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第五章《一次函数》培优卷—浙教版数学八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图，把两根木条AB和AC的一端用螺栓固定在一起，木条AC自由转动至位置.在转动过程中，下面的量是常量的为（　　）
A．的度数 B．BC的长度 C．的面积 D．AC的长度
2．（2025八上·慈溪期末）甲、乙两人沿同一跑道从A处跑到B处．乙比甲先出发2分钟，甲的速度为每分钟150米．若两人之间的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）的关系如图所示，则A、B两地的路程为（　　）
A．1800米 B．2000米 C．2400米 D．2500米
3．（2023八上·盐湖月考）小磊在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是（　　）
x … 0 1 2 …
y … 9 5 1 …
A．1 B． C． D．
4．（2025八上·成都期末）关于函数，下列结论正确的（　　）
A．函数图象一定经过点
B．函数图象经过第一、二、三象限
C．的值随的值的增大而增大
D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为
5．（2024八上·宁波竞赛） 交管部门常用测速仪来检测车速。测速原理是测速仪前后两次发出并接收到被测车反射回的超声信号， 再根据两次信号的时间差， 测出车速， 如图甲所示。某次测速中， 测速仪发出与接收超声的情况如图乙所示， 表示超声与测速仪之间的距离。假设超声的速度为 ，且声速与车速均保持不变，汽车的速度约为（　　） （结果保留整数）。
乙
A．20 B．22 C．24 D．26
6．（2024八上·衢州期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024八上·龙岗期中）关于函数y＝－x－2的图象，有如下说法：①图象过点(0，－2)；②图象与x轴的交点是(－2，0)；③从图象知y随x增大而增大；④图象不经过第一象限；⑤图象是与y＝－x平行的直线．其中正确的说法有( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
8．（2025八上·西湖期末）在平面直角坐标系中，两个一次函数的表达式分别为和，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
9．（2025八上·嵊州期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，M，N分别是y轴和直线上的点，，C是点A关于直线的对称点，连接，若点C落在直线上，则点M的纵坐标是（　　）
A． B． C．或 D．或
10．（2025八上·余姚期末）学校组织甲，乙两队顶备共峝团员步行前往距离学校 6 km 的革命纪念馆进行实践参观活动，为了避免交道拥堵安排两个队伍在不同的时刻出发。已知乙队始终以 的速度匀速前进，甲队匀速的进 0.5 h 后逨度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达纪念馆。甲，乙两队前进的路程 （单位； ）与甲队出发时间 单位：h）的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．乙队比甲队晚出发
B．甲队减速后前进的路程 与甲队出发时间 的函数表达式为
C．甲队开始减速时，乙队前进的路程为 1 km
D．甲队某同学在某个时间掉队，原地等待 后被乙队追上，则他拈队时甲所前迸了
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024八上·深圳开学考）地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x之间有如下关系：
x/km 1 2 3 4
y/℃ 55 90 125 160
根据表格，估计地表以下岩层的温度为230℃时，岩层所处的深度为　 　km．
12．（2023八上·蜀山期中）若函数，则当函数值时，自变量的值是　 　．
13．（2024八上·门头沟期末）在平面直角坐标系中，，，点是轴上的一个动点，当最小时，点的坐标是　 　．
14．（2025八上·嘉兴期末）已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．设，当时，随着的增大而　 　．（填“增大”或“减小”）
15．（2025八上·海曙期末）某一次函数的图象经过点，且该函数随的增大而减小．请写出一个符合条件的一次函数的表达式　 　．
16．（2025八上·诸暨期末）在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是　 　．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024八上·慈溪期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
（1）求该函数的表达式；
（2）若点在该函数图象上，求点的坐标；
（3）当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数值，请直接写出的取值范围．
18．如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地.两车同时出发，匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程y1，y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.
（1）填空：A，B两地相距　 　千米；
（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；
（3）客、货两车何时相遇
19．（2025八上·鄞州期末）如图，在 Rt 和 Rt 中， ，点 在 上， 的延长线恰好经过点 ．
（1）若 ，判断 的形状并说明理由；
（2）已知 ，设 ．
①求 关于 的函数关系式；②若 ，求线段 的长．
20．（2025八上·海曙期末）如图，在中，是的中点，是边上一动点，连结，取的中点，连结.小梦根据学习函数的经验，对的面积与的长度之间的关系进行了探究：
（1）设的长度为，的面积，通过取边上的不同位置的点，经分析和计算，得到了与的几组值，如下表：
0 1 2 3 4 5 6
3 1 0 2 3
根据上表可知，______，______.
（2）在平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象.
（3）在（1）的条件下，令的面积为.
①用的代数式表示.
②结合函数图象.解决问题：当时，的取值范围为______.
21．（2024八上·宁波期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
22．（2025八上·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务
如何设计采购方案？
素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元．
素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元．
素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件．
问题解决
任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元．
任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件．最多能买几套书签？
任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用．
23．（2024八上·温州期末）综合与实践
项目任务：设计由 10 弹簧构成且成本不超过 40 元的弹簧拉力计．
来材 1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图 1， .5弹簧 拉力 与长度 之间有关系式 ；测得弹簧 拉力 与长度 的数据如下表：
图 1
图2
弹簧长度 10 15 20 25
拉力 5 10 15 20
素材 2：在弹性限度内，弹簧 伸长后最大长度均为 30 cm ．弹簧 每根 6 元，弹簧 每根 3 元．
（1）任务 1：在图 2 中描出以弹簧 测得数据的各对 与 的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上．
（2）任务 2：求 关于 的函数表达式，并求出弹簧 在弹性限度内的最大拉力。
（3）任务 3：如何购买 两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力．
24．（2024八上·浦江期末）本学期，我们已经学面直角坐标系的概念，其中轴与轴互相垂直．现定义：将任意坐标轴绕原点逆时针或顺时针旋转一定度数，得到新的两条直线（直线正方向与原坐标轴一致），由这两条直线组成的新的坐标系，称之为“动感坐标系．”而过某一点在新坐标轴上作铅垂线、水平线（如图），与新坐标轴相交，从这一点到水平线与某一条新坐标轴交点的距离是这一点在“动感坐标系”中的横坐标，从这一点到铅垂线与另一条新坐标轴的交点是这一点在“动感坐标系”中的纵坐标，两者重新组合，形成点在“动感坐标系”中的“动感坐标．”而一次函数的图象仍然保持原状．
【初步探究】
（1）已知在原平面直角坐标系中有一点，将轴绕原点顺时针旋转轴绕点顺时针旋转得到“动感坐标系”．则点的动感坐标为______．
（2）在原平面直角坐标系中，设有一点，将轴绕原点逆时针旋转得到轴，轴绕原点顺时针旋转得到轴．在轴上有一点，在轴上有一点与在同一条水平线上．当点到点之间的距离最小时，求点的动感坐标．
【类比猜想】
根据“初步探究”中的内容，请归纳一条关于“动感坐标系”的性质．
【深入探索】
在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点，与轴分别交于，且两条直线关于轴成轴对称．设三角平分线与对边的交点为．将轴绕点逆时针旋转，得到轴，轴绕原点逆时针旋转后刚好经过点．求点的动感坐标以及的值（点不与原点重合）．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解： 把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AC自由转动至AC'位置，在转动过程中，∠BAC的度数由大变小，BC的长度由大变小，线段AC与AB的长度不会发生变化，△ABC中AB边上的高线逐渐变小，所以△ABC的面积在逐渐变小，所以A、B、C三个选项都不符合题意，只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量，从而结合图形根据旋转的性质逐项分析得出答案.
