偶性比较大小（共2小题）
37．下列函数是上的偶函数，且在上单调递减，则下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数在上单调递减，将各函数值转化到定义在上的函数值，
由偶函数的定义可得，即可由单调性比较得出．
【详解】因为是上的偶函数，所以，而在上单调递减，所以
．
故选：A．
38.（24-25高一上·北京·期中）若偶函数在上是增函数，则以下结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用偶函数判断在上的单调性，进而直接利用单调性判断大小即可.
【详解】若偶函数在上是增函数,
则在上是减函数，
又，且
，即
故选：D
考点08 函数对称性的应用（共4小题）
39.（23-24高一上·山西吕梁·期末）已知函数的图象的对称轴为直线，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的图像的开口向上，对称轴为，可得，且函数在上递增，再根据函数的对称性以及单调性即可求解.
【详解】二次函数的图像的开口向上，对称轴为，
且函数在上递增，
根据二次函数的对称性可知，
又，所以，
故选：A
40.设函数定义在实数集上，，且当时，，则有（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由，得函数关于对称，
当时，，为减函数，则当时，函数为增函数，
∵，∴，
即，故选．
41．（24-25高一上·湖北武汉·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.若存在对称中心，则（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【分析】由奇函数的性质结合题意计算可得；
【详解】设，则为奇函数，
可得，由奇函数的定义域关于原点对称可得
即，,
由可得，
即，
所以，
故选：A.
42．（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数，函数是定义在上的奇函数，若与的图象的交点分别为，…，，则（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】根据给定的函数，求出函数与图象的对称中心，再利用对称性求出值.
【详解】函数定义域为，
而，则函数的图象关于点对称，
由函数是定义在上的奇函数，得，
即，则函数的图象关于点对称，
因此函数与的图象的交点关于点对称，
则，
所以.
故选：A
43．（24-25高一上·黑龙江·期末）已知函数为定义在上的奇函数，则 .
【答案】
【分析】根据对称性可得，即可求解.
【详解】由于为定义在上的奇函数，
故的对称中心为，则，.
故答案为：2025
44．（24-25高一上·江苏南京·期中）函数的图象可以由反比例函数图象经过平移而得到．函数对称中心是 ，进而求值 ．
【答案】
【分析】利用函数图象平移可得出函数的对称中心，结合对称性可得出，再利用倒序相加法可得出所求代数式的值.
【详解】因为函数，
所以，函数的图象可由反比例函数的图象先向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
因为函数为奇函数，其对称中心为原点，
故函数对称中心，故，
记，
则
，
故.
故答案为：；.
45．（24-25高一上·江苏无锡·期中）有同学发现：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.运用该结论解决以下问题：
(1)直接写出函数的对称中心；
(2)证明：函数的对称中心为；
(3)若函数的对称中心为，求实数、的值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)，或.
【分析】（1）函数的对称中心为，进而验证用函数为奇函数即可；
（2）记，进而证明为奇函数即可得证；
（3）令，进而由可求实数、的值.
【详解】（1）函数的对称中心为.
验证如下：
因为函数，
定义域，即定义域关于原点对称，且，
所以是奇函数，即函数的对称中心为.
（2）证明：记，
定义域为R，即定义域关于原点对称，
又，所以为奇函数，
所以的对称中心为.
（3），
令
，
因为是奇函数，
所以，
即，
整理得，进而得，
解得或.
考点09 函数对称性与周期性的综合(共4小题)（拓展）
46．（江西省创智协作体2025-2026学年高三上学期9月联合调研考试数学试卷）已知函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．3037 B．3034 C．3035 D．3036
【答案】C
【分析】根据题意，求得，令，求得，结合递推关系，即可求解.
【详解】因为，可得，
又因为为奇函数，令，可得，所以，
所以.
故选：C.
47．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的周期，进而求出a的值，再利用函数的周期求值，即得答案.
【详解】因为为奇函数，所以，则；
因为为偶函数，所以，即
即得，结合，可得，
即，即，则，
即函数的周期为4，
又时，，且，
即得，即，则，故，
即时，，
故，
故选：B
48．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数的定义域为，，函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．0 C．1014 D．2028
【答案】B
【分析】根据对称轴定义得出对称轴，再由直线对称得出，进而得出函数周期，最后根据周期性得出函数值即可.
【详解】因为，即，故的图象关于直线对称.
由的图象关于直线对称得，
即对任意x恒成立，则，
又，所以，即，
所以，所以是周期为6的周期函数.
所以，.
故选：B.
49．（25-26高三上·广东·开学考试）已知函数的定义域为，函数是偶函数，函数的图象关于直线对称，若当时，，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】利用为偶函数和的图象关于直线对称得依次得到和，进而求出函数是周期为6的周期函数，根据周期性即可分析求解.