2．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：由题意可得，乙的速度为（米/分钟），由图像可知，当甲出发的时间a分钟时，追上乙，
则，
解得，
∴当甲出发分钟时追上乙，
设甲出发分钟后，到达B处，
则，
解得，
∴，两地的路程为（米）．
故选：C．
【分析】要求A、B两地之间的距离，因为甲的速度已知，实质是求甲的运动时间。观察图象知，当甲准备出发时，甲乙两人相距200米，即乙2分钟跑了200米，则乙的速度为100米/分；因为a分钟后甲追上乙，由追及问题知：，解得；因为甲的速度快乙的速度慢，所以当甲到达终点时两人之间距离达到最大值600米，设甲出发m分钟后到达B地，则有，解得，所以。
3．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设一次函数的解析式是y=kx+b（k≠0），
将（-3，9）和（-2，5）代入y=kx+b（k≠0），得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式是y=-4x-3，
∴当y=1时，-4x-3=1，则x=-1，不符合题意；
当y=-4时，-4x-3=-4，则，符合题意；
当y=-7时，-4x-3=-7，则，不符合题意；
当y=-11时，-4x-3=-11，则x=2，不符合题意；
综上所述：错误的函数值是-4；
故答案为：B。
【分析】利用待定系数法求出一次函数的解析式是y=-4x-3，再对每个选项逐一判断求解即可。
4．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵当时，，
∴函数图象不经过点，故此选项结论错误，不符合题意；
B、∵，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，故此选项结论错误，不符合题意；
C、∵，
∴的值随的值的增大而减小，故此选项结论错误，不符合题意，
D、当，，
当，由得，
∴函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为，
∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为，故此选项结论正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】将代入函数解析式，算出对应的函数值，将该函数值与比较即可判断A选项；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此可判断B选项；在一次函数“y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）”中，当a＞0时，y随X的增大而增大，当a＜0时，y随x的增大而减小，据此可判断C选项；根据一次函数图象与纵坐标轴交点的坐标特点“与x轴交点纵坐标为零，与y轴交点横坐标为零”求出函数图象与两坐标轴的交点，进而根据三角形面积计算公式计算即可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图知，汽车收到第一次信号时，经过的时间为t 由 可得距测速仪 波
汽车收到第二次信号时，经过的时间为 由 可得距测速仪 波
汽车收到两次信号距离测速仪的距离差
汽车两次收到信号的时间差为： 汽车的速度
故答案为： D.
【分析】先确定汽车收到第一、二次信号时用的时间，利用s 求出到测速仪的距离，进而求出汽车收到两次信号距离测速仪的距离差，利用速度公式求汽车行驶的速度.
6．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作于点B，如图所示：
∵正方形的边长为1，
∴，
∵经过原点的直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边的面积都是4，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，
故答案为：A
【分析】本题考查三角形面积的计算，求一次函数解析.设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作于点B，先根据图形得出，根据经过原点的直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，可推出两边的面积都是4，再利用三角形面积公式得出，进而可求出，得出，把代入，可求出k的值，进而可选出答案．
7．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】①将(0， 2)代入解析式得，左边= 2，右边= 2，故图象过(0， 2)点，正确；
②当y=0时，y= x 2中，x= 2，故图象过( 2，0)，正确；
③因为k= 1<0，所以y随x增大而减小，错误；
④因为k= 1<0，b= 2<0，所以图象过二、三、四象限，正确；
⑤因为y= x 2与y= x的k值(斜率)相同，故两图象平行，正确．
故选C.
【分析】 通过分析y=-x-2的图像的性质来对①②③④⑤五个说法进行验证即可。
8．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】由题知，
函数y1=kx-k(k>0)的图象过定点(1，0)，
如图所示，
当x>-1时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故A选项不符合题意.
当x<2时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故B选项不符合题意.
当x<1时，y1<0，y2>0；
当10， y2>0；
当x>2时，y>0，y<0；
∴当x<1或x>2时，y1y2<0；
当10；
故C选项不符合题意，D选项符合题意，
故答案选：D.
【分析】根据所给函数解析式，得出函数y1=kx-k(k > 0)的图象过定点(1，0)，据此画出函数图象的大致示意图，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令，则，令，则，
∴，，，，
设，
∵点C落在直线上，则，
∵C是点A关于直线的对称点，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，则和都是等腰直角三角形，
∴，
作轴于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵点直线上，
∴，
解得，
∴点M的纵坐标是．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称得到，即可得到，和是等腰直角三角形，再根据得到，即可得到解题．
10．【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：如图，
A、乙队即为AC所在直线的函数表达式，假设该函数表达式为y乙=k乙x+b乙，∵ 乙队始终以 的速度匀速前进 ，∴k乙=5，将C点（1.5，6）代入，得到6=5×1.5+b，解得b=-1.5，∴乙队的函数表达式为y乙=5x-1.5，当y乙=0时，解得x=0.3，即A点坐标为（0.3，0），意思就是乙队比甲队晚出发 ，故选项A正确；
B、OB段即甲队开始时候的函数表达式，则速度=斜率=3÷0.5=6，而“ 甲队匀速的进 0.5 h 后逨度降低为原来的一半 ”，即BC段函数表达式的斜率就是6÷2=3。设BC段函数表达式为y减速甲=3x+b减速甲，将C点（1.5，6）代入，得到6=3×1.5+b减速甲，解得b减速甲=1.5，∴ 甲队减速后前进的路程 与甲队出发时间 的函数表达式为 ，故选项B正确；
C、甲队在0.5h的时候开始减速，此时乙队的前进路程为5×0.5-1.5=1km，故选项C正确；
D、当甲队前进0.25h的时候，此时前进的路程为6×0.25=1.5km，该同学在1.5km的地方等待乙队，此时乙队需要用时列式为1.5=5x-1.5，解得x=0.6h，因此甲队某同学在某个时间掉队，原地等待 0.6h 后被乙队追上，则他掉队时甲所前迸了0.25h。故选项D错误。
故答案为：D。
【分析】本题根据图象和条件，分别求出乙队的函数表达式和甲队两部分的函数表达式，然后根据四个选项分别代入进行详细的计算，即可找出正确的选项。
11．【答案】6
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表格中数据知：x值每增加1，对应的y值恒增加35，
∴ 地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）满足一次函数关系，设y=kx+b，
把（1，55）（2，90）代入
得，解得，
∴y=35x+20，
当y= 230 时，230=35x+20，解得x=6，
∴ 估计地表以下岩层的温度为230℃时，岩层所处的深度为6km.
故答案为：6.
【分析】先判断地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）满足一次函数关系，利用待定系数法求解析式，再求出y= 230 时x值即可.
12．【答案】4或
【知识点】函数自变量的取值范围；函数值
【解析】【解答】
解：∵函数
∴ 当y=8时，x2+2=8，x≤2，解得x=
当y=8时，2x=8，x＞2，解得x=4
∴自变量x的值是4或
故答案为：4或.
【分析】本题考查函数值与自变量。根据函数值，得出关于x的方程，根据x的取值范围，得出自变量x的值。
13．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：如图所示，过点A关于x轴的对称点D，连接交x轴于点C，
∴
∴当点B，C，D三点共线时，最小．
∵
∴
∴设所在直线的表达式为
∴，解得
∴
∴当时，
解得
∴点的坐标是．
故答案为：．
【分析】由题意可得当点B，C，D三点共线时，最小，根据关于x轴对称的点的坐标特征可得，设所在直线的表达式为，根据待定系数法将点D，B坐标代入表达式可得，再根据x轴上点的坐标特征，将y=0代入表达式即可求出答案.
14．【答案】增大
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入，得，，
把代入，得，，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴随着的增大而增大．
故答案为：增大.
【分析】先得到，再根据，可得，然后根据增减性解题即可．
15．【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：设一次函数的解析式为，∵函数的值随值的增大而减小，
∴，
∵函数图象经过点，
∴，
取，
此时一次函数的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据一次函数的增减性得到，设y=-x+b，把点代入解析式得到的值解题即可．
16．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如下图，作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，
则，，，
∴，
过点作的平行线，由图可知线段在直线上方，
故当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值，
设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，可得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，根据轴对称可得当点与点重合，点在同一直线上，取最小值，设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点，然后得到为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，即可求出的值解题即可．
17．【答案】（1）解：把代入得，解得
该一次函数的表达式为
（2）解：把代入得，解得
点坐标为
（3）
【知识点】比较一次函数值的大小；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：把代入得，解得
该一次函数的表达式为
（2）解：把代入得，解得
点坐标为
（3）因为当 x < 3 时，有不等式：
移项合并同类项得：
系数化为1得：
因为x < 3 ，所以，即：
【分析】（1）已知点的坐标求参数值，只需把点的坐标代入到函数表达式中，即可得到所求参数的一元一次方程；（2）求点的坐标，先把坐标值所含字母的代数式代入到函数表达式中，再求解关于该字母的一元一次方程即可；（3）先根据题意列出不等式，再用含有字母n的不等式表示出解集，最后根据不等式组解集的口诀可确定字母n的取值范围。
18．【答案】（1）420
（2）解：由图2可得：
2小时后货车由B地到达C地
∴货车速度为：60÷2=30（千米/小时）
∴货车到达A地的时间为出发后小时，即图2中点P的坐标为（14，360）
设两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为：
将点D（2，0），P（14，360）代入关系式可得：
，解得：
∴两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为：
（3）解：设y1与行驶时间x之间的函数关系式为：
将点（0，360），（6，0）代入关系式可得：
，解得：
∴y1与行驶时间x之间的函数关系式为：
当y1=y2时，
解得：
即客、货两车出发小时候相遇.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图2可得：
A，C两地相距360千米，B，C两地相距60千米
∴A，B两地相距360+60=420千米
故答案为：420
【分析】（1）根据图2信息可得A，C两地相距360千米，B，C两地相距60千米，则A，B两地相距360+60=420千米，即可求出答案.
（2）根据图2信息可得2小时后货车由B地到达C地，根据速度=路程÷时间，可得货车速度，求出货车到达A地时间，则点P的坐标为（14，360），设两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为：，根据待定系数法将点D，P坐标代入关系式即可求出答案.
（3）设y1与行驶时间x之间的函数关系式为：，根据待定系数法将点（0，360），（6，0）代入关系式可得y1与行驶时间x之间的函数关系式为：，当当y1=y2时，建立方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）解：△ADE是等边三角形；理由如下：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC =60°，
∴∠DAE=∠BAC =60°，
∵AE= DE，
∴△ADE是等边三角形
（2）解：①在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∠ACB=∠CDE=90°，
∴∠CAB+∠B =90°，∠EDA+∠CDA=90°，
∵AE= DE，
∴∠EDA=∠EAD，
∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EDA=∠EAD=∠BAC，
∴∠CDA=∠B，
∴△BCD是等腰三角形，
∵∠CDE=90°，AC=5，设DE=x，BC2=y，
∴y= BC2=CD2=CE2- DE2 =(x + 5)2-x2=10x+25；
②过点C作CH⊥BD于H，
∵BC=CD，
∴BH= DH，
∴AB-AD=BH+AH-(DH-AH)=2AH=6，
∴AH=3，
∵AC=5，
在直角三角形ACH中，由勾股定理得：
设BH =a，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BC2= BH2+ CH2= a2+ 42，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC2=AB2-AC2=(a+3)2- 52，
∴a2+42=(a+3)2-52，
解得a =，
∴BC2=10x+ 25 =+ 42，
解得x =，
∴AE=DE=
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)证明∠EAD=∠BAC=60°，结合AE=DE可得证；
(2)①先证明△BCD是等腰三角形，再结合勾股定理可得结论；
②过点C作CH⊥BD于H，求出CH，AH，设BH=a，在Rt△BCH和Rt△ABC中，根据勾股定理得出两种方式BC2，列方程解出a的值，进而求出x的值，即可得出结论.
得出结论
20．【答案】（1），.
（2）
（3）①由题意可得在，边上的高为2.
∴.