【详解】因为为偶函数，所以，即，
故的图象关于直线对称，
由的图象关于直线对称得
，
即对任意恒成立，则，
所以图象关于点对称，
又，所以，即，
所以，所以是周期为6的周期函数，
又当时，的图象关于直线对称，
所以当时，，
所以，，
所以，
所以
．
故选：C
考点10 抽象函数的单调性与奇偶性（共5小题）（难点）
50.（24-25高一上·内蒙古赤峰·期末）已知函数对于任意实数，都有，且.
(1)求的值；
(2)令，求证:函数为奇函数；
(3)求的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）应用赋值法即可；
（2）应用奇函数的定义即可判断；
（3）结合（2）转化为求，即可求解.
【详解】（1）当时，，则；
（2）当时，，则；
设，则，则，
则，即，
即函数为奇函数.
（3）由（2）知，为奇函数，则
.
51.（24-25高一上·河南·月考）已知定义域为R的函数满足，，当时，．
(1)用定义法证明：在定义域内单调递增；
(2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)是奇函数，证明见解析
【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明；
（2）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明.
【详解】（1）设，则，
因为，所以，故，而，
故，所以是单调递增函数．
（2）是奇函数．
证明如下：由，
所以，
由，令，
则，再令，解得，
所以，
所以
，
故是奇函数．
52．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）定义域为的函数满足.
(1)求证：；
(2)求证：为偶函数；
(3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）取计算出，再取即可；
（2）取，再取计算出即可；
（3）利用定义法证明函数在上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在上的单调性.
【详解】（1）取代入，得，
取代入，
得，故.
（2）取代入，得，
取代入，所以，
所以，因为当时，，所以为偶函数.
（3）设，则，由题设.
所以在上单调递增.
因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减.
53．（24-25高一上·云南大理·期中）已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，.
(1)求；
(2)证明：为奇函数；
(3)解不等式.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）由题意赋值得，再赋值和即可求解.
（2）赋值结合奇函数定义即可证明.
（3）先由函数单调性的定义证明函数在R上单调递减，再结合即可将不等式等价转化为，解该不等式即可得解.
【详解】（1）令，则，，
令，，则，
，，.
（2）函数的定义域为，则定义域关于原点对称，
对任意，都有，
由（1）知，.
令，则，即，
是奇函数.
（3）任取，且，所以 ，则由题意得，
所以，
，
，在上为减函数.
因为，
，解得，
的解集为.
54．（24-25高一上·广东深圳·期中）设定义在上的函数满足：①对，都有；②当时，；③不存在，使得.
(1)求证：为奇函数；
(2)求证：在R上单调递增；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法先计算，再利用赋值法令，结合奇函数的定义计算即可；
（2）先令得出，结合为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明.
【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，
不妨令，得，
解得或，
又不存在，使得，故，
令，得，
故，即，
因此为奇函数；
（2）时，，
则，
当且仅当，等号成立，
又不存在，使得，则，
于是时，，
又为奇函数，则时，，
于是对，
任取，则，
而，
又，则，
于是，故，
因此在上单调递增；
考点11 与函数奇偶性有关的新定义题（共3小题）（难点）
55．（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）定义（其中表示不小于x的最小整数）为“向上取整函数”.例如.以下描述正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．是上的奇函数
D．若，则
【答案】BD
【分析】根据给定条件，利用“向上取整函数”的定义逐项判断即得.
【详解】由表示不小于的最小整数，得，且，即，
对于A，由，得，即，A错误；
对于B，由，得，则或，
当时，；当时，，因此，B正确；
对于C，函数的定义域为，而，即，
因此函数不是上的奇函数，C错误；
对于D，令，则，，即，
因此，即，D正确.
故选：BD
56．（多选）（23-24高一上·广东江门·期中）表示不超过x的最大整数，已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为R； B．的值域为；
C．是偶函数； D．的单调增区间为.
【答案】AD
【分析】对A，由解析式判断；对B，举反例说明；对 C，举反例说明；对D，因为，只需考虑的情况，判断单调性得解.
【详解】对于A，的定义域为R，故A正确；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，，，
所以不是偶函数，故C错误；
对于D，当时，，表示的小数部分，
作出函数图象如图所示：
所以的单调递增区间为，故D正确.
故选：AD.
57．（24-25高一上·辽宁·期末）若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数．
(1)若为区间上的方正函数，求实数的值；
(2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不存在；理由见解析.
【分析】（1）分析函数在上的单调性，求出函数值域，结合方正函数的定义，可求的值.
（2）分析函数的性质，结合单调性和奇偶性，还有方正函数的定义，分析的存在情况.
【详解】（1）因为，函数图象开口向上，且对称轴为，
所以函数在上单调递增，
由题意，为区间上的方正函数，
所以当时，；
当时，，解得或（舍去）.
因此，若为区间上的方正函数，则实数的值为.
（2）不存在，理由如下：
对函数，因为，
所以为奇函数，图象关于原点对称，
又当时，，所以函数在上单调递减，
由奇函数性质可知，函数在上单调递减.
如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数，
则，即，又，
显然，所以，，所以，
即，解得，这与矛盾.
故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数.

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