∵F是AE的中点
∴.
②如图
根据图象可知当时，的取值范围为
故答案为：.
【知识点】一次函数的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】（1）设中DE边上的高为h
当 时，可知
当 时，，∴
∴当 时，，
∴当 时，，
∴，
故答案为：2，1；
【分析】（1）先根据表中的数据得出的高，然后求出a、b的值即可；
（2）在平面直角坐标系中描点，用平滑的曲线作图即可；
（3）①利用面积公式、中线的性质列函数关系式即可；
②在同一平面直角坐标系中作两个图象，借助图象解答即可.
21．【答案】（1）解：当x=0时，y=4，∴C（0，4）；
当y=0时，-2x+4=0，解得，
∴A（2，0）；
∴A（2，0）；C（0，4）．
（2）解：由折叠知：．
设则，
根据题意得：解得：
此时，，D（2，）
设直线CD为，把代入得 解得：
∴设直线CD解析式为；
（3）解：①当点P与点O重合时，，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，
由得，
则点P在直线CD上．过P作于点Q，
在Rt△ADP中，
由得：
∴
∴，把代入得
此时P（，）
③当点P在第二象限时，如图，
由（2）同理可求得：
∴在Rt△PQC中，根据勾股定理
∴
此时
综合得，满足条件的点P有三个，分别为：（0，0）；（）；（－）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据x、y轴上点的特点求得A和C的坐标；
（2）由折叠可得，再根据勾股定理可求出AD长，然后得到D点坐标，最后利用待定系数法求出CD的解析式；
（3）分为 点P与点O重合 ，点P在第一象限，点P在第二象限三种情况，根据全等三角形的判定和勾股定理得到点P的坐标即可．
22．【答案】解：任务1.设1套书签为x元，1个冰箱贴为y元，根据题意，得，
解得，
所以1套书签为46元，1个冰箱贴为28元；
任务2.设老师打算购买书签为a件，则冰箱贴为件，根据题意，得
，
解得，
所以老师打算最多购买16套书签；
任务3.设总费用为W，根据题意，得
，
即，且，
∵，
∴一次函数值w随着a的增大而增大，
∴当时，元．
即购买13件书签，12件冰箱贴所需费用最省，最省费用为934元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设1套书签为x元，1个冰箱贴为y元 ，由“ 1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元”列出方程x=y+18，由“ 购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元 ”列出方程x+4y=158，联立两方程，求解即可；
（2）设老师打算购买书签为a套，则冰箱贴为（25-a）件，根据单价乘以数量等于总价及购买a套书签的费用+购买(25-a)个冰箱贴的费用不超过1000列出不等式，求出最大整数解即可；
（3）设总费用为W，根据单价乘以数量等于总价及购买a套书签的费用+购买(25-a)个冰箱贴的费用=总费用用含a的式子表示出w，结合“ 购买的书签比冰箱贴多 ”求出a的取值范围，再根据一次函数的性质得出答案．
23．【答案】（1）解：描点如图，
由图可知，这些点在同一条直线上
（2）解：设y2=kx + b，
则：，
解得： ，
则y2=x-5，
当x =30时，y2=25，
则弹簧B在弹性限度内的最大拉力为25N
（3）解：设购买A种弹簧a根，弹簧拉力计的最大拉力为y，
当x=30时，A的最大拉力为35N，B的最大拉力为25N，
则： y= 35a+25(10 -a) = 10a +250，
∵ 6a + 3 (10 -a)≤40，
解得： a≤
又∵a≥0，
∴0≤a≤，
∴当a = 3时，y的最大值为280，
即：购买3根A弹簧，7根B弹簧，弹簧拉力计的最大拉力为280N
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据秒点法作图；
（2）根据待定系数法求解；
（3）先列出最大拉力的函数，再根据函数的性质求解.
24．【答案】[初步探究]（1）解：如图，根据题意，过点作作铅垂线、水平线，交轴于点，交旋转后的轴于点，
，
可得，
根据勾股定理可得，
，
轴绕原点顺时针旋转，
点在旋转后的轴上，
，
，
将轴绕原点顺时针旋转轴绕点顺时针旋转，
仍为，
设，则，
根据勾股定理可得，
可得方程，
解得，舍去负值，
，，
点的动感坐标为，
故答案为：；
（2）解：将轴绕原点逆时针旋转得到轴，轴绕原点顺时针旋转得到轴，
轴与轴的夹角为，轴与轴的夹角为，
轴与轴的夹角为，
当轴时，点到点之间的距离最小
如图，轴，过点作水平线，铅垂线，交轴于点，交轴于点，
可得，，
点与在同一条水平线，
，
，
，
，
，
，，，
，
又，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
点的动感坐标为；
[类比猜想]
根据原坐标系中的点的坐标，通过勾股定理或点到直线的距离，可以求得 “动感坐标．”
[深入探索]
解：如图所示，当在上时，
∵直线与直线两条直线关于轴成轴对称，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴
∴是等边三角形，则，
设三角平分线与对边的交点为．
则
又
∴是等边三角形，则
∴
过点作轴的平行线交轴于点，
∵将轴绕点逆时针旋转，得到轴
∴，
又
∴，
又∵，
∵，则
在中，，
∴的动感坐标为
当点在上时，如图所示，
则，
∴，
∴，
同理可得
∴的动感坐标为
综上所述，时，的动感坐标为；时，的动感坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】[初步探究]（1）画出图形，根据角的直角三角形的性质解题即可；
（2）由旋转可得当轴时，点与点的距离最小，作图并求得点的动感坐标即可；
[类比猜想]得出相关结论解题；
[深入探索]画出图形，分类讨论，分两种情况讨论，利用等边三角形的性质，结合新定义解题即可．
1 / 1第五章《一次函数》培优卷—浙教版数学八年级上册单元分层测
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．如图，把两根木条AB和AC的一端用螺栓固定在一起，木条AC自由转动至位置.在转动过程中，下面的量是常量的为（　　）
A．的度数 B．BC的长度 C．的面积 D．AC的长度
【答案】D
【知识点】常量、变量
【解析】【解答】解： 把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AC自由转动至AC'位置，在转动过程中，∠BAC的度数由大变小，BC的长度由大变小，线段AC与AB的长度不会发生变化，△ABC中AB边上的高线逐渐变小，所以△ABC的面积在逐渐变小，所以A、B、C三个选项都不符合题意，只有D选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量，从而结合图形根据旋转的性质逐项分析得出答案.
2．（2025八上·慈溪期末）甲、乙两人沿同一跑道从A处跑到B处．乙比甲先出发2分钟，甲的速度为每分钟150米．若两人之间的路程y（米）与甲出发的时间x（分钟）的关系如图所示，则A、B两地的路程为（　　）
A．1800米 B．2000米 C．2400米 D．2500米
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】
解：由题意可得，乙的速度为（米/分钟），由图像可知，当甲出发的时间a分钟时，追上乙，
则，
解得，
∴当甲出发分钟时追上乙，
设甲出发分钟后，到达B处，
则，
解得，
∴，两地的路程为（米）．
故选：C．
【分析】要求A、B两地之间的距离，因为甲的速度已知，实质是求甲的运动时间。观察图象知，当甲准备出发时，甲乙两人相距200米，即乙2分钟跑了200米，则乙的速度为100米/分；因为a分钟后甲追上乙，由追及问题知：，解得；因为甲的速度快乙的速度慢，所以当甲到达终点时两人之间距离达到最大值600米，设甲出发m分钟后到达B地，则有，解得，所以。
3．（2023八上·盐湖月考）小磊在画一次函数的图象时列出了如下表格，小颖看到后说有一个函数值求错了．这个错误的函数值是（　　）
x … 0 1 2 …
y … 9 5 1 …
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设一次函数的解析式是y=kx+b（k≠0），
将（-3，9）和（-2，5）代入y=kx+b（k≠0），得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式是y=-4x-3，
∴当y=1时，-4x-3=1，则x=-1，不符合题意；
当y=-4时，-4x-3=-4，则，符合题意；
当y=-7时，-4x-3=-7，则，不符合题意；
当y=-11时，-4x-3=-11，则x=2，不符合题意；
综上所述：错误的函数值是-4；
故答案为：B。
【分析】利用待定系数法求出一次函数的解析式是y=-4x-3，再对每个选项逐一判断求解即可。
4．（2025八上·成都期末）关于函数，下列结论正确的（　　）
A．函数图象一定经过点
B．函数图象经过第一、二、三象限
C．的值随的值的增大而增大
D．函数图象与坐标轴围成的三角形面积为
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵当时，，
∴函数图象不经过点，故此选项结论错误，不符合题意；
B、∵，，
∴函数图象经过第一、二、四象限，故此选项结论错误，不符合题意；
C、∵，
∴的值随的值的增大而减小，故此选项结论错误，不符合题意，
D、当，，
当，由得，
∴函数图象与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为，
∴函数图象与坐标轴围成的三角形面积为，故此选项结论正确，符合题意.
故答案为：D．
【分析】将代入函数解析式，算出对应的函数值，将该函数值与比较即可判断A选项；y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限，据此可判断B选项；在一次函数“y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）”中，当a＞0时，y随X的增大而增大，当a＜0时，y随x的增大而减小，据此可判断C选项；根据一次函数图象与纵坐标轴交点的坐标特点“与x轴交点纵坐标为零，与y轴交点横坐标为零”求出函数图象与两坐标轴的交点，进而根据三角形面积计算公式计算即可判断D选项.
5．（2024八上·宁波竞赛） 交管部门常用测速仪来检测车速。测速原理是测速仪前后两次发出并接收到被测车反射回的超声信号， 再根据两次信号的时间差， 测出车速， 如图甲所示。某次测速中， 测速仪发出与接收超声的情况如图乙所示， 表示超声与测速仪之间的距离。假设超声的速度为 ，且声速与车速均保持不变，汽车的速度约为（　　） （结果保留整数）。
乙
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图知，汽车收到第一次信号时，经过的时间为t 由 可得距测速仪 波
汽车收到第二次信号时，经过的时间为 由 可得距测速仪 波
汽车收到两次信号距离测速仪的距离差
汽车两次收到信号的时间差为： 汽车的速度
故答案为： D.
【分析】先确定汽车收到第一、二次信号时用的时间，利用s 求出到测速仪的距离，进而求出汽车收到两次信号距离测速仪的距离差，利用速度公式求汽车行驶的速度.
6．（2024八上·衢州期末）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【解答】解：设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作于点B，如图所示：
∵正方形的边长为1，
∴，
∵经过原点的直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，
∴两边的面积都是4，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，
故答案为：A
【分析】本题考查三角形面积的计算，求一次函数解析.设直线l和八个正方形最上面交点为A，过A作于点B，先根据图形得出，根据经过原点的直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，可推出两边的面积都是4，再利用三角形面积公式得出，进而可求出，得出，把代入，可求出k的值，进而可选出答案．
7．（2024八上·龙岗期中）关于函数y＝－x－2的图象，有如下说法：①图象过点(0，－2)；②图象与x轴的交点是(－2，0)；③从图象知y随x增大而增大；④图象不经过第一象限；⑤图象是与y＝－x平行的直线．其中正确的说法有( )
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质
【解析】【解答】①将(0， 2)代入解析式得，左边= 2，右边= 2，故图象过(0， 2)点，正确；
②当y=0时，y= x 2中，x= 2，故图象过( 2，0)，正确；
③因为k= 1<0，所以y随x增大而减小，错误；
④因为k= 1<0，b= 2<0，所以图象过二、三、四象限，正确；
⑤因为y= x 2与y= x的k值(斜率)相同，故两图象平行，正确．
故选C.
【分析】 通过分析y=-x-2的图像的性质来对①②③④⑤五个说法进行验证即可。
8．（2025八上·西湖期末）在平面直角坐标系中，两个一次函数的表达式分别为和，则下列说法正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质
【解析】【解答】由题知，
函数y1=kx-k(k>0)的图象过定点(1，0)，
如图所示，
当x>-1时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故A选项不符合题意.
当x<2时，y1y2可能大于零，等于零，小于零；故B选项不符合题意.
当x<1时，y1<0，y2>0；
当10， y2>0；
当x>2时，y>0，y<0；
∴当x<1或x>2时，y1y2<0；
当10；
故C选项不符合题意，D选项符合题意，
故答案选：D.
【分析】根据所给函数解析式，得出函数y1=kx-k(k > 0)的图象过定点(1，0)，据此画出函数图象的大致示意图，再利用分类讨论的数学思想即可解决问题.
9．（2025八上·嵊州期末）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，M，N分别是y轴和直线上的点，，C是点A关于直线的对称点，连接，若点C落在直线上，则点M的纵坐标是（　　）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：令，则，令，则，
∴，，，，
设，
∵点C落在直线上，则，
∵C是点A关于直线的对称点，
∴，，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，则和都是等腰直角三角形，
∴，
作轴于点，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵点直线上，
∴，
解得，
∴点M的纵坐标是．
故答案为：B．
【分析】利用轴对称得到，即可得到，和是等腰直角三角形，再根据得到，即可得到解题．
10．（2025八上·余姚期末）学校组织甲，乙两队顶备共峝团员步行前往距离学校 6 km 的革命纪念馆进行实践参观活动，为了避免交道拥堵安排两个队伍在不同的时刻出发。已知乙队始终以 的速度匀速前进，甲队匀速的进 0.5 h 后逨度降低为原来的一半，最后两队恰好同时到达纪念馆。甲，乙两队前进的路程 （单位； ）与甲队出发时间 单位：h）的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．乙队比甲队晚出发
B．甲队减速后前进的路程 与甲队出发时间 的函数表达式为
C．甲队开始减速时，乙队前进的路程为 1 km
D．甲队某同学在某个时间掉队，原地等待 后被乙队追上，则他拈队时甲所前迸了
【答案】D
【知识点】一次函数的实际应用；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：如图，
A、乙队即为AC所在直线的函数表达式，假设该函数表达式为y乙=k乙x+b乙，∵ 乙队始终以 的速度匀速前进 ，∴k乙=5，将C点（1.5，6）代入，得到6=5×1.5+b，解得b=-1.5，∴乙队的函数表达式为y乙=5x-1.5，当y乙=0时，解得x=0.3，即A点坐标为（0.3，0），意思就是乙队比甲队晚出发 ，故选项A正确；
B、OB段即甲队开始时候的函数表达式，则速度=斜率=3÷0.5=6，而“ 甲队匀速的进 0.5 h 后逨度降低为原来的一半 ”，即BC段函数表达式的斜率就是6÷2=3。设BC段函数表达式为y减速甲=3x+b减速甲，将C点（1.5，6）代入，得到6=3×1.5+b减速甲，解得b减速甲=1.5，∴ 甲队减速后前进的路程 与甲队出发时间 的函数表达式为 ，故选项B正确；
C、甲队在0.5h的时候开始减速，此时乙队的前进路程为5×0.5-1.5=1km，故选项C正确；
D、当甲队前进0.25h的时候，此时前进的路程为6×0.25=1.5km，该同学在1.5km的地方等待乙队，此时乙队需要用时列式为1.5=5x-1.5，解得x=0.6h，因此甲队某同学在某个时间掉队，原地等待 0.6h 后被乙队追上，则他掉队时甲所前迸了0.25h。故选项D错误。
故答案为：D。
【分析】本题根据图象和条件，分别求出乙队的函数表达式和甲队两部分的函数表达式，然后根据四个选项分别代入进行详细的计算，即可找出正确的选项。
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（2024八上·深圳开学考）地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在某个地点y与x之间有如下关系：
x/km 1 2 3 4
y/℃ 55 90 125 160
根据表格，估计地表以下岩层的温度为230℃时，岩层所处的深度为　 　km．
【答案】6
【知识点】用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由表格中数据知：x值每增加1，对应的y值恒增加35，
∴ 地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）满足一次函数关系，设y=kx+b，
把（1，55）（2，90）代入
得，解得，
∴y=35x+20，
当y= 230 时，230=35x+20，解得x=6，
∴ 估计地表以下岩层的温度为230℃时，岩层所处的深度为6km.
故答案为：6.
【分析】先判断地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）满足一次函数关系，利用待定系数法求解析式，再求出y= 230 时x值即可.
12．（2023八上·蜀山期中）若函数，则当函数值时，自变量的值是　 　．
【答案】4或
【知识点】函数自变量的取值范围；函数值
【解析】【解答】
解：∵函数
∴ 当y=8时，x2+2=8，x≤2，解得x=
当y=8时，2x=8，x＞2，解得x=4
∴自变量x的值是4或
故答案为：4或.
【分析】本题考查函数值与自变量。根据函数值，得出关于x的方程，根据x的取值范围，得出自变量x的值。
13．（2024八上·门头沟期末）在平面直角坐标系中，，，点是轴上的一个动点，当最小时，点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：如图所示，过点A关于x轴的对称点D，连接交x轴于点C，
∴
∴当点B，C，D三点共线时，最小．
∵
∴
∴设所在直线的表达式为
∴，解得
∴
∴当时，
解得
∴点的坐标是．
故答案为：．
【分析】由题意可得当点B，C，D三点共线时，最小，根据关于x轴对称的点的坐标特征可得，设所在直线的表达式为，根据待定系数法将点D，B坐标代入表达式可得，再根据x轴上点的坐标特征，将y=0代入表达式即可求出答案.
14．（2025八上·嘉兴期末）已知直线与轴交于点，直线与轴交于点．设，当时，随着的增大而　 　．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把代入，得，，
把代入，得，，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴随着的增大而增大．
故答案为：增大.
【分析】先得到，再根据，可得，然后根据增减性解题即可．
15．（2025八上·海曙期末）某一次函数的图象经过点，且该函数随的增大而减小．请写出一个符合条件的一次函数的表达式　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】解：设一次函数的解析式为，∵函数的值随值的增大而减小，
∴，
∵函数图象经过点，
∴，
取，
此时一次函数的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据一次函数的增减性得到，设y=-x+b，把点代入解析式得到的值解题即可．
16．（2025八上·诸暨期末）在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如下图，作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，
则，，，
∴，
过点作的平行线，由图可知线段在直线上方，
故当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值，
设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为，
令，可得，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵轴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，根据轴对称可得当点与点重合，点在同一直线上，取最小值，设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，利用待定系数法求出直线的解析式，即可得到点，然后得到为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，即可求出的值解题即可．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（2024八上·慈溪期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点．
（1）求该函数的表达式；
（2）若点在该函数图象上，求点的坐标；
（3）当时，对于的每一个值，一次函数的值都大于一次函数值，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：把代入得，解得
该一次函数的表达式为
（2）解：把代入得，解得
点坐标为
（3）
【知识点】比较一次函数值的大小；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】（1）解：把代入得，解得
该一次函数的表达式为
（2）解：把代入得，解得
点坐标为
（3）因为当 x < 3 时，有不等式：
移项合并同类项得：
系数化为1得：
因为x < 3 ，所以，即：
【分析】（1）已知点的坐标求参数值，只需把点的坐标代入到函数表达式中，即可得到所求参数的一元一次方程；（2）求点的坐标，先把坐标值所含字母的代数式代入到函数表达式中，再求解关于该字母的一元一次方程即可；（3）先根据题意列出不等式，再用含有字母n的不等式表示出解集，最后根据不等式组解集的口诀可确定字母n的取值范围。
18．如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地.两车同时出发，匀速行驶.图2是客车、货车离C站的路程y1，y2(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系图象.
（1）填空：A，B两地相距　 　千米；
（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；
（3）客、货两车何时相遇
【答案】（1）420
（2）解：由图2可得：
2小时后货车由B地到达C地
∴货车速度为：60÷2=30（千米/小时）
∴货车到达A地的时间为出发后小时，即图2中点P的坐标为（14，360）
设两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为：
将点D（2，0），P（14，360）代入关系式可得：
，解得：
∴两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为：
（3）解：设y1与行驶时间x之间的函数关系式为：
将点（0，360），（6，0）代入关系式可得：
，解得：
∴y1与行驶时间x之间的函数关系式为：
当y1=y2时，
解得：
即客、货两车出发小时候相遇.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图2可得：
A，C两地相距360千米，B，C两地相距60千米
∴A，B两地相距360+60=420千米
故答案为：420
【分析】（1）根据图2信息可得A，C两地相距360千米，B，C两地相距60千米，则A，B两地相距360+60=420千米，即可求出答案.
（2）根据图2信息可得2小时后货车由B地到达C地，根据速度=路程÷时间，可得货车速度，求出货车到达A地时间，则点P的坐标为（14，360），设两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式为：，根据待定系数法将点D，P坐标代入关系式即可求出答案.
（3）设y1与行驶时间x之间的函数关系式为：，根据待定系数法将点（0，360），（6，0）代入关系式可得y1与行驶时间x之间的函数关系式为：，当当y1=y2时，建立方程，解方程即可求出答案.
19．（2025八上·鄞州期末）如图，在 Rt 和 Rt 中， ，点 在 上， 的延长线恰好经过点 ．
（1）若 ，判断 的形状并说明理由；
（2）已知 ，设 ．
①求 关于 的函数关系式；②若 ，求线段 的长．
【答案】（1）解：△ADE是等边三角形；理由如下：
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC =60°，
∴∠DAE=∠BAC =60°，
∵AE= DE，
∴△ADE是等边三角形
（2）解：①在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∠ACB=∠CDE=90°，
∴∠CAB+∠B =90°，∠EDA+∠CDA=90°，
∵AE= DE，
∴∠EDA=∠EAD，
∵∠EAD=∠BAC，
∴∠EDA=∠EAD=∠BAC，
∴∠CDA=∠B，
∴△BCD是等腰三角形，
∵∠CDE=90°，AC=5，设DE=x，BC2=y，
∴y= BC2=CD2=CE2- DE2 =(x + 5)2-x2=10x+25；
②过点C作CH⊥BD于H，
∵BC=CD，
∴BH= DH，
∴AB-AD=BH+AH-(DH-AH)=2AH=6，
∴AH=3，
∵AC=5，
在直角三角形ACH中，由勾股定理得：
设BH =a，
在Rt△BCH中，由勾股定理得：
BC2= BH2+ CH2= a2+ 42，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
BC2=AB2-AC2=(a+3)2- 52，
∴a2+42=(a+3)2-52，
解得a =，
∴BC2=10x+ 25 =+ 42，
解得x =，
∴AE=DE=
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【解析】【分析】(1)证明∠EAD=∠BAC=60°，结合AE=DE可得证；
(2)①先证明△BCD是等腰三角形，再结合勾股定理可得结论；
②过点C作CH⊥BD于H，求出CH，AH，设BH=a，在Rt△BCH和Rt△ABC中，根据勾股定理得出两种方式BC2，列方程解出a的值，进而求出x的值，即可得出结论.
得出结论
20．（2025八上·海曙期末）如图，在中，是的中点，是边上一动点，连结，取的中点，连结.小梦根据学习函数的经验，对的面积与的长度之间的关系进行了探究：
（1）设的长度为，的面积，通过取边上的不同位置的点，经分析和计算，得到了与的几组值，如下表：
0 1 2 3 4 5 6
3 1 0 2 3
根据上表可知，______，______.
（2）在平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象.
（3）在（1）的条件下，令的面积为.
①用的代数式表示.
②结合函数图象.解决问题：当时，的取值范围为______.
【答案】（1），.
（2）
（3）①由题意可得在，边上的高为2.
∴.
∵F是AE的中点
∴.
②如图
根据图象可知当时，的取值范围为
故答案为：.
【知识点】一次函数的性质；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】（1）设中DE边上的高为h
当 时，可知
当 时，，∴
∴当 时，，
∴当 时，，
∴，
故答案为：2，1；
【分析】（1）先根据表中的数据得出的高，然后求出a、b的值即可；
（2）在平面直角坐标系中描点，用平滑的曲线作图即可；
（3）①利用面积公式、中线的性质列函数关系式即可；
②在同一平面直角坐标系中作两个图象，借助图象解答即可.
21．（2024八上·宁波期末）如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC．
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AB于点D，求直线CD的解析式（图②）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得△APC与△ABC全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当x=0时，y=4，∴C（0，4）；
当y=0时，-2x+4=0，解得，
∴A（2，0）；
∴A（2，0）；C（0，4）．
（2）解：由折叠知：．
设则，
根据题意得：解得：
此时，，D（2，）
设直线CD为，把代入得 解得：
∴设直线CD解析式为；
（3）解：①当点P与点O重合时，，此时P（0，0）
②当点P在第一象限时，如图，
由得，
则点P在直线CD上．过P作于点Q，
在Rt△ADP中，
由得：
∴
∴，把代入得
此时P（，）
③当点P在第二象限时，如图，
由（2）同理可求得：
∴在Rt△PQC中，根据勾股定理
∴
此时
综合得，满足条件的点P有三个，分别为：（0，0）；（）；（－）.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据x、y轴上点的特点求得A和C的坐标；
（2）由折叠可得，再根据勾股定理可求出AD长，然后得到D点坐标，最后利用待定系数法求出CD的解析式；
（3）分为 点P与点O重合 ，点P在第一象限，点P在第二象限三种情况，根据全等三角形的判定和勾股定理得到点P的坐标即可．
22．（2025八上·余姚期末）根据以下素材，探索完成任务
如何设计采购方案？
素材1 王阳明故居纪念馆为了能更好地宣传阳明文化以及王阳明的书法，文创商店近期推出了许多新的文创产品，有阳明书法手袋、阳明书签、阳明书法冰箱贴等．已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元．
素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元．
素材3 临近期末考试，某数学老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件．
问题解决
任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元．
任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件．最多能买几套书签？
任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多．则分别购买多少书签和冰箱贴时，所需费用最省？并求出最省费用．
【答案】解：任务1.设1套书签为x元，1个冰箱贴为y元，根据题意，得，
解得，
所以1套书签为46元，1个冰箱贴为28元；
任务2.设老师打算购买书签为a件，则冰箱贴为件，根据题意，得
，
解得，
所以老师打算最多购买16套书签；
任务3.设总费用为W，根据题意，得
，
即，且，
∵，
∴一次函数值w随着a的增大而增大，
∴当时，元．
即购买13件书签，12件冰箱贴所需费用最省，最省费用为934元．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1） 设1套书签为x元，1个冰箱贴为y元 ，由“ 1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元”列出方程x=y+18，由“ 购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元 ”列出方程x+4y=158，联立两方程，求解即可；
（2）设老师打算购买书签为a套，则冰箱贴为（25-a）件，根据单价乘以数量等于总价及购买a套书签的费用+购买(25-a)个冰箱贴的费用不超过1000列出不等式，求出最大整数解即可；
（3）设总费用为W，根据单价乘以数量等于总价及购买a套书签的费用+购买(25-a)个冰箱贴的费用=总费用用含a的式子表示出w，结合“ 购买的书签比冰箱贴多 ”求出a的取值范围，再根据一次函数的性质得出答案．
23．（2024八上·温州期末）综合与实践
项目任务：设计由 10 弹簧构成且成本不超过 40 元的弹簧拉力计．
来材 1：弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图 1， .5弹簧 拉力 与长度 之间有关系式 ；测得弹簧 拉力 与长度 的数据如下表：
图 1
图2
弹簧长度 10 15 20 25
拉力 5 10 15 20
素材 2：在弹性限度内，弹簧 伸长后最大长度均为 30 cm ．弹簧 每根 6 元，弹簧 每根 3 元．
（1）任务 1：在图 2 中描出以弹簧 测得数据的各对 与 的对应值为坐标的各点，并判断这些点是否在同一直线上．
（2）任务 2：求 关于 的函数表达式，并求出弹簧 在弹性限度内的最大拉力。
（3）任务 3：如何购买 两种弹簧，使并联后的弹簧拉力计拉力最大（在弹性限度内）？并求出弹簧拉力计的最大拉力．
【答案】（1）解：描点如图，
由图可知，这些点在同一条直线上
（2）解：设y2=kx + b，
则：，
解得： ，
则y2=x-5，
当x =30时，y2=25，
则弹簧B在弹性限度内的最大拉力为25N
（3）解：设购买A种弹簧a根，弹簧拉力计的最大拉力为y，
当x=30时，A的最大拉力为35N，B的最大拉力为25N，
则： y= 35a+25(10 -a) = 10a +250，
∵ 6a + 3 (10 -a)≤40，
解得： a≤
又∵a≥0，
∴0≤a≤，
∴当a = 3时，y的最大值为280，
即：购买3根A弹簧，7根B弹簧，弹簧拉力计的最大拉力为280N
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据秒点法作图；
（2）根据待定系数法求解；
（3）先列出最大拉力的函数，再根据函数的性质求解.
24．（2024八上·浦江期末）本学期，我们已经学面直角坐标系的概念，其中轴与轴互相垂直．现定义：将任意坐标轴绕原点逆时针或顺时针旋转一定度数，得到新的两条直线（直线正方向与原坐标轴一致），由这两条直线组成的新的坐标系，称之为“动感坐标系．”而过某一点在新坐标轴上作铅垂线、水平线（如图），与新坐标轴相交，从这一点到水平线与某一条新坐标轴交点的距离是这一点在“动感坐标系”中的横坐标，从这一点到铅垂线与另一条新坐标轴的交点是这一点在“动感坐标系”中的纵坐标，两者重新组合，形成点在“动感坐标系”中的“动感坐标．”而一次函数的图象仍然保持原状．
【初步探究】
（1）已知在原平面直角坐标系中有一点，将轴绕原点顺时针旋转轴绕点顺时针旋转得到“动感坐标系”．则点的动感坐标为______．
（2）在原平面直角坐标系中，设有一点，将轴绕原点逆时针旋转得到轴，轴绕原点顺时针旋转得到轴．在轴上有一点，在轴上有一点与在同一条水平线上．当点到点之间的距离最小时，求点的动感坐标．
【类比猜想】
根据“初步探究”中的内容，请归纳一条关于“动感坐标系”的性质．
【深入探索】
在平面直角坐标系中，已知直线与直线相交于点，与轴分别交于，且两条直线关于轴成轴对称．设三角平分线与对边的交点为．将轴绕点逆时针旋转，得到轴，轴绕原点逆时针旋转后刚好经过点．求点的动感坐标以及的值（点不与原点重合）．
【答案】[初步探究]（1）解：如图，根据题意，过点作作铅垂线、水平线，交轴于点，交旋转后的轴于点，
，
可得，
根据勾股定理可得，
，
轴绕原点顺时针旋转，
点在旋转后的轴上，
，
，
将轴绕原点顺时针旋转轴绕点顺时针旋转，
仍为，
设，则，
根据勾股定理可得，
可得方程，
解得，舍去负值，
，，
点的动感坐标为，
故答案为：；
（2）解：将轴绕原点逆时针旋转得到轴，轴绕原点顺时针旋转得到轴，
轴与轴的夹角为，轴与轴的夹角为，
轴与轴的夹角为，
当轴时，点到点之间的距离最小
如图，轴，过点作水平线，铅垂线，交轴于点，交轴于点，
可得，，
点与在同一条水平线，
，
，
，
，
，
，，，
，
又，
平分，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
点的动感坐标为；
[类比猜想]
根据原坐标系中的点的坐标，通过勾股定理或点到直线的距离，可以求得 “动感坐标．”
[深入探索]
解：如图所示，当在上时，
∵直线与直线两条直线关于轴成轴对称，
∴，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∴
∴是等边三角形，则，
设三角平分线与对边的交点为．
则
又
∴是等边三角形，则
∴
过点作轴的平行线交轴于点，
∵将轴绕点逆时针旋转，得到轴
∴，
又
∴，
又∵，
∵，则
在中，，
∴的动感坐标为
当点在上时，如图所示，
则，
∴，
∴，
同理可得
∴的动感坐标为
综上所述，时，的动感坐标为；时，的动感坐标为．
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【分析】[初步探究]（1）画出图形，根据角的直角三角形的性质解题即可；
（2）由旋转可得当轴时，点与点的距离最小，作图并求得点的动感坐标即可；
[类比猜想]得出相关结论解题；
[深入探索]画出图形，分类讨论，分两种情况讨论，利用等边三角形的性质，结合新定义解题即可．
